Gravitation et orbites

Débutant

Lâchez un crayon : il tombe. Levez les yeux : la Lune reste dans le ciel. La grande idée de Newton est qu'une seule et même attraction explique les deux. Construisons-la pas à pas.

Étape 1. Tout objet qui a une masse attire tous les autres. L'attraction est d'autant plus forte que les masses sont grandes : vous sentez celle de la Terre, mais pas celle, minuscule, de la personne assise à côté de vous.

Étape 2. L'attraction faiblit avec la distance, et vite. On mesure la distance de centre à centre : deux fois plus loin, l'attraction est divisée par quatre ; trois fois plus loin, par neuf. Petit test : si l'on éloigne deux objets jusqu'à dix fois leur distance, que devient leur attraction ? (Réponse : elle devient cent fois plus faible.)

Étape 3. Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas sur la Terre ? En fait, elle tombe sans arrêt. Sans attraction, elle filerait tout droit ; la gravitation courbe sa trajectoire vers la Terre. Imaginez un canon au sommet d'une très haute montagne, qui tire à l'horizontale. Un boulet lent retombe tout près, un plus rapide plus loin. Assez rapide, le boulet descend exactement au rythme où le sol, arrondi, se dérobe sous lui : il ne touche jamais terre, il est en orbite. Les astronautes flottent pour la même raison : eux et leur vaisseau tombent ensemble, alors que la pesanteur, là-haut, est presque aussi forte qu'au sol.

Étape 4. La plupart des orbites sont des cercles un peu étirés, des ellipses, et l'étoile n'est pas au centre. Une planète accélère en tombant vers l'étoile et ralentit en s'en éloignant.

Dans l'animation, la flèche rouge est l'attraction de l'étoile : toujours dirigée vers elle, plus longue quand la planète est proche. La ligne bleue en pointillés montre où irait la planète si la gravitation disparaissait. Les points gris sont laissés à intervalles de temps égaux : serrés loin de l'étoile, espacés près d'elle.

Intermédiaire

La loi de la gravitation et le champ de gravitation

Tout corps qui a une masse attire tous les autres. Pour deux masses $m_1$ et $m_2$ dont les centres sont séparés d'une distance $r$, la loi de la gravitation universelle de Newton donne l'intensité de l'attraction :
$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

Ici, $G=6,674\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ est la constante gravitationnelle, si petite que deux personnes de 70 kg distantes de 1 m ne s'attirent qu'avec $3,3\times 10^{-7}\mathrm{N}$. La force s'exerce le long de la droite qui joint les centres et, d'après la troisième loi de Newton, chaque corps tire l'autre avec la même intensité : vous attirez la Terre vers le haut avec les mêmes 690 N que ceux avec lesquels elle vous attire vers le bas. Pour une planète ou une étoile, $r$ se mesure à partir de son centre.

En divisant la force qui s'exerce sur une petite masse $m$ par $m$, on obtient le champ de gravitation d'un corps de masse $M$, c'est-à-dire l'attraction par kilogramme :
$g=\frac{GM}{r^2}$

Son unité, le newton par kilogramme, est la même que le m/s² : $g$ est l'accélération de chute libre en cet endroit. À la surface de la Terre ($M=5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$, $R=6371\mathrm{km}$), il vaut 9,8 m/s². En $r=2R$, c'est-à-dire à un rayon terrestre d'altitude, il est quatre fois plus faible, environ 2,45 m/s², et à 400 km d'altitude il vaut encore environ 8,7 m/s².

Orbites circulaires

Comme dans la leçon Mouvement circulaire, un corps qui se déplace à la vitesse $v$ sur un cercle de rayon $r$ a besoin d'une force résultante $m{v}^2/r$ dirigée vers le centre. Pour un satellite, la gravitation seule la fournit :
$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\text{(orbite circulaire)}$

La masse $m$ du satellite se simplifie : une station spatiale et une clé lâchée par son équipage suivent la même orbite. Un tour, de longueur $2\pi r$, dure $T=2\pi r/v$, d'où $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$. Plus l'orbite est haute, plus le satellite est lent, $v\propto 1/\sqrt{r}$, et plus ses tours sont longs, $T\propto r^{3/2}$ : un satellite rasant le sol ferait le tour de la Terre en 84 minutes environ, alors que la Lune, à 60 rayons terrestres, met 27,3 jours.

Les ellipses et les trois lois de Kepler

Un satellite lancé de côté un peu plus vite ou un peu moins vite que $\sqrt{GM/r}$ décrit une ellipse au lieu d'un cercle. Johannes Kepler a découvert trois lois du mouvement des planètes entre 1609 et 1619, et la loi de Newton les explique toutes les trois.

• Chaque planète se déplace sur une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, et non le centre.
• Le segment qui joint le Soleil à la planète balaie des aires égales en des temps égaux : la planète est donc la plus rapide au périhélie, son point le plus proche, et la plus lente à l'aphélie, son point le plus éloigné.
• Le carré de la période est proportionnel au cube de la taille de l'orbite.

Cette taille est le demi-grand axe $a$, moitié du plus grand diamètre et moyenne des distances minimale et maximale. L'excentricité $e$ dit à quel point l'ellipse est allongée : la distance minimale vaut $a(1-e)$, la distance maximale $a(1+e)$, et un cercle a $e=0$. Sous la forme que lui a donnée Newton, la troisième loi s'écrit
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
soit le résultat du cas circulaire, avec $a$ à la place de $r$, quelle que soit l'excentricité. Autour du Soleil, avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques ($1\mathrm{UA}=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$), elle devient simplement $T^2=a^3$.

L'énergie dans un champ de gravitation

Écarter deux masses l'une de l'autre demande un travail : leur énergie potentielle augmente donc avec la distance. En la prenant nulle pour une séparation infinie, on obtient
$U=-\frac{GMm}{r}$

Le signe moins signifie que le corps se trouve dans un puits : le hisser du repos en $r$ jusqu'à l'infini demande un travail $GMm/r$. En orbite, l'énergie totale $E=\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$ reste constante, de sorte que le corps accélère en tombant vers l'intérieur. Avec $E\ge 0$, le corps s'échappe ; depuis la surface de la Terre, cela exige une vitesse d'au moins $\sqrt{2GM/R}\approx 11,2km/s$.

Sur une ellipse, l'énergie ne dépend que de sa taille, $E=-GMm/(2a)$. En égalant les deux expressions, on obtient la vitesse à n'importe quelle distance, la relation vis-viva :
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
Pour un cercle, $r=a$ et elle se réduit à $v^2=GM/r$.

Exemple résolu : la planète de l'animation

L'étoile a la masse du Soleil, $GM=1,327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$, et l'ellipse a $a=1\mathrm{UA}$ et $e=0,5$ : la planète oscille donc entre 0,5 UA et 1,5 UA et, avec le $a$ de la Terre, met un an pour faire un tour. Au périhélie, à $7,48\times 10^{10}\mathrm{m}$ de l'étoile,
$g=\frac{1,327\times 10^{20}}{(7,48\times 10^{10}{)}^2}\approx 0,0237m/{\mathrm{s}}^2=23,7mm/{\mathrm{s}}^2$
et, trois fois plus loin, il est neuf fois plus faible, 2,6 mm/s². Ce sont les valeurs extrêmes de l'affichage de $F/m$, et la flèche rouge $F$ rétrécit dans le même rapport.

Pour les vitesses, la vitesse circulaire à 1 UA vaut $\sqrt{GM/a}\approx 29,8km/s$, celle de la Terre. Avec les distances en UA, la relation vis-viva donne
$v=29,8\sqrt{2/0,5-1}=29,8\sqrt{3}\approx 51,6km/s$
$v=29,8\sqrt{2/1,5-1}=29,8/\sqrt{3}\approx 17,2km/s$
au périhélie et à l'aphélie, les deux extrémités de l'affichage de $v$.

Le rapport des vitesses, 3, est l'inverse du rapport des distances, comme l'exigent les aires égales : aux deux extrémités du grand axe, la vitesse est perpendiculaire au rayon, une courte durée $\Delta t$ balaie un mince triangle d'aire $\frac{1}{2}rv\Delta t$, et l'on vérifie que $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2$. L'énergie par kilogramme, $\frac{1}{2}{v}^2-GM/r$, vaut $-4,4\times 10^{8}J/kg$ aux deux points, ce qui est bien $-GM/(2a)$.

Observez l'angle entre les flèches. Pendant que la planète se rapproche de l'étoile, la flèche violette $v$ fait moins de 90° avec la flèche rouge $F$ : l'attraction a donc une composante dans le sens du mouvement et accélère la planète ; pendant qu'elle s'éloigne, l'angle dépasse 90° et l'attraction la freine. Au périhélie et à l'aphélie, les flèches sont perpendiculaires et la vitesse cesse un instant de varier.

Exemple résolu : deux satellites de la Terre

La Station spatiale internationale vole à environ 400 km d'altitude, donc $r=6371+400=6771\mathrm{km}$ du centre de la Terre. Avec $GM=3,986\times 10^{14}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$ pour la Terre,
$v=\sqrt{\frac{3,986\times 10^{14}}{6,771\times 10^6}}\approx 7672m/s\approx 7,67km/s$
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot 6,771\times 10^6}{7672}\approx 5545\mathrm{s}$
soit environ 92 minutes. À cette altitude, $g=GM/r^2\approx 8,7m/{\mathrm{s}}^2$, soit 89 % de sa valeur au sol.

Un satellite géostationnaire doit boucler son orbite en une rotation de la Terre par rapport aux étoiles, soit $T=86164\mathrm{s}$ (23 h 56 min), pour rester au-dessus d'un même point de l'équateur. La troisième loi donne
$r={\left(\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}\approx 4,216\times 10^7\mathrm{m}$
soit environ 35 800 km au-dessus de l'équateur, et le satellite se déplace à $2\pi r/T\approx 3,07km/s$. Pour vérifier, ce rayon vaut $42164/6771\approx 6,23$ fois celui de la station, donc la période doit être $6,23^{3/2}\approx 15,5$ fois plus longue, et c'est bien le cas : $1436/92,4\approx 15,5$.

Erreurs fréquentes

• Croire qu'il n'y a pas de gravité en orbite. À 400 km, $g$ vaut encore 8,7 m/s² ; les astronautes flottent parce qu'eux et la station tombent ensemble.
• Mesurer $r$ depuis la surface. Avec 400 km au lieu de 6771 km, on trouverait pour la station une vitesse de 31,6 km/s, et non de 7,67 km/s.
• Penser qu'un satellite plus lourd ou une orbite plus haute exige plus de vitesse. La formule $v=\sqrt{GM/r}$ ne contient pas la masse du satellite, et le satellite géostationnaire est plus lent que la station.
• Mettre la distance maximale dans la troisième loi. La comète de Halley va de 0,59 UA à 35,1 UA, donc $a=17,8\mathrm{UA}$ et $T=17,8^{3/2}\approx 75$ ans, et non 208 ans.
• Supposer que la planète accélère parce que l'attraction est forte. Au périhélie, l'attraction est maximale, 23,7 mm/s² dans l'animation, et pourtant elle est perpendiculaire à la vitesse, qui vient donc de cesser d'augmenter.

Où on le rencontre

Les satellites de navigation, à 20 200 km d'altitude et de période 12 heures, les satellites géostationnaires de météorologie et de télévision, les marées, et les masses des planètes et des étoiles, que la troisième loi permet de lire dans les orbites qui les entourent : tout cela repose sur cette leçon.

La loi des aires, c'est la conservation du moment cinétique (leçon Le moment cinétique et sa conservation) ; $U=-GMm/r$ généralise le $mgh$ de la leçon Travail, énergie et puissance ; le même inverse du carré régit les charges dans la leçon Loi de Coulomb. Enfin, tous les corps tombent avec la même accélération : c'est le point de départ de La gravitation, courbure de l'espace-temps.

Avancé

De la pomme à la Lune

Cette section pose la loi de force et donne la première preuve qu'une même loi régit le sol et le ciel. Deux masses $M$ et $m$ séparées par une distance $r$ s'attirent avec une force d'intensité $GMm/r^2$, où $G$ est la constante de gravitation. Sous forme vectorielle, avec $M$ à l'origine et $m$ à la position $\vec{r}$,
$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$
où $\hat{r}$ est le vecteur unitaire dirigé de $M$ vers $m$. Le signe moins ramène la force vers $M$ : la gravitation attire.

Le premier test de Newton a comparé la Lune à une pomme qui tombe. Si l'attraction décroît en $1/r^2$, alors à 60 rayons terrestres elle doit être $60^2=3600$ fois plus faible qu'à la surface. La Lune est à $r=3,844\times 10^8\mathrm{m}$, soit environ 60 rayons terrestres, et fait le tour de la Terre en 27,32 jours ($T=2,36\times 10^6\mathrm{s}$). Pour rester sur son cercle, il lui faut l'accélération centripète
$a_c=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
et la loi en inverse du carré prévoit $g/60^2=9,81/3600\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$. Les deux valeurs concordent : la pomme et la Lune obéissent à la même loi.

Pourquoi peut-on mesurer la distance depuis le centre de la Terre ? Grâce au théorème de la coquille sphérique : une coquille sphérique uniforme attire une masse extérieure exactement comme si toute sa masse était concentrée en son centre, et n'exerce aucune force résultante sur une masse située à l'intérieur. Une planète est un emboîtement de telles coquilles ; vue de l'extérieur, elle agit donc comme une masse ponctuelle. À l'intérieur d'une planète uniforme, seules les coquilles plus proches du centre attirent. Leur masse croît comme $r^3$ tandis que leur attraction par unité de masse décroît comme $1/r^2$ ; $g$ diminue donc proportionnellement à $r$, jusqu'à zéro au centre.

Une fois $G$ connue, la même loi permet de peser la Terre. Cavendish a mesuré $G$ avec une balance de torsion en 1798. À la surface, $g=GM/R^2$, où $R$ est le rayon de la Terre, donc $M=g{R}^2/G\approx 5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$. Cela donne une masse volumique moyenne de 5,5 g/cm³, deux fois celle des roches de surface : l'intérieur profond, et surtout le noyau, doit être bien plus dense.

Aires égales et moment cinétique

Kepler a constaté que la droite qui joint l'étoile à une planète balaie des aires égales en des temps égaux : la planète va vite près de l'étoile et lentement loin d'elle. Cette section montre que sa règle n'est autre que la conservation du moment cinétique sous une autre forme.

Légende

$M$	L'étoile, de masse $M$.	$\mathrm{kg}$
$r$	Distance de l'étoile à la planète.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Attraction de l'étoile sur la planète, selon le rayon, vers $M$.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}dt$	Le pas de la planète pendant le court instant $dt$ : la vitesse multipliée par la durée.	$\mathrm{m}$
$dr$	Partie du pas selon le rayon : la variation de $r$.	$\mathrm{m}$
$rd\theta$	Partie du pas perpendiculaire au rayon : un arc de rayon $r$.	$\mathrm{m}$
$d\theta$	Angle dont tourne le rayon vecteur pendant le pas.	$\mathrm{rad}$
$dA$	Aire du mince triangle balayé par le rayon vecteur pendant le pas.	${\mathrm{m}}^2$

La figure 1 agrandit un petit pas d'une planète située à la distance $r$ de son étoile $M$. La direction du rayon vecteur est repérée par l'angle $\theta$. Pendant un court instant $dt$, la planète se déplace de $\vec{v}dt$, la flèche bleue. Décomposez ce pas en deux parties. La partie $dr$ selon le rayon ne change que la distance ; elle ne balaie aucune aire, car elle fait glisser la planète le long de la droite sur laquelle elle se trouve déjà. La partie perpendiculaire au rayon est le petit arc $rd\theta$, décrit quand le rayon vecteur tourne du petit angle $d\theta$. Seule cette partie balaie une aire nouvelle : le triangle doré, de base $r$ et de hauteur $rd\theta$, d'où $dA=\frac{1}{2}r\cdot rd\theta$.

En divisant par $dt$, on obtient la vitesse aréolaire, l'aire balayée par unité de temps : $dA/dt=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, où $\dot{\theta }=d\theta /dt$ est la vitesse à laquelle tourne le rayon vecteur. La vitesse de la planète perpendiculairement au rayon vaut $r\dot{\theta }$ ; son moment cinétique par rapport à l'étoile a donc pour valeur $L=mr\cdot r\dot{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }$. Ainsi
$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}$

Regardez maintenant l'attraction $\vec{F}$ sur la figure 1 : elle est dirigée selon le rayon, vers $M$. Le moment de la force $\vec{r}\times \vec{F}$ est donc nul, car le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles s'annule, et sans moment de force le moment cinétique $\vec{L}$ ne peut pas varier. Sa valeur $L$ fixe la vitesse aréolaire : c'est la deuxième loi de Kepler. Sa direction, perpendiculaire à la fois à $\vec{r}$ et à $\vec{v}$, ne change pas non plus, si bien que l'orbite reste dans un plan.

Rien de tout cela n'a utilisé le $1/r^2$. Les aires égales valent pour toute force centrale, c'est-à-dire toute force dirigée selon la droite qui joint le corps à un centre fixe. La deuxième loi de Kepler teste donc la direction de la force, et non la façon dont son intensité dépend de la distance.

La planète de l'animation rend cela concret. Elle tourne autour d'une étoile d'une masse solaire sur une ellipse de demi-grand axe $a=1\mathrm{UA}$ (la moitié du plus grand diamètre) et d'excentricité $e=0,5$ (une mesure de l'aplatissement de l'ellipse : 0 pour un cercle, proche de 1 pour une ellipse longue et fine). Son demi-petit axe, la moitié du plus petit diamètre, vaut $b=a\sqrt{1-e^2}\approx 0,866\mathrm{UA}$, et sa période, comme le montre la troisième loi plus bas, est d'un an. Dans la vue experte, chaque secteur doré est balayé en un huitième de la période, soit environ 45,7 jours ; tous deux ont donc un huitième de l'aire de l'ellipse, $\pi ab/8\approx 0,34\mathrm{U}{\mathrm{A}}^2$. Le secteur du périhélie, le point le plus proche de l'étoile, est court et large ; celui de l'aphélie, le point le plus éloigné, est long et étroit.

Aux deux extrémités du grand axe, la vitesse est perpendiculaire au rayon, donc $L/m=rv$ exactement. Avec les vitesses tirées plus bas de la relation vis-viva, 51,6 km/s à 0,5 UA et 17,2 km/s à 1,5 UA, on obtient $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2\approx 25,8\mathrm{UA}\cdot km/s$ aux deux extrémités, comme il se doit.

L'énergie et le mouvement radial

Le moment cinétique seul ne dit pas jusqu'où la planète s'approche de l'étoile ni jusqu'où elle s'en éloigne. L'énergie le dit, et elle ramène l'orbite à un problème à une dimension, portant sur la seule distance $r$.

Légende

$U_{eff}$	Énergie potentielle effective du mouvement radial : $L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$.	$\mathrm{J}$
$E$	Énergie totale : constante le long de l'orbite, négative pour une orbite liée ; tracée comme un niveau horizontal.	$\mathrm{J}$
$r$	Distance à l'étoile.	$\mathrm{m}$
$r_{\min }$	Distance au périhélie, $a(1-e)$ : le point de rebroussement intérieur, où $\dot{r}=0$.	$\mathrm{m}$
$r_{\max }$	Distance à l'aphélie, $a(1+e)$ : le point de rebroussement extérieur, où $\dot{r}=0$.	$\mathrm{m}$
$K_r$	Énergie cinétique radiale $\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$ : l'écart entre $E$ et $U_{eff}$.	$\mathrm{J}$
$\frac{L^2}{2m{r}^2}$	Terme centrifuge : l'énergie cinétique du mouvement orthoradial à la distance $r$.	$\mathrm{J}$
$U$	Énergie potentielle de gravitation, $-GMm/r$.	$\mathrm{J}$

Commencez par l'énergie potentielle. Choisissez $U=0$ lorsque les deux corps sont infiniment éloignés. Alors $U$ à la distance $r$ est le travail de la gravitation sur $m$ lorsque celle-ci passe de $r$ à l'infini, ${\int }_r^{\infty }(-GMm/r^{\prime 2})d{r}^{\prime }$, ce qui donne
$U=-\frac{GMm}{r}$
Elle est négative partout et remonte vers zéro au loin : c'est la courbe en tirets du bas, $U$, sur la figure 2.

Passez à l'énergie cinétique. Décomposez la vitesse en une partie radiale $\dot{r}$, la vitesse à laquelle la distance varie, et une partie orthoradiale $r\dot{\theta }$. D'après $L=m{r}^2\dot{\theta }$, la partie orthoradiale vaut $L/(mr)$ ; son énergie cinétique est donc $L^2/(2m{r}^2)$. L'énergie totale, qui se conserve, s'écrit alors
$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$

Comme $L$ est constant, les deux derniers termes ne dépendent que de $r$ : on peut les traiter ensemble comme une seule énergie potentielle pour le mouvement radial. C'est l'énergie potentielle effective $U_{eff}$, la courbe violette de la figure 2. Elle est la somme des deux courbes en tirets. Celle du haut, le terme centrifuge $L^2/(2m{r}^2)$, grimpe fortement quand $r$ diminue ; elle agit comme une barrière centrifuge qui empêche la planète de tomber sur l'étoile. Celle du bas est $U$. De près, la barrière l'emporte ; de loin, c'est la gravitation ; entre les deux, la somme forme un puits.

Lisez maintenant la figure comme le profil d'une vallée où roule une bille. L'énergie $E$ est le niveau horizontal en tirets, le même pour tout $r$. L'écart entre ce niveau et la courbe violette est l'énergie cinétique radiale $K_r=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$. Elle ne peut pas être négative : la planète ne peut se trouver que là où la courbe passe sous le niveau.

Pour $E<0$, comme sur la figure, le niveau coupe la courbe en deux points de rebroussement, $r_{\min }$ et $r_{\max }$. En ces points $K_r=0$, donc $\dot{r}=0$ : la distance cesse de diminuer ou d'augmenter et repart en sens inverse. La distance oscille donc entre $r_{\min }$, le périhélie, et $r_{\max }$, l'aphélie. Si le niveau touche juste le fond du puits, les deux points de rebroussement se confondent et l'orbite est un cercle. Pour $E\ge 0$, le niveau ne rencontre la courbe qu'une fois, sur la barrière, et la planète s'échappe à l'infini.

La forme de l'orbite

La figure 2 donne l'intervalle des distances, mais pas la courbe que décrit la planète. Pour trouver cette courbe, réécrivez l'équation du mouvement radial en fonction de l'angle $\theta$ au lieu du temps.

Selon le rayon, la deuxième loi de Newton s'écrit $m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-GMm/r^2$ ; le terme $-r{\dot{\theta }}^2$ est l'accélération centripète due à la rotation du rayon vecteur. Deux changements rendent l'équation soluble. D'abord, prenez $u=1/r$ comme variable. Ensuite, remplacez le temps par l'angle grâce à $\dot{\theta }=L/(m{r}^2)=(L/m)u^2$. Alors $\dot{r}=-(L/m)du/d\theta$ et $\ddot{r}=-(L/m{)}^2{u}^2{d}^{2}u/d{\theta }^2$, et après division par $-m(L/m{)}^2{u}^2$ la loi devient linéaire :
$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=\frac{GM{m}^2}{L^2}$

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique soumis à une force constante ; sa solution est donc cette constante plus un cosinus : $u=(1+e\cos \theta )/p$, avec $p=L^2/(GM{m}^2)$ et $\theta$ mesuré depuis le périhélie. En fonction de $r$,
$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$
ce qui est une conique dont l'étoile occupe un foyer : une ellipse pour $e<1$ ($E<0$), une parabole pour $e=1$ ($E=0$) et une hyperbole pour $e>1$ ($E>0$). Pour l'ellipse, le périhélie en $\theta =0$ et l'aphélie en $\theta =\pi$ donnent $r_{\min }=p/(1+e)$ et $r_{\max }=p/(1-e)$. Leur somme est le grand axe $2a$, d'où $p=a(1-e^2)=b^2/a$, $r_{\min }=a(1-e)$ et $r_{\max }=a(1+e)$.

L'inverse du carré est un cas à part. D'après le théorème de Bertrand, seules deux forces donnent des orbites liées qui se referment toujours : la force en inverse du carré et la force de rappel linéaire d'un ressort. Avec toute autre loi de puissance, une orbite liée ne se referme pas, et son périhélie tourne un peu à chaque tour.

L'énergie fixe la taille de l'ellipse. En chacun des points de rebroussement $\dot{r}=0$, donc $E=L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$. Multipliée par $r^2$, cette relation devient une équation du second degré, $E{r}^2+GMmr-L^2/(2m)=0$, dont les deux racines sont $r_{\min }$ et $r_{\max }$. La somme des racines d'une équation du second degré vaut l'opposé du coefficient du milieu divisé par le premier, donc $r_{\min }+r_{\max }=-GMm/E$. Cette somme vaut $2a$, d'où
$E=-\frac{GMm}{2a}$
L'énergie fixe la taille $a$ ; pour un $a$ donné, le moment cinétique fixe $p$, et avec lui la forme $e$.

En égalant cette valeur à l'énergie en un point quelconque de l'orbite, $\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$, et en divisant par $m/2$, on obtient la relation vis-viva, que l'animation utilise pour afficher la vitesse :
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
Sur un cercle, $r=a$ et $v^2=GM/r$ ; à 1 UA du Soleil, cela donne 29,8 km/s, la vitesse orbitale de la Terre. Pour la planète de l'animation, avec $a=1\mathrm{UA}$, la vitesse vaut $29,8\sqrt{2/r-1}km/s$, $r$ étant exprimé en UA : 51,6 km/s au périhélie et 17,2 km/s à l'aphélie.

La troisième loi de Kepler

La troisième loi relie la période à la taille de l'orbite et, lue à l'envers, permet de peser le corps central.

En une période, le rayon vecteur balaie toute l'ellipse, d'aire $\pi ab$, à la vitesse aréolaire constante $L/(2m)$ ; donc $T=2\pi abm/L$. En élevant au carré, $T^2=4{\pi }^2{a}^2{b}^2{m}^2/L^2$. L'équation de l'orbite donne $L^2=GM{m}^{2}p$, et $p=b^2/a$, donc $L^2=GM{m}^2{b}^2/a$. En substituant, $b^2$ et $m^2$ se simplifient :
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
La période ne dépend que de $a$, pas de la forme : un cercle de rayon 1 UA et l'ellipse de l'animation, avec $a=1\mathrm{UA}$ et $e=0,5$, mettent tous deux un an.

Lue à l'envers, la loi pèse le Soleil. L'orbite de la Terre, $a=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$ et $T=3,156\times 10^7\mathrm{s}$, donne $GM=4{\pi }^2{a}^3/T^2\approx 1,327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$, et donc une masse solaire de $1,99\times 10^{30}\mathrm{kg}$.

Le temps sur l'orbite : l'équation de Kepler

Les lois vues jusqu'ici donnent la forme et la période, mais pas la position de la planète à un instant donné. Il faut pour cela un angle de plus, l'anomalie excentrique, et une équation pour le trouver.

Légende

$O$	Centre de l'ellipse et du cercle en tirets.
$M$	L'étoile, en un foyer de l'ellipse ; sa masse est $M$.	$\mathrm{kg}$
$a$	Demi-grand axe : du centre à l'extrémité du grand axe ; c'est aussi le rayon du cercle en tirets.	$\mathrm{m}$
$b$	Demi-petit axe : du centre à l'extrémité du petit axe.	$\mathrm{m}$
$ae$	Distance du centre à l'étoile : l'excentricité $e$ multipliée par $a$.	$\mathrm{m}$
$r$	Distance de l'étoile à la planète.	$\mathrm{m}$
$\psi$	Anomalie excentrique : l'angle en $O$, depuis l'axe dirigé vers le périhélie jusqu'au point du cercle situé à la verticale de la planète.	$\mathrm{rad}$

La figure 3 montre l'ellipse avec son centre $O$, son demi-grand axe $a$ et son demi-petit axe $b$. L'étoile $M$ occupe un foyer, à la distance $ae$ de $O$ ; le périhélie est l'extrémité du grand axe située du côté de l'étoile. Autour de $O$, tracez le cercle en tirets de rayon $a$, qui touche l'ellipse aux deux extrémités du grand axe. Depuis la planète, menez une droite perpendiculaire au grand axe, le fin trait en tirets, jusqu'au cercle. La droite qui va de $O$ à ce point du cercle fait l'angle $\psi$ avec l'axe dirigé vers le périhélie : cet angle est l'anomalie excentrique.

Comprimer le cercle vers l'axe d'un facteur $b/a$ le transforme en l'ellipse ; par rapport à $O$, la planète est donc en $(a\cos \psi ,b\sin \psi )$, tandis que l'étoile est en $(ae,0)$. Le théorème de Pythagore donne la distance qui les sépare, et avec $b^2=a^2(1-e^2)$ les termes se regroupent en un carré parfait :
$r^2=a^2(\cos \psi -e{)}^2+b^2{\sin }^2\psi =a^2(1-e\cos \psi {)}^2$
c'est-à-dire $r=a(1-e\cos \psi )$ : minimale, $a(1-e)$, pour $\psi =0$, et maximale, $a(1+e)$, pour $\psi =\pi$.

Passons au temps. D'après la loi des aires, le temps $t$ écoulé depuis le périhélie est proportionnel à l'aire balayée depuis, et $t/T$ est cette aire divisée par celle de toute l'ellipse, $\pi ab$. L'aire se calcule plus facilement sur le cercle, que l'on comprime ensuite. Sur le cercle, la région balayée depuis le périhélie jusqu'au point d'angle $\psi$, vue depuis l'étoile, est le secteur de sommet $O$ et d'angle $\psi$, d'aire $\frac{1}{2}{a}^2\psi$, moins le triangle dont les sommets sont $O$, l'étoile et ce point. Ce triangle a pour base $ae$ et pour hauteur $a\sin \psi$ ; son aire vaut donc $\frac{1}{2}{a}^{2}e\sin \psi$. La compression d'un facteur $b/a$ multiplie toutes les aires par ce même facteur ; l'aire balayée sur l'ellipse est donc $\frac{1}{2}ab(\psi -e\sin \psi )$. En divisant par $\pi ab$ et en multipliant par $2\pi$, on obtient l'équation de Kepler :
$\frac{2\pi t}{T}=\psi -e\sin \psi$

Connaissant $\psi$, on en déduit aussitôt le temps ; connaissant le temps, on ne peut pas exprimer $\psi$ sous forme explicite. L'animation trouve $\psi$ par la méthode de Newton à chacun de ses pas de temps, puis la position. Le graphe de $r(t)$ de la vue experte en montre le résultat : une crête large et plate à 1,5 UA et un creux étroit et aigu à 0,5 UA. La planète traverse le petit axe en $\psi =\pi /2$ et en $\psi =3\pi /2$ ; en reportant ces valeurs dans l'équation de Kepler, on voit qu'elle passe une fraction $\frac{1}{2}+e/\pi \approx 0,66$ de son année du côté lointain du petit axe, soit environ 241 jours, contre 124 jours du côté proche.

Problème résolu : une orbite de transfert

Les orbites de Kepler sont aussi celles que suivent les engins spatiaux. La route à deux poussées la plus économique entre deux orbites circulaires autour d'une même étoile est un transfert de Hohmann : une demi-ellipse qui touche les deux cercles.

Légende

$M$	L'étoile, au centre des deux cercles ; sa masse est $M$.	$\mathrm{kg}$
$r_1$	Rayon de l'orbite circulaire intérieure, d'où part l'engin.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Rayon de l'orbite circulaire extérieure, la destination.	$\mathrm{m}$
$\Delta v_1$	Première poussée, vers l'avant, sur le cercle intérieur : de la vitesse circulaire à la vitesse de périhélie de l'ellipse.	$m/s$
$\Delta v_2$	Seconde poussée, vers l'avant, à l'aphélie, l'extrémité lointaine de l'ellipse : de la vitesse d'aphélie à la vitesse circulaire.	$m/s$

La figure 4 le représente à l'échelle pour $r_1=0,5\mathrm{UA}$ et $r_2=1,5\mathrm{UA}$, de sorte que l'ellipse de transfert est celle de l'animation. L'engin part du cercle intérieur. Une poussée vers l'avant $\Delta v_1$ le place sur l'ellipse dont le périhélie touche le cercle intérieur et l'aphélie le cercle extérieur. Son grand axe vaut donc $r_1+r_2$, d'où $a=(r_1+r_2)/2=1\mathrm{UA}$. Seule la moitié de l'ellipse en trait plein est parcourue ; à son extrémité lointaine, une seconde poussée vers l'avant $\Delta v_2$ rend l'orbite circulaire.

La première poussée. Sur un cercle, la relation vis-viva donne $v=\sqrt{GM/r}$ ; la vitesse circulaire en $r_1$ vaut donc $29,8\sqrt{2}\approx 42,1km/s$. L'ellipse de transfert exige la vitesse de périhélie de 51,6 km/s, donc $\Delta v_1=9,5km/s$.

La seconde poussée. Une demi-orbite plus tard, après $T/2\approx 183$ jours, l'engin atteint l'aphélie à 17,2 km/s. C'est moins que la vitesse circulaire en ce point, $29,8/\sqrt{1,5}\approx 24,3km/s$, donc $\Delta v_2=7,1km/s$.

Les deux poussées étaient dirigées vers l'avant, 16,6 km/s en tout, et pourtant l'engin finit 17,8 km/s plus lent qu'au départ. L'énergie lève le paradoxe. Par kilogramme, une orbite circulaire a pour énergie totale $E=-GM/(2r)$, pour énergie cinétique $GM/(2r)=-E$ et pour énergie potentielle $-GM/r=2E$. De $r_1$ à $r_2$, l'énergie totale passe de $-8,87\times 10^8$ à $-2,96\times 10^{8}J/kg$ : le moteur fournit donc $5,91\times 10^{8}J/kg$. L'énergie potentielle augmente du double, $1,18\times 10^{9}J/kg$, et l'énergie cinétique diminue de $5,91\times 10^{8}J/kg$ pour combler la différence. Les orbites plus hautes sont plus lentes, mais elles renferment plus d'énergie.

La même route de la Terre vers Mars, de 1 UA à 1,52 UA, a $a\approx 1,26\mathrm{UA}$. Avec $T$ en années et $a$ en UA, la troisième loi s'écrit $T=a^{3/2}$ ; le voyage dure donc $\frac{1}{2}\cdot 1,26^{3/2}\approx 0,707$ an, soit environ 258 jours.

Au-delà de deux masses ponctuelles

Les systèmes réels diffèrent d'une masse ponctuelle tournant autour d'une autre, immobile, de trois façons : les deux corps bougent, les corps ont une taille, et ils sont généralement plus de deux.

Deux corps tournent autour de leur centre de masse commun, et leur orbite relative obéit aux mêmes lois, avec $M$ remplacé par $M+m$ : $T^2=4{\pi }^2{a}^3/(G(M+m))$. Le centre de masse du système Terre–Lune se trouve à 4670 km du centre de la Terre, donc à l'intérieur de celle-ci ; celui du système Soleil–Jupiter est à 1,07 rayon solaire du centre du Soleil, juste au-dessus de sa surface. Le petit balancement d'une étoile autour d'un tel point révèle des planètes autour d'autres étoiles.

Un corps de taille finie ressent aussi la variation du champ sur son étendue. Le champ $GM/d^2$ d'un corps de masse $M$ situé à la distance $d$ varie, sur le rayon $R$ de la Terre, d'environ $R$ fois son taux de variation avec la distance, soit $2GMR/d^3$. Pour la Lune, cela donne $1,1\times 10^{-6}m/{\mathrm{s}}^2$ : c'est l'accélération de marée, qui étire les océans en deux bourrelets, l'un tourné vers la Lune, l'autre du côté opposé. Le champ du Soleil au niveau de la Terre vaut environ 180 fois celui de la Lune, et pourtant son effet de marée n'en représente qu'environ la moitié, car la différence décroît en $1/d^3$ et le Soleil est environ 390 fois plus loin.

Les autres planètes perturbent chaque orbite ; elles font avancer le périhélie de Mercure d'environ 530″ par siècle. Le renflement équatorial de la Terre fait tourner les plans des orbites de satellites, d'environ 1° par jour pour les orbites quasi polaires choisies pour suivre le Soleil. À partir de trois corps, il n'existe pas de formule générale, et les tables planétaires proviennent d'une intégration numérique.

Limites de validité

La loi en inverse du carré a été confirmée depuis des séparations inférieures au dixième de millimètre jusqu'aux distances planétaires, et l'égalité de la masse grave et de la masse inerte à environ une partie sur $10^{15}$. La gravitation de Newton est la limite de la relativité générale pour les champs faibles et les mouvements lents. La taille des corrections est fixée par le nombre sans dimension $GM/(r{c}^2)$, où $c$ est la vitesse de la lumière : environ $7\times 10^{-10}$ à la surface de la Terre et $1\times 10^{-8}$ à 1 UA du Soleil.

Si petites soient-elles, ces corrections se mesurent. Le périhélie de Mercure avance de 43″ de plus par siècle ; la planète de l'animation, avec $a=1\mathrm{UA}$ et $e=0,5$, tournerait d'environ 5″ par siècle. Les horloges des satellites de navigation, à 20 200 km d'altitude, gagnent environ 46 microsecondes par jour sur les horloges au sol, parce que la gravité y est plus faible ; leur vitesse orbitale en reprend environ 7, ce qui laisse un gain net d'environ 38. Près d'une étoile à neutrons, où $GM/(r{c}^2)\approx 0,2$, et à l'horizon d'un trou noir, où ce nombre atteint 0,5, la loi de Newton est complètement en défaut.

La gravitation est aussi extrêmement faible : deux électrons se repoussent électriquement environ $4\times 10^{42}$ fois plus fort qu'ils ne s'attirent par gravitation. Elle ne domine le ciel que parce que la masse n'a qu'un signe, si bien que ses effets s'additionnent toujours, alors que les charges positives et négatives des gros corps se compensent. À la longueur de Planck, environ $1,6\times 10^{-35}\mathrm{m}$, la gravitation et la mécanique quantique compteraient toutes deux, et aucune théorie éprouvée ne couvre ce régime.

Ce qui vient ensuite

La loi des aires est la conservation du moment cinétique rencontrée dans la leçon Le moment cinétique et sa conservation, et $U=-GMm/r$ est la forme générale du $mgh$ de la leçon Travail, énergie et puissance. Le même inverse du carré régit les charges dans la leçon Loi de Coulomb, sa description par le champ se poursuit dans la leçon Champ et potentiel électriques, et l'électron suit une orbite de Kepler à moment cinétique quantifié dans la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr.

À l'intérieur d'une Terre uniforme, $g\propto r$ : c'est une force de rappel qui croît avec la distance au centre, la condition même du mouvement étudié dans la leçon Oscillations harmoniques. Un train circulant sans frottement dans un tunnel passant par le centre traverserait la Terre en 42 minutes environ, la moitié de la période de 84 minutes d'une orbite rasant la surface. Enfin, l'égalité de la masse grave et de la masse inerte est le point de départ de la leçon La gravitation, courbure de l'espace-temps, où les orbites deviennent les trajectoires les plus droites possibles dans l'espace-temps courbe.