Frottement et plan incliné

Débutant

Le frottement est la force qui s'oppose au glissement d'une surface sur une autre. Il agit le long des surfaces, contre le glissement, ou contre le glissement sur le point de se produire.

Poussez doucement un lourd canapé : il ne bouge pas, car le sol le retient tout aussi fort, par frottement statique. Poussez de plus en plus fort : à un moment, le frottement statique atteint sa limite et le canapé se met à glisser. Une fois en mouvement, c'est le frottement dynamique qui agit ; il est en général un peu plus faible, et c'est pourquoi démarrer un canapé est plus difficile que le maintenir en mouvement.

Petit test : vous poussez une caisse qui glisse à vitesse constante. Comment votre poussée se compare-t-elle au frottement ? (Elles sont égales : vitesse constante signifie force résultante nulle.)

Quelle est l'intensité du frottement ? Elle augmente avec la force qui presse les surfaces l'une contre l'autre, appelée réaction normale $N$, et dépend des matériaux, à travers un nombre appelé coefficient de frottement $\mu$. Pour un glissement, $f=\mu N$. Une caisse de 10 kg (poids d'environ 98 N) qui glisse sur un sol avec $\mu =0,3$ subit environ 29 N de frottement ; posez une seconde caisse dessus, et le frottement double.

Petit test : le caoutchouc sur route sèche a un $\mu$ proche de 0,8, un patin d'acier sur la glace proche de 0,02. Lequel a besoin de la plus longue distance pour s'arrêter ? (Le patin.)

Sur une pente, une partie du poids entraîne l'objet vers le bas. Dans l'animation, un bloc descend une pente de 30° de plus en plus vite. La flèche du poids pointe vers le bas, celle du soutien (la réaction normale) sort de la surface, et la petite flèche du frottement remonte la pente. Le frottement retient le bloc, mais sur une pente aussi raide il ne peut pas l'arrêter.

Intermédiaire

La réaction normale et les deux lois du frottement

Quand deux surfaces se touchent, la force qui s'exerce entre elles comporte deux parties. La réaction normale $N$ est perpendiculaire à la surface, et seulement aussi grande qu'il le faut pour que l'objet ne s'enfonce pas. Le frottement $f$ agit le long de la surface et s'oppose au glissement. Les deux se mesurent en newtons. Le frottement qu'une réaction normale donnée peut produire est fixé par le coefficient de frottement $\mu$, un nombre sans unité qui dépend des deux matériaux.

Tant que les surfaces ne glissent pas, le frottement est statique : il prend la valeur et la direction qui empêchent le glissement, jusqu'à une limite :
$f_s\le {\mu }_{s}N$
Une caisse posée sur un sol horizontal, que personne ne pousse, ne subit aucun frottement. Poussez-la avec 50 N : le frottement répond par 50 N ; seule une poussée supérieure à la limite la met en mouvement.

Dès que les surfaces glissent, le frottement est dynamique. Il est dirigé contre le glissement et a une valeur bien définie :
$f_d={\mu }_{d}N$
En général, ${\mu }_d$ est un peu inférieur à ${\mu }_s$ : c'est pourquoi un canapé est plus difficile à mettre en mouvement qu'à maintenir en mouvement. Voici des valeurs typiques : 0,8 pour le caoutchouc sur une route sèche, 0,3 pour du bois sur du bois et 0,02 pour un patin sur la glace. Aucune des deux lois ne dépend beaucoup de l'aire de contact ni de la vitesse.

Décomposer le poids sur une pente

Sur un plan incliné d'angle $\theta$, prenons un axe le long de la pente, orienté vers le bas, et un axe perpendiculaire à celle-ci. $N$ et $f$ sont alors portés par les axes, et seul le poids $mg$ doit être décomposé. Incliner la surface de $\theta$ incline sa perpendiculaire du même angle : le poids fait donc l'angle $\theta$ avec elle. La composante le long de la pente tire le bloc vers le bas ; la composante perpendiculaire le presse contre la surface, et la réaction normale la compense :

• $F_{\parallel }=mg\sin \theta$
• $N=mg\cos \theta$

Vérifions les cas extrêmes : sur un sol horizontal, $\theta =0$, rien ne tire le long de la surface ; sur un mur vertical, $\theta =90^{\circ }$, rien ne presse contre lui. Sur la pente de 30° de l'animation, $\sin 30^{\circ }=0,5$ et $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$ : la moitié du poids tire vers le bas, et $N$ vaut 87 % du poids, non sa totalité.

La deuxième loi de Newton le long de la pente

Pour un bloc qui descend, le frottement dynamique ${\mu }_{d}mg\cos \theta$ est dirigé vers le haut de la pente. La masse figure dans chaque terme de la deuxième loi de Newton le long de la pente, $ma=mg\sin \theta -{\mu }_{d}mg\cos \theta$ ; elle se simplifie donc :
$a=g(\sin \theta -{\mu }_d\cos \theta )$
Un bloc lourd et un bloc léger du même matériau descendent donc côte à côte. Pour un bloc qui monte, le frottement est lui aussi dirigé vers le bas de la pente, et le bloc ralentit avec $g(\sin \theta +{\mu }_d\cos \theta )$.

Un bloc au repos se met à glisser dès que la composante $mg\sin \theta$ qui le tire vers le bas dépasse le maximum que peut fournir le frottement statique, ${\mu }_{s}mg\cos \theta$. En divisant les deux par $mg\cos \theta$, il reste
$\tan \theta >{\mu }_s$
La masse disparaît encore. L'angle limite, pour lequel $\tan {\theta }_0={\mu }_s$, est l'angle de repos.

Exemple résolu : le bloc de l'animation

Le bloc part du repos et descend une pente de 30° avec ${\mu }_d=0,2$. La masse n'est pas nécessaire, mais prenons $m=2\mathrm{kg}$ pour voir les forces en newtons. Le poids vaut $mg=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, donc
$F_{\parallel }=19,62\cdot 0,5=9,81\mathrm{N},N=19,62\cdot 0,866\approx 16,99\mathrm{N}$
$f_d=0,2\cdot 16,99\approx 3,40\mathrm{N},a=\frac{9,81-3,40}{2}\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
La formule donne le même résultat sans la masse : $a=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$, la valeur affichée sous la formule dans l'animation, contre $g\sin 30^{\circ }\approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$ sans frottement.

Comme $a$ est constante, la cinématique du mouvement rectiligne s'applique. Au bout de 1 s, le bloc va à 3,21 m/s et a glissé de $\frac{1}{2}\cdot 3,21\cdot 1^2\approx 1,60\mathrm{m}$ ; au bout de 2 s, il va à 6,41 m/s et a glissé de 6,41 m. Ce sont les contours gris. La glissade mesure 7,8 m et dure environ 2,2 s, et les valeurs affichées s'arrêtent près de $v=7,1m/s$ et $s=7,8\mathrm{m}$, comme le prévoit $v^2=2as$. Sans frottement, le bloc arriverait au bas de la même pente à 8,7 m/s.

Exemple résolu : une caisse sur une rampe de chargement

Une caisse de 30 kg repose sur une rampe inclinée à 20°, avec ${\mu }_s=0,5$ et ${\mu }_d=0,4$. Reste-t-elle en place, et quelle poussée parallèle à la rampe la fait monter à vitesse constante ?

Son poids vaut $30\cdot 9,81=294,3\mathrm{N}$, donc $F_{\parallel }=294,3\cdot \sin 20^{\circ }\approx 100,7\mathrm{N}$ et $N=294,3\cdot \cos 20^{\circ }\approx 276,6\mathrm{N}$. Comme $\tan 20^{\circ }\approx 0,36$ est inférieur à 0,5, la caisse reste en place, et le frottement statique égale la composante qui tire vers le bas : 100,7 N dirigés vers le haut de la rampe, et non la limite ${\mu }_{s}N\approx 138,3\mathrm{N}$.

À vitesse constante vers le haut de la rampe, la force résultante est nulle. Le frottement s'oppose maintenant à la montée : il est donc dirigé vers le bas de la rampe, comme la composante qui tire vers le bas :
$F=mg(\sin \theta +{\mu }_d\cos \theta )=100,7+0,4\cdot 276,6\approx 211,3\mathrm{N}$
Soulever la caisse à la verticale exigerait ses 294 N en entier ; une rampe sans frottement ramènerait cet effort à 100,7 N, et le frottement le porte à 211 N.

Lire le diagramme des forces

Toutes les flèches de force de l'animation suivent la même échelle : le diagramme se lit donc en nombres. La flèche verte $mg$ est la diagonale d'un rectangle dont les côtés sont ses deux composantes vertes fines : la composante le long de la pente vaut exactement la moitié de $mg$, celle qui presse contre la pente 87 % de $mg$, et la flèche bleue $N$ compense cette dernière. La petite flèche dorée $f$, qui vaut un cinquième de $N$, compense environ un tiers de la composante qui tire vers le bas, et laisse comme force résultante $0,5mg-0,173mg\approx 0,327mg$.

Additionnées, $N$ et $f$ donnent la force totale de la pente sur le bloc. Un bloc au repos exige qu'elle soit dirigée droit vers le haut et compense le poids ; pour le bloc qui glisse, le frottement est trop faible, et la force restante est dirigée vers le bas de la pente. Les valeurs affichées en montrent la conséquence : $v$ gagne 3,21 m/s chaque seconde, tandis que $s$ augmente de 1,60 m pendant la première seconde et de 4,81 m pendant la suivante.

Erreurs fréquentes

• La réaction normale n'est pas toujours égale au poids : sur la pente de 30°, le bloc de 2 kg subit $N\approx 16,99\mathrm{N}$, et non 19,62 N.
• Le frottement statique ne vaut pas ${\mu }_{s}N$ par défaut : la caisse au repos sur la rampe de 20° subit 100,7 N, et non les 138,3 N du maximum, et une caisse que personne ne pousse sur un sol horizontal ne subit aucun frottement.
• Le frottement n'est pas toujours dirigé vers le haut de la pente. Il s'oppose au glissement, ou au glissement sur le point de se produire : pour la caisse poussée vers le haut de la rampe, il est dirigé vers le bas, et la poussée doit valoir 211,3 N.
• Les blocs plus lourds ne glissent pas plus vite : la masse se simplifie, et un bloc de 20 kg du même matériau accélère lui aussi à 3,21 m/s² sur la pente de l'animation.
• Ajouter le frottement à la composante qui tire vers le bas pour un bloc qui descend donne $9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$, ce qui est la décélération d'un bloc qui monte. Vérifiez le choix du sinus et du cosinus avec $\theta =0$ : sur un sol horizontal, rien ne tire le long de la surface.

Où on le rencontre

Un pneu qui roule adhère grâce au frottement statique, car sa zone de contact ne glisse pas sur la route ; les freins antiblocage maintiennent les roues en rotation pour que le frottement dynamique, plus faible, ne prenne jamais le relais. Les rampes d'accès pour fauteuils roulants sont limitées à une pente d'environ 1 sur 12, soit moins de 5°, pour que l'effort de poussée reste faible. Les tas de sable ou de gravier tiennent à leur angle de repos, d'environ 30 à 40°, et la plupart des avalanches de neige partent sur des pentes de 30 à 45°. La suite : Travail, énergie et puissance montre où va l'énergie prélevée par le frottement, Mouvement circulaire montre comment le frottement retient une voiture dans un virage, et Machines simples : leviers, poulies et engrenages traite le plan incliné, le coin et la vis comme des machines.

Avancé

La pente lisse

Commençons sans frottement, car la pente lisse fixe les deux composantes du poids qu'utilisent toutes les équations suivantes. Un bloc de masse $m$ repose sur un plan incliné d'un angle $\theta$ par rapport à l'horizontale. Son poids $m\vec{g}$ est dirigé verticalement vers le bas. Décomposez-le en une partie le long de la pente et une partie perpendiculaire à celle-ci, selon la normale (la droite perpendiculaire à la surface). Le poids fait l'angle $\theta$ avec la normale : la partie le long de la pente vaut donc $mg\sin \theta$, et celle qui presse sur la surface $mg\cos \theta$. Le bloc ne s'enfonce pas dans la pente et ne s'en décolle pas : la pente le repousse donc avec la réaction normale $N=mg\cos \theta$.

La composante le long de la pente se déduit aussi de la seule énergie. Poussez lentement un poids $W$ vers le haut d'une pente sans frottement de longueur $L$ et de hauteur $h$. La poussée $F$ fournit le travail $FL$, qui devient entièrement de l'énergie potentielle $Wh$ ; donc $F=Wh/L=W\sin \theta$.

Simon Stevin a obtenu le même résultat en 1586 par une expérience de pensée : une boucle fermée de perles posée sur un prisme triangulaire et pendant librement en dessous. La boucle ne se met jamais à tourner d'elle-même, ce qui serait un mouvement perpétuel, et sa partie pendante est symétrique et s'équilibre seule. Les nombreuses perles de la face longue et douce doivent donc tirer le long de leur face aussi fort que les quelques perles de la face courte et raide. Le nombre de perles sur une face est proportionnel à sa longueur $L$, donc la traction d'une perle est proportionnelle à $1/L$. Les deux faces s'élèvent de la même hauteur $h$ : cette traction est donc proportionnelle à $h/L$, c'est-à-dire à $\sin \theta$.

Deux sortes de frottement

Rendons maintenant les surfaces rugueuses. Le frottement est la partie de la force de contact parallèle à la surface, et il en existe deux sortes, qui obéissent à des règles différentes. Savoir les distinguer décide de chacun des problèmes qui suivent.

Quand les surfaces glissent l'une sur l'autre, le frottement dynamique est une force bien définie. Sa valeur est ${\mu }_{d}N$, où le coefficient dynamique ${\mu }_d$ (noté ${\mu }_k$ sur les figures) est un nombre sans dimension propre au couple de matériaux ; en première approximation, il ne dépend pas de la vitesse de glissement. Ce frottement est opposé à la vitesse $\vec{v}$ d'une surface par rapport à l'autre. En divisant $\vec{v}$ par sa norme $|\vec{v}|$, on obtient un vecteur unitaire dans le sens du mouvement, d'où
${\vec{f}}_d=-{\mu }_{d}N\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Quand les surfaces ne glissent pas, le frottement statique est une force de liaison, comme la réaction normale. Sa valeur et sa direction dans le plan de contact sont celles qui empêchent les surfaces de glisser. Sa seule loi est un plafond, fixé par le coefficient statique ${\mu }_s$ :
$|{\vec{f}}_s|\le {\mu }_{s}N$

Pour la plupart des couples, ${\mu }_s>{\mu }_d$. Le frottement n'est donc pas une fonction de la vitesse : à $v=0$, il peut prendre toute valeur jusqu'à ${\mu }_{s}N$, et dès que le glissement commence, il saute à ${\mu }_{d}N$.

Sur la pente, mesurez $x$ vers le bas, de sorte que $\ddot{x}$ soit l'accélération vers le bas de la pente. Un bloc qui descend subit un frottement dirigé vers le haut de la pente, et la deuxième loi de Newton le long de la pente, divisée par $m$, donne
$\ddot{x}=g(\sin \theta -{\mu }_d\cos \theta )$
Un bloc qui monte subit un frottement dirigé vers le bas de la pente, qui s'ajoute à la pesanteur :
$\ddot{x}=g(\sin \theta +{\mu }_d\cos \theta )$
Ce $\ddot{x}$ est positif alors que la vitesse $\dot{x}$ est négative : il ralentit donc le bloc. Un bloc au repos a besoin d'un frottement statique $mg\sin \theta$ dirigé vers le haut de la pente, qui reste sous le plafond ${\mu }_{s}mg\cos \theta$ exactement quand $\tan \theta \le {\mu }_s$ ; le bloc reste alors au repos.

Une conséquence passe facilement inaperçue. Si $\tan \theta <{\mu }_d$, la première équation donne un $\ddot{x}$ négatif : un bloc lancé vers le bas ralentit et s'arrête. Il est alors retenu par le frottement statique : le frottement arrête le mouvement, mais il ne repousse jamais le bloc vers le haut.

Le frottement statique s'ajuste à la traction

Légende

$f$	Frottement le long de la pente, compté positivement vers le haut de la pente.	$\mathrm{N}$
$F$	Traction le long de la pente, comptée positivement vers le haut ; une valeur négative tire vers le bas de la pente.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{s}N$	Frottement statique maximal : le plafond en pointillés que la droite ne peut pas franchir.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{k}N$	Valeur du frottement dynamique, ${\mu }_{d}N$, une fois que le bloc glisse.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Composante du poids le long de la pente : la traction pour laquelle le frottement est nul.	$\mathrm{N}$
$F_1$	Plus faible traction pour laquelle le bloc reste au repos, $mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$ ; négative ici.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Plus forte traction pour laquelle le bloc reste au repos, $mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$.	$\mathrm{N}$
$f_s$	Frottement statique : ce qu'il faut pour équilibrer les autres forces, $mg\sin \theta -F$.	$\mathrm{N}$
$f_k$	Frottement dynamique, toujours opposé au glissement : ici $-{\mu }_{d}N$, car le bloc remonte la pente.	$\mathrm{N}$

Cette section montre la loi statique à l'œuvre : la valeur et le sens du frottement statique sont fixés par les autres forces, et non par une formule propre. La figure 1 suit le frottement $f$ sur un bloc qui reste seul au repos sur une pente douce, avec $\tan \theta <{\mu }_s$, pendant qu'on augmente lentement une traction $F$ le long de la pente. Les deux forces $F$ et $f$ sont comptées positivement vers le haut de la pente.

Tant que le bloc reste au repos, $\ddot{x}=0$ : les forces le long de la pente s'équilibrent, et les forces dirigées vers le haut, $f+F$, égalent la composante $mg\sin \theta$ dirigée vers le bas. Le frottement nécessaire au bloc est donc
$f=mg\sin \theta -F$
C'est la droite descendante $f_s$ de la figure 1. Lisez-la de gauche à droite. Pour $F=0$, le frottement porte toute la composante $mg\sin \theta$ et est dirigé vers le haut de la pente. Il diminue à mesure que la traction prend le relais, s'annule là où la droite coupe l'axe, en $F=mg\sin \theta$ (le point vert), et devient négatif au-delà : le frottement est alors dirigé vers le bas de la pente et retient le bloc contre la traction.

La droite n'est permise qu'entre les niveaux en pointillés $+{\mu }_{s}N$ et $-{\mu }_{s}N$. En posant $f=+{\mu }_{s}N$ et $f=-{\mu }_{s}N$, avec $N=mg\cos \theta$, on obtient les deux extrémités du segment permis :
$F_1=mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$
$F_2=mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$
Le bloc reste au repos pour toute traction comprise entre $F_1$ et $F_2$, la zone ombrée. Ici, $F_1$ est négatif : même une traction vers le bas de la pente est contrée, jusqu'à ce que sa valeur dépasse $|F_1|$. (Sur une pente plus raide, avec $\tan \theta >{\mu }_s$, $F_1$ serait positif : il faudrait au moins cette traction vers le haut de la pente pour retenir le bloc.)

Hors de la zone ombrée, le bloc glisse, et le frottement retombe de ${\mu }_{s}N$ à ${\mu }_{d}N$, jusqu'aux cercles vides. Pour des tractions inférieures à $F_1$, le bloc descend, et le frottement $+{\mu }_{d}N$ est dirigé vers le haut de la pente. Pour des tractions supérieures à $F_2$, il monte, et le frottement $f_k=-{\mu }_{d}N$ est dirigé vers le bas de la pente. D'où la règle pour les problèmes : décidez dans quel sens le bloc se déplace, ou est sur le point de se déplacer, avant d'écrire le sens du frottement dans les équations.

La glissade de l'animation

Cette section chiffre l'équation du glissement à l'aide de l'animation : un bloc lâché sans vitesse sur une pente de 30°, avec ${\mu }_d=0,2$. Son accélération vers le bas de la pente vaut
$a=g(\sin \theta -{\mu }_d\cos \theta )=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
Sur le graphe de la vue experte de l'animation, $v(t)$ est donc une droite pleine de pente 3,21 m/s². Au-dessus passe la droite en pointillés du cas sans frottement, de pente $g\sin \theta \approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$. Les deux droites s'écartent du terme de frottement, $g{\mu }_d\cos \theta \approx 1,70m/s$ chaque seconde. La glissade dure 2,2 s : le bloc finit donc à 7,1 m/s au lieu de 10,8 m/s. L'aire sous la droite pleine est la distance parcourue, $\frac{1}{2}\cdot 2,2\cdot 7,06\approx 7,8\mathrm{m}$ : la longueur de la glissade.

Où va l'énergie

Légende

$s$	Distance parcourue par le bloc le long de la pente.	$\mathrm{m}$
$h$	Hauteur dont le bloc descend : $h=s\sin \theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Angle de la pente par rapport à l'horizontale.	$\mathrm{rad}$
$W_g$	Travail du poids, $mgh=mgs\sin \theta$ : l'énergie libérée.	$\mathrm{J}$
$Q$	Chaleur produite par le frottement, $f_{d}s={\mu }_{d}mgs\cos \theta$.	$\mathrm{J}$
$K$	Énergie cinétique acquise, $\frac{1}{2}m{v}^2=W_g-Q$.	$\mathrm{J}$

On peut suivre la même glissade par l'énergie plutôt que par les forces. On voit ainsi où finit l'énergie libérée par la pesanteur, et l'on obtient la vitesse finale sans avoir besoin de la durée.

Sur la figure 2, le bloc part du repos à la position pâle et glisse d'une distance $s$ jusqu'à la position pleine. Lisez la descente à gauche : $h=s\sin \theta$. Le poids fournit le travail $W_g=mgh=mgs\sin \theta$, la barre verte, tracée à la même échelle de hauteur que $h$ pour que les deux se correspondent. Le frottement a la valeur constante $f_d={\mu }_{d}N={\mu }_{d}mg\cos \theta$ sur la même distance $s$ : il transforme donc l'énergie $Q=f_{d}s={\mu }_{d}mgs\cos \theta$ en chaleur, la partie dorée de la seconde barre. Le reste, la partie violette, est l'énergie cinétique $K=\frac{1}{2}m{v}^2$. C'est le théorème de l'énergie cinétique, $K=W_g-Q$ :
$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs(\sin \theta -{\mu }_d\cos \theta )$

En divisant $Q$ par $W_g$, on simplifie par $m$, $g$ et $s$ : le frottement prélève la part $Q/W_g={\mu }_d\cos \theta /\sin \theta ={\mu }_d\cot \theta$ de l'énergie libérée. Ici, cela fait $0,2\cdot 1,732\approx 0,35$, le tiers doré de la seconde barre. Pour la glissade de 7,78 m de l'animation, par kilogramme de bloc, la pesanteur libère $9,81\cdot 0,5\cdot 7,78\approx 38,2\mathrm{J}$ ; 13,2 J deviennent de la chaleur et 24,9 J de l'énergie cinétique, donc $v=\sqrt{2\cdot 24,9}\approx 7,06m/s$, la vitesse donnée par le graphe de la vitesse.

La chaleur croît avec la longueur du chemin, et pas seulement avec ses points de départ et d'arrivée. C'est pourquoi on ne peut définir aucune énergie potentielle pour le frottement.

Le cône de frottement

Légende

$\vec{R}$	Force de contact de la pente sur le bloc : $\vec{N}+\vec{f}$.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Réaction normale : la partie de $\vec{R}$ perpendiculaire à la pente.	$\mathrm{N}$
$\vec{f}$	Frottement : la partie de $\vec{R}$ le long de la pente, ici vers le haut.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Poids, que $\vec{R}$ doit annuler pour que le bloc reste au repos.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Angle de la pente, qui est aussi l'angle entre $\vec{R}$ et la normale.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_s$	Demi-angle du cône de frottement statique : $\tan {\phi }_s={\mu }_s$.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_k$	Demi-angle du cône de frottement dynamique : $\tan {\phi }_k={\mu }_d$.	$\mathrm{rad}$

Les deux lois du frottement ont une forme géométrique qui ramène le glissement à une comparaison d'angles. Au lieu de traiter $N$ et $f$ séparément, la figure 3 représente toute la force exercée par la pente sur un bloc au repos par un seul vecteur, la force de contact $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Sa partie perpendiculaire à la pente est la réaction normale $\vec{N}$, et sa partie le long de la pente est le frottement $\vec{f}$ ; les traits en pointillés complètent la somme. L'angle $\phi$ dont $\vec{R}$ s'écarte de la normale vérifie $\tan \phi =f/N$.

La loi statique $f\le {\mu }_{s}N$ s'écrit donc $\tan \phi \le {\mu }_s$ : $\vec{R}$ doit rester dans le cône de frottement, de demi-angle ${\phi }_s$ tel que $\tan {\phi }_s={\mu }_s$, la large zone ombrée autour de la normale. Regardez maintenant le bloc au repos. Seules deux forces agissent sur lui, $\vec{R}$ et le poids $m\vec{g}$ : $\vec{R}$ doit donc être vertical, dirigé vers le haut. Sur une pente inclinée de $\theta$, une verticale fait l'angle $\theta$ avec la normale, l'angle marqué entre $\vec{N}$ et $\vec{R}$. Le bloc ne peut donc rester au repos que tant que $\theta \le {\phi }_s$.

La pente la plus raide qui retient le bloc, l'angle de repos ${\theta }_0$, est donc l'angle de frottement : $\tan {\theta }_0={\mu }_s$, soit 26,6° pour ${\mu }_s=0,5$. Cela donne un moyen simple de mesurer ${\mu }_s$ : inclinez une planche jusqu'à ce qu'un bloc posé dessus glisse. La masse n'intervient pas : un bloc chargé glisse sous le même angle.

Dès que le bloc glisse, $f={\mu }_{d}N$ exactement : $\vec{R}$ se trouve alors sur le bord du cône dynamique, plus étroit, de demi-angle ${\phi }_k$ tel que $\tan {\phi }_k={\mu }_d$, la zone plus foncée à l'intérieur du premier. Sur la figure 3, l'angle de la pente se situe entre les deux : ${\phi }_k<\theta <{\phi }_s$. Le $\vec{R}$ vertical tombe dans le cône statique : un bloc au repos reste au repos. Il tombe hors du cône dynamique : la force de contact sur un bloc qui glisse ne peut pas être verticale, ni donc équilibrer le poids, et ce bloc accélère. Sur une pente telle que $\theta <{\phi }_k$, c'est l'inverse : le frottement l'emporte sur la composante du poids le long de la pente, et un bloc qui glisse ralentit jusqu'à l'arrêt.

Le meilleur angle de traction

Légende

$\vec{F}$	Traction de la corde ; celle qui est tracée est la plus petite qui équilibre les deux autres forces.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Poids de la caisse.	$\mathrm{N}$
$\vec{R}$	Force du sol sur la caisse : réaction normale plus frottement.	$\mathrm{N}$
$\phi$	Angle de frottement entre $\vec{R}$ et la verticale : $\tan \phi ={\mu }_d$.	$\mathrm{rad}$
$\alpha$	Angle de la corde au-dessus de l'horizontale.	$\mathrm{rad}$

L'angle de frottement répond aussi à une question pratique : sous quel angle une corde doit-elle tirer pour traîner une lourde caisse avec la plus petite force ? À gauche de la figure 4, une caisse de 30 kg glisse à vitesse constante sur un sol horizontal, avec ${\mu }_d=0,4$, tirée par une corde qui fait l'angle $\alpha$ au-dessus de l'horizontale.

Un glissement à vitesse constante signifie une force résultante nulle. Trois forces agissent : la traction $\vec{F}$, le poids $m\vec{g}$ et la force du sol $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Leur somme est nulle, $\vec{F}+\vec{R}+m\vec{g}=0$ : mises bout à bout, elles ferment donc un triangle, à droite de la figure 4.

Deux côtés du triangle sont imposés. Le poids $m\vec{g}$ est fixé en valeur et en direction. La direction de $\vec{R}$ l'est aussi : la caisse glisse, donc $f={\mu }_{d}N$, et $\vec{R}$ penche en arrière par rapport à la verticale, contre le mouvement, de l'angle de frottement $\phi$ tel que $\tan \phi ={\mu }_d$. Seul $\vec{F}$ est libre : il doit partir de la droite qui porte $\vec{R}$ et aboutir à l'origine de $m\vec{g}$. Les traits en pointillés montrent quelques autres tractions qui assureraient aussi l'équilibre, chacune avec son propre $\alpha$. Le plus court segment entre un point et une droite la rencontre à angle droit : la plus petite traction est donc perpendiculaire à $\vec{R}$. Comme $\vec{R}$ est à $\phi$ de la verticale, cette traction est à $\phi$ de l'horizontale : le meilleur angle de la corde est $\alpha =\phi$, et alors $F=mg\sin \phi$.

Le calcul le confirme. La corde soulève une partie de la charge, si bien que le sol ne pousse vers le haut qu'avec $N=mg-F\sin \alpha$. Le glissement à vitesse constante exige que la partie horizontale de la traction égale le frottement, $F\cos \alpha ={\mu }_d(mg-F\sin \alpha )$, d'où
$F=\frac{{\mu }_{d}mg}{\cos \alpha +{\mu }_d\sin \alpha }$
La traction est minimale quand le dénominateur est maximal, là où sa dérivée $-\sin \alpha +{\mu }_d\cos \alpha$ s'annule, c'est-à-dire pour $\tan \alpha ={\mu }_d$, ici $\alpha =21,8^{\circ }$. Alors $F=109,3\mathrm{N}$, contre 117,7 N pour une traction horizontale, et le triangle donne la même valeur, $mg\sin \phi =294,3\cdot \sin 21,8^{\circ }\approx 109,3\mathrm{N}$. L'angle de frottement fixe le meilleur angle de traction.

Pourquoi le frottement est proportionnel à la charge

Les lois du frottement sont des règles empiriques, et non des lois fondamentales comme la gravitation. Cette section explique d'où elles viennent. Léonard de Vinci a remarqué vers 1500 que le frottement ne dépend pas de l'aire de contact ; Guillaume Amontons a énoncé sa proportionnalité à la charge en 1699, et Charles-Augustin de Coulomb a ajouté en 1781 que le frottement dynamique dépend à peine de la vitesse.

Le fait essentiel est que même des surfaces polies ne se touchent qu'au sommet de leurs aspérités les plus hautes. Ces sommets s'écrasent jusqu'à porter ensemble la charge, et un sommet écrasé supporte une pression à peu près égale à la dureté $H$ du matériau le plus mou. L'aire de contact réelle vaut donc environ $A_{\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{elle}}\approx N/H$. Un bloc d'acier de 2 kg sur de l'acier, avec $N\approx 20\mathrm{N}$ et $H\approx 2\times 10^9\mathrm{Pa}$, ne touche que sur $10^{-8}{\mathrm{m}}^2$, environ un millionième d'une face de 10 cm sur 10 cm. Voilà pourquoi l'aire apparente ne compte pas : sur une face plus grande, chaque sommet est moins pressé, mais l'aire réelle totale reste fixée par $N$.

Aux sommets, les atomes des deux surfaces se lient. Le glissement doit cisailler ces jonctions, ce qui exige une force $\tau A_{\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{elle}}$, où $\tau$ est la résistance au cisaillement du matériau le plus mou. En réunissant les deux étapes,
$f\approx \tau A_{\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{elle}}\approx \frac{\tau }{H}N$
on obtient une loi de frottement avec $\mu \approx \tau /H$. Pour les métaux, $\tau /H$ vaut environ 1/6, soit à peu près 0,2. Les valeurs mesurées vont d'environ 0,1 à 1, car les jonctions grossissent en étant cisaillées et les aspérités dures creusent des sillons dans la surface plus molle. Le travail fourni finit en vibrations des atomes du réseau, c'est-à-dire en chaleur. Soulever le corps qui glisse par-dessus les bosses ne peut pas en être la cause, puisque l'énergie dépensée pour gravir une bosse serait rendue quand il redescend de l'autre côté.

Mouvement saccadé et roulement

Deux effets de la vie courante en découlent : l'un vient de l'écart entre les deux coefficients, l'autre du fait d'éviter tout glissement.

Comme ${\mu }_s>{\mu }_d$, un corps entraîné par l'intermédiaire d'un élément élastique, quel qu'il soit, tend à avancer par saccades. Il reste collé tant que la traction du ressort monte jusqu'à ${\mu }_{s}N$. Puis il glisse, le frottement tombe à ${\mu }_{d}N$, et le corps bondit en avant en détendant le ressort, jusqu'à se recoller. Ce mouvement saccadé (stick-slip) fait grincer les portes, entretient la vibration d'une corde de violon frottée par l'archet, et permet à des failles de la croûte terrestre de rester bloquées pendant des siècles avant de glisser lors de séismes.

Une roue qui roule évite le glissement. Son point de contact est à chaque instant au repos sur le sol : le frottement statique y agit, mais ne travaille pas. Il ne reste que la résistance au roulement, dont les coefficients valent environ 0,001 pour une roue de train et 0,01 pour un pneu de voiture.

Problème résolu : le bloc renvoyé vers le haut

Au pied de la pente de l'animation, le bloc va à 7,06 m/s. Un butoir à ressort le renvoie vers le haut à la même vitesse ; prenez ${\mu }_d=0,2$ et ${\mu }_s=0,3$. Jusqu'où monte-t-il, et à quelle vitesse revient-il ?

À la montée, la pesanteur et le frottement sont tous deux dirigés vers le bas de la pente : le bloc ralentit donc avec
$g(\sin \theta +{\mu }_d\cos \theta )=9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$
Avec une décélération constante, la vitesse tombe à zéro au bout de $t=v/a=7,06/6,60\approx 1,07\mathrm{s}$, et d'après $v^2=2ad$, le bloc est monté de $d=7,06^2/(2\cdot 6,60)\approx 3,78\mathrm{m}$ le long de la pente.

Il ne peut pas y rester : $\tan 30^{\circ }\approx 0,577$ dépasse ${\mu }_s$, si bien que le frottement statique ne peut pas le retenir. Il redescend avec les 3,21 m/s² de l'animation et atteint le butoir au bout de $\sqrt{2\cdot 3,78/3,21}\approx 1,53\mathrm{s}$, à $\sqrt{2\cdot 3,21\cdot 3,78}\approx 4,9m/s$.

La descente dure plus longtemps que la montée, car son accélération est plus faible. Les deux trajets couvrent la même distance $d$ : d'après $v^2=2ad$, la vitesse de retour vaut donc $\sqrt{3,21/6,60}\approx 0,70$ fois la vitesse de départ, et l'énergie cinétique 0,49 fois. Le reste est devenu de la chaleur sur les 7,55 m parcourus : un frottement de $g{\mu }_d\cos \theta \approx 1,70\mathrm{N}$ par kilogramme sur 7,55 m donne 12,8 J par kilogramme, ce qui correspond bien à l'énergie cinétique perdue.

En prenant le bas de la pente comme sens positif, $v(t)$ est formée de deux droites qui se rejoignent en $v=0$, de pentes 6,60 et 3,21 m/s². La vitesse est continue, mais l'accélération saute, car le frottement s'inverse avec le mouvement. Chaque rebond répète le facteur 0,70, et toutes les durées d'un trajet sont proportionnelles à sa vitesse de départ : chaque aller-retour dure donc 0,70 fois le précédent. Le premier dure $1,07+1,53=2,60\mathrm{s}$ ; les allers-retours de plus en plus courts forment donc une série géométrique dont la durée totale est $2,60/(1-0,697)\approx 8,6\mathrm{s}$.

Limites de validité

La mécanique de Newton cède la place près de la vitesse de la lumière ou à l'échelle atomique. La loi du frottement n'a pas de frontière unique de ce genre : elle tombe en défaut dès que les surfaces ne se comportent plus comme un couple sec ordinaire. Des métaux propres dans le vide, sans couche d'oxyde entre eux, se lient en un seul morceau : $\mu$ dépasse 1 et les pièces peuvent se souder à froid, un vrai souci pour les engins spatiaux. Les tables de $\mu$ pour l'acier sur l'acier décrivent en réalité des films d'oxyde et de la graisse.

Le caoutchouc s'écoule dans les aspérités de la route : son adhérence dépend donc de l'aire, de la vitesse et de la température, et les pneus de course dépassent $\mu =1$. Des surfaces très planes, comme du verre poli, adhèrent l'une à l'autre même sans charge. Un patin sur la glace a ${\mu }_d\approx 0,02$, parce qu'une fine couche quasi liquide le lubrifie. Aux grandes vitesses de glissement, les sommets en contact montent en un éclair à des centaines de degrés, et $\mu$ diminue.

Le modèle du point matériel a sa propre limite : un vrai bloc peut basculer au lieu de glisser. Sur une pente, il bascule par-dessus son arête inférieure dès que $\tan \theta$ dépasse sa longueur le long de la pente divisée par sa hauteur, et il glisse dès que $\tan \theta$ dépasse ${\mu }_s$. Un bloc plus de $1/{\mu }_s$ fois plus haut que long, deux fois plus haut pour ${\mu }_s=0,5$, bascule donc avant de glisser.

Où cela mène

Dans Travail, énergie et puissance, le frottement dynamique est la force non conservative type, dont le travail $-{\mu }_{d}Ns$ devient chaleur. Dans Mouvement circulaire, le frottement statique retient une voiture dans un virage plat jusqu'à $v=\sqrt{{\mu }_{s}gr}$, et les virages relevés reprennent les composantes de cette leçon. Dynamique de rotation et moment de force explique le roulement : une bille pleine descend la pente de 30° avec $\frac{5}{7}g\sin \theta \approx 3,50m/{\mathrm{s}}^2$, plus vite que le bloc qui glisse, sans rien perdre par frottement. Équilibre statique et leviers traite les échelles et le basculement ; Machines simples : leviers, poulies et engrenages fait du plan incliné le coin et la vis, qui garde sa charge parce que l'angle de son filet est inférieur à l'angle de frottement ; et Traînée et vitesse limite aborde le frottement fluide, qui croît avec la vitesse.