Gravitación y órbitas

Principiante

Suelta un lápiz y cae; mira hacia arriba y la Luna sigue en el cielo. La gran idea de Newton fue que una misma atracción explica las dos cosas. Construyámosla paso a paso.

Paso 1. Todo objeto con masa atrae a todos los demás. La atracción es mayor cuanto mayores son las masas: notas la de la Tierra, pero no la diminuta atracción entre tú y la persona sentada a tu lado.

Paso 2. La atracción se debilita con la distancia, y deprisa. La distancia se mide de centro a centro: al doble de distancia, la atracción queda en la cuarta parte; al triple, en la novena parte. Compruébalo: si dos objetos se separan hasta diez veces su distancia, ¿qué le pasa a su atracción? (Respuesta: se vuelve cien veces más débil.)

Paso 3. ¿Por qué la Luna no cae sobre la Tierra? En realidad cae todo el tiempo. Sin la atracción seguiría en línea recta; la gravedad curva su camino hacia la Tierra. Imagina un cañón en la cima de una montaña altísima que dispara en horizontal. Una bala lenta cae cerca; una más rápida, más lejos. Si es lo bastante rápida, baja justo al ritmo al que el suelo curvo se aleja bajo ella, y nunca llega a tocarlo: está en órbita. Los astronautas flotan por la misma razón: ellos y su nave caen juntos, aunque allí arriba la gravedad es casi tan fuerte como en el suelo.

Paso 4. La mayoría de las órbitas son círculos algo estirados, llamados elipses, y la estrella no está en el centro. Un planeta se acelera al caer hacia la estrella y se frena al alejarse de ella.

En la animación, la flecha roja es la atracción de la estrella: siempre apunta hacia ella y es más larga cuando el planeta está cerca. La línea azul discontinua muestra adónde iría el planeta si la gravedad desapareciera. Los puntos grises quedan a intervalos de tiempo iguales: apiñados lejos de la estrella y separados cerca de ella.

Intermedio

La ley de la gravitación y la intensidad del campo

Todo cuerpo con masa atrae a todos los demás. Para dos masas $m_1$ y $m_2$ cuyos centros están a una distancia $r$, la ley de la gravitación universal de Newton da el valor de la atracción:
$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

Aquí $G=6,674\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ es la constante de gravitación, tan pequeña que dos personas de 70 kg separadas 1 m se atraen con solo $3,3\times 10^{-7}\mathrm{N}$. La fuerza actúa a lo largo de la recta que une los centros y, por la tercera ley de Newton, cada cuerpo tira del otro con la misma fuerza: tú tiras de la Tierra hacia arriba con los mismos 690 N con que ella tira de ti hacia abajo. En un planeta o una estrella, $r$ se mide desde su centro.

Si se divide la fuerza sobre una masa pequeña $m$ entre $m$, se obtiene la intensidad del campo de un cuerpo de masa $M$, la atracción por kilogramo:
$g=\frac{GM}{r^2}$

Su unidad, el newton por kilogramo, equivale al m/s²: $g$ es la aceleración de caída libre en ese lugar. En la superficie de la Tierra ($M=5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$, $R=6371\mathrm{km}$) vale 9,8 m/s². En $r=2R$, a un radio terrestre de altura, es la cuarta parte, unos 2,45 m/s², y a 400 km de altura todavía son unos 8,7 m/s².

Órbitas circulares

Como en Movimiento circular, un cuerpo que se mueve con rapidez $v$ sobre una circunferencia de radio $r$ necesita una fuerza neta $m{v}^2/r$ hacia el centro. En un satélite, la proporciona la gravedad por sí sola:
$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\text{(oˊrbita circular)}$

La masa $m$ del propio satélite se cancela: una estación espacial y una llave inglesa que se le escapa a un astronauta comparten la misma órbita. Una vuelta, de longitud $2\pi r$, dura $T=2\pi r/v$, luego $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$. Las órbitas más altas son más lentas, $v\propto 1/\sqrt{r}$, y sus vueltas mucho más largas, $T\propto r^{3/2}$: un satélite que rozara el suelo daría la vuelta en unos 84 minutos, mientras que la Luna, a 60 radios terrestres, tarda 27,3 días.

Elipses y las tres leyes de Kepler

Un satélite lanzado de lado con una rapidez algo mayor o menor que $\sqrt{GM/r}$ sigue en cambio una elipse. Johannes Kepler encontró tres leyes del movimiento planetario entre 1609 y 1619, y la ley de Newton explica las tres.

• Todo planeta se mueve en una elipse con el Sol en uno de sus focos, no en el centro.
• La recta que va del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, así que el planeta es más rápido en el perihelio, su punto más cercano, y más lento en el afelio, el más lejano.
• El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del tamaño de la órbita.

El tamaño lo da el semieje mayor $a$, la mitad del diámetro más largo y también la media de las distancias mínima y máxima. La excentricidad $e$ indica lo estirada que es la elipse: la distancia mínima es $a(1-e)$, la máxima $a(1+e)$, y una circunferencia tiene $e=0$. En la forma de Newton, la tercera ley es
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
el resultado circular con $r$ sustituido por $a$, sea cual sea la excentricidad. Alrededor del Sol, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas ($1\mathrm{UA}=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$), se reduce a $T^2=a^3$.

La energía en un campo gravitatorio

Separar dos masas cuesta trabajo, así que su energía potencial crece con la distancia. Si se toma como cero a separación infinita, resulta
$U=-\frac{GMm}{r}$

El signo menos significa que el cuerpo está en un pozo: elevarlo desde el reposo en $r$ hasta el infinito exige un trabajo $GMm/r$. En órbita la energía total $E=\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$ se mantiene constante, así que el cuerpo gana rapidez al caer hacia el centro. Con $E\ge 0$ el cuerpo escapa; desde la superficie de la Tierra eso exige $\sqrt{2GM/R}\approx 11,2km/s$.

En una elipse la energía solo depende de su tamaño, $E=-GMm/(2a)$. Igualando las dos expresiones se obtiene la rapidez a cualquier distancia, la ecuación vis viva:
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
Para una circunferencia, $r=a$ y se reduce a $v^2=GM/r$.

Ejemplo resuelto: el planeta de la animación

La estrella tiene la masa del Sol, $GM=1,327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$, y la elipse tiene $a=1\mathrm{UA}$ y $e=0,5$, así que el planeta oscila entre 0,5 UA y 1,5 UA y, con el mismo $a$ que la Tierra, tarda un año en cada vuelta. En el perihelio, a $7,48\times 10^{10}\mathrm{m}$ de la estrella,
$g=\frac{1,327\times 10^{20}}{(7,48\times 10^{10}{)}^2}\approx 0,0237m/{\mathrm{s}}^2=23,7mm/{\mathrm{s}}^2$
y tres veces más lejos el campo es nueve veces menor, 2,6 mm/s². Son los extremos de la lectura de $F/m$, y la flecha roja $F$ se reduce en el mismo factor.

Para calcular las rapideces partimos de la circular a 1 UA, $\sqrt{GM/a}\approx 29,8km/s$, la de la Tierra. Con las distancias en UA, la ecuación vis viva da
$v=29,8\sqrt{2/0,5-1}=29,8\sqrt{3}\approx 51,6km/s$
$v=29,8\sqrt{2/1,5-1}=29,8/\sqrt{3}\approx 17,2km/s$
en el perihelio y en el afelio, los dos extremos de la lectura de $v$.

La razón entre las rapideces, 3, es la inversa de la razón entre las distancias, como exigen las áreas iguales: en los dos extremos del eje mayor la velocidad es perpendicular al radio, un intervalo corto $\Delta t$ barre un triángulo fino de área $\frac{1}{2}rv\Delta t$, y $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2$. La energía por kilogramo, $\frac{1}{2}{v}^2-GM/r$, resulta $-4,4\times 10^{8}J/kg$ en ambos puntos, que es $-GM/(2a)$.

Fíjate en el ángulo entre las flechas. Mientras el planeta se acerca, la flecha morada $v$ forma menos de 90° con la flecha roja $F$, así que la atracción tiene una componente a lo largo del movimiento y acelera al planeta; mientras se aleja, el ángulo supera los 90° y la atracción lo frena. En el perihelio y en el afelio las flechas son perpendiculares y la rapidez deja de cambiar por un instante.

Ejemplo resuelto: dos satélites de la Tierra

La Estación Espacial Internacional vuela a unos 400 km de altura, así que $r=6371+400=6771\mathrm{km}$ desde el centro de la Tierra. Con $GM=3,986\times 10^{14}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$ para la Tierra,
$v=\sqrt{\frac{3,986\times 10^{14}}{6,771\times 10^6}}\approx 7672m/s\approx 7,67km/s$
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot 6,771\times 10^6}{7672}\approx 5545\mathrm{s}$
unos 92 minutos. Allí arriba, $g=GM/r^2\approx 8,7m/{\mathrm{s}}^2$, el 89 % de su valor en el suelo.

Un satélite geoestacionario debe dar una vuelta por cada giro de la Tierra respecto a las estrellas, $T=86164\mathrm{s}$ (23 h 56 min), para quedar sobre un punto del ecuador. La tercera ley da
$r={\left(\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}\approx 4,216\times 10^7\mathrm{m}$
unos 35 800 km sobre el ecuador, con una rapidez $2\pi r/T\approx 3,07km/s$. Como comprobación, el radio es $42164/6771\approx 6,23$ veces el de la estación, así que el periodo debe ser $6,23^{3/2}\approx 15,5$ veces mayor, y en efecto $1436/92,4\approx 15,5$.

Errores frecuentes

• Creer que en órbita no hay gravedad. A 400 km, $g$ sigue valiendo 8,7 m/s²; los astronautas flotan porque ellos y la estación caen juntos.
• Medir $r$ desde la superficie. Con 400 km en lugar de 6771 km, la rapidez de la estación saldría 31,6 km/s en lugar de 7,67 km/s.
• Pensar que los satélites más pesados o las órbitas más altas necesitan más rapidez. La fórmula $v=\sqrt{GM/r}$ no contiene la masa del satélite, y el satélite geoestacionario es más lento que la estación.
• Poner la distancia máxima en la tercera ley. El cometa Halley va de 0,59 UA a 35,1 UA, así que $a=17,8\mathrm{UA}$ y $T=17,8^{3/2}\approx 75$ años, no 208 años.
• Suponer que el planeta se acelera porque la atracción es fuerte. En el perihelio la atracción es máxima, 23,7 mm/s² en la animación, pero es perpendicular a la velocidad, así que la rapidez acaba de dejar de aumentar.

Dónde aparece

Los satélites de navegación a 20 200 km de altura, con periodos de 12 horas, los satélites geoestacionarios de meteorología y televisión, las mareas y las masas de los planetas y las estrellas, deducidas de las órbitas que los rodean con la tercera ley: todo se apoya en esta lección.

La ley de las áreas es la conservación del momento angular (El momento angular y su conservación); $U=-GMm/r$ generaliza el $mgh$ de Trabajo, energía y potencia; el mismo inverso del cuadrado rige las cargas en Ley de Coulomb; y La gravedad como curvatura del espacio-tiempo parte de que todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

Avanzado

De la manzana a la Luna

Esta sección plantea la ley de la fuerza y la primera prueba de que una misma ley gobierna el suelo y el cielo. Dos masas $M$ y $m$ separadas una distancia $r$ se atraen con una fuerza de módulo $GMm/r^2$, donde $G$ es la constante de gravitación. En forma vectorial, con $M$ en el origen y $m$ en la posición $\vec{r}$,
$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$
donde $\hat{r}$ es el vector unitario que apunta de $M$ hacia $m$. El signo menos devuelve la fuerza hacia $M$: la gravedad atrae.

La primera comprobación de Newton comparó la Luna con una manzana que cae. Si la atracción se debilita como $1/r^2$, a 60 radios terrestres debe ser $60^2=3600$ veces más débil que en la superficie. La Luna está a $r=3,844\times 10^8\mathrm{m}$, unos 60 radios terrestres, y da una vuelta a la Tierra en 27,32 días ($T=2,36\times 10^6\mathrm{s}$). Para mantenerse en su circunferencia necesita la aceleración centrípeta
$a_c=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
y la ley del inverso del cuadrado predice $g/60^2=9,81/3600\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$. Los dos valores coinciden: la manzana y la Luna obedecen la misma ley.

¿Por qué se puede medir la distancia desde el centro de la Tierra? Por el teorema de la capa esférica: una capa esférica uniforme atrae a una masa exterior exactamente como si toda su masa estuviera en su centro, y no ejerce ninguna fuerza neta sobre una masa situada en su interior. Un planeta es un conjunto de capas así, unas dentro de otras, de modo que desde fuera actúa como una masa puntual. Dentro de un planeta uniforme solo tiran las capas más cercanas al centro. Su masa crece como $r^3$ mientras que su atracción por unidad de masa disminuye como $1/r^2$, así que $g$ disminuye en proporción a $r$, hasta anularse en el centro.

Una vez conocida $G$, la misma ley permite pesar la Tierra. Cavendish midió $G$ con una balanza de torsión en 1798. En la superficie, $g=GM/R^2$, donde $R$ es el radio de la Tierra, así que $M=g{R}^2/G\approx 5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$. Eso supone una densidad media de 5,5 g/cm³, el doble que la de las rocas de la superficie, de modo que el interior profundo, sobre todo el núcleo, debe de ser mucho más denso.

Áreas iguales a partir del momento angular

Kepler descubrió que la línea que une la estrella con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, de modo que el planeta va deprisa cerca de la estrella y despacio lejos de ella. Esta sección muestra que su regla es la conservación del momento angular expresada de otra forma.

Leyenda

$M$	La estrella, de masa $M$.	$\mathrm{kg}$
$r$	Distancia de la estrella al planeta.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Atracción de la estrella sobre el planeta, a lo largo del radio hacia $M$.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}dt$	El paso del planeta en el tiempo corto $dt$: la velocidad por el tiempo.	$\mathrm{m}$
$dr$	Parte del paso a lo largo del radio: el cambio de $r$.	$\mathrm{m}$
$rd\theta$	Parte del paso perpendicular al radio: un arco de radio $r$.	$\mathrm{m}$
$d\theta$	Ángulo que gira el vector de posición durante el paso.	$\mathrm{rad}$
$dA$	Área del triángulo fino que barre el vector de posición durante el paso.	${\mathrm{m}}^2$

La figura 1 amplía un paso corto de un planeta situado a la distancia $r$ de su estrella $M$. La dirección del vector de posición viene dada por el ángulo $\theta$. En un tiempo corto $dt$ el planeta se desplaza $\vec{v}dt$, la flecha azul. Divide este paso en dos partes. La parte $dr$ a lo largo del radio solo cambia la distancia; no barre área, porque desliza el planeta sobre la recta en la que ya se encuentra. La parte perpendicular al radio es el arco corto $rd\theta$, que el planeta recorre mientras el vector de posición gira el pequeño ángulo $d\theta$. Solo esta parte barre área nueva: el triángulo dorado, de base $r$ y altura $rd\theta$, así que $dA=\frac{1}{2}r\cdot rd\theta$.

Al dividir entre $dt$ se obtiene la velocidad areolar, el área barrida por unidad de tiempo: $dA/dt=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, donde $\dot{\theta }=d\theta /dt$ es el ritmo al que gira el vector de posición. La rapidez del planeta en dirección perpendicular al radio es $r\dot{\theta }$, así que su momento angular respecto a la estrella tiene módulo $L=mr\cdot r\dot{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }$. Por tanto,
$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}$

Fíjate ahora en la atracción $\vec{F}$ de la figura 1: apunta a lo largo del radio, hacia $M$. Por eso el momento de la fuerza $\vec{r}\times \vec{F}$ es nulo, ya que el producto vectorial de dos vectores paralelos se anula, y sin momento de la fuerza el momento angular $\vec{L}$ no puede cambiar. Su módulo $L$ fija la velocidad areolar: esa es la segunda ley de Kepler. Su dirección, perpendicular a la vez a $\vec{r}$ y a $\vec{v}$, tampoco cambia, así que la órbita permanece en un plano.

Nada de esto ha usado el $1/r^2$. Las áreas iguales valen para toda fuerza central, es decir, toda fuerza dirigida a lo largo de la recta que une el cuerpo con un centro fijo. Por eso la segunda ley de Kepler pone a prueba la dirección de la fuerza, no cómo depende su intensidad de la distancia.

El planeta de la animación lo concreta. Gira alrededor de una estrella de una masa solar en una elipse de semieje mayor $a=1\mathrm{UA}$ (la mitad del diámetro más largo) y excentricidad $e=0,5$ (una medida de lo achatada que está la elipse: 0 para una circunferencia, cerca de 1 para una elipse larga y estrecha). Su semieje menor, la mitad del diámetro más corto, es $b=a\sqrt{1-e^2}\approx 0,866\mathrm{UA}$, y su periodo, como muestra más abajo la tercera ley, es de un año. En la vista experta cada sector dorado se barre en un octavo del periodo, unos 45,7 días, así que ambos tienen un octavo del área de la elipse, $\pi ab/8\approx 0,34\mathrm{U}{\mathrm{A}}^2$. El sector del perihelio, el punto más cercano a la estrella, es corto y ancho; el del afelio, el punto más lejano, largo y estrecho.

En los dos extremos del eje mayor la velocidad es perpendicular al radio, así que allí $L/m=rv$ exactamente. Con las rapideces que se obtienen más abajo de la ecuación vis viva, 51,6 km/s a 0,5 UA y 17,2 km/s a 1,5 UA, resulta $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2\approx 25,8\mathrm{UA}\cdot km/s$ en ambos extremos, como debe ser.

La energía y el movimiento radial

El momento angular por sí solo no dice cuánto se acerca el planeta a la estrella ni cuánto se aleja de ella. La energía sí lo dice, y reduce la órbita a un problema unidimensional en la distancia $r$.

Leyenda

$U_{eff}$	Energía potencial efectiva del movimiento radial: $L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$.	$\mathrm{J}$
$E$	Energía total: constante a lo largo de la órbita, negativa para una órbita ligada; dibujada como un nivel horizontal.	$\mathrm{J}$
$r$	Distancia a la estrella.	$\mathrm{m}$
$r_{\min }$	Distancia del perihelio, $a(1-e)$: el punto de retorno interior, donde $\dot{r}=0$.	$\mathrm{m}$
$r_{\max }$	Distancia del afelio, $a(1+e)$: el punto de retorno exterior, donde $\dot{r}=0$.	$\mathrm{m}$
$K_r$	Energía cinética radial $\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$: la separación entre $E$ y $U_{eff}$.	$\mathrm{J}$
$\frac{L^2}{2m{r}^2}$	Término centrífugo: la energía cinética del movimiento transversal a la distancia $r$.	$\mathrm{J}$
$U$	Energía potencial gravitatoria, $-GMm/r$.	$\mathrm{J}$

Empieza por la energía potencial. Elige $U=0$ cuando los dos cuerpos están infinitamente alejados. Entonces $U$ a la distancia $r$ es el trabajo que realiza la gravedad sobre $m$ al llevarla desde $r$ hasta el infinito, ${\int }_r^{\infty }(-GMm/r^{\prime 2})d{r}^{\prime }$, lo que da
$U=-\frac{GMm}{r}$
Es negativa en todas partes y sube hacia cero a gran distancia: es la curva discontinua inferior, $U$, de la figura 2.

Sigue con la energía cinética. Descompón la velocidad en una parte radial $\dot{r}$, el ritmo al que cambia la distancia, y una parte transversal $r\dot{\theta }$. De $L=m{r}^2\dot{\theta }$ se deduce que la parte transversal vale $L/(mr)$, así que su energía cinética es $L^2/(2m{r}^2)$. La energía total, que se conserva, es entonces
$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$

Como $L$ es constante, los dos últimos términos dependen solo de $r$, así que pueden tratarse juntos como una única energía potencial del movimiento radial: la energía potencial efectiva $U_{eff}$, la curva morada de la figura 2. Es la suma de las dos curvas discontinuas. La superior, el término centrífugo $L^2/(2m{r}^2)$, sube con fuerza cuando $r$ disminuye; actúa como una barrera centrífuga que impide que el planeta caiga sobre la estrella. La inferior es $U$. De cerca gana la barrera, de lejos gana la gravedad, y entre medias la suma forma un pozo.

Lee ahora la figura como el perfil de un valle por el que rueda una bola. La energía $E$ es el nivel horizontal discontinuo, el mismo para todo $r$. La separación entre ese nivel y la curva morada es la energía cinética radial $K_r=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$. No puede ser negativa, así que el planeta solo puede estar donde la curva queda por debajo del nivel.

Para $E<0$, como en la figura, el nivel corta la curva en dos puntos de retorno, $r_{\min }$ y $r_{\max }$. Allí $K_r=0$, así que $\dot{r}=0$: la distancia deja de disminuir o de aumentar y cambia de sentido. Por tanto, la distancia oscila entre $r_{\min }$, el perihelio, y $r_{\max }$, el afelio. Si el nivel apenas toca el fondo del pozo, los dos puntos de retorno se juntan y la órbita es una circunferencia. Para $E\ge 0$ el nivel solo encuentra la curva una vez, en la barrera, y el planeta escapa al infinito.

La forma de la órbita

La figura 2 da el intervalo de distancias, pero no la curva que traza el planeta. Para hallar la curva, reescribe la ecuación del movimiento radial en función del ángulo $\theta$ en lugar del tiempo.

A lo largo del radio, la segunda ley de Newton se escribe $m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-GMm/r^2$; el término $-r{\dot{\theta }}^2$ es la aceleración centrípeta que se debe al giro del vector de posición. Dos cambios hacen que la ecuación se pueda resolver. Primero, usa $u=1/r$ como variable. Segundo, cambia el tiempo por el ángulo con $\dot{\theta }=L/(m{r}^2)=(L/m)u^2$. Entonces $\dot{r}=-(L/m)du/d\theta$ y $\ddot{r}=-(L/m{)}^2{u}^2{d}^{2}u/d{\theta }^2$, y tras dividir entre $-m(L/m{)}^2{u}^2$ la ley se vuelve lineal:
$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=\frac{GM{m}^2}{L^2}$

Es la ecuación de un oscilador armónico sometido a una fuerza constante, así que su solución es esa constante más un coseno: $u=(1+e\cos \theta )/p$, con $p=L^2/(GM{m}^2)$ y $\theta$ medido desde el perihelio. En función de $r$,
$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$
que es una cónica con la estrella en un foco: una elipse si $e<1$ ($E<0$), una parábola si $e=1$ ($E=0$) y una hipérbola si $e>1$ ($E>0$). Para la elipse, el perihelio en $\theta =0$ y el afelio en $\theta =\pi$ dan $r_{\min }=p/(1+e)$ y $r_{\max }=p/(1-e)$. Su suma es el eje mayor $2a$, así que $p=a(1-e^2)=b^2/a$, $r_{\min }=a(1-e)$ y $r_{\max }=a(1+e)$.

El inverso del cuadrado es especial. Según el teorema de Bertrand, solo dos fuerzas dan órbitas ligadas que siempre se cierran: la del inverso del cuadrado y la fuerza lineal de un muelle. Con cualquier otra ley de potencias, una órbita ligada no se cierra y su perihelio se desplaza un poco en cada vuelta.

La energía fija el tamaño de la elipse. En cualquiera de los puntos de retorno $\dot{r}=0$, así que $E=L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$. Multiplicada por $r^2$, esta relación es una ecuación de segundo grado, $E{r}^2+GMmr-L^2/(2m)=0$, cuyas dos raíces son $r_{\min }$ y $r_{\max }$. Las raíces de una ecuación de segundo grado suman el coeficiente central cambiado de signo y dividido entre el primero, así que $r_{\min }+r_{\max }=-GMm/E$. Esa suma es $2a$, luego
$E=-\frac{GMm}{2a}$
La energía fija el tamaño $a$; para un $a$ dado, el momento angular fija $p$ y, con él, la forma $e$.

Igualando esto con la energía en cualquier punto de la órbita, $\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$, y dividiendo entre $m/2$, se obtiene la ecuación vis viva, que la animación usa para su lectura de rapidez:
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
En una circunferencia, $r=a$ y $v^2=GM/r$; a 1 UA del Sol esto da 29,8 km/s, la rapidez orbital de la Tierra. Para el planeta de la animación, con $a=1\mathrm{UA}$, la rapidez es $29,8\sqrt{2/r-1}km/s$ con $r$ en UA: 51,6 km/s en el perihelio y 17,2 km/s en el afelio.

Tercera ley de Kepler

La tercera ley relaciona el periodo con el tamaño de la órbita y, leída al revés, pesa el cuerpo central.

En un periodo, el vector de posición barre la elipse entera, de área $\pi ab$, con la velocidad areolar constante $L/(2m)$, así que $T=2\pi abm/L$. Al elevar al cuadrado, $T^2=4{\pi }^2{a}^2{b}^2{m}^2/L^2$. La ecuación de la órbita da $L^2=GM{m}^{2}p$, y $p=b^2/a$, así que $L^2=GM{m}^2{b}^2/a$. Al sustituir, $b^2$ y $m^2$ se cancelan:
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
El periodo depende solo de $a$, no de la forma: una circunferencia de 1 UA de radio y la elipse de la animación, con $a=1\mathrm{UA}$ y $e=0,5$, tardan ambas un año.

Leída al revés, la ley pesa el Sol. La órbita de la Tierra, $a=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$ y $T=3,156\times 10^7\mathrm{s}$, da $GM=4{\pi }^2{a}^3/T^2\approx 1,327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$ y, por tanto, una masa solar de $1,99\times 10^{30}\mathrm{kg}$.

El tiempo en la órbita: la ecuación de Kepler

Las leyes vistas hasta ahora dan la forma y el periodo, pero no dónde está el planeta en un instante dado. Para eso hace falta un ángulo más, la anomalía excéntrica, y una ecuación para él.

Leyenda

$O$	Centro de la elipse y de la circunferencia discontinua.
$M$	La estrella, en un foco de la elipse; su masa es $M$.	$\mathrm{kg}$
$a$	Semieje mayor: del centro al extremo del eje mayor; también es el radio de la circunferencia discontinua.	$\mathrm{m}$
$b$	Semieje menor: del centro al extremo del eje menor.	$\mathrm{m}$
$ae$	Distancia del centro a la estrella: la excentricidad $e$ por $a$.	$\mathrm{m}$
$r$	Distancia de la estrella al planeta.	$\mathrm{m}$
$\psi$	Anomalía excéntrica: el ángulo en $O$ desde el eje dirigido hacia el perihelio hasta el punto de la circunferencia justo encima del planeta.	$\mathrm{rad}$

La figura 3 muestra la elipse con su centro $O$, su semieje mayor $a$ y su semieje menor $b$. La estrella $M$ está en un foco, a una distancia $ae$ de $O$; el perihelio es el extremo del eje mayor del lado de la estrella. Alrededor de $O$ traza la circunferencia discontinua de radio $a$, que toca la elipse en los dos extremos del eje mayor. Desde el planeta traza una recta perpendicular al eje mayor, la línea fina discontinua, hasta que corte la circunferencia. La recta que va de $O$ a ese punto de la circunferencia forma el ángulo $\psi$ con el eje dirigido hacia el perihelio: ese ángulo es la anomalía excéntrica.

Comprimir la circunferencia hacia el eje por el factor $b/a$ la convierte en la elipse, así que, medido desde $O$, el planeta está en $(a\cos \psi ,b\sin \psi )$, mientras que la estrella está en $(ae,0)$. El teorema de Pitágoras da la distancia entre ellos y, con $b^2=a^2(1-e^2)$, los términos se agrupan en un cuadrado perfecto:
$r^2=a^2(\cos \psi -e{)}^2+b^2{\sin }^2\psi =a^2(1-e\cos \psi {)}^2$
es decir, $r=a(1-e\cos \psi )$: mínima, $a(1-e)$, en $\psi =0$, y máxima, $a(1+e)$, en $\psi =\pi$.

Ahora el tiempo. Por la ley de las áreas, el tiempo $t$ transcurrido desde el perihelio es proporcional al área barrida desde entonces, y $t/T$ es esa área dividida entre la de toda la elipse, $\pi ab$. El área es más fácil de hallar en la circunferencia y comprimir después. En la circunferencia, la región barrida desde el perihelio hasta el punto de ángulo $\psi$, vista desde la estrella, es el sector con vértice en $O$ y ángulo $\psi$, de área $\frac{1}{2}{a}^2\psi$, menos el triángulo de vértices $O$, la estrella y ese punto. Este triángulo tiene base $ae$ y altura $a\sin \psi$, así que su área es $\frac{1}{2}{a}^{2}e\sin \psi$. Comprimir por el factor $b/a$ multiplica todas las áreas por ese mismo factor, así que el área barrida en la elipse es $\frac{1}{2}ab(\psi -e\sin \psi )$. Al dividir entre $\pi ab$ y multiplicar por $2\pi$ se obtiene la ecuación de Kepler:
$\frac{2\pi t}{T}=\psi -e\sin \psi$

Dado $\psi$, el tiempo sale enseguida; dado el tiempo, no hay solución en forma cerrada para $\psi$. La animación halla $\psi$ con la iteración de Newton en cada uno de sus pasos de tiempo y, después, la posición. La gráfica de $r(t)$ de la vista experta muestra el resultado: una cresta ancha y plana en 1,5 UA y un valle estrecho y agudo en 0,5 UA. El planeta cruza el eje menor en $\psi =\pi /2$ y en $\psi =3\pi /2$; al llevar estos valores a la ecuación de Kepler se ve que pasa una fracción $\frac{1}{2}+e/\pi \approx 0,66$ de su año del lado lejano del eje menor, unos 241 días, frente a 124 días del lado cercano.

Problema resuelto: una órbita de transferencia

Las órbitas de Kepler son también las que siguen las naves espaciales. La ruta de dos impulsos más económica entre dos órbitas circulares alrededor de la misma estrella es una transferencia de Hohmann: media elipse que toca ambas circunferencias.

Leyenda

$M$	La estrella, en el centro de ambas circunferencias; su masa es $M$.	$\mathrm{kg}$
$r_1$	Radio de la órbita circular interior, de donde parte la nave.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Radio de la órbita circular exterior, el destino.	$\mathrm{m}$
$\Delta v_1$	Primer impulso, hacia delante en la circunferencia interior: de la rapidez circular a la rapidez de perihelio de la elipse.	$m/s$
$\Delta v_2$	Segundo impulso, hacia delante en el afelio, el extremo lejano de la elipse: de la rapidez de afelio a la rapidez circular.	$m/s$

La figura 4 la dibuja a escala para $r_1=0,5\mathrm{UA}$ y $r_2=1,5\mathrm{UA}$, de modo que la elipse de transferencia es la elipse de la animación. La nave parte de la circunferencia interior. Un impulso hacia delante $\Delta v_1$ la pone en la elipse cuyo perihelio toca la circunferencia interior y cuyo afelio toca la exterior. Por tanto, su eje mayor es $r_1+r_2$, así que $a=(r_1+r_2)/2=1\mathrm{UA}$. Solo se recorre la mitad continua de la elipse; en su extremo lejano, un segundo impulso hacia delante $\Delta v_2$ hace circular la órbita.

El primer impulso. En una circunferencia la ecuación vis viva da $v=\sqrt{GM/r}$, así que la rapidez circular en $r_1$ es $29,8\sqrt{2}\approx 42,1km/s$. La elipse de transferencia necesita la rapidez de perihelio de 51,6 km/s, así que $\Delta v_1=9,5km/s$.

El segundo impulso. Media órbita después, tras $T/2\approx 183$ días, la nave llega al afelio con 17,2 km/s. Eso queda por debajo de la rapidez circular allí, $29,8/\sqrt{1,5}\approx 24,3km/s$, así que $\Delta v_2=7,1km/s$.

Los dos impulsos fueron hacia delante, 16,6 km/s en total, y sin embargo la nave termina 17,8 km/s más lenta que al empezar. La energía resuelve la paradoja. Por kilogramo, una órbita circular tiene la energía total $E=-GM/(2r)$, la energía cinética $GM/(2r)=-E$ y la energía potencial $-GM/r=2E$. De $r_1$ a $r_2$ la energía total sube de $-8,87\times 10^8$ a $-2,96\times 10^{8}J/kg$, así que el motor aporta $5,91\times 10^{8}J/kg$. La energía potencial aumenta el doble, $1,18\times 10^{9}J/kg$, y la cinética disminuye $5,91\times 10^{8}J/kg$ para compensar la diferencia. Las órbitas más altas son más lentas, pero guardan más energía.

La misma ruta de la Tierra a Marte, de 1 UA a 1,52 UA, tiene $a\approx 1,26\mathrm{UA}$. Con $T$ en años y $a$ en UA, la tercera ley se escribe $T=a^{3/2}$, así que el viaje dura $\frac{1}{2}\cdot 1,26^{3/2}\approx 0,707$ años, unos 258 días.

Más allá de dos masas puntuales

Los sistemas reales difieren de una masa puntual que gira alrededor de otra fija en tres aspectos: los dos cuerpos se mueven, los cuerpos tienen tamaño y suele haber más de dos.

Dos cuerpos giran alrededor de su centro de masas común, y su órbita relativa obedece las mismas leyes con $M$ sustituida por $M+m$: $T^2=4{\pi }^2{a}^3/(G(M+m))$. El centro de masas de la Tierra y la Luna está a 4670 km del centro de la Tierra, dentro de ella; el del Sol y Júpiter, a 1,07 radios solares del centro del Sol, justo por encima de su superficie. El pequeño bamboleo de una estrella alrededor de un punto así delata planetas alrededor de otras estrellas.

Un cuerpo de tamaño finito también nota cómo cambia el campo a lo largo de él. El campo $GM/d^2$ de un cuerpo de masa $M$ a la distancia $d$ cambia, a lo largo del radio terrestre $R$, aproximadamente en $R$ multiplicado por su ritmo de variación con la distancia, es decir, en $2GMR/d^3$. Para la Luna son $1,1\times 10^{-6}m/{\mathrm{s}}^2$: la aceleración de marea, que estira los océanos en dos abultamientos, uno hacia la Luna y otro en la cara opuesta. El campo del Sol en la Tierra es unas 180 veces el de la Luna, y sin embargo su efecto de marea es solo de alrededor de la mitad del lunar, porque la diferencia disminuye como $1/d^3$ y el Sol está unas 390 veces más lejos.

Los demás planetas perturban todas las órbitas; hacen avanzar el perihelio de Mercurio unos 530″ por siglo. El abultamiento ecuatorial de la Tierra hace girar los planos de las órbitas de los satélites, cerca de 1° al día en las órbitas casi polares elegidas para seguir el paso del Sol. Para tres o más cuerpos no existe una fórmula general, y las tablas planetarias salen de la integración numérica.

Límites de validez

La ley del inverso del cuadrado se ha confirmado desde separaciones inferiores a una décima de milímetro hasta distancias planetarias, y la igualdad de las masas gravitatoria e inercial, con una precisión de alrededor de una parte en $10^{15}$. La gravedad newtoniana es el límite de campo débil y movimiento lento de la relatividad general. El tamaño de las correcciones lo fija el número puro $GM/(r{c}^2)$, donde $c$ es la velocidad de la luz: unos $7\times 10^{-10}$ en la superficie de la Tierra y $1\times 10^{-8}$ a 1 UA del Sol.

Aun siendo tan pequeñas, las correcciones se miden. El perihelio de Mercurio avanza otros 43″ por siglo; el planeta de la animación, con $a=1\mathrm{UA}$ y $e=0,5$, giraría unos 5″ por siglo. Los relojes de los satélites de navegación, a 20 200 km de altura, adelantan unos 46 microsegundos al día respecto a los del suelo porque allí la gravedad es más débil; su velocidad orbital les resta unos 7, lo que deja una ganancia neta de unos 38. Cerca de una estrella de neutrones, donde $GM/(r{c}^2)\approx 0,2$, y en el horizonte de un agujero negro, donde llega a 0,5, la ley de Newton falla por completo.

La gravedad es, además, extremadamente débil: dos electrones se repelen eléctricamente con una fuerza unas $4\times 10^{42}$ veces mayor que la de su atracción gravitatoria. Domina el cielo solo porque la masa tiene un único signo, de modo que sus efectos siempre se suman, mientras que las cargas positivas y negativas de los cuerpos grandes se compensan. En la longitud de Planck, unos $1,6\times 10^{-35}\mathrm{m}$, la gravedad y la mecánica cuántica importarían a la vez, y ninguna teoría comprobada cubre ese régimen.

Lo que viene después

La ley de las áreas es la conservación del momento angular que aparece en El momento angular y su conservación, y $U=-GMm/r$ es la forma general del $mgh$ de Trabajo, energía y potencia. El mismo inverso del cuadrado rige las cargas en Ley de Coulomb, su imagen de campo continúa en Campo y potencial eléctricos, y el electrón se mueve en una órbita de Kepler con momento angular cuantizado en Modelos atómicos: el átomo de Bohr.

Dentro de una Tierra uniforme, $g\propto r$: una atracción recuperadora que crece con la distancia al centro, que es justo la condición de la oscilación estudiada en Movimiento armónico simple. Un tren en un túnel sin rozamiento que atravesara el centro tardaría unos 42 minutos en cruzarlo, la mitad del periodo de 84 minutos de una órbita rasante a la superficie. Por último, la igualdad de las masas gravitatoria e inercial es el punto de partida de La gravedad como curvatura del espacio-tiempo, donde las órbitas pasan a ser los caminos más rectos a través de un espacio-tiempo curvo.