Rozamiento y plano inclinado

Principiante

El rozamiento es la fuerza que se opone a que una superficie se deslice sobre otra. Actúa a lo largo de las superficies, en contra del deslizamiento, o del deslizamiento que está a punto de ocurrir.

Empuja suavemente un sofá pesado y no se mueve: el suelo lo retiene con la misma fuerza, mediante el rozamiento estático. Empuja cada vez más fuerte y, en algún momento, el rozamiento estático llega a su límite y el sofá empieza a deslizar. Una vez en movimiento actúa el rozamiento dinámico, que suele ser algo menor; por eso cuesta más arrancar un sofá que mantenerlo en marcha.

Comprueba: empujas una caja que desliza con rapidez constante. ¿Cómo es tu empuje comparado con el rozamiento? (Son iguales: rapidez constante significa fuerza neta nula.)

¿De qué depende el rozamiento? Crece con la fuerza con que se aprietan las superficies, llamada fuerza normal $N$, y depende de los materiales a través de un número llamado coeficiente de rozamiento $\mu$. Al deslizar, $f=\mu N$. Una caja de 10 kg (peso de unos 98 N) que desliza por un suelo con $\mu =0,3$ sufre unos 29 N de rozamiento; pon otra caja encima y el rozamiento se duplica.

Comprueba: el caucho sobre asfalto seco tiene un $\mu$ cercano a 0,8; un patín de acero sobre hielo, cercano a 0,02. ¿Cuál necesita más distancia para frenar? (El patín.)

En una pendiente, parte del peso tira del objeto cuesta abajo. En la animación, un bloque baja por una pendiente de 30° cada vez más deprisa. La flecha del peso apunta hacia abajo, la del apoyo (la fuerza normal) sale de la superficie y la pequeña flecha del rozamiento apunta pendiente arriba. El rozamiento frena el bloque, pero en una pendiente tan empinada no puede detenerlo.

Intermedio

La fuerza normal y las dos leyes del rozamiento

Cuando dos superficies se tocan, la fuerza entre ellas tiene dos partes. La fuerza normal $N$ es perpendicular a la superficie y solo vale lo necesario para que el objeto no se hunda en ella. El rozamiento $f$ actúa a lo largo de la superficie y se opone al deslizamiento. Ambas se miden en newtons. Cuánto rozamiento puede producir una fuerza normal dada lo fija el coeficiente de rozamiento $\mu$, un número puro que depende de los dos materiales.

Mientras las superficies no resbalan, el rozamiento es estático: toma el valor y el sentido que impiden el deslizamiento, hasta un máximo:
$f_e\le {\mu }_{e}N$
Una caja sobre un suelo horizontal que nadie empuja no sufre ningún rozamiento. Empújala con 50 N y el rozamiento responde con 50 N; solo un empuje por encima del máximo la pone en movimiento.

Cuando las superficies deslizan, el rozamiento es dinámico. Apunta en contra del deslizamiento y tiene un valor definido:
$f_d={\mu }_{d}N$
Normalmente ${\mu }_d$ es algo menor que ${\mu }_e$, y por eso cuesta más arrancar un sofá que mantenerlo en movimiento. Valores típicos son 0,8 para el caucho sobre carretera seca, 0,3 para madera sobre madera y 0,02 para un patín sobre hielo; ninguna de las dos leyes depende mucho del área de contacto ni de la rapidez.

Descomposición del peso en una pendiente

En un plano inclinado de ángulo $\theta$, toma un eje a lo largo de la pendiente, positivo hacia abajo, y otro perpendicular a ella. Entonces $N$ y $f$ quedan sobre los ejes y solo hay que descomponer el peso $mg$. Inclinar la superficie un ángulo $\theta$ inclina su perpendicular el mismo ángulo, así que el peso forma el ángulo $\theta$ con ella. La parte a lo largo de la pendiente tira del bloque cuesta abajo; la parte perpendicular lo aprieta contra la superficie y la compensa la fuerza normal:

• $F_{\parallel }=mg\mathrm{sen}\theta$
• $N=mg\cos \theta$

Comprueba los extremos: en suelo horizontal, $\theta =0$, nada tira a lo largo de la superficie; en una pared vertical, $\theta =90^{\circ }$, nada la presiona. En la pendiente de 30° de la animación, $\mathrm{sen}30^{\circ }=0,5$ y $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$: la mitad del peso tira cuesta abajo, y $N$ es el 87 % del peso, no todo.

La segunda ley de Newton a lo largo de la pendiente

Para un bloque que baja deslizando, el rozamiento dinámico ${\mu }_{d}mg\cos \theta$ apunta pendiente arriba. La segunda ley de Newton a lo largo de la pendiente, $ma=mg\mathrm{sen}\theta -{\mu }_{d}mg\cos \theta$, lleva la masa en todos los términos, así que se cancela:
$a=g(\mathrm{sen}\theta -{\mu }_d\cos \theta )$
Por eso un bloque pesado y uno ligero del mismo material bajan juntos. Si el bloque sube, el rozamiento también apunta pendiente abajo, y el bloque frena a $g(\mathrm{sen}\theta +{\mu }_d\cos \theta )$.

Un bloque en reposo empieza a deslizar cuando la componente cuesta abajo $mg\mathrm{sen}\theta$ supera el máximo que puede dar el rozamiento estático, ${\mu }_{e}mg\cos \theta$. Al dividir ambos entre $mg\cos \theta$ queda
$\mathrm{tg}\theta >{\mu }_e$
La masa vuelve a desaparecer. El ángulo límite, donde $\mathrm{tg}{\theta }_0={\mu }_e$, es el ángulo de reposo.

Ejemplo resuelto: el bloque de la animación

El bloque parte del reposo y baja por una pendiente de 30° con ${\mu }_d=0,2$. No hace falta la masa, pero toma $m=2\mathrm{kg}$ para ver las fuerzas en newtons. El peso es $mg=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, así que
$F_{\parallel }=19,62\cdot 0,5=9,81\mathrm{N},N=19,62\cdot 0,866\approx 16,99\mathrm{N}$
$f_d=0,2\cdot 16,99\approx 3,40\mathrm{N},a=\frac{9,81-3,40}{2}\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
La fórmula da lo mismo sin la masa: $a=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$, el valor que la animación imprime debajo de la fórmula, frente a $g\mathrm{sen}30^{\circ }\approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$ sin rozamiento.

Como $a$ es constante, vale la cinemática en línea recta. Al cabo de 1 s el bloque lleva 3,21 m/s y ha deslizado $\frac{1}{2}\cdot 3,21\cdot 1^2\approx 1,60\mathrm{m}$; a los 2 s lleva 6,41 m/s y ha deslizado 6,41 m. Son los contornos grises. El deslizamiento mide 7,8 m y dura unos 2,2 s, y las lecturas terminan cerca de $v=7,1m/s$ y $s=7,8\mathrm{m}$, como predice $v^2=2as$. Sin rozamiento, el bloque llegaría al final de la misma pendiente a 8,7 m/s.

Ejemplo resuelto: una caja en una rampa de carga

Una caja de 30 kg descansa sobre una rampa inclinada 20°, con ${\mu }_e=0,5$ y ${\mu }_d=0,4$. ¿Se queda quieta, y qué empuje a lo largo de la rampa la sube a rapidez constante?

Su peso es $30\cdot 9,81=294,3\mathrm{N}$, así que $F_{\parallel }=294,3\cdot \mathrm{sen}20^{\circ }\approx 100,7\mathrm{N}$ y $N=294,3\cdot \cos 20^{\circ }\approx 276,6\mathrm{N}$. Como $\mathrm{tg}20^{\circ }\approx 0,36$ es menor que 0,5, la caja se queda quieta, y el rozamiento estático iguala la fuerza que tira cuesta abajo: 100,7 N rampa arriba, no el máximo ${\mu }_{e}N\approx 138,3\mathrm{N}$.

A rapidez constante rampa arriba, la fuerza neta es nula. Ahora el rozamiento se opone al deslizamiento hacia arriba, así que apunta rampa abajo, igual que la componente del peso que tira cuesta abajo:
$F=mg(\mathrm{sen}\theta +{\mu }_d\cos \theta )=100,7+0,4\cdot 276,6\approx 211,3\mathrm{N}$
Levantar la caja en vertical exigiría sus 294 N completos; una rampa sin rozamiento lo reduciría a 100,7 N, y el rozamiento lo sube a 211 N.

Cómo leer el diagrama de fuerzas

Todas las flechas de fuerza de la animación usan la misma escala, así que el diagrama se puede leer como números. La flecha verde $mg$ es la diagonal de un rectángulo cuyos lados son sus dos componentes verdes, más finas: la componente cuesta abajo es exactamente la mitad de $mg$, la que apunta hacia dentro de la pendiente, el 87 % de $mg$, y la flecha azul $N$ anula a esta última. La pequeña flecha dorada $f$, una quinta parte de $N$, anula cerca de un tercio de la fuerza que tira cuesta abajo y deja $0,5mg-0,173mg\approx 0,327mg$ como fuerza neta.

Sumadas, $N$ y $f$ dan la fuerza total de la pendiente sobre el bloque. Un bloque en reposo necesita que apunte justo hacia arriba y anule el peso; en el bloque que desliza, el rozamiento se queda corto, y lo que sobra apunta cuesta abajo. Las lecturas muestran la consecuencia: $v$ gana 3,21 m/s cada segundo, mientras que $s$ crece 1,60 m en el primer segundo y 4,81 m en el siguiente.

Errores frecuentes

• La fuerza normal no siempre es el peso: en la pendiente de 30°, el bloque de 2 kg tiene $N\approx 16,99\mathrm{N}$, no 19,62 N.
• El rozamiento estático no vale ${\mu }_{e}N$ por defecto: la caja en reposo sobre la rampa de 20° sufre 100,7 N, no los 138,3 N máximos, y una caja sin empujar sobre suelo horizontal no sufre ninguno.
• El rozamiento no siempre apunta pendiente arriba. Se opone al deslizamiento, o al deslizamiento que está a punto de ocurrir: para la caja empujada rampa arriba apunta hacia abajo, y por eso el empuje necesita 211,3 N.
• Los bloques más pesados no deslizan más deprisa: la masa se cancela, así que un bloque de 20 kg del mismo material también acelera a 3,21 m/s² en la pendiente de la animación.
• Sumar el rozamiento a la fuerza que tira cuesta abajo en un bloque que baja da $9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$, que es el ritmo al que frena un bloque que sube. Para no confundir el seno con el coseno, prueba con $\theta =0$: en suelo horizontal nada tira a lo largo de la superficie.

Dónde aparece

Un neumático que rueda se agarra por rozamiento estático, porque su zona de contacto no desliza sobre la carretera; los frenos antibloqueo mantienen las ruedas girando para que el rozamiento dinámico, más débil, nunca llegue a imponerse. Las rampas para sillas de ruedas se limitan a una pendiente de 1 por cada 12 aproximadamente, menos de 5°, para que el empuje necesario sea pequeño. Los montones de arena o de grava se mantienen en su ángulo de reposo, de unos 30–40°, y la mayoría de los aludes de nieve empiezan en pendientes de 30–45°. A continuación, Trabajo, energía y potencia muestra adónde va la energía que se lleva el rozamiento, Movimiento circular muestra el rozamiento sujetando un coche en una curva, y Máquinas simples: palancas, poleas y engranajes trata la rampa, la cuña y el tornillo como máquinas.

Avanzado

La pendiente lisa

Empieza sin rozamiento, porque la pendiente lisa fija las dos componentes del peso que usan todas las ecuaciones posteriores. Un bloque de masa $m$ descansa sobre un plano inclinado un ángulo $\theta$ respecto de la horizontal. Su peso $m\vec{g}$ apunta verticalmente hacia abajo. Descomponlo en una parte a lo largo de la pendiente y otra perpendicular a ella, según la normal (la recta perpendicular a la superficie). El peso forma el ángulo $\theta$ con la normal, así que la parte a lo largo de la pendiente es $mg\mathrm{sen}\theta$ y la que aprieta contra la superficie es $mg\cos \theta$. El bloque ni se hunde en la pendiente ni se separa de ella, así que la pendiente lo empuja de vuelta con la fuerza normal $N=mg\cos \theta$.

La parte a lo largo de la pendiente también se deduce solo de la energía. Empuja despacio un peso $W$ hacia arriba por una pendiente sin rozamiento de longitud $L$ y altura $h$. El empuje $F$ realiza el trabajo $FL$, y todo él se convierte en energía potencial $Wh$, así que $F=Wh/L=W\mathrm{sen}\theta$.

Simon Stevin llegó al mismo resultado en 1586 con un experimento mental: una cadena cerrada de bolitas colocada sobre una cuña triangular y colgando libremente por debajo. La cadena nunca empieza a girar por sí sola, porque eso sería un movimiento perpetuo, y su parte colgante es simétrica y se equilibra sola. Por tanto, las muchas bolitas de la cara larga y suave deben tirar a lo largo de su cara tanto como las pocas bolitas de la cara corta y empinada. El número de bolitas de una cara es proporcional a su longitud $L$, así que el tirón de una bolita es proporcional a $1/L$. Las dos caras suben la misma altura $h$, de modo que ese tirón es proporcional a $h/L$, es decir, a $\mathrm{sen}\theta$.

Dos tipos de rozamiento

Ahora haz rugosas las superficies. El rozamiento es la parte de la fuerza de contacto que va a lo largo de la superficie, y es de dos tipos que obedecen reglas distintas. Distinguirlos decide cada uno de los problemas que siguen.

Cuando las superficies deslizan una sobre otra, el rozamiento dinámico es una fuerza de valor definido. Su módulo es ${\mu }_{d}N$, donde el coeficiente dinámico ${\mu }_d$ (en las figuras, ${\mu }_k$) es un número puro propio del par de materiales y, en primera aproximación, no depende de la rapidez con que deslizan. Apunta en contra de la velocidad $\vec{v}$ de una superficie respecto de la otra. Al dividir $\vec{v}$ entre su módulo $|\vec{v}|$ se obtiene un vector unitario en la dirección del movimiento, así que
${\vec{f}}_d=-{\mu }_{d}N\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Cuando las superficies no deslizan, el rozamiento estático es una fuerza de ligadura, como la fuerza normal. Su módulo y su dirección en el plano de contacto son los que impiden que las superficies resbalen. Su única ley es un máximo, fijado por el coeficiente estático ${\mu }_e$ (en las figuras, ${\mu }_s$):
$|{\vec{f}}_e|\le {\mu }_{e}N$

En la mayoría de los pares, ${\mu }_e>{\mu }_d$. Por tanto, el rozamiento no es una función de la velocidad: en $v=0$ puede tomar cualquier valor hasta ${\mu }_{e}N$, y en cuanto empieza el deslizamiento salta a ${\mu }_{d}N$.

En la pendiente, mide $x$ pendiente abajo, de modo que $\ddot{x}$ sea la aceleración pendiente abajo. Un bloque que baja nota el rozamiento pendiente arriba, y la segunda ley de Newton a lo largo de la pendiente, dividida entre $m$, da
$\ddot{x}=g(\mathrm{sen}\theta -{\mu }_d\cos \theta )$
Un bloque que sube nota el rozamiento pendiente abajo, sumado a la gravedad:
$\ddot{x}=g(\mathrm{sen}\theta +{\mu }_d\cos \theta )$
Este $\ddot{x}$ es positivo mientras la velocidad $\dot{x}$ es negativa, así que frena el bloque. Un bloque en reposo necesita el rozamiento estático $mg\mathrm{sen}\theta$ pendiente arriba, que queda por debajo del máximo ${\mu }_{e}mg\cos \theta$ justo cuando $\mathrm{tg}\theta \le {\mu }_e$; entonces el bloque sigue en reposo.

Hay una consecuencia que se pasa por alto con facilidad. Si $\mathrm{tg}\theta <{\mu }_d$, la primera ecuación da un $\ddot{x}$ negativo, así que un bloque lanzado cuesta abajo se frena y se detiene. Entonces lo sujeta el rozamiento estático: el rozamiento detiene el movimiento, pero nunca empuja el bloque de vuelta hacia arriba.

El rozamiento estático se ajusta a la tracción

Leyenda

$f$	Rozamiento a lo largo de la pendiente, positivo pendiente arriba.	$\mathrm{N}$
$F$	Tracción a lo largo de la pendiente, positiva pendiente arriba; un valor negativo tira pendiente abajo.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{s}N$	Rozamiento estático máximo, ${\mu }_{e}N$: el techo discontinuo que la recta no puede cruzar.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{k}N$	Módulo del rozamiento dinámico, ${\mu }_{d}N$, una vez que el bloque desliza.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Componente del peso a lo largo de la pendiente: la tracción con la que el rozamiento es nulo.	$\mathrm{N}$
$F_1$	Tracción mínima con la que el bloque sigue en reposo, $mg(\mathrm{sen}\theta -{\mu }_e\cos \theta )$; aquí negativa.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Tracción máxima con la que el bloque sigue en reposo, $mg(\mathrm{sen}\theta +{\mu }_e\cos \theta )$.	$\mathrm{N}$
$f_s$	Rozamiento estático: lo que haga falta para equilibrar las demás fuerzas, $mg\mathrm{sen}\theta -F$.	$\mathrm{N}$
$f_k$	Rozamiento dinámico, siempre en contra del deslizamiento: aquí $-{\mu }_{d}N$, porque el bloque sube por la pendiente.	$\mathrm{N}$

Esta sección muestra la ley estática en acción: el módulo y el sentido del rozamiento estático los fijan las demás fuerzas, no una fórmula propia. La figura 1 sigue el rozamiento $f$ sobre un bloque que reposa por sí solo en una pendiente suave, con $\mathrm{tg}\theta <{\mu }_e$, mientras una tracción $F$ a lo largo de la pendiente aumenta despacio. Tanto $F$ como $f$ se cuentan positivas pendiente arriba.

Mientras el bloque sigue en reposo, $\ddot{x}=0$, así que las fuerzas a lo largo de la pendiente se equilibran: las fuerzas pendiente arriba, $f+F$, igualan la componente pendiente abajo, $mg\mathrm{sen}\theta$. El rozamiento que necesita el bloque es, por tanto,
$f=mg\mathrm{sen}\theta -F$
Es la recta descendente $f_s$ de la figura 1. Léela de izquierda a derecha. Con $F=0$, el rozamiento soporta toda la componente $mg\mathrm{sen}\theta$ y apunta pendiente arriba. Disminuye a medida que la tracción asume ese papel, se anula donde la recta corta el eje, en $F=mg\mathrm{sen}\theta$ (el punto verde), y a partir de ahí es negativo: el rozamiento apunta ahora pendiente abajo y retiene el bloque frente a la tracción.

La recta solo está permitida entre los niveles discontinuos $+{\mu }_{e}N$ y $-{\mu }_{e}N$. Al poner $f=+{\mu }_{e}N$ y $f=-{\mu }_{e}N$, con $N=mg\cos \theta$, se obtienen los dos extremos del tramo permitido:
$F_1=mg(\mathrm{sen}\theta -{\mu }_e\cos \theta )$
$F_2=mg(\mathrm{sen}\theta +{\mu }_e\cos \theta )$
El bloque sigue en reposo con cualquier tracción entre $F_1$ y $F_2$, la franja sombreada. Aquí $F_1$ es negativa: incluso una tracción pendiente abajo encuentra resistencia, hasta que su módulo supera $|F_1|$. (En una pendiente más empinada, con $\mathrm{tg}\theta >{\mu }_e$, $F_1$ sería positiva: el bloque necesitaría al menos esa tracción pendiente arriba para sostenerse.)

Fuera de la franja sombreada el bloque desliza, y el rozamiento baja de ${\mu }_{e}N$ a ${\mu }_{d}N$, hasta los círculos vacíos. Con tracciones menores que $F_1$, el bloque desliza hacia abajo, así que el rozamiento $+{\mu }_{d}N$ apunta pendiente arriba. Con tracciones mayores que $F_2$, desliza hacia arriba, así que el rozamiento $f_k=-{\mu }_{d}N$ apunta pendiente abajo. De ahí la regla para los problemas: decide hacia dónde se mueve el bloque, o está a punto de moverse, antes de escribir el sentido del rozamiento en las ecuaciones.

El deslizamiento de la animación

Esta sección pone números a la ecuación del deslizamiento con la animación: un bloque que se suelta desde el reposo en una pendiente de 30° con ${\mu }_d=0,2$. Su aceleración pendiente abajo es
$a=g(\mathrm{sen}\theta -{\mu }_d\cos \theta )=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
En la gráfica experta de la animación, $v(t)$ es, por tanto, una recta continua de pendiente 3,21 m/s². Por encima va la recta discontinua del caso sin rozamiento, de pendiente $g\mathrm{sen}\theta \approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$. Las dos rectas se separan según el término del rozamiento, $g{\mu }_d\cos \theta \approx 1,70m/s$ cada segundo. El deslizamiento dura 2,2 s, así que el bloque termina a 7,1 m/s en vez de a 10,8 m/s. El área bajo la recta continua es la distancia recorrida, $\frac{1}{2}\cdot 2,2\cdot 7,06\approx 7,8\mathrm{m}$: la longitud del deslizamiento.

Adónde va la energía

Leyenda

$s$	Distancia que desliza el bloque a lo largo de la pendiente.	$\mathrm{m}$
$h$	Altura que baja el bloque: $h=s\mathrm{sen}\theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ángulo de la pendiente con la horizontal.	$\mathrm{rad}$
$W_g$	Trabajo de la gravedad, $mgh=mgs\mathrm{sen}\theta$: la energía liberada.	$\mathrm{J}$
$Q$	Calor producido por el rozamiento, $f_{d}s={\mu }_{d}mgs\cos \theta$.	$\mathrm{J}$
$K$	Energía cinética ganada, $\frac{1}{2}m{v}^2=W_g-Q$.	$\mathrm{J}$

El mismo deslizamiento puede seguirse a través de la energía en lugar de las fuerzas. Así se ve adónde va la energía que libera la gravedad, y se obtiene la rapidez final sin necesidad del tiempo.

En la figura 2, el bloque parte del reposo en la posición pálida y desliza una distancia $s$ hasta la posición sólida. Lee la bajada a la izquierda: $h=s\mathrm{sen}\theta$. La gravedad realiza el trabajo $W_g=mgh=mgs\mathrm{sen}\theta$, la barra verde, dibujada con la misma escala de alturas que $h$ para que ambas coincidan. El rozamiento tiene el módulo constante $f_d={\mu }_{d}N={\mu }_{d}mg\cos \theta$ a lo largo de la misma distancia $s$, así que convierte en calor la energía $Q=f_{d}s={\mu }_{d}mgs\cos \theta$: la parte dorada de la segunda barra. El resto, la parte morada, es la energía cinética $K=\frac{1}{2}m{v}^2$. Es el teorema del trabajo y la energía, $K=W_g-Q$:
$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs(\mathrm{sen}\theta -{\mu }_d\cos \theta )$

Al dividir $Q$ entre $W_g$ se cancelan $m$, $g$ y $s$: el rozamiento se lleva la fracción $Q/W_g={\mu }_d\cos \theta /\mathrm{sen}\theta ={\mu }_d\mathrm{cotg}\theta$ de la energía liberada. Aquí es $0,2\cdot 1,732\approx 0,35$, el tercio dorado de la segunda barra. Para el deslizamiento de 7,78 m de la animación, por cada kilogramo de bloque, la gravedad libera $9,81\cdot 0,5\cdot 7,78\approx 38,2\mathrm{J}$; 13,2 J se convierten en calor y 24,9 J en energía cinética, así que $v=\sqrt{2\cdot 24,9}\approx 7,06m/s$, la rapidez que dio la gráfica de velocidad.

El calor crece con la longitud del camino, no solo con dónde empieza y dónde acaba. Por eso no se puede definir una energía potencial para el rozamiento.

El cono de rozamiento

Leyenda

$\vec{R}$	Fuerza de contacto de la pendiente sobre el bloque: $\vec{N}+\vec{f}$.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Fuerza normal: la parte de $\vec{R}$ perpendicular a la pendiente.	$\mathrm{N}$
$\vec{f}$	Rozamiento: la parte de $\vec{R}$ a lo largo de la pendiente, aquí pendiente arriba.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Peso, que $\vec{R}$ debe anular para que el bloque siga en reposo.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Ángulo de la pendiente, que también es el ángulo entre $\vec{R}$ y la normal.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_s$	Semiángulo del cono de rozamiento estático: $\mathrm{tg}{\phi }_s={\mu }_e$.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_k$	Semiángulo del cono de rozamiento dinámico: $\mathrm{tg}{\phi }_k={\mu }_d$.	$\mathrm{rad}$

Las dos leyes del rozamiento tienen una forma geométrica que convierte el deslizamiento en una comparación de ángulos. En lugar de tratar $N$ y $f$ por separado, la figura 3 dibuja toda la fuerza de la pendiente sobre un bloque en reposo como un único vector, la fuerza de contacto $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Su parte perpendicular a la pendiente es la fuerza normal $\vec{N}$, y su parte a lo largo de la pendiente es el rozamiento $\vec{f}$; las líneas discontinuas completan la suma. El ángulo $\phi$ que $\vec{R}$ se aparta de la normal cumple $\mathrm{tg}\phi =f/N$.

La ley estática $f\le {\mu }_{e}N$ se escribe entonces $\mathrm{tg}\phi \le {\mu }_e$: $\vec{R}$ debe quedar dentro del cono de rozamiento, de semiángulo ${\phi }_s$ con $\mathrm{tg}{\phi }_s={\mu }_e$, la amplia región sombreada alrededor de la normal. Fíjate ahora en el bloque en reposo. Solo actúan sobre él dos fuerzas, $\vec{R}$ y el peso $m\vec{g}$, así que $\vec{R}$ debe apuntar verticalmente hacia arriba. En una pendiente inclinada $\theta$, una vertical forma el ángulo $\theta$ con la normal, el ángulo marcado entre $\vec{N}$ y $\vec{R}$. Por tanto, el bloque solo puede quedarse en reposo mientras $\theta \le {\phi }_s$.

La pendiente más empinada que sostiene el bloque, el ángulo de reposo ${\theta }_0$, es entonces el ángulo de rozamiento: $\mathrm{tg}{\theta }_0={\mu }_e$, que vale 26,6° para ${\mu }_e=0,5$. Esto da una forma sencilla de medir ${\mu }_e$: inclina una tabla hasta que un bloque colocado sobre ella resbale. La masa no aparece, así que un bloque cargado resbala con el mismo ángulo.

En cuanto el bloque desliza, $f={\mu }_{d}N$ exactamente, así que $\vec{R}$ queda en el borde del cono dinámico, más estrecho, de semiángulo ${\phi }_k$ con $\mathrm{tg}{\phi }_k={\mu }_d$, la región más oscura dentro de la primera. En la figura 3, el ángulo de la pendiente está entre los dos: ${\phi }_k<\theta <{\phi }_s$. La $\vec{R}$ vertical cae dentro del cono estático, así que un bloque en reposo sigue en reposo. Cae fuera del cono dinámico, así que la fuerza de contacto sobre un bloque que desliza no puede ser vertical ni equilibrar el peso: ese bloque se acelera. En una pendiente con $\theta <{\phi }_k$ ocurre lo contrario: el rozamiento supera la componente del peso a lo largo de la pendiente, y un bloque que desliza se frena hasta detenerse.

El mejor ángulo de tracción

Leyenda

$\vec{F}$	Tracción de la cuerda; la dibujada es la mínima que equilibra las otras dos fuerzas.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Peso de la caja.	$\mathrm{N}$
$\vec{R}$	Fuerza del suelo sobre la caja: fuerza normal más rozamiento.	$\mathrm{N}$
$\phi$	Ángulo de rozamiento entre $\vec{R}$ y la vertical: $\mathrm{tg}\phi ={\mu }_d$.	$\mathrm{rad}$
$\alpha$	Ángulo de la cuerda sobre la horizontal.	$\mathrm{rad}$

El ángulo de rozamiento también responde a una pregunta práctica: ¿con qué ángulo debe tirar una cuerda para arrastrar una caja pesada con la menor fuerza? A la izquierda de la figura 4, una caja de 30 kg desliza a velocidad constante por un suelo horizontal con ${\mu }_d=0,4$, arrastrada por una cuerda que forma el ángulo $\alpha$ sobre la horizontal.

Deslizar a velocidad constante significa fuerza neta nula. Actúan tres fuerzas: la tracción $\vec{F}$, el peso $m\vec{g}$ y la fuerza del suelo $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Su suma es nula, $\vec{F}+\vec{R}+m\vec{g}=0$, así que, dibujadas una a continuación de otra, cierran un triángulo, a la derecha de la figura 4.

Dos lados del triángulo están fijados. El peso $m\vec{g}$ tiene módulo y dirección fijos. La dirección de $\vec{R}$ también: la caja desliza, así que $f={\mu }_{d}N$, y $\vec{R}$ se inclina hacia atrás respecto de la vertical, en contra del movimiento, el ángulo de rozamiento $\phi$ con $\mathrm{tg}\phi ={\mu }_d$. Solo $\vec{F}$ queda libre: debe empezar en la recta de $\vec{R}$ y terminar en el origen de $m\vec{g}$. Las líneas discontinuas son algunas de las otras tracciones que también equilibrarían, cada una con su propio $\alpha$. El segmento más corto de un punto a una recta la corta en ángulo recto, así que la tracción mínima es perpendicular a $\vec{R}$. Como $\vec{R}$ está a $\phi$ de la vertical, esa tracción está a $\phi$ de la horizontal: el mejor ángulo de la cuerda es $\alpha =\phi$, y entonces $F=mg\mathrm{sen}\phi$.

El álgebra coincide. La cuerda levanta parte de la carga, así que el suelo empuja hacia arriba solo con $N=mg-F\mathrm{sen}\alpha$. Deslizar a velocidad constante exige que la parte horizontal de la tracción iguale el rozamiento, $F\cos \alpha ={\mu }_d(mg-F\mathrm{sen}\alpha )$, de donde
$F=\frac{{\mu }_{d}mg}{\cos \alpha +{\mu }_d\mathrm{sen}\alpha }$
La tracción es mínima cuando el denominador es máximo, donde su derivada $-\mathrm{sen}\alpha +{\mu }_d\cos \alpha$ se anula, es decir, en $\mathrm{tg}\alpha ={\mu }_d$, aquí $\alpha =21,8^{\circ }$. Entonces $F=109,3\mathrm{N}$, frente a 117,7 N con una tracción horizontal, y el triángulo da lo mismo, $mg\mathrm{sen}\phi =294,3\cdot \mathrm{sen}21,8^{\circ }\approx 109,3\mathrm{N}$. El ángulo de rozamiento fija el mejor ángulo de tracción.

Por qué el rozamiento es proporcional a la carga

Las leyes del rozamiento son reglas empíricas, no leyes fundamentales como la gravitación. Esta sección explica de dónde salen. Leonardo da Vinci advirtió hacia 1500 que el rozamiento no depende del área de contacto; Guillaume Amontons enunció su proporcionalidad con la carga en 1699, y Charles-Augustin de Coulomb añadió en 1781 que el rozamiento dinámico apenas depende de la rapidez.

La clave es que incluso las superficies pulidas solo se tocan en las puntas de sus salientes más altos. Esas puntas se aplastan hasta que entre todas soportan la carga, y una punta aplastada aguanta una presión aproximadamente igual a la dureza $H$ del material más blando. El área de contacto real es, por tanto, del orden de $A_{\mathrm{real}}\approx N/H$. Un bloque de acero de 2 kg sobre acero, con $N\approx 20\mathrm{N}$ y $H\approx 2\times 10^9\mathrm{Pa}$, solo toca en $10^{-8}{\mathrm{m}}^2$, cerca de una millonésima de una cara de 10 cm por 10 cm. Por eso no importa el área aparente: en una cara mayor cada punta está menos apretada, pero el área real total sigue fijada por $N$.

En las puntas, los átomos de las dos superficies se enlazan. Para deslizar hay que cizallar esas uniones, lo que exige una fuerza $\tau A_{\mathrm{real}}$, donde $\tau$ es la resistencia al cizallamiento del material más blando. Juntando los dos pasos,
$f\approx \tau A_{\mathrm{real}}\approx \frac{\tau }{H}N$
una ley de rozamiento con $\mu \approx \tau /H$. Para los metales, $\tau /H$ vale aproximadamente 1/6, es decir, cerca de 0,2. Los valores medidos van de 0,1 a 1 aproximadamente, porque las uniones crecen al cizallarse y los salientes duros abren surcos en la superficie más blanda. El trabajo realizado acaba en vibraciones de los átomos de la red cristalina, es decir, en calor. Levantar el cuerpo que desliza por encima de los salientes no puede ser la causa, pues la energía gastada en subir un saliente se recuperaría al bajar por su otro lado.

Movimiento a tirones y rodadura

De aquí salen dos efectos cotidianos: uno, de la diferencia entre los dos coeficientes; el otro, de evitar por completo el deslizamiento.

Como ${\mu }_e>{\mu }_d$, un cuerpo arrastrado a través de cualquier elemento elástico tiende a moverse a tirones. Se queda pegado mientras la fuerza del muelle crece hasta ${\mu }_{e}N$. Luego resbala, el rozamiento baja a ${\mu }_{d}N$ y el cuerpo da una sacudida hacia delante que destensa el muelle, hasta que vuelve a pegarse. Este movimiento a tirones (stick-slip) hace chirriar las puertas, mantiene vibrando la cuerda de un violín frotada con el arco y permite que las fallas de la corteza terrestre se bloqueen durante siglos y luego resbalen en forma de terremotos.

Una rueda que rueda evita deslizar. Su punto de contacto está momentáneamente en reposo sobre el suelo, así que ahí actúa el rozamiento estático, pero no realiza trabajo. Solo queda la resistencia a la rodadura, con coeficientes cercanos a 0,001 para la rueda de un tren y 0,01 para un neumático de coche.

Problema resuelto: el bloque lanzado cuesta arriba

Al pie de la pendiente de la animación, el bloque lleva 7,06 m/s. Un parachoques de muelle lo devuelve pendiente arriba con la misma rapidez; toma ${\mu }_d=0,2$ y ${\mu }_e=0,3$. ¿Hasta dónde sube y con qué rapidez regresa?

Al subir, la gravedad y el rozamiento apuntan los dos pendiente abajo, así que el bloque frena a
$g(\mathrm{sen}\theta +{\mu }_d\cos \theta )=9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$
Con una deceleración constante, la rapidez cae a cero tras $t=v/a=7,06/6,60\approx 1,07\mathrm{s}$, y de $v^2=2ad$ se sigue que el bloque ha subido $d=7,06^2/(2\cdot 6,60)\approx 3,78\mathrm{m}$ pendiente arriba.

No puede quedarse ahí: $\mathrm{tg}30^{\circ }\approx 0,577$ supera a ${\mu }_e$, así que el rozamiento estático no puede sujetarlo. Vuelve a bajar con los 3,21 m/s² de la animación y llega al parachoques tras $\sqrt{2\cdot 3,78/3,21}\approx 1,53\mathrm{s}$, a $\sqrt{2\cdot 3,21\cdot 3,78}\approx 4,9m/s$.

La bajada dura más que la subida porque su aceleración es menor. Los dos tramos recorren la misma $d$, así que $v^2=2ad$ hace que la rapidez de vuelta sea $\sqrt{3,21/6,60}\approx 0,70$ veces la de lanzamiento, y la energía cinética 0,49 veces. El resto se convirtió en calor a lo largo de los 7,55 m recorridos: un rozamiento de $g{\mu }_d\cos \theta \approx 1,70\mathrm{N}$ por kilogramo a lo largo de 7,55 m son 12,8 J por kilogramo, lo que coincide con la energía cinética perdida.

Con el sentido pendiente abajo como positivo, $v(t)$ son dos rectas que se encuentran en $v=0$, con pendientes de 6,60 y 3,21 m/s². La velocidad es continua, pero la aceleración da un salto, porque el rozamiento se invierte con el movimiento. Cada rebote repite el factor 0,70, y todos los tiempos de un viaje son proporcionales a su rapidez de lanzamiento, así que cada viaje de ida y vuelta dura 0,70 veces el anterior. El primero dura $1,07+1,53=2,60\mathrm{s}$, de modo que los viajes, cada vez más cortos, forman una serie geométrica que dura $2,60/(1-0,697)\approx 8,6\mathrm{s}$ en total.

Límites de validez

La mecánica de Newton deja de valer cerca de la velocidad de la luz o a escala atómica. La ley del rozamiento no tiene un límite único así: falla siempre que las superficies dejan de comportarse como un par seco medio. Los metales limpios en el vacío, sin capa de óxido entre ellos, se unen como una sola pieza: $\mu$ supera 1 y las piezas pueden soldarse en frío, un problema real en las naves espaciales. Las tablas de $\mu$ para acero sobre acero describen en realidad películas de óxido y de grasa.

El caucho fluye hacia la rugosidad de la carretera, así que su agarre depende del área, de la rapidez y de la temperatura, y los neumáticos de competición superan $\mu =1$. Las superficies muy planas, como el vidrio pulido, se adhieren incluso sin carga. Un patín sobre hielo tiene ${\mu }_d\approx 0,02$ porque lo lubrica una fina capa de aspecto líquido. A rapideces de deslizamiento altas, las puntas de contacto se calientan de golpe hasta cientos de grados y $\mu$ baja.

El modelo puntual tiene un límite propio: un bloque real puede volcar en vez de deslizar. En una pendiente vuelca sobre su arista inferior en cuanto $\mathrm{tg}\theta$ supera su longitud a lo largo de la pendiente dividida entre su altura, y resbala en cuanto $\mathrm{tg}\theta$ supera ${\mu }_e$. Así, un bloque cuya altura supera $1/{\mu }_e$ veces su longitud, el doble para ${\mu }_e=0,5$, vuelca antes de resbalar.

Lo que viene después

En Trabajo, energía y potencia, el rozamiento dinámico es la fuerza no conservativa por excelencia, y su trabajo $-{\mu }_{d}Ns$ se convierte en calor. En Movimiento circular, el rozamiento estático sujeta a un coche en una curva plana hasta $v=\sqrt{{\mu }_{e}gr}$, y las curvas peraltadas reutilizan las componentes de esta lección. Dinámica de rotación y momento de fuerza explica la rodadura: una bola maciza baja rodando por la pendiente de 30° con una aceleración $\frac{5}{7}g\mathrm{sen}\theta \approx 3,50m/{\mathrm{s}}^2$, más deprisa que el bloque que desliza, sin perder nada por rozamiento. Equilibrio estático y palancas trata las escaleras y el vuelco; Máquinas simples: palancas, poleas y engranajes convierte la rampa en la cuña y el tornillo, que sostiene su carga porque el ángulo de su rosca es menor que el ángulo de rozamiento; y Fuerza de arrastre y velocidad terminal estudia el rozamiento de los fluidos, que crece con la rapidez.