Atrito e plano inclinado

Iniciante

Atrito é a força que se opõe ao deslizamento de uma superfície sobre outra. Ele atua ao longo das superfícies, contra o deslizamento, ou contra o deslizamento que um objeto está prestes a fazer.

Empurre um sofá pesado com cuidado e ele não se move: o chão empurra de volta com a mesma força, pelo atrito estático. Empurre cada vez mais forte, e em algum momento o atrito estático atinge seu limite e o sofá começa a deslizar. Depois que ele se move, entra o atrito cinético; ele costuma ser um pouco menor, por isso é mais difícil começar a mover um sofá do que mantê-lo em movimento.

Verificação rápida: você empurra uma caixa de modo que ela deslize com velocidade constante. Como seu empurrão se compara com o atrito? (São iguais: velocidade constante significa força resultante nula.)

Qual é a intensidade do atrito? Ele cresce com a força com que as superfícies são pressionadas, a força normal $N$, e depende dos materiais, por meio de um número chamado coeficiente de atrito $\mu$. Para o deslizamento, $f=\mu N$. Uma caixa de 10 kg (peso de cerca de 98 N) deslizando sobre um piso com $\mu =0,3$ sente cerca de 29 N de atrito; coloque uma segunda caixa em cima e o atrito dobra.

Verificação rápida: a borracha numa estrada seca tem $\mu$ perto de 0,8; um patim de aço sobre gelo, perto de 0,02. Qual precisa de maior distância para parar? (O patim.)

Numa rampa, parte do peso puxa o objeto morro abaixo. Na animação, um bloco desliza por uma rampa de 30° e acelera. A seta do peso aponta verticalmente para baixo, a seta de apoio (a força normal) aponta para fora da superfície, e a pequena seta de atrito aponta para cima da rampa. O atrito segura o bloco, mas numa rampa tão íngreme não consegue pará-lo.

Intermediário

Força normal e as duas leis do atrito

Quando duas superfícies se tocam, a força entre elas tem duas partes. A força normal $N$ é perpendicular à superfície e só tem o tamanho necessário para impedir que o objeto afunde. O atrito $f$ atua ao longo da superfície e se opõe ao deslizamento. Ambas são medidas em newtons. Quanto atrito uma dada força normal pode produzir é determinado pelo coeficiente de atrito $\mu$, um número puro que depende dos dois materiais.

Enquanto as superfícies não escorregam, o atrito é estático: ele assume a intensidade e a direção que impedem o escorregamento, até um teto:
$f_s\le {\mu }_{s}N$
Uma caixa sobre um piso plano, que ninguém empurra, não sente atrito algum. Empurre-a com 50 N e o atrito responde com 50 N; só um empurrão acima do teto a solta.

Quando as superfícies deslizam, o atrito é cinético. Ele aponta contra o deslizamento e tem um valor definido:
$f_k={\mu }_{k}N$
Geralmente ${\mu }_k$ fica um pouco abaixo de ${\mu }_s$, por isso é mais difícil começar a mover um sofá do que mantê-lo em movimento. Valores típicos são 0,8 para borracha em estrada seca, 0,3 para madeira sobre madeira e 0,02 para um patim sobre gelo; nenhuma das duas leis depende muito da área de contato ou da velocidade.

Decompondo o peso numa rampa

Numa rampa de ângulo $\theta$, tome um eixo ao longo da rampa, positivo para baixo, e outro perpendicular a ele. Então $N$ e $f$ ficam sobre os eixos, e apenas o peso $mg$ precisa ser decomposto. Inclinar a superfície em $\theta$ inclina sua perpendicular do mesmo ângulo, de modo que o peso forma com ela o ângulo $\theta$. A parte ao longo da rampa puxa o bloco para baixo; a parte transversal o pressiona contra a superfície e é equilibrada pela força normal:

• $F_{\parallel }=mg\sin \theta$
• $N=mg\cos \theta$

Verifique os extremos: num piso plano, $\theta =0$, nada puxa ao longo da superfície; numa parede vertical, $\theta =90^{\circ }$, nada a pressiona. Na rampa de 30° da animação, $\sin 30^{\circ }=0,5$ e $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$: metade do peso puxa para baixo, e $N$ é 87% do peso, não todo ele.

Segunda lei de Newton ao longo da rampa

Para um bloco que desliza para baixo, o atrito cinético ${\mu }_{k}mg\cos \theta$ aponta para cima da rampa. A segunda lei de Newton ao longo da rampa, $ma=mg\sin \theta -{\mu }_{k}mg\cos \theta$, tem a massa em todos os termos, então ela se cancela:
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
Um bloco pesado e um leve, do mesmo material, deslizam lado a lado. Para um bloco que sobe, o atrito também aponta para baixo da rampa, e o bloco desacelera com $g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$.

Um bloco em repouso começa a deslizar assim que a força $mg\sin \theta$ supera o máximo que o atrito estático pode dar, ${\mu }_{s}mg\cos \theta$. Dividindo ambos por $mg\cos \theta$, resta
$\tan \theta >{\mu }_s$
A massa sai da equação novamente. O ângulo limite, em que $\tan {\theta }_0={\mu }_s$, é o ângulo de repouso.

Exemplo resolvido: o bloco da animação

O bloco desliza do repouso por uma rampa de 30° com ${\mu }_k=0,2$. Não é preciso massa, mas tomemos $m=2\mathrm{kg}$ para ver as forças em newtons. O peso é $mg=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, logo
$F_{\parallel }=19,62\cdot 0,5=9,81\mathrm{N},N=19,62\cdot 0,866\approx 16,99\mathrm{N}$
$f_k=0,2\cdot 16,99\approx 3,40\mathrm{N},a=\frac{9,81-3,40}{2}\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
A fórmula dá o mesmo sem a massa: $a=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$, o valor impresso sob ela na animação, contra $g\sin 30^{\circ }\approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$ sem atrito.

Com $a$ constante, vale a cinemática em linha reta. Após 1 s o bloco se move a 3,21 m/s e percorreu $\frac{1}{2}\cdot 3,21\cdot 1^2\approx 1,60\mathrm{m}$; após 2 s, move-se a 6,41 m/s e percorreu 6,41 m. Estes são os contornos cinza. O deslizamento tem 7,8 m de comprimento e dura cerca de 2,2 s, e os indicadores terminam perto de $v=7,1m/s$ e $s=7,8\mathrm{m}$, como prevê $v^2=2as$. Sem atrito, o bloco deixaria a mesma rampa a 8,7 m/s.

Exemplo resolvido: uma caixa numa rampa de carga

Uma caixa de 30 kg repousa sobre uma rampa inclinada em 20°, com ${\mu }_s=0,5$ e ${\mu }_k=0,4$. Ela fica parada? E que empurrão ao longo da rampa a move para cima com velocidade constante?

Seu peso é $30\cdot 9,81=294,3\mathrm{N}$, logo $F_{\parallel }=294,3\cdot \sin 20^{\circ }\approx 100,7\mathrm{N}$ e $N=294,3\cdot \cos 20^{\circ }\approx 276,6\mathrm{N}$. Como $\tan 20^{\circ }\approx 0,36$ está abaixo de 0,5, a caixa fica parada, e o atrito estático iguala a componente que puxa para baixo: 100,7 N para cima da rampa, não o teto ${\mu }_{s}N\approx 138,3\mathrm{N}$.

Com velocidade constante subindo a rampa, a força resultante é zero. Agora o atrito se opõe ao movimento para cima, então aponta para baixo da rampa, junto com a componente que puxa para baixo:
$F=mg(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=100,7+0,4\cdot 276,6\approx 211,3\mathrm{N}$
Erguer a caixa verticalmente exigiria seus 294 N inteiros; uma rampa sem atrito reduziria isso para 100,7 N, e o atrito eleva para 211 N.

Lendo o diagrama de forças

Cada seta de força na animação usa a mesma escala, então o diagrama pode ser lido como números. A seta verde $mg$ é a diagonal de um retângulo cujos lados são suas duas componentes verdes finas: a componente ao longo da rampa é exatamente a metade de $mg$, a componente perpendicular à rampa é 87% dela, e a seta azul $N$ anula esta última. A pequena seta dourada $f$, um quinto de $N$, anula cerca de um terço da componente que puxa para baixo, deixando $0,5mg-0,173mg\approx 0,327mg$ como força resultante.

Somadas, $N$ e $f$ dão a força total da rampa sobre o bloco. Um bloco em repouso precisa que ela aponte verticalmente para cima e anule o peso; para o bloco que desliza, o atrito não basta, e a sobra aponta para baixo da rampa. Os indicadores mostram a consequência: $v$ ganha 3,21 m/s a cada segundo, enquanto $s$ cresce 1,60 m no primeiro segundo e 4,81 m no seguinte.

Erros comuns

• A força normal nem sempre é o peso: na rampa de 30°, o bloco de 2 kg tem $N\approx 16,99\mathrm{N}$, não 19,62 N.
• O atrito estático não é ${\mu }_{s}N$ por padrão: a caixa em repouso na rampa de 20° sente 100,7 N, não o máximo de 138,3 N, e uma caixa não empurrada num piso plano não sente nenhum.
• O atrito nem sempre aponta para cima da rampa. Ele se opõe ao deslizamento, ou ao deslizamento prestes a ocorrer: para a caixa empurrada para cima na rampa ele aponta para baixo, então o empurrão precisa de 211,3 N.
• Blocos mais pesados não deslizam mais rápido: a massa se cancela, então um bloco de 20 kg do mesmo material também acelera a 3,21 m/s² na rampa da animação.
• Somar o atrito à componente que puxa para baixo, para um bloco que desliza para baixo, dá $9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$, que é quão rápido um bloco que sobe desacelera. Confira seno contra cosseno com $\theta =0$: num piso plano, nada puxa ao longo da superfície.

Onde você encontra isso

Um pneu rolando tem aderência por atrito estático, porque sua área de contato não desliza na estrada; freios antibloqueio mantêm as rodas girando, para que o atrito cinético, mais fraco, nunca assuma. Rampas para cadeira de rodas têm inclinação de cerca de 1 para 12, menos de 5°, para manter pequeno o esforço necessário. Montes de areia ou cascalho ficam em seu ângulo de repouso, cerca de 30–40°, e a maioria das avalanches de neve começa em encostas de 30–45°. A seguir, Trabalho, energia e potência mostra para onde vai a energia absorvida pelo atrito, Movimento circular mostra o atrito segurando um carro numa curva, e Máquinas simples: alavancas, polias e engrenagens trata a rampa, a cunha e o parafuso como máquinas.

Avançado

A rampa lisa

Comece sem atrito, porque a rampa lisa fixa as duas partes do peso que todas as equações seguintes usam. Um bloco de massa $m$ repousa sobre um plano inclinado de ângulo $\theta$ com a horizontal. Seu peso $m\vec{g}$ aponta verticalmente para baixo. Decompõe-se em uma parte ao longo da rampa e outra transversal, ao longo da normal (a reta perpendicular à superfície). O peso forma com a normal o ângulo $\theta$, de modo que a parte ao longo da rampa é $mg\sin \theta$ e a parte que pressiona a superfície é $mg\cos \theta$. O bloco não afunda na rampa nem se descola dela, então a rampa empurra de volta com a força normal $N=mg\cos \theta$.

A parte ao longo da rampa também segue só da energia. Empurre lentamente um peso $W$ para cima de uma rampa sem atrito de comprimento $L$ e altura $h$. A força $F$ realiza o trabalho $FL$, e tudo isso se torna energia potencial $Wh$, logo $F=Wh/L=W\sin \theta$.

Simon Stevin chegou ao mesmo resultado em 1586 com um experimento mental: um laço fechado de contas, pendurado sobre uma cunha triangular e caindo livremente por baixo. O laço nunca começa a circular sozinho, pois isso seria movimento perpétuo, e sua parte pendurada é simétrica e se equilibra. Logo, as muitas contas na face longa e suave devem puxar ao longo dela tanto quanto as poucas contas na face curta e íngreme. O número de contas numa face é proporcional ao seu comprimento $L$, então a força de uma conta é proporcional a $1/L$. As duas faces sobem a mesma altura $h$, então essa força é proporcional a $h/L$, que é $\sin \theta$.

Dois tipos de atrito

Agora torne as superfícies rugosas. O atrito é a parte da força de contato que está ao longo da superfície, e ocorre em dois tipos que obedecem a regras diferentes. Distinguir um do outro decide cada problema a seguir.

Quando as superfícies deslizam uma sobre a outra, o atrito cinético é uma força definida. Seu valor é ${\mu }_{k}N$, onde o coeficiente cinético ${\mu }_k$ é um número puro para o par de materiais e, em primeira aproximação, não depende da velocidade de deslizamento. Ele aponta contra a velocidade $\vec{v}$ de uma superfície em relação à outra. Dividindo $\vec{v}$ pelo seu comprimento $|\vec{v}|$ obtém-se um vetor unitário na direção do movimento, logo
${\vec{f}}_k=-{\mu }_{k}N\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Quando as superfícies não deslizam, o atrito estático é uma força de vínculo, como a força normal. Seu valor e sua direção no plano de contato são aqueles que impedem o escorregamento. A única lei é um teto, definido pelo coeficiente estático ${\mu }_s$:
$|{\vec{f}}_s|\le {\mu }_{s}N$

Para a maioria dos pares, ${\mu }_s>{\mu }_k$. O atrito, portanto, não é função da velocidade: em $v=0$ ele pode assumir qualquer valor até ${\mu }_{s}N$, e no instante em que o deslizamento começa salta para ${\mu }_{k}N$.

Na rampa, meça $x$ ao longo da rampa para baixo, de modo que $\ddot{x}$ seja a aceleração para baixo. Um bloco que desliza para baixo sente atrito para cima da rampa, e a segunda lei de Newton ao longo da rampa, dividida por $m$, dá
$\ddot{x}=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
Um bloco que sobe sente atrito para baixo da rampa, somando-se à gravidade:
$\ddot{x}=g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$
Esse $\ddot{x}$ é positivo enquanto a velocidade $\dot{x}$ é negativa, então desacelera o bloco. Um bloco em repouso precisa do atrito estático $mg\sin \theta$ para cima da rampa, que fica abaixo do teto ${\mu }_{s}mg\cos \theta$ exatamente quando $\tan \theta \le {\mu }_s$; então o bloco permanece em repouso.

Uma consequência é fácil de passar despercebida. Se $\tan \theta <{\mu }_k$, a primeira equação dá um $\ddot{x}$ negativo, então um bloco lançado para baixo desacelera e para. Ele fica então preso pelo atrito estático: o atrito interrompe o movimento, mas nunca empurra o bloco de volta para cima.

O atrito estático se ajusta à força aplicada

Legenda

$f$	Atrito ao longo da rampa, positivo para cima da rampa.	$\mathrm{N}$
$F$	Puxão ao longo da rampa, positivo para cima da rampa; um valor negativo puxa para baixo da rampa.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{s}N$	Atrito estático máximo possível: o teto tracejado que a reta não pode cruzar.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{k}N$	Intensidade do atrito cinético assim que o bloco desliza.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Componente do peso ao longo da rampa: o puxão em que o atrito é zero.	$\mathrm{N}$
$F_1$	Menor puxão em que o bloco permanece em repouso, $mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$; aqui negativo.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Maior puxão em que o bloco permanece em repouso, $mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$.	$\mathrm{N}$
$f_s$	Atrito estático: o necessário para equilibrar as outras forças, $mg\sin \theta -F$.	$\mathrm{N}$
$f_k$	Atrito cinético, sempre contra o deslizamento: aqui $-{\mu }_{k}N$, onde o bloco desliza para cima da rampa.	$\mathrm{N}$

Esta seção mostra a lei estática em ação: o tamanho e a direção do atrito estático são determinados pelas outras forças, não por uma fórmula própria. A Figura 1 acompanha o atrito $f$ sobre um bloco que repousa sozinho numa rampa suave, com $\tan \theta <{\mu }_s$, enquanto uma força de puxão $F$ ao longo da rampa é aumentada lentamente. Tanto $F$ quanto $f$ são contados como positivos para cima da rampa.

Enquanto o bloco permanece em repouso, $\ddot{x}=0$, então as forças ao longo da rampa se equilibram: as forças para cima $f+F$ são iguais à componente para baixo $mg\sin \theta$. O atrito que o bloco precisa é, portanto
$f=mg\sin \theta -F$
Esta é a reta decrescente $f_s$ na Figura 1. Leia-a da esquerda para a direita. Em $F=0$ o atrito carrega toda a componente $mg\sin \theta$ e aponta para cima da rampa. Ele diminui à medida que o puxão assume a tarefa, é zero onde a reta cruza o eixo em $F=mg\sin \theta$ (o ponto verde), e além desse ponto é negativo: o atrito agora aponta para baixo da rampa e segura o bloco contra o puxão.

A reta só é permitida entre os níveis tracejados $+{\mu }_{s}N$ e $-{\mu }_{s}N$. Fazendo $f=+{\mu }_{s}N$ e $f=-{\mu }_{s}N$, com $N=mg\cos \theta$, obtêm-se os dois extremos do trecho permitido:
$F_1=mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$
$F_2=mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$
O bloco permanece em repouso para todo puxão de $F_1$ a $F_2$, a faixa sombreada. Aqui $F_1$ é negativo: até um puxão para baixo da rampa é resistido, até que sua intensidade ultrapasse $|F_1|$. (Numa rampa mais íngreme, com $\tan \theta >{\mu }_s$, $F_1$ seria positivo: o bloco precisa de pelo menos esse puxão para cima da rampa para ser mantido parado.)

Fora da faixa sombreada o bloco desliza, e o atrito cai de ${\mu }_{s}N$ para ${\mu }_{k}N$, até os círculos vazios. Para puxões abaixo de $F_1$ o bloco desliza para baixo, então o atrito $+{\mu }_{k}N$ aponta para cima da rampa. Para puxões acima de $F_2$ ele desliza para cima, então o atrito $f_k=-{\mu }_{k}N$ aponta para baixo da rampa. Daí a regra para os problemas: decida em que sentido o bloco se move, ou está prestes a se mover, antes de escrever o sentido do atrito nas equações.

O deslizamento na animação

Esta seção dá números à equação do deslizamento, usando a animação: um bloco solto do repouso numa rampa de 30° com ${\mu }_k=0,2$. Sua aceleração para baixo da rampa é
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
No gráfico do nível avançado da animação, $v(t)$ é portanto uma reta contínua de inclinação 3,21 m/s². Acima dela corre a reta tracejada de uma rampa sem atrito, cuja inclinação é $g\sin \theta \approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$. As duas retas se separam pelo termo de atrito, $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1,70m/s$ a cada segundo. O deslizamento dura 2,2 s, então o bloco termina a 7,1 m/s em vez de 10,8 m/s. A área sob a reta contínua é a distância percorrida, $\frac{1}{2}\cdot 2,2\cdot 7,06\approx 7,8\mathrm{m}$: o comprimento do deslizamento.

Para onde vai a energia

Legenda

$s$	Distância que o bloco desliza ao longo da rampa.	$\mathrm{m}$
$h$	Altura que o bloco desce: $h=s\sin \theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ângulo da rampa com a horizontal.	$\mathrm{rad}$
$W_g$	Trabalho realizado pela gravidade, $mgh=mgs\sin \theta$: a energia liberada.	$\mathrm{J}$
$Q$	Calor gerado pelo atrito, $f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$.	$\mathrm{J}$
$K$	Energia cinética ganha, $\frac{1}{2}m{v}^2=W_g-Q$.	$\mathrm{J}$

O mesmo deslizamento pode ser acompanhado pela energia em vez de pelas forças. Isso mostra para onde vai a energia liberada pela gravidade, e dá a velocidade final sem precisar do tempo.

Na Figura 2 o bloco parte do repouso na posição clara e desliza uma distância $s$ até a posição sólida. Leia a queda à esquerda: $h=s\sin \theta$. A gravidade realiza o trabalho $W_g=mgh=mgs\sin \theta$, a barra verde, desenhada na mesma escala de altura de $h$ para que as duas coincidam. O atrito tem a intensidade constante $f_k={\mu }_{k}N={\mu }_{k}mg\cos \theta$ ao longo da mesma distância $s$, logo transforma a energia $Q=f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$ em calor: a parte dourada da segunda barra. O restante, a parte roxa, é a energia cinética $K=\frac{1}{2}m{v}^2$. Este é o teorema trabalho-energia, $K=W_g-Q$:
$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$

Dividindo $Q$ por $W_g$ cancelam-se $m$, $g$ e $s$: o atrito fica com a fração $Q/W_g={\mu }_k\cos \theta /\sin \theta ={\mu }_k\cot \theta$ da energia liberada. Aqui isso dá $0,2\cdot 1,732\approx 0,35$, o terço dourado da segunda barra. Para o deslizamento de 7,78 m da animação, por quilograma de bloco, a gravidade libera $9,81\cdot 0,5\cdot 7,78\approx 38,2\mathrm{J}$; 13,2 J viram calor e 24,9 J energia cinética, logo $v=\sqrt{2\cdot 24,9}\approx 7,06m/s$, a velocidade que o gráfico de velocidade deu.

O calor cresce com o comprimento do caminho, não apenas com onde o caminho começa e termina. Por isso não se pode definir uma energia potencial para o atrito.

O cone de atrito

Legenda

$\vec{R}$	Força de contato da rampa sobre o bloco: $\vec{N}+\vec{f}$.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Força normal: a parte de $\vec{R}$ perpendicular à rampa.	$\mathrm{N}$
$\vec{f}$	Atrito: a parte de $\vec{R}$ ao longo da rampa, aqui para cima da rampa.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Peso, que $\vec{R}$ deve anular para o bloco permanecer em repouso.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Ângulo da rampa, que é também o ângulo entre $\vec{R}$ e a normal.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_s$	Semiângulo do cone de atrito estático: $\tan {\phi }_s={\mu }_s$.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_k$	Semiângulo do cone de atrito cinético: $\tan {\phi }_k={\mu }_k$.	$\mathrm{rad}$

As duas leis do atrito têm uma forma geométrica que transforma o escorregamento numa comparação de ângulos. Em vez de tratar $N$ e $f$ separadamente, a Figura 3 desenha a força total da rampa sobre um bloco em repouso como um único vetor, a força de contato $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Sua parte perpendicular à rampa é a força normal $\vec{N}$, e sua parte ao longo da rampa é o atrito $\vec{f}$; as retas tracejadas completam a soma. O ângulo $\phi$ pelo qual $\vec{R}$ se afasta da normal tem $\tan \phi =f/N$.

A lei estática $f\le {\mu }_{s}N$ se lê, portanto, $\tan \phi \le {\mu }_s$: $\vec{R}$ deve estar dentro do cone de atrito, de semiângulo ${\phi }_s$ com $\tan {\phi }_s={\mu }_s$, a região larga sombreada em torno da normal. Agora observe o bloco em repouso. Só duas forças agem sobre ele, $\vec{R}$ e o peso $m\vec{g}$, então $\vec{R}$ deve apontar verticalmente para cima. Numa rampa inclinada de $\theta$, uma vertical forma com a normal o ângulo $\theta$, o ângulo marcado entre $\vec{N}$ e $\vec{R}$. Assim, o bloco pode repousar só enquanto $\theta \le {\phi }_s$.

A rampa mais íngreme que segura o bloco, o ângulo de repouso ${\theta }_0$, é portanto o ângulo de atrito: $\tan {\theta }_0={\mu }_s$, que é 26,6° para ${\mu }_s=0,5$. Isso dá uma forma simples de medir ${\mu }_s$: incline uma tábua até que um bloco sobre ela escorregue. A massa não aparece, então um bloco carregado escorrega no mesmo ângulo.

Assim que o bloco desliza, $f={\mu }_{k}N$ exatamente, então $\vec{R}$ fica na borda do cone cinético, mais estreito, de semiângulo ${\phi }_k$ com $\tan {\phi }_k={\mu }_k$, a região mais escura dentro da primeira. Na Figura 3 o ângulo da rampa está entre os dois: ${\phi }_k<\theta <{\phi }_s$. A vertical $\vec{R}$ cai dentro do cone estático, então um bloco em repouso permanece em repouso. Ela cai fora do cone cinético, então a força de contato sobre um bloco que desliza não pode ser vertical e não pode equilibrar o peso: esse bloco acelera. Numa rampa com $\theta <{\phi }_k$ é o contrário: o atrito supera a componente da gravidade ao longo da rampa, e um bloco deslizante desacelera até parar.

O melhor ângulo para um puxão

Legenda

$\vec{F}$	Puxão da corda; o desenhado é o menor puxão que equilibra as outras duas forças.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Peso da caixa.	$\mathrm{N}$
$\vec{R}$	Força do piso sobre a caixa: força normal mais atrito.	$\mathrm{N}$
$\phi$	Ângulo de atrito entre $\vec{R}$ e a vertical: $\tan \phi ={\mu }_k$.	$\mathrm{rad}$
$\alpha$	Ângulo da corda acima da horizontal.	$\mathrm{rad}$

O ângulo de atrito também responde a uma pergunta prática: em que ângulo uma corda deve puxar para arrastar uma caixa pesada com a menor força? À esquerda da Figura 4, uma caixa de 30 kg desliza com regularidade sobre um piso horizontal com ${\mu }_k=0,4$, puxada por uma corda no ângulo $\alpha$ acima da horizontal.

Deslizamento uniforme significa força resultante nula. Três forças atuam: o puxão $\vec{F}$, o peso $m\vec{g}$ e a força do piso $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Sua soma se anula, $\vec{F}+\vec{R}+m\vec{g}=0$, então, desenhadas ponta a cauda, formam um triângulo, à direita da Figura 4.

Dois lados do triângulo estão fixos. O peso $m\vec{g}$ é fixo em intensidade e direção. A direção de $\vec{R}$ também é fixa: a caixa desliza, logo $f={\mu }_{k}N$, e $\vec{R}$ se inclina para trás da vertical, contra o movimento, pelo ângulo de atrito $\phi$ com $\tan \phi ={\mu }_k$. Só $\vec{F}$ é livre: deve começar sobre a reta de $\vec{R}$ e terminar na cauda de $m\vec{g}$. As retas tracejadas são alguns dos outros puxões que também equilibrariam, cada um com seu próprio $\alpha$. O segmento mais curto de um ponto a uma reta é perpendicular a ela, então o menor puxão é perpendicular a $\vec{R}$. Como $\vec{R}$ está a $\phi$ da vertical, esse puxão está a $\phi$ da horizontal: o melhor ângulo da corda é $\alpha =\phi$, e então $F=mg\sin \phi$.

A álgebra concorda. A corda levanta parte da carga, então o piso empurra para cima apenas com $N=mg-F\sin \alpha$. O deslizamento uniforme exige que a componente horizontal do puxão seja igual ao atrito, $F\cos \alpha ={\mu }_k(mg-F\sin \alpha )$, o que dá
$F=\frac{{\mu }_{k}mg}{\cos \alpha +{\mu }_k\sin \alpha }$
O puxão é menor quando o denominador é maior, onde sua derivada $-\sin \alpha +{\mu }_k\cos \alpha$ se anula, isto é, em $\tan \alpha ={\mu }_k$, aqui $\alpha =21,8^{\circ }$. Então $F=109,3\mathrm{N}$, contra 117,7 N para um puxão horizontal, e o triângulo dá o mesmo, $mg\sin \phi =294,3\cdot \sin 21,8^{\circ }\approx 109,3\mathrm{N}$. O ângulo de atrito fixa o melhor ângulo de puxar.

Por que o atrito é proporcional à carga

As leis do atrito são regras empíricas, não leis fundamentais como a gravitação. Esta seção explica de onde elas vêm. Leonardo da Vinci percebeu por volta de 1500 que o atrito não depende da área de contato; Guillaume Amontons enunciou sua proporcionalidade à carga em 1699, e Charles-Augustin de Coulomb acrescentou em 1781 que o atrito cinético quase não depende da velocidade.

O fato essencial é que mesmo superfícies polidas se tocam apenas nas pontas de suas maiores saliências. Essas pontas se achatam até que, juntas, sustentem a carga, e uma ponta achatada suporta uma pressão aproximadamente igual à dureza $H$ do material mais mole. A área de contato real é, portanto, cerca de $A_{\mathrm{real}}\approx N/H$. Um bloco de aço de 2 kg sobre aço, com $N\approx 20\mathrm{N}$ e $H\approx 2\times 10^9\mathrm{Pa}$, toca em apenas $10^{-8}{\mathrm{m}}^2$, cerca de um milionésimo de uma face de 10 cm por 10 cm. É por isso que a área aparente não importa: numa face maior cada ponta é pressionada menos, mas a área real total continua fixada por $N$.

Nas pontas, os átomos das duas superfícies se ligam. O deslizamento precisa cisalhar essas junções, o que exige uma força $\tau A_{\mathrm{real}}$, onde $\tau$ é a resistência ao cisalhamento do material mais mole. Juntando as duas etapas,
$f\approx \tau A_{\mathrm{real}}\approx \frac{\tau }{H}N$
uma lei de atrito com $\mu \approx \tau /H$. Para metais, $\tau /H$ é aproximadamente 1/6, cerca de 0,2. Os valores medidos vão de cerca de 0,1 a 1, porque as junções crescem à medida que são cisalhadas e as saliências duras sulcam a superfície mais mole. O trabalho realizado acaba em vibrações dos átomos na rede, ou seja, em calor. Erguer o deslizador sobre as saliências não pode ser a causa, pois a energia gasta para subir uma saliência voltaria quando o deslizador descesse do outro lado.

Aderência-deslizamento e rolamento

Duas consequências cotidianas decorrem disso: uma da diferença entre os dois coeficientes, outra de evitar o deslizamento por completo.

Como ${\mu }_s>{\mu }_k$, um deslizador acionado por algo elástico tende a se mover aos trancos. Ele adere enquanto a força da mola cresce até ${\mu }_{s}N$. Então escorrega, o atrito cai para ${\mu }_{k}N$, e o deslizador avança bruscamente, relaxando a mola, até aderir de novo. Esse movimento de aderência e deslizamento faz portas rangerem, mantém vibrando a corda de um violino arqueado e faz falhas da crosta terrestre travarem por séculos para depois deslizar em terremotos.

Uma roda que rola evita o deslizamento. Seu ponto de contato fica momentaneamente em repouso no chão, então o atrito estático atua ali mas não realiza trabalho. Resta apenas a resistência ao rolamento, com coeficientes perto de 0,001 para uma roda de trem e 0,01 para um pneu de carro.

Problema resolvido: o bloco mandado de volta

Na base da rampa da animação o bloco se move a 7,06 m/s. Um amortecedor de mola ali o devolve para cima na mesma velocidade; tome ${\mu }_k=0,2$ e ${\mu }_s=0,3$. Até onde ele sobe, e com que velocidade volta?

Subindo, a gravidade e o atrito apontam ambos para baixo da rampa, logo o bloco desacelera com
$g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$
Com desaceleração constante, a velocidade cai a zero após $t=v/a=7,06/6,60\approx 1,07\mathrm{s}$, e de $v^2=2ad$ o bloco subiu $d=7,06^2/(2\cdot 6,60)\approx 3,78\mathrm{m}$ pela rampa.

Ele não pode ficar ali: $\tan 30^{\circ }\approx 0,577$ excede ${\mu }_s$, então o atrito estático não consegue segurá-lo. Ele desliza de volta com os 3,21 m/s² da animação e alcança o amortecedor após $\sqrt{2\cdot 3,78/3,21}\approx 1,53\mathrm{s}$, a $\sqrt{2\cdot 3,21\cdot 3,78}\approx 4,9m/s$.

A descida dura mais que a subida porque sua aceleração é menor. Os dois trechos percorrem o mesmo $d$, então $v^2=2ad$ faz a velocidade de retorno ser $\sqrt{3,21/6,60}\approx 0,70$ vezes a velocidade inicial, e a energia cinética 0,49 vezes. O restante virou calor ao longo dos 7,55 m percorridos: o atrito de $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1,70\mathrm{N}$ por quilograma em 7,55 m são 12,8 J por quilograma, o que coincide com a energia cinética perdida.

Com o sentido para baixo da rampa positivo, $v(t)$ são duas retas que se encontram em $v=0$, com inclinações de 6,60 e 3,21 m/s². A velocidade é contínua, mas a aceleração salta, porque o atrito inverte o sentido junto com o movimento. Cada rebote repete o fator 0,70, e cada tempo de um percurso é proporcional à sua velocidade inicial, então cada ida e volta dura 0,70 vezes a anterior. A primeira leva $1,07+1,53=2,60\mathrm{s}$, logo os percursos cada vez mais curtos formam uma série geométrica que dura $2,60/(1-0,697)\approx 8,6\mathrm{s}$ no total.

Limites de validade

A mecânica de Newton perde validade perto da velocidade da luz ou em escalas atômicas. A lei do atrito não tem uma fronteira única assim: ela falha sempre que as superfícies deixam de se comportar como um par seco médio. Metais limpos no vácuo, sem camada de óxido entre eles, se ligam como uma peça única: $\mu$ sobe acima de 1, e as peças podem soldar a frio, um problema real em espaçonaves. As tabelas de $\mu$ para aço sobre aço descrevem, na verdade, películas de óxido e graxa.

A borracha penetra na rugosidade da estrada, então sua aderência depende da área, da velocidade e da temperatura, e pneus de corrida ultrapassam $\mu =1$. Superfícies muito planas, como vidro polido, grudam por adesão mesmo sem carga. Um patim sobre gelo tem ${\mu }_k\approx 0,02$ porque uma camada fina, semelhante a líquido, o lubrifica. Em altas velocidades de deslizamento, as pontas de contato chegam a centenas de graus, e $\mu$ cai.

O modelo de ponto tem limite próprio: um bloco real pode tombar em vez de deslizar. Numa rampa ele tomba pela aresta inferior assim que $\tan \theta$ excede seu comprimento ao longo da rampa dividido por sua altura, e escorrega assim que $\tan \theta$ excede ${\mu }_s$. Assim, um bloco cuja altura passa de $1/{\mu }_s$ vezes o comprimento, o dobro para ${\mu }_s=0,5$, tomba antes de escorregar.

Aonde isso leva

Em Trabalho, energia e potência, o atrito cinético é a força não conservativa padrão, cujo trabalho $-{\mu }_{k}Ns$ se torna calor. Em Movimento circular, o atrito estático segura um carro numa curva plana até $v=\sqrt{{\mu }_{s}gr}$, e curvas inclinadas reutilizam os componentes desta lição. Dinâmica rotacional e torque explica o rolamento: uma esfera maciça desce a rampa de 30° rolando com $\frac{5}{7}g\sin \theta \approx 3,50m/{\mathrm{s}}^2$, mais rápido que o bloco deslizante, sem perder nada para o atrito. Equilíbrio estático e alavancas trata de escadas e tombamento; Máquinas simples: alavancas, polias e engrenagens transforma a rampa em cunha e parafuso, que sustenta sua carga porque seu ângulo de rosca é menor que o ângulo de atrito; e Arrasto e velocidade terminal trata do atrito de fluidos, que cresce com a velocidade.