Charge électrique et électricité statique

Débutant

Retirez un pull en laine dans le noir : vous verrez peut-être de minuscules étincelles et les entendrez crépiter. C'est l'électricité statique, une charge électrique accumulée sur un objet et qui y reste.

Étape 1 : deux sortes de charges. Tout est fait d'atomes. Au centre de chaque atome se trouvent des protons, de charge positive (+) ; autour se déplacent des électrons bien plus légers, de charge négative (−). Un objet ordinaire compte exactement autant d'électrons que de protons : il est neutre.

Étape 2 : la règle du jeu. Des charges de même signe se repoussent ; des charges de signes opposés s'attirent.

Étape 3 : l'électrisation par frottement. Certains matériaux retiennent leurs électrons plus fermement que d'autres. Frottez un ballon de baudruche sur une écharpe en laine : des électrons quittent la laine pour le ballon. Le ballon a désormais des électrons en trop, il est négatif ; il en manque autant à la laine, elle est positive. Aucune charge n'est créée ni détruite : elle se déplace seulement, et le total reste le même.

Étape 4 : conducteurs et isolants. Dans les métaux, certains électrons circulent librement, et une charge ajoutée se répartit sur tout l'objet : ce sont des conducteurs. Dans le caoutchouc, le plastique, le papier ou la laine, les électrons restent en place, et la charge reste là où on l'a déposée : ce sont des isolants.

Étape 5 : attirer des objets neutres. Un ballon chargé déplace légèrement les charges d'un papier voisin : la face tournée vers lui devient un peu positive. Elle est plus proche, donc l'attraction l'emporte et le papier saute.

Testez-vous : un peigne en plastique prend des électrons à vos cheveux. Le peigne est-il positif ou négatif ? Attire-t-il ou repousse-t-il vos cheveux ? (Négatif ; il les attire, car vos cheveux sont devenus positifs.)

Dans l'animation, des électrons bleus sautent de la laine au ballon en laissant des signes plus rouges derrière eux ; puis des bouts de papier bondissent vers le ballon.

Intermédiaire

Ce qu'est la charge, et comment on la compte

La charge électrique est une propriété des particules dont les atomes sont faits. Elle existe en deux sortes, appelées positive et négative par Benjamin Franklin : les protons du noyau portent une charge positive, les électrons qui l'entourent, bien plus légers, une charge négative, et les neutrons aucune. Des charges de même signe se repoussent, des charges de signes opposés s'attirent. Un atome compte autant d'électrons que de protons : il est neutre, sa charge nette est nulle, mais il contient beaucoup des deux sortes.

La charge se mesure en coulombs (C) ; les charges statiques se comptent en général en nanocoulombs (1 nC vaut $10^{-9}\mathrm{C}$) ou en microcoulombs. Elle est toujours un multiple entier d'une portion minimale, la charge élémentaire : un proton porte $+e$ et un électron $-e$, avec
$e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
de sorte que la charge de tout objet vaut
$q=\pm ne,n=0,1,2,\dots$

Dans les solides, les noyaux restent bloqués et seuls les électrons se déplacent ; $n$ compte donc les électrons gagnés (signe $-$) ou perdus (signe $+$). Un coulomb correspond à $6,24\times 10^{18}$ charges élémentaires.

Le frottement sépare les charges ; le total se conserve

Quand deux matériaux différents se touchent, des électrons de surface passent vers celui qui les retient le plus fortement ; le frottement multiplie les points de contact. Le caoutchouc, le PVC et le polyéthylène prennent des électrons à la laine, aux cheveux et à la peau, alors que le verre en cède à la soie. Ces classements, appelés séries triboélectriques, ne sont que des repères approximatifs : l'humidité et les salissures peuvent les modifier.

Le frottement ne crée pas de charge ; il sépare une charge qui était déjà là. Dans un système isolé, c'est-à-dire un système où aucune charge n'entre ni ne sort, le total ne change jamais :
$\sum q=\mathrm{const}\text{(systeˋme isoleˊ)}$
La somme se fait avec les signes : un ballon négatif et une écharpe positive de même valeur donnent zéro, comme avant qu'ils ne se touchent. Aucune expérience n'a jamais pris cette loi en défaut.

Exemple résolu : le ballon de l'animation

Dans l'animation, on frotte le ballon par quatre va-et-vient, et le compteur grimpe jusqu'à $n=6,0\times 10^{10}$ électrons ; chaque signe moins bleu qui saute représente $10^{10}$ d'entre eux. Le ballon a gagné des électrons, donc
$q=-ne=-6,0\times 10^{10}\cdot 1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
$q=-9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}=-9,6\mathrm{nC}$

La laine a perdu exactement ces électrons : elle porte donc $+9,6\mathrm{nC}$. Ce sont les valeurs finales des affichages bleu et rouge ; à chaque instant du frottement, elles sont égales et opposées, puisque chaque signe plus rouge laissé sur la laine correspond à un signe moins bleu sur le ballon.

Est-ce beaucoup ? Un ballon de 3 g contient environ $10^{24}$ électrons : seul un électron sur 17 000 milliards est donc en trop. Les forces électriques sont si intenses que même ce petit déséquilibre soulève du papier.

Conducteurs et isolants

Dans un métal, un ou deux électrons par atome circulent librement dans toute la pièce : une charge en excès se répartit aussitôt et se place sur la surface extérieure. Ces matériaux sont des conducteurs : les métaux, l'eau salée et le corps humain (dans les deux derniers, ce sont des ions qui transportent la charge).

Dans les isolants comme le caoutchouc, le plastique, le verre et le papier sec, les électrons restent liés à leurs atomes, et la charge reste là où on l'a mise. C'est pourquoi, dans l'animation, le ballon tourne vers le papier sa face frottée. Une cuillère en métal tenue à main nue ne peut pas être chargée par frottement : la charge s'écoule par votre corps jusqu'au sol.

Relier un conducteur à la terre, qui peut céder ou absorber n'importe quelle quantité de charge, s'appelle la mise à la terre. Par temps humide, une fine pellicule d'eau à la surface des objets laisse elle aussi fuir la charge, mais plus lentement : les expériences d'électricité statique réussissent donc mieux par temps sec.

Exemple résolu : le partage de la charge entre sphères

Quand deux conducteurs se touchent, des électrons circulent jusqu'à ce que plus rien ne les pousse. Par symétrie, deux conducteurs identiques finissent avec des charges égales, et la conservation fixe le total :
$q^{\prime }=\frac{q_1+q_2}{2}\text{(conducteurs identiques en contact)}$

Trois sphères métalliques identiques sont posées sur des supports isolants : A porte $-12\mathrm{nC}$, B est neutre et C porte $+4\mathrm{nC}$. A touche B, puis B touche C. Quelle charge chaque sphère porte-t-elle à la fin ?

Premier contact : le total vaut $-12\mathrm{nC}$, donc A et B finissent chacune avec $-6\mathrm{nC}$, après le passage de $6\mathrm{nC}/e=3,7\times 10^{10}$ électrons de A vers B. Second contact : le total vaut $-6+4=-2\mathrm{nC}$, donc B et C finissent chacune avec $-1\mathrm{nC}$. Vérification : $-6-1-1=-8\mathrm{nC}$, le total de départ $-12+0+4$. Au second contact, $5\mathrm{nC}/e=3,1\times 10^{10}$ électrons sont passés de B à C, ont annulé ses $+4\mathrm{nC}$ et l'ont laissée légèrement négative ; aucune charge positive ne s'est déplacée.

Attraction sans contact : polarisation et influence

Un objet chargé peut tirer sur un objet neutre sans le toucher. Approchez une tige négative d'une boule métallique : les électrons libres de la boule sont repoussés vers la face éloignée, ce qui laisse la face proche positive. C'est l'influence électrostatique. La boule reste neutre, mais sa face positive est plus proche de la tige, et les forces électriques diminuent avec la distance : l'attraction l'emporte.

Dans le papier, un isolant, les électrons ne peuvent pas voyager ; chaque molécule est plutôt légèrement étirée en un minuscule dipôle, deux charges égales et opposées séparées par une petite distance. Le papier est polarisé : positif sur la face tournée vers le ballon et négatif sur la face opposée, comme le montre le zoom, où les signes + et − s'écartent.

Les flèches sur le bout de papier du milieu montrent ce duel. La flèche $mg$, le poids du bout de papier, reste la même, alors que la flèche verte $F$, la traction électrique, grandit de plus en plus vite à mesure que le ballon descend. Quand $F$ est aussi longue que $mg$, le bout de papier décolle ; celui du milieu, juste sous le ballon, part le premier. Un électroscope utilise lui aussi l'influence : une tige chargée approchée de sa boule envoie dans deux fines lames une charge du signe de la tige, et les lames se repoussent et s'écartent.

Erreurs fréquentes

• Le frottement ne crée pas de charge : les $-9,6\mathrm{nC}$ du ballon et les $+9,6\mathrm{nC}$ de la laine étaient déjà là dans la matière neutre, et leur somme reste nulle.
• Un objet positif a perdu des électrons ; il n'a pas gagné de protons : les $+9,6\mathrm{nC}$ de la laine correspondent à $6,0\times 10^{10}$ électrons manquants.
• Neutre ne veut pas dire sans charge : un ballon neutre de 3 g contient environ 160 000 C de charge négative dans ses électrons, compensée exactement par ses noyaux.
• Être attiré ne prouve pas qu'un corps est chargé : un bout de papier neutre est attiré par l'un ou l'autre signe. Seule la répulsion montre que deux corps portent des charges de même signe.
• Il faut multiplier par $e$, et non diviser : $6,0\times 10^{10}$ électrons portent $9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}$, alors qu'une division donnerait l'absurde $3,7\times 10^{29}\mathrm{C}$.

Où on la rencontre

L'électricité statique sert dans les imprimantes laser et les photocopieuses, dont le tambour chargé retient le toner selon le motif de la page, dans la peinture électrostatique au pistolet et dans les électrofiltres, qui retiennent plus de 99 % des cendres des fumées de centrale. C'est aussi un danger : marcher sur une moquette par temps sec peut vous laisser environ un microcoulomb, assez pour une étincelle à la poignée d'une porte, et les camions-citernes sont mis à la terre avant d'être déchargés. Un éclair transporte de 5 à 30 C.

La leçon suivante, Loi de Coulomb, mesure la force entre deux charges. Champ et potentiel électriques, Condensateurs, puis Courant électrique et résistance suivent la charge dans l'espace qui l'entoure, dans son stockage et dans son mouvement.

Avancé

Une force qui s'annule presque elle-même

Cette section explique pourquoi les forces électriques gouvernent le monde de tous les jours alors que la plupart des corps semblent non chargés. Deux petites charges $q_1$ et $q_2$ séparées par une distance $r$ s'attirent ou se repoussent avec une force de valeur
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
(loi de Coulomb), où $k=8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Comme la gravitation, cette force décroît comme l'inverse du carré de la distance. Contrairement à elle, elle est incomparablement plus intense. Comparons les deux forces entre deux protons, de charge $e$ et de masse $m_p$ chacun, $G$ étant la constante de gravitation. Les deux forces varient en $1/r^2$, donc $r$ se simplifie et le rapport est le même à toute distance :
$\frac{F_e}{F_g}=\frac{k{e}^2}{G{m}_p^2}\approx 1,2\times 10^{36}$

Pourquoi alors la remarque-t-on si rarement ? Parce que la charge a deux signes et que la matière les équilibre presque parfaitement : la charge d'un atome ou d'une molécule est nulle à $10^{-21}e$ près. Une estimation grossière montre pourquoi l'équilibre doit être aussi fin. Une goutte d'eau de 1 g contient $3,3\times 10^{23}$ électrons, soit une charge d'environ $5,4\times 10^4\mathrm{C}$, compensée par la même charge positive dans ses noyaux. Retirez un électron sur un million à chacune de deux telles gouttes, et placez-les à 1 m l'une de l'autre. Chaque goutte garde $q=+0,054\mathrm{C}$, et elles se repoussent avec
$F=\frac{k{q}^2}{r^2}\approx 2,6\times 10^7\mathrm{N}$
soit le poids d'environ 2600 tonnes.

Ce que nous sentons, ce sont des restes. Des atomes voisins sont neutres, mais à des distances atomiques leurs charges positives et négatives ne se superposent pas exactement. Ce léger décalage, c'est la poussée d'une table, la tension d'une corde et les liaisons de la chimie.

Quantifiée, invariante et conservée

Trois faits expérimentaux définissent ce qu'est la charge. Toute théorie de la matière doit respecter les trois.

D'abord, la charge est quantifiée : elle n'existe que sous forme de multiples entiers de la charge élémentaire $e$. Entre 1909 et 1913, Robert Millikan l'a montré en équilibrant de minuscules gouttelettes d'huile chargées contre la pesanteur dans un champ électrique ; toute charge qu'il a mesurée était un nombre entier de fois $e$. Depuis 2019, le Système international fixe exactement $e=1,602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$, et cette valeur définit le coulomb. Les quarks portent des fractions, $+\frac{2}{3}e$ ou $-\frac{1}{3}e$, mais on ne les trouve jamais seuls : ils sont toujours liés en particules de charge entière. Le proton (uud) a $+e$, le neutron (udd) zéro.

Ensuite, la charge est invariante : elle ne dépend pas de la vitesse de la particule chargée. Dans un noyau d'hélium, les protons se déplacent à une fraction importante de la vitesse de la lumière ; dans une molécule d'hydrogène, ils sont presque au repos. Si la charge d'un proton variait avec sa vitesse, l'un des deux gaz porterait une charge nette, or tous deux sont neutres à environ une part sur $10^{20}$. L'énergie, la quantité de mouvement, les longueurs et les durées dépendent toutes de l'observateur ; la charge, non.

Enfin, la charge se conserve : dans tout processus jamais observé, la charge totale après est égale à la charge totale avant. Un photon gamma qui passe près d'un noyau peut se transformer en un électron et un positon, $0\to (-e)+(+e)$. Un neutron libre se désintègre en un proton, un électron et un antineutrino, $0\to (+e)+(-e)+0$. Des particules apparaissent et disparaissent, mais la charge nette ne change pas.

Conservation locale et équation de continuité

Légende

$S$	Surface fermée qui limite le volume $V$.
$V$	Volume intérieur à $S$, maintenu fixe.	${\mathrm{m}}^3$
$\rho$	Charge par unité de volume dans $V$ (les points rouges).	$C/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{J}$	Densité de courant : courant par unité de surface, dirigée dans le sens où circule la charge positive.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	Un petit élément de $S$ sous forme de vecteur : sa longueur est l'aire $dA$ de l'élément et il est dirigé vers l'extérieur de $V$.	${\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Angle entre $\vec{J}$ et $d\vec{A}$ ; supérieur à $90^{\circ }$ là où la charge entre.	$\mathrm{rad}$

La conservation dit plus que « le total reste le même ». La charge ne peut pas disparaître en un endroit pour réapparaître ailleurs : il faut qu'elle y soit transportée. Cette section traduit cette idée en équation, et la figure 1 pose le bilan.

La figure 1 montre un volume fixe $V$ limité par une surface fermée $S$. La charge intérieure est décrite par sa densité $\rho$, la charge par unité de volume (les points rouges). La charge en mouvement est décrite par la densité de courant $\vec{J}$, le courant par unité de surface, dirigée dans le sens où circule la charge positive. Les flèches $\vec{J}$ traversent $S$ dans les deux sens : la plupart sortent de $V$, mais les deux de gauche y entrent.

Pour compter ce qui traverse $S$, découpons-la en petits éléments. L'élément agrandi à droite a pour aire $dA$ ; nous en faisons un vecteur $d\vec{A}$ de longueur $dA$, dirigé vers l'extérieur de $V$. Seule la partie de $\vec{J}$ le long de $d\vec{A}$ fait passer de la charge à travers l'élément ; la partie parallèle glisse le long de celui-ci. Le courant sortant à travers l'élément est donc
$\vec{J}\cdot d\vec{A}=JdA\cos \theta$
où $\theta$ est l'angle entre les deux flèches de l'élément agrandi. Là où la charge sort, $\theta$ est inférieur à $90^{\circ }$ et ce terme est positif ; là où elle entre, $\theta$ est supérieur à $90^{\circ }$ et il est négatif. Sommée sur tous les éléments, ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$ est le courant net qui sort de $V$.

Passons à la physique. Comme $V$ est fixe, la charge qu'il contient ne peut varier qu'en traversant $S$. Elle diminue donc exactement aussi vite que le courant net sort :
$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho dV=-{\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$
C'est la forme intégrale de la conservation locale. Pour en tirer une affirmation sur chaque point, utilisons le théorème de la divergence, qui transforme le flux à travers une surface fermée en une intégrale de volume de la divergence : ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}={\int }_V\nabla \cdot \vec{J}dV$. Puisque $V$ ne bouge pas, la dérivée par rapport au temps peut entrer sous l'intégrale à gauche, et les deux membres deviennent des intégrales sur le même volume :
${\int }_V\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}\right)dV=0$
Cela vaut pour tout volume fixe, aussi petit soit-il. Une intégrale qui s'annule sur toute petite région ne peut le faire que si l'intégrande est nul en chaque point, donc
$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}=0$
C'est l'équation de continuité. En mots : partout où la densité de charge diminue, du courant s'écarte de ce point.

Pourquoi insister sur la loi locale, alors que la loi globale conserverait tout aussi bien le total ? Imaginez une charge qui disparaîtrait sur Terre et réapparaîtrait au même instant sur la Lune. Le total ne changerait jamais. Mais en relativité, deux événements éloignés simultanés pour un observateur ne le sont pas pour un autre observateur qui passe à côté. Ce second observateur verrait la charge manquer pendant un temps, ou bien exister en double. Seule une charge qui traverse continûment les frontières se conserve pour tous les observateurs.

Le graphe $q(t)$ de l'animation montre la forme intégrale à l'œuvre. Prenez $S$ autour du ballon. La charge ne la traverse qu'à l'endroit où le ballon et la laine se touchent, donc la pente de la courbe bleue du ballon est le courant qui entre dans le ballon. La courbe rouge de la laine a la pente opposée à chaque instant : ce que l'un gagne, l'autre le perd. La charge varie de 9,6 nC en 3,2 s, soit un courant moyen de 3,0 nA. Le transfert suit la distance frottée, donc le courant culmine vers 4,7 nA en plein milieu d'un passage et retombe à zéro à chaque extrémité, là où le ballon s'arrête et repart en sens inverse.

Pourquoi un corps neutre est attiré

Légende

$Q$	Charge source positive.	$\mathrm{C}$
$d$	Distance de $Q$ au centre du corps.	$\mathrm{m}$
$q$	Valeur de chacune des deux charges que le champ sépare dans le corps.	$\mathrm{C}$
$\vec{s}$	Séparation des charges, de $-q$ vers $+q$ ; le moment dipolaire est $\vec{p}=q\vec{s}$.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}(\vec{r})$	Champ de $Q$ à l'extrémité $-q$, la plus proche, à la position $\vec{r}$ depuis $Q$.	$N/C$
$\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$	Champ de $Q$ à l'extrémité $+q$ : plus faible, car cette extrémité est plus loin de $Q$.	$N/C$
${\vec{F}}_{-}$	Force sur $-q$, dirigée vers $Q$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{+}$	Force sur $+q$, dirigée à l'opposé de $Q$ et plus petite.	$\mathrm{N}$
$\vec{F}$	Force nette sur le corps, ${\vec{F}}_{-}+{\vec{F}}_{+}$ : dirigée vers $Q$.	$\mathrm{N}$

Un ballon chargé ramasse des bouts de papier sans charge nette. Cette section explique comment, et cherche à quelle vitesse la traction augmente quand le ballon s'approche.

La figure 2 montre un corps neutre à une distance $d$ d'une charge positive $Q$. Les charges du corps ne sont pas rigidement fixées ; elles peuvent se déplacer un peu. Le champ de $Q$ est dirigé en s'éloignant de $Q$ : il repousse les charges positives et attire les négatives. Une charge $-q$ se rassemble du côté proche et $+q$ du côté éloigné, séparées par le petit vecteur $\vec{s}$, tracé de $-q$ vers $+q$. Le corps est devenu un dipôle induit, de moment dipolaire $\vec{p}=q\vec{s}$. La valeur atteinte par $\vec{p}$ dépend de la facilité avec laquelle les charges se déplacent. Dans un champ faible devant ceux qui règnent à l'intérieur des atomes, elle est proportionnelle au champ,
$\vec{p}=\alpha \vec{E}$
où la constante $\alpha$, la polarisabilité, mesure cette facilité.

Examinons maintenant les forces. Chaque extrémité du dipôle subit le champ à l'endroit où elle se trouve. Soit $\vec{r}$ la position de l'extrémité proche, mesurée depuis $Q$. L'extrémité $-q$, en $\vec{r}$, baigne dans le champ $\vec{E}(\vec{r})$ et est tirée vers $Q$ par ${\vec{F}}_{-}$. L'extrémité $+q$, en $\vec{r}+\vec{s}$, est plus loin, dans le champ plus faible $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$, et est repoussée par la force plus petite ${\vec{F}}_{+}$. Les deux charges sont égales et opposées, mais les champs où elles se trouvent ne sont pas égaux, donc les forces ne se compensent pas. Leur somme, la force nette $\vec{F}$ tracée sous le corps, est dirigée vers $Q$.

Pour en trouver la valeur, additionnons les deux forces et développons le champ sur le petit pas $\vec{s}$ : $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})\approx \vec{E}(\vec{r})+(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$, où $(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$ est la variation de $\vec{E}$ sur ce pas. Alors
$\vec{F}=q[\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})-\vec{E}(\vec{r})]\approx (\vec{p}\cdot \nabla )\vec{E}$
Un dipôle ne subit donc une force nette que là où le champ varie d'un endroit à l'autre.

Remplaçons ensuite $\vec{p}=\alpha \vec{E}$. Pour un champ quelconque, $(\vec{E}\cdot \nabla )\vec{E}=\frac{1}{2}\nabla (E^2)-\vec{E}\times (\nabla \times \vec{E})$, et un champ électrostatique a un rotationnel nul, $\nabla \times \vec{E}=0$. Par conséquent
$\vec{F}=\frac{\alpha }{2}\nabla (E^2)$
Près d'une charge ponctuelle, $E=kQ/r^2$, donc $E^2=k^2{Q}^2/r^4$. Son gradient est dirigé vers $Q$ et a pour valeur $4k^2{Q}^2/r^5$. Au niveau du corps, $r=d$, et la traction vaut
$F=\frac{2\alpha k^2{Q}^2}{d^5}\text{(charge ponctuelle)}$

Trois conséquences en découlent. D'abord, la traction est toujours dirigée vers le champ le plus fort, quel que soit le signe de la source, car $E^2$ ignore les signes. Rendez $Q$ négative sur la figure 2 : $\vec{E}$ et $\vec{p}$ s'inversent tous deux et l'extrémité $+q$ devient la plus proche, et pourtant $\vec{F}$ reste dirigée vers $Q$. Ensuite, dans un champ uniforme, $E^2$ est partout le même : il n'y a pas de force nette. Un corps allongé tourne quand même, car il se polarise plus facilement dans le sens de sa longueur ; c'est pourquoi les bouts de papier pivotent en vol et se posent sur une extrémité. Enfin, la traction varie très brutalement avec la distance : diviser $d$ par deux la multiplie par $2^5=32$.

Le graphe $F/mg$ de l'animation, pour le bout de papier du milieu, montre cette variation brutale. Quand le ballon commence à descendre, à 5,6 s, la traction vaut 6 % du poids du bout de papier. Elle atteint un quart à 7,0 s et plus de la moitié à 7,4 s, et elle franchit la ligne pointillée à 1 vers 7,6 s, quand le bout de papier décolle. Pendant ce temps, la distance du centre du ballon au bout de papier passe de 80 à 52 unités. Pour une charge placée au centre, la loi en $1/d^5$ multiplierait la traction par $(80/52{)}^5\approx 8,6$ ; en réalité elle est multipliée par 17. La raison est que la charge se trouve sur la face inférieure du ballon, dont la partie la plus proche vient presque deux fois plus près. Une fois le bout de papier décollé, l'écart se réduit encore et la traction s'emballe.

Conducteurs à l'équilibre

Dans un conducteur, certaines charges peuvent se déplacer : dans un métal, les électrons. Elles continuent de bouger tant qu'un champ les pousse, si bien qu'une fois tout stabilisé, le champ à l'intérieur du matériau est nul, $\vec{E}=0$. Le théorème de Gauss, présenté dans Champ et potentiel électriques, dit alors qu'il n'y a aucune charge nette à l'intérieur : toute charge en excès ou induite se trouve en surface. Le champ juste à l'extérieur est perpendiculaire à la surface, car une composante le long de celle-ci mettrait encore en mouvement les charges de surface. Sa valeur est $E=\sigma /{\epsilon }_0$, où $\sigma$ est la charge par unité de surface et ${\epsilon }_0=1/(4\pi k)$ la permittivité du vide.

Cette même mobilité explique l'électrisation par influence. Approchez une tige chargée d'un conducteur : une charge de signe opposé se rassemble du côté qui lui fait face. Reliez le conducteur à la terre : la charge circule par la liaison jusqu'à ce que le conducteur porte une charge nette opposée à celle de la tige, retenue là par l'attraction de la tige. Coupez d'abord la liaison à la terre, puis retirez la tige, et le conducteur garde cette charge.

La charge s'accumule là où la surface se courbe

Légende

$V$	Potentiel du fil et des deux sphères : le même partout sur le conducteur.	$\mathrm{V}$
$R_1$	Rayon de la plus grande sphère.	$\mathrm{m}$
$R_2$	Rayon de la plus petite sphère.	$\mathrm{m}$
$q_1$	Charge de la plus grande sphère.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Charge de la plus petite sphère.	$\mathrm{C}$
${\vec{E}}_1$	Champ juste à l'extérieur de la plus grande sphère, perpendiculaire à sa surface.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Champ juste à l'extérieur de la plus petite sphère : plus fort, puisque $E=V/R$.	$N/C$

Sur un conducteur chargé, la charge n'est pas répartie uniformément : elle s'accumule là où la surface est la plus courbée. La figure 3 montre le cas le plus simple qui permet de le préciser.

La figure 3 montre deux sphères conductrices de rayons $R_1$ et $R_2$, la première étant la plus grande, éloignées l'une de l'autre et reliées par un fil fin. Ensemble, elles forment un seul conducteur : la charge circule dans le fil jusqu'à ce que tout, fil et deux sphères, soit au même potentiel $V$. Comme les sphères sont éloignées, le potentiel de chacune ne vient que de sa propre charge, et une sphère de rayon $R$ portant la charge $q$ a pour potentiel $V=kq/R$. En égalant les deux potentiels, $k{q}_1/R_1=k{q}_2/R_2$, donc
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2}$
La plus grande sphère porte la plus grande charge. Regardons maintenant les flèches de champ. Le champ à la surface d'une sphère est
$E=\frac{kq}{R^2}=\frac{V}{R}$
et comme $V$ est commun, $E$ varie en $1/R$. Ainsi ${\vec{E}}_2$, sur la petite sphère, est plus longue que ${\vec{E}}_1$ dans le rapport $R_1:R_2$ ; les flèches sont dessinées ainsi pour $R_1=2R_2$. Plus la sphère est petite, plus le champ à sa surface est fort et, puisque $E=\sigma /{\epsilon }_0$, plus elle porte de charge par unité de surface.

Il en va de même sur un conducteur unique de forme quelconque : une pointe se comporte comme une petite sphère et une région plate comme une grande. Une pointe de 0,1 mm de rayon sur un corps de 10 cm de rayon a un champ de surface environ mille fois supérieur à celui du corps. C'est pourquoi les étincelles et la faible lueur de l'effet couronne naissent aux pointes et aux arêtes.

Problème résolu : quand la perle saute-t-elle ?

Ce problème met la force sur un dipôle induit à l'épreuve d'un objet réel. Placez la charge du ballon, $Q=9,6\mathrm{nC}$, sur une sphère métallique de rayon 1 cm posée sur un support isolant. À l'extérieur de la sphère, son champ est exactement celui d'une charge ponctuelle $Q$ placée au centre. En dessous se trouve une perle conductrice légère, en mousse de polystyrène enrobée de graphite, de 2 mm de diamètre, de masse volumique ${\rho }_m=20kg/{\mathrm{m}}^3$. À quelle distance la sphère doit-elle arriver pour que la perle saute ?

Étape 1, la traction. Une petite boule conductrice de rayon $a$ a pour polarisabilité $\alpha =4\pi {\epsilon }_0{a}^3=a^3/k$. En reportant dans $F=2\alpha k^2{Q}^2/d^5$, on obtient
$F=\frac{2k{Q}^2{a}^3}{d^5}$
où $d$ est la distance entre les centres de la sphère et de la perle.

Étape 2, le poids. La masse de la perle est son volume multiplié par sa masse volumique, donc $mg=\frac{4}{3}\pi a^3{\rho }_{m}g$.

Étape 3, la condition. La perle décolle quand $F>mg$. Les deux membres contiennent $a^3$, qui se simplifie :
$\frac{2k{Q}^2}{d^5}>\frac{4}{3}\pi {\rho }_{m}g$
En résolvant pour $d^5$ :
$d^5<\frac{3k{Q}^2}{2\pi {\rho }_{m}g}$

Étape 4, les valeurs numériques. En unités SI, $3k{Q}^2=2,5\times 10^{-6}$ et $2\pi {\rho }_{m}g=1,23\times 10^3$, donc $d^5<2,0\times 10^{-9}{\mathrm{m}}^5$ et $d<1,8\mathrm{cm}$. La perle saute quand son centre arrive à moins de 1,8 cm du centre de la sphère. En retirant le rayon de la sphère, 1 cm, et celui de la perle, 1 mm, il reste entre les surfaces un écart d'environ 7 mm.

Comment varie la distance de décollage

Légende

$d$	Distance du centre de la sphère chargée au centre de la perle.	$\mathrm{m}$
$F$	Traction vers le haut sur la perle, $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$, où $a$ est le rayon de la perle.	$\mathrm{N}$
$mg$	Poids de la perle (droite en pointillés).	$\mathrm{N}$
$Q$	Charge de la sphère ; la courbe de gauche correspond à $Q$, celle de droite à $2Q$.	$\mathrm{C}$
$d_Q$	Distance à laquelle la traction égale le poids pour la charge $Q$ : 1,8 cm.	$\mathrm{m}$
$d_{2Q}$	Distance à laquelle la traction égale le poids pour la charge $2Q$ : 2,4 cm.	$\mathrm{m}$

Le problème résolu a donné un seul nombre. La figure 4 montre comment ce nombre change quand la charge ou la perle change, et pourquoi la taille de la perle disparaît.

La figure 4 trace la traction $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$ qui s'exerce sur la perle en fonction de la distance $d$ au centre de la sphère. La traction grimpe très vite quand $d$ diminue. Le poids $mg$ ne dépend pas de $d$ : c'est la droite horizontale en pointillés. La perle décolle partout où une courbe passe au-dessus de cette droite, c'est-à-dire à toute distance inférieure à celle du point de croisement. Pour la charge $Q$, courbe de gauche, le croisement a lieu en $d_Q$, les 1,8 cm trouvés plus haut.

Doublons maintenant la charge. La traction varie comme $Q^2$ : elle est 4 fois plus grande à toute distance, et la courbe de droite, pour $2Q$, croise la droite plus loin. Au nouveau croisement, la traction doit encore valoir $mg$, donc $4/d_{2Q}^5=1/d_Q^5$ et
$d_{2Q}=4^{1/5}{d}_Q=2^{2/5}{d}_Q\approx 1,32d_Q$
soit 2,4 cm. À cause de la puissance cinq, doubler la charge ne gagne qu'environ un tiers de distance en plus.

La taille de la perle n'importe pas, seulement sa masse volumique, tant que la perle reste petite devant $d$, puisque $a^3$ s'est simplifié. Une perle 32 fois plus dense relèverait la droite en pointillés d'un facteur 32 et ramènerait le croisement plus près d'un facteur $32^{1/5}=2$, à 0,9 cm. C'est à l'intérieur de la sphère, dont le rayon est de 1 cm : cette perle ne pourrait jamais décoller avant de la toucher.

Que se passe-t-il au contact ? La perle conductrice prend une part de la charge de la sphère, de même signe : elle est alors repoussée et projetée au loin. Le papier conduit si mal qu'il ne se charge que lentement, ce qui explique qu'un bout de papier reste collé au ballon au lieu d'être projeté.

Limites de validité

Chaque modèle de cette leçon ne vaut que dans un certain domaine.

L'air n'isole que jusqu'à environ 3 MV/m. Au-delà, des électrons libres isolés gagnent assez d'énergie entre deux collisions avec des molécules pour en arracher d'autres, et l'avalanche qui grossit est une étincelle. Le ballon en est très loin. Sa charge, répartie sur une zone frottée d'environ 100 cm², donne un champ d'environ $\sigma /(2{\epsilon }_0)\approx 5\times 10^{4}V/m$, soit quelque 55 fois trop faible ; le facteur 2 apparaît parce que le champ d'une plaque isolante chargée est dirigé vers l'extérieur de part et d'autre. La sphère du problème résolu s'approche bien davantage : son champ de surface, $kQ/R^2=8,6\times 10^{5}V/m$ avec $R=1\mathrm{cm}$, est à moins d'un facteur quatre du claquage. À l'autre extrême, un éclair transporte de 5 à 30 C, jusqu'à $2\times 10^{20}$ électrons, sous des centaines de mégavolts.

La quantification est invisible à l'échelle du ballon, où un électron change la charge d'une part sur $6\times 10^{10}$. C'est pourquoi on peut traiter la charge comme un fluide continu de densité $\rho$, comme dans l'équation de continuité. La loi $\vec{p}=\alpha \vec{E}$ exige des champs très inférieurs à ceux qui règnent à l'intérieur des atomes, environ $5\times 10^{11}V/m$, et la loi en $1/d^5$ exige un corps petit devant $d$. La série triboélectrique est empirique : on débat encore pour savoir si ce sont des électrons, des ions ou de minuscules fragments de matière qui portent la charge d'une surface frottée à l'autre. Enfin, l'électrostatique classique ne peut pas dire pourquoi un électron ne tombe pas sur un proton. Il y faut la mécanique quantique, qui commence avec Modèles atomiques : l'atome de Bohr.

Ce qui vient ensuite

La leçon Loi de Coulomb traite en détail la force entre charges ponctuelles. Champ et potentiel électriques fait des champs, du théorème de Gauss et des conducteurs équipotentiels de vrais outils ; Condensateurs étudie le stockage des charges séparées ; Courant électrique et résistance étudie la densité de courant $\vec{J}$ elle-même. Les charges en mouvement subissent aussi des forces magnétiques (Force magnétique sur une charge en mouvement), et l'équation de continuité est intégrée aux équations de Maxwell (Ondes électromagnétiques). Semi-conducteurs, diodes et LED traite un électron manquant comme un porteur positif, et Particules et forces : le modèle standard déduit la conservation de la charge d'une symétrie de la nature.