Carga eléctrica y electricidad estática

Principiante

Quítate un jersey de lana a oscuras y quizá veas chispitas y las oigas chasquear. Es la electricidad estática: carga eléctrica acumulada en un objeto que se queda en él.

Paso 1: dos tipos de carga. Todo está hecho de átomos. En el centro de cada átomo están los protones, con carga positiva (+); a su alrededor se mueven electrones mucho más ligeros, con carga negativa (−). Un objeto corriente tiene exactamente tantos electrones como protones, así que es neutro.

Paso 2: la regla del juego. Las cargas del mismo signo se repelen; las de signo contrario se atraen.

Paso 3: cargar frotando. Algunos materiales sujetan sus electrones con más fuerza que otros. Frota un globo de goma con una bufanda de lana y algunos electrones pasan de la lana al globo. El globo tiene ahora electrones de más, así que es negativo; a la lana le faltan los mismos, así que es positiva. No se crea ni se destruye carga: solo se traslada, y el total no cambia.

Paso 4: conductores y aislantes. En los metales algunos electrones se mueven libremente, así que la carga añadida se reparte por todo el objeto: son conductores. En la goma, el plástico, el papel o la lana los electrones se quedan quietos, y la carga se queda donde se puso: son aislantes.

Paso 5: atraer cosas neutras. Un globo cargado desplaza un poco las cargas de un papel cercano, y el lado que mira al globo se vuelve algo positivo. Ese lado está más cerca, así que gana la atracción y el papel salta.

Ponte a prueba: un peine de plástico toma electrones de tu pelo. ¿El peine queda positivo o negativo? ¿Atrae o repele tu pelo? (Negativo; lo atrae, porque tu pelo ha quedado positivo.)

En la animación, electrones azules saltan de la lana al globo y dejan signos más rojos detrás; luego unos trocitos de papel saltan hacia el globo.

Intermedio

Qué es la carga y cómo se cuenta

La carga eléctrica es una propiedad de las partículas de las que están hechos los átomos. Es de dos clases, llamadas positiva y negativa por Benjamin Franklin: los protones del núcleo tienen carga positiva, los electrones que lo rodean, mucho más ligeros, tienen carga negativa, y los neutrones no tienen ninguna. Las cargas iguales se repelen y las opuestas se atraen. Un átomo tiene tantos electrones como protones, así que es neutro: su carga neta es cero, pero contiene gran cantidad de ambas clases.

La carga se mide en culombios (C), y las cargas estáticas suelen ser de nanoculombios (1 nC es $10^{-9}\mathrm{C}$) o de microculombios. Siempre es un número entero de veces una porción mínima, la carga elemental: un protón tiene $+e$ y un electrón $-e$, donde
$e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
así que la carga de cualquier objeto es
$q=\pm ne,n=0,1,2,\dots$

En los sólidos los núcleos permanecen fijos en su sitio y solo se mueven los electrones, así que $n$ cuenta los electrones ganados (signo $-$) o perdidos (signo $+$). Un culombio equivale a $6,24\times 10^{18}$ cargas elementales.

Frotar separa la carga; el total se conserva

Cuando dos materiales distintos se tocan, algunos electrones de la superficie pasan al que los retiene con más fuerza; frotar multiplica los puntos de contacto. La goma, el PVC y el polietileno quitan electrones a la lana, al pelo y a la piel, mientras que el vidrio cede algunos a la seda. Estas clasificaciones, llamadas series triboeléctricas, son solo orientativas: la humedad y la suciedad pueden alterarlas.

Frotar no fabrica carga; separa carga que ya estaba allí. En un sistema aislado, es decir, uno en el que no entra ni sale carga, el total nunca cambia:
$\sum q=\mathrm{const}\text{(sistema aislado)}$
La suma se hace con los signos: un globo negativo y una bufanda igual de positiva suman cero, igual que antes de tocarse. Ningún experimento ha desmentido jamás esta ley.

Ejemplo resuelto: el globo de la animación

En la animación se frota el globo con cuatro pasadas de subida y bajada, y el contador llega a $n=6,0\times 10^{10}$ electrones; cada signo menos azul que salta de un objeto al otro representa $10^{10}$ de ellos. El globo ha ganado electrones, así que
$q=-ne=-6,0\times 10^{10}\cdot 1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
$q=-9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}=-9,6\mathrm{nC}$

La lana ha perdido exactamente esos electrones, así que tiene $+9,6\mathrm{nC}$. Son los valores finales de los indicadores azul y rojo; en todo momento del frotamiento los dos son iguales y opuestos, pues cada signo más rojo que queda en la lana corresponde a un signo menos azul en el globo.

¿Es mucho? Un globo de 3 g contiene unos $10^{24}$ electrones, así que solo sobra uno de cada 17 billones. Las fuerzas eléctricas son tan intensas que hasta este pequeño desequilibrio levanta papel.

Conductores y aislantes

En un metal, uno o dos electrones por átomo se mueven libremente por toda la pieza, así que la carga sobrante se reparte al instante y se queda en la superficie exterior. Esos materiales son los conductores: los metales, el agua salada y el cuerpo humano, cuyos portadores de carga son iones.

En los aislantes, como la goma, el plástico, el vidrio y el papel seco, los electrones permanecen ligados a sus átomos, así que la carga se queda donde se puso. Por eso en la animación el globo vuelve hacia el papel su cara frotada. Una cuchara de metal sujeta con la mano desnuda no puede cargarse frotándola: la carga se escapa a través de ti hasta el suelo.

Conectar un conductor a tierra, que puede dar o recibir cualquier cantidad de carga, se llama puesta a tierra. Con tiempo húmedo, una fina película de agua sobre las superficies también va drenando la carga, aunque más despacio, y por eso los trucos de electricidad estática funcionan mejor en días secos.

Ejemplo resuelto: reparto de carga entre esferas

Cuando se tocan dos conductores, los electrones fluyen hasta que nada los empuja más. Dos conductores idénticos deben acabar, por simetría, con cargas iguales, y la conservación fija el total:
$q^{\prime }=\frac{q_1+q_2}{2}\text{(conductores ideˊnticos en contacto)}$

Tres esferas metálicas idénticas están sobre soportes aislantes: A tiene $-12\mathrm{nC}$, B es neutra y C tiene $+4\mathrm{nC}$. A toca a B, y después B toca a C. ¿Con qué carga acaba cada esfera?

Primer contacto: el total es $-12\mathrm{nC}$, así que A y B acaban con $-6\mathrm{nC}$ cada una, después de que $6\mathrm{nC}/e=3,7\times 10^{10}$ electrones hayan pasado de A a B. Segundo contacto: el total es $-6+4=-2\mathrm{nC}$, así que B y C acaban con $-1\mathrm{nC}$ cada una. Comprobación: $-6-1-1=-8\mathrm{nC}$, el total inicial $-12+0+4$. En el segundo contacto pasaron de B a C $5\mathrm{nC}/e=3,1\times 10^{10}$ electrones, que anularon sus $+4\mathrm{nC}$ y la dejaron algo negativa; no viajó ninguna carga positiva.

Atracción sin contacto: polarización e inducción

Un objeto cargado puede tirar de uno neutro sin tocarlo. Acerca una varilla negativa a una bola metálica: los electrones libres de la bola son empujados hacia el lado lejano y dejan positivo el lado cercano. Es la inducción electrostática. La bola sigue siendo neutra, pero su lado positivo está más cerca de la varilla, y las fuerzas eléctricas se debilitan con la distancia, así que gana la atracción.

En el papel, que es aislante, los electrones no pueden desplazarse; en cambio, cada molécula se estira un poco y se convierte en un dipolo diminuto, un par de cargas iguales y opuestas separadas por una distancia pequeña. El papel queda polarizado: positivo en la cara que mira al globo y negativo en la cara lejana, como muestra la vista ampliada, donde los signos + y − se van separando.

Las flechas del papelito central muestran la pugna. La flecha $mg$, el peso del papelito, no cambia, mientras que la flecha verde $F$, el tirón eléctrico, crece cada vez más deprisa a medida que baja el globo. Cuando $F$ iguala en longitud a $mg$, el papelito despega; el central, justo debajo del globo, es el primero. El electroscopio también aprovecha la inducción: una varilla cargada cerca de su extremo superior lleva a dos láminas finas carga del signo de la varilla, y estas se repelen y se separan.

Errores frecuentes

• Frotar no crea carga: los $-9,6\mathrm{nC}$ del globo y los $+9,6\mathrm{nC}$ de la lana ya estaban en la materia neutra, y siguen sumando cero.
• Un objeto positivo ha perdido electrones, no ha ganado protones: los $+9,6\mathrm{nC}$ de la lana significan $6,0\times 10^{10}$ electrones que faltan.
• Neutro no significa sin carga: un globo neutro de 3 g contiene unos 160 000 C de carga negativa en sus electrones, compensada exactamente por sus núcleos.
• Que haya atracción no demuestra que un cuerpo esté cargado: un trocito de papel neutro es atraído por cualquiera de los dos signos. Solo la repulsión demuestra que dos cuerpos tienen cargas del mismo signo.
• Hay que multiplicar por $e$, no dividir: $6,0\times 10^{10}$ electrones llevan $9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}$, mientras que dividir da un absurdo $3,7\times 10^{29}\mathrm{C}$.

Dónde aparece

La electricidad estática funciona en las impresoras láser y las fotocopiadoras, cuyo tambor cargado recoge el tóner con la forma de la página, en la pintura a pistola y en los precipitadores electrostáticos, que eliminan más del 99 % de la ceniza del humo de las centrales eléctricas. También es un peligro: caminar sobre una moqueta en un día seco puede dejarte cargado con alrededor de un microculombio, suficiente para una chispa al tocar el pomo de una puerta, y las cisternas de combustible se ponen a tierra antes de descargar. Un rayo transporta entre 5 y 30 C.

La siguiente lección, Ley de Coulomb, mide la fuerza entre dos cargas. Campo y potencial eléctricos sigue a la carga hacia el espacio que la rodea, Condensadores hacia su almacenamiento, y Corriente eléctrica y resistencia hacia su movimiento.

Avanzado

Una fuerza que casi se anula a sí misma

Esta sección explica por qué las fuerzas eléctricas gobiernan el mundo cotidiano aunque la mayor parte de la materia parezca descargada. Dos cargas pequeñas $q_1$ y $q_2$ separadas una distancia $r$ se atraen o se repelen con una fuerza de módulo
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
(ley de Coulomb), donde $k=8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Igual que la gravedad, esta fuerza disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia. A diferencia de la gravedad, es incomparablemente más intensa. Compara las dos fuerzas entre dos protones, cada uno de carga $e$ y masa $m_p$, siendo $G$ la constante de gravitación. Ambas fuerzas llevan el mismo factor $1/r^2$, así que $r$ se cancela y el cociente es el mismo a cualquier distancia:
$\frac{F_e}{F_g}=\frac{k{e}^2}{G{m}_p^2}\approx 1,2\times 10^{36}$

¿Por qué, entonces, la notamos tan pocas veces? Porque la carga tiene dos signos y la materia los equilibra casi a la perfección: la carga de un átomo o de una molécula es cero con una precisión de $10^{-21}e$. Una estimación sencilla muestra por qué el equilibrio tiene que ser tan fino. Una gota de agua de 1 g contiene $3,3\times 10^{23}$ electrones, una carga de unos $5,4\times 10^4\mathrm{C}$, compensada por la misma carga positiva en sus núcleos. Quita un electrón de cada millón a cada una de dos gotas así y colócalas a 1 m una de otra. Cada gota queda con $q=+0,054\mathrm{C}$ y se repelen con
$F=\frac{k{q}^2}{r^2}\approx 2,6\times 10^7\mathrm{N}$
el peso de unas 2600 toneladas.

Lo que sí notamos son los restos. Los átomos vecinos son neutros, pero a distancias atómicas sus cargas positivas y negativas no se superponen exactamente. Ese pequeño desajuste es el empuje de una mesa, la tensión de una cuerda y los enlaces de la química.

Cuantizada, invariante y conservada

Tres hechos experimentales definen qué es la carga. Toda teoría de la materia debe respetar los tres.

Primero, la carga está cuantizada: solo aparece en múltiplos enteros de la carga elemental $e$. Entre 1909 y 1913, Robert Millikan lo demostró equilibrando contra la gravedad diminutas gotas de aceite cargadas en un campo eléctrico; toda carga que midió era un número entero de veces $e$. Desde 2019, el SI fija exactamente $e=1,602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$, y ese valor define el culombio. Los quarks llevan fracciones, $+\frac{2}{3}e$ o $-\frac{1}{3}e$, pero nunca se encuentran solos: siempre están ligados en partículas de carga entera. El protón (uud) tiene $+e$ y el neutrón (udd), cero.

Segundo, la carga es invariante: no depende de la rapidez con que se mueva la partícula cargada. Dentro de un núcleo de helio los protones se mueven a una fracción apreciable de la velocidad de la luz; en una molécula de hidrógeno están casi en reposo. Si la carga de un protón cambiara con su velocidad, uno de los dos gases tendría carga neta, y sin embargo ambos son neutros con una precisión de una parte en $10^{20}$ aproximadamente. La energía, la cantidad de movimiento, las longitudes y los intervalos de tiempo dependen del observador; la carga, no.

Tercero, la carga se conserva: en todos los procesos observados hasta hoy, la carga total después es igual a la de antes. Un rayo gamma que pasa cerca de un núcleo puede convertirse en un electrón y un positrón, $0\to (-e)+(+e)$. Un neutrón libre se desintegra en un protón, un electrón y un antineutrino, $0\to (+e)+(-e)+0$. Aparecen y desaparecen partículas, pero la carga neta no cambia.

Conservación local: la ecuación de continuidad

Leyenda

$S$	Superficie cerrada que limita el volumen $V$.
$V$	Volumen encerrado por $S$, que se mantiene fijo.	${\mathrm{m}}^3$
$\rho$	Carga por unidad de volumen dentro de $V$ (los puntos rojos).	$C/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{J}$	Densidad de corriente: corriente por unidad de área, en el sentido en que fluye la carga positiva.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	Una pequeña parcela de $S$ como vector: su longitud es el área $dA$ de la parcela y apunta hacia fuera de $V$.	${\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Ángulo entre $\vec{J}$ y $d\vec{A}$; mayor de $90^{\circ }$ donde la carga entra.	$\mathrm{rad}$

La conservación dice más que «el total se mantiene». La carga no puede desaparecer en un lugar y reaparecer en otro: tiene que viajar hasta allí. Esta sección convierte esa idea en una ecuación, y la figura 1 prepara la contabilidad.

La figura 1 muestra un volumen fijo $V$ limitado por una superficie cerrada $S$. La carga del interior se describe con su densidad $\rho$, la carga por unidad de volumen (los puntos rojos). La carga en movimiento se describe con la densidad de corriente $\vec{J}$, la corriente por unidad de área, que apunta en el sentido en que fluye la carga positiva. Las flechas $\vec{J}$ cruzan $S$ en los dos sentidos: la mayoría salen de $V$, pero las dos de la izquierda entran.

Para contar lo que cruza $S$, la dividimos en parcelas pequeñas. La parcela ampliada de la derecha tiene área $dA$, y la convertimos en un vector $d\vec{A}$ de longitud $dA$ que apunta hacia fuera de $V$. Solo la parte de $\vec{J}$ a lo largo de $d\vec{A}$ lleva carga a través de la parcela; la parte paralela a ella pasa de largo. Así, la corriente que sale por la parcela es
$\vec{J}\cdot d\vec{A}=JdA\cos \theta$
donde $\theta$ es el ángulo entre las dos flechas de la parcela ampliada. Donde la carga sale, $\theta$ es menor de $90^{\circ }$ y este término es positivo; donde la carga entra, $\theta$ es mayor de $90^{\circ }$ y es negativo. Sumada sobre todas las parcelas, ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$ es la corriente neta que sale de $V$.

Ahora la física. Como $V$ es fijo, la carga de su interior solo puede cambiar cruzando $S$. Por tanto, la carga interior disminuye exactamente tan deprisa como sale la corriente neta:
$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho dV=-{\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$
Esta es la forma integral de la conservación local. Para convertirla en una afirmación sobre puntos concretos, usamos el teorema de la divergencia, que reescribe el flujo a través de una superficie cerrada como una integral de volumen de la divergencia: ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}={\int }_V\nabla \cdot \vec{J}dV$. Como $V$ no se mueve, la derivada respecto al tiempo puede entrar en la integral del lado izquierdo, y ambos lados pasan a ser integrales sobre el mismo volumen:
${\int }_V\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}\right)dV=0$
Esto vale para cualquier volumen fijo, por pequeño que sea. Una integral que se anula sobre toda región pequeña solo puede hacerlo si el integrando es cero en cada punto, así que
$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}=0$
Esta es la ecuación de continuidad. En palabras: allí donde la densidad de carga disminuye, sale corriente de ese punto.

¿Por qué insistir en la ley local, si la global conservaría el total igual de bien? Imagina que la carga desapareciera en la Tierra y reapareciera en el mismo instante en la Luna. El total nunca cambiaría. Pero en relatividad, dos sucesos lejanos que son simultáneos para un observador no lo son para otro que pasa a su lado. Ese segundo observador vería la carga ausente durante un tiempo, o presente en los dos lugares a la vez. Solo la carga que fluye de forma continua a través de las fronteras se conserva para todos los observadores.

La gráfica $q(t)$ de la animación muestra la forma integral en acción. Traza $S$ alrededor del globo. La carga la cruza solo donde el globo y la lana se tocan, así que la pendiente de la curva azul del globo es la corriente que entra en el globo. La curva roja de la lana tiene en cada instante la pendiente opuesta: lo que uno gana, lo pierde la otra. La carga cambia 9,6 nC en 3,2 s, una corriente media de 3,0 nA. La transferencia sigue la distancia frotada, de modo que la corriente alcanza su máximo, de unos 4,7 nA, a mitad de pasada y cae a cero en cada extremo, donde el globo se detiene e invierte el movimiento.

Por qué se atrae un cuerpo neutro

Leyenda

$Q$	Carga fuente positiva.	$\mathrm{C}$
$d$	Distancia de $Q$ al centro del cuerpo.	$\mathrm{m}$
$q$	Valor de cada una de las dos cargas que el campo separa en el cuerpo.	$\mathrm{C}$
$\vec{s}$	Separación de las cargas, de $-q$ a $+q$; el momento dipolar es $\vec{p}=q\vec{s}$.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}(\vec{r})$	Campo de $Q$ en el extremo $-q$, el más cercano, en la posición $\vec{r}$ respecto de $Q$.	$N/C$
$\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$	Campo de $Q$ en el extremo $+q$: más débil, porque ese extremo está más lejos de $Q$.	$N/C$
${\vec{F}}_{-}$	Fuerza sobre $-q$, hacia $Q$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{+}$	Fuerza sobre $+q$, alejándose de $Q$ y más pequeña.	$\mathrm{N}$
$\vec{F}$	Fuerza neta sobre el cuerpo, ${\vec{F}}_{-}+{\vec{F}}_{+}$: hacia $Q$.	$\mathrm{N}$

Un globo cargado recoge trocitos de papel sin carga neta. Esta sección explica cómo, y averigua con qué rapidez crece la atracción cuando el globo se acerca.

La figura 2 muestra un cuerpo neutro a una distancia $d$ de una carga positiva $Q$. Las cargas del cuerpo no están fijas con rigidez; pueden desplazarse un poco. El campo de $Q$ apunta alejándose de $Q$, así que empuja la carga positiva hacia fuera y atrae la negativa. Una carga $-q$ se acumula en el lado cercano y $+q$ en el lejano, separadas por el pequeño vector $\vec{s}$, dibujado de $-q$ a $+q$. El cuerpo se ha convertido en un dipolo inducido, con momento dipolar $\vec{p}=q\vec{s}$. El valor que alcanza $\vec{p}$ depende de lo fácilmente que se desplacen las cargas. En un campo débil comparado con los del interior de los átomos, es proporcional al campo,
$\vec{p}=\alpha \vec{E}$
donde la constante $\alpha$, la polarizabilidad, mide esa facilidad.

Veamos ahora las fuerzas. Cada extremo del dipolo siente el campo del lugar donde está. Sea $\vec{r}$ la posición del extremo cercano, medida desde $Q$. El extremo $-q$, en $\vec{r}$, está en el campo $\vec{E}(\vec{r})$ y ${\vec{F}}_{-}$ lo atrae hacia $Q$. El extremo $+q$, en $\vec{r}+\vec{s}$, está más lejos, en el campo más débil $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$, y lo empuja hacia fuera la fuerza menor ${\vec{F}}_{+}$. Las dos cargas son iguales y opuestas, pero los campos en que están no son iguales, así que las fuerzas no se cancelan. Su suma, la fuerza neta $\vec{F}$ dibujada debajo del cuerpo, apunta hacia $Q$.

Para hallar su módulo, suma las dos fuerzas y desarrolla el campo a lo largo del pequeño paso $\vec{s}$: $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})\approx \vec{E}(\vec{r})+(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$, donde $(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$ es el cambio de $\vec{E}$ en ese paso. Entonces
$\vec{F}=q[\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})-\vec{E}(\vec{r})]\approx (\vec{p}\cdot \nabla )\vec{E}$
Así, un dipolo siente una fuerza neta solo donde el campo cambia de un lugar a otro.

A continuación, sustituye $\vec{p}=\alpha \vec{E}$. Para cualquier campo, $(\vec{E}\cdot \nabla )\vec{E}=\frac{1}{2}\nabla (E^2)-\vec{E}\times (\nabla \times \vec{E})$, y un campo electrostático no tiene rotacional, $\nabla \times \vec{E}=0$. Por tanto
$\vec{F}=\frac{\alpha }{2}\nabla (E^2)$
Cerca de una carga puntual, $E=kQ/r^2$, así que $E^2=k^2{Q}^2/r^4$. Su gradiente apunta hacia $Q$ y su módulo es $4k^2{Q}^2/r^5$. En el cuerpo, $r=d$, y la atracción es
$F=\frac{2\alpha k^2{Q}^2}{d^5}\text{(carga puntual)}$

De aquí salen tres consecuencias. Primera, la atracción apunta siempre hacia el campo más intenso, sea cual sea el signo de la fuente, porque $E^2$ ignora los signos. Haz negativa la $Q$ de la figura 2: $\vec{E}$ y $\vec{p}$ se invierten los dos y el extremo $+q$ pasa a ser el más cercano, y aun así $\vec{F}$ sigue apuntando hacia $Q$. Segunda, en un campo uniforme $E^2$ es igual en todas partes, así que no hay fuerza neta. Un cuerpo alargado sí gira, porque se polariza con más facilidad a lo largo; por eso los trocitos de papel giran en el aire y aterrizan sobre un extremo. Tercera, la atracción varía muy bruscamente con la distancia: reducir $d$ a la mitad la multiplica por $2^5=32$.

La gráfica $F/mg$ de la animación, para el papelito central, muestra este crecimiento tan brusco. Cuando el globo empieza a bajar, a los 5,6 s, la atracción es el 6 % del peso del papelito. Llega a una cuarta parte a los 7,0 s y a más de la mitad a los 7,4 s, y cruza la línea discontinua en 1 hacia los 7,6 s, cuando el papelito se levanta. Entretanto, la distancia del centro del globo al papelito disminuye de 80 a 52 unidades. Para una carga en el centro, la ley $1/d^5$ multiplicaría la atracción por $(80/52{)}^5\approx 8,6$; en realidad la multiplica por 17. La razón es que la carga está en la superficie inferior del globo, cuya parte más cercana queda casi a la mitad de distancia. Cuando el papelito se levanta, la separación se reduce aún más y la atracción se dispara.

Conductores en equilibrio

En un conductor hay cargas libres para moverse: en un metal, los electrones. Siguen moviéndose mientras algún campo las empuje, de modo que, una vez que todo se ha asentado, el campo dentro del material es cero, $\vec{E}=0$. La ley de Gauss, que se estudia en Campo y potencial eléctricos, dice entonces que no hay carga neta en ningún punto del interior: toda la carga sobrante o inducida está en la superficie. El campo justo fuera es perpendicular a la superficie, porque una componente a lo largo de ella seguiría moviendo las cargas superficiales. Su módulo es $E=\sigma /{\epsilon }_0$, donde $\sigma$ es la carga por unidad de área de la superficie y ${\epsilon }_0=1/(4\pi k)$ es la permitividad del vacío.

Esa misma movilidad explica la carga por inducción. Acerca una varilla cargada a un conductor y en el lado que la mira se reúne carga de signo opuesto. Conecta el conductor a tierra: la carga fluye por la conexión hasta que el conductor tiene una carga neta opuesta a la de la varilla, retenida allí por la atracción de la varilla. Corta primero la conexión a tierra y retira después la varilla, y el conductor conserva esa carga.

La carga se amontona donde la superficie se curva

Leyenda

$V$	Potencial del hilo y de las dos esferas: el mismo en todo el conductor.	$\mathrm{V}$
$R_1$	Radio de la esfera mayor.	$\mathrm{m}$
$R_2$	Radio de la esfera menor.	$\mathrm{m}$
$q_1$	Carga de la esfera mayor.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Carga de la esfera menor.	$\mathrm{C}$
${\vec{E}}_1$	Campo justo fuera de la esfera mayor, perpendicular a su superficie.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Campo justo fuera de la esfera menor: más intenso, ya que $E=V/R$.	$N/C$

En un conductor cargado, la carga no se reparte por igual: se amontona donde la superficie se curva más. La figura 3 muestra el caso más sencillo que permite precisarlo.

La figura 3 muestra dos esferas conductoras de radios $R_1$ y $R_2$, la primera la mayor, lejos una de otra y unidas por un hilo fino. Juntas forman un solo conductor, así que la carga fluye por el hilo hasta que todo, hilo y las dos esferas, está al mismo potencial $V$. Como las esferas están lejos, el potencial de cada una procede solo de su propia carga, y una esfera de radio $R$ con carga $q$ tiene $V=kq/R$. Igualando los dos potenciales, $k{q}_1/R_1=k{q}_2/R_2$, de modo que
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2}$
La esfera mayor tiene la carga mayor. Fíjate ahora en las flechas de campo. El campo en la superficie de una esfera es
$E=\frac{kq}{R^2}=\frac{V}{R}$
y como $V$ es común, $E$ varía como $1/R$. Así, ${\vec{E}}_2$, en la esfera pequeña, es más larga que ${\vec{E}}_1$ en la proporción $R_1:R_2$; las flechas están dibujadas así para $R_1=2R_2$. Cuanto menor es la esfera, más intenso es el campo en su superficie y, como $E=\sigma /{\epsilon }_0$, más carga lleva por unidad de área.

Lo mismo vale en un único conductor de cualquier forma: una punta se comporta como una esfera pequeña y una zona plana como una grande. Una punta de 0,1 mm de radio en un cuerpo de 10 cm de radio tiene un campo superficial unas mil veces mayor que el del cuerpo. Por eso las chispas y el tenue resplandor del efecto corona empiezan en puntas y aristas.

Problema resuelto: ¿cuándo salta una cuenta?

Este problema pone la fuerza sobre un dipolo inducido a prueba con un objeto real. Pon la carga del globo, $Q=9,6\mathrm{nC}$, en una esfera metálica de 1 cm de radio sobre un soporte aislante. Fuera de la esfera, su campo es exactamente el de una carga puntual $Q$ en el centro. Debajo hay una cuenta conductora ligera, de espuma de poliestireno recubierta de grafito, de 2 mm de diámetro y densidad de masa ${\rho }_m=20kg/{\mathrm{m}}^3$. ¿Cuánto debe acercarse la esfera para que la cuenta salte?

Paso 1, la atracción. Una bola conductora pequeña de radio $a$ tiene polarizabilidad $\alpha =4\pi {\epsilon }_0{a}^3=a^3/k$. Al sustituirla en $F=2\alpha k^2{Q}^2/d^5$ resulta
$F=\frac{2k{Q}^2{a}^3}{d^5}$
donde $d$ es la distancia entre los centros de la esfera y la cuenta.

Paso 2, el peso. La masa de la cuenta es su volumen por su densidad, así que $mg=\frac{4}{3}\pi a^3{\rho }_{m}g$.

Paso 3, la condición. La cuenta se levanta cuando $F>mg$. Los dos miembros contienen $a^3$, que se cancela:
$\frac{2k{Q}^2}{d^5}>\frac{4}{3}\pi {\rho }_{m}g$
Despejando $d^5$:
$d^5<\frac{3k{Q}^2}{2\pi {\rho }_{m}g}$

Paso 4, los números. En unidades del SI, $3k{Q}^2=2,5\times 10^{-6}$ y $2\pi {\rho }_{m}g=1,23\times 10^3$, así que $d^5<2,0\times 10^{-9}{\mathrm{m}}^5$ y $d<1,8\mathrm{cm}$. La cuenta salta cuando su centro llega a menos de 1,8 cm del centro de la esfera. Si se restan el radio de la esfera, 1 cm, y el de la cuenta, 1 mm, queda entre las superficies un hueco de unos 7 mm.

Cómo varía la distancia de despegue

Leyenda

$d$	Distancia del centro de la esfera cargada al centro de la cuenta.	$\mathrm{m}$
$F$	Atracción hacia arriba sobre la cuenta, $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$, donde $a$ es el radio de la cuenta.	$\mathrm{N}$
$mg$	Peso de la cuenta (línea discontinua).	$\mathrm{N}$
$Q$	Carga de la esfera; la curva de la izquierda es para $Q$ y la de la derecha para $2Q$.	$\mathrm{C}$
$d_Q$	Distancia a la que la atracción iguala al peso para la carga $Q$: 1,8 cm.	$\mathrm{m}$
$d_{2Q}$	Distancia a la que la atracción iguala al peso para la carga $2Q$: 2,4 cm.	$\mathrm{m}$

El problema resuelto dio un solo número. La figura 4 muestra cómo cambia ese número cuando cambia la carga o la cuenta, y por qué el tamaño de la cuenta desaparece.

La figura 4 representa la atracción $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$ sobre la cuenta en función de la distancia $d$ al centro de la esfera. La atracción crece muy deprisa al disminuir $d$. El peso $mg$ no depende de $d$, así que es la recta horizontal discontinua. La cuenta se levanta allí donde una curva queda por encima de esa recta, es decir, a cualquier distancia menor que la del punto de cruce. Para la carga $Q$, la curva de la izquierda, el cruce está en $d_Q$, los 1,8 cm hallados antes.

Ahora duplica la carga. La atracción va como $Q^2$, así que es 4 veces mayor a cualquier distancia, y la curva de la derecha, la de $2Q$, cruza la recta más lejos. En el nuevo cruce la atracción debe seguir siendo igual a $mg$, así que $4/d_{2Q}^5=1/d_Q^5$ y
$d_{2Q}=4^{1/5}{d}_Q=2^{2/5}{d}_Q\approx 1,32d_Q$
que son 2,4 cm. Por la quinta potencia, duplicar la carga solo gana alrededor de un tercio más de distancia.

El tamaño de la cuenta no importa, solo su densidad, mientras la cuenta siga siendo pequeña frente a $d$, porque $a^3$ se canceló. Una cuenta 32 veces más densa subiría la recta discontinua 32 veces y acercaría el cruce en un factor $32^{1/5}=2$, hasta 0,9 cm. Eso queda dentro de la esfera, cuyo radio es 1 cm: esa cuenta nunca podría levantarse antes de tocarla.

¿Qué pasa al tocarla? La cuenta conductora toma una parte de la carga de la esfera, del mismo signo, así que ahora es repelida y sale despedida. El papel conduce tan mal que se carga solo despacio, y por eso un trocito de papel se queda pegado al globo en vez de salir despedido.

Límites de validez

Cada modelo de esta lección funciona solo dentro de cierto intervalo.

El aire aísla solo hasta unos 3 MV/m. Por encima, los electrones libres sueltos ganan entre colisiones con las moléculas energía suficiente para arrancar más electrones, y la avalancha creciente es una chispa. El globo está lejos de eso. Su carga, repartida sobre una zona frotada de unos 100 cm², da un campo de aproximadamente $\sigma /(2{\epsilon }_0)\approx 5\times 10^{4}V/m$, unas 55 veces demasiado débil; el factor 2 aparece porque el campo de una lámina aislante cargada apunta hacia fuera por ambos lados. La esfera del problema resuelto se acerca mucho más: su campo superficial, $kQ/R^2=8,6\times 10^{5}V/m$ con $R=1\mathrm{cm}$, está a menos de un factor de cuatro de la ruptura. En el otro extremo, un rayo transporta de 5 a 30 C, hasta $2\times 10^{20}$ electrones, a través de cientos de megavoltios.

La cuantización es invisible a la escala del globo, donde un electrón cambia la carga en una parte entre $6\times 10^{10}$. Por eso la carga puede tratarse como un fluido continuo de densidad $\rho$, como en la ecuación de continuidad. La ley $\vec{p}=\alpha \vec{E}$ exige campos muy inferiores a los del interior de los átomos, unos $5\times 10^{11}V/m$, y la ley $1/d^5$, un cuerpo pequeño comparado con $d$. La serie triboeléctrica es empírica: todavía se debate si la carga la llevan de una superficie frotada a otra electrones, iones o diminutos fragmentos de material. Por último, la electrostática clásica no puede decir por qué un electrón no cae sobre un protón. Eso exige la mecánica cuántica, que empieza en Modelos atómicos: el átomo de Bohr.

Lo que viene después

Ley de Coulomb trata con detalle la fuerza entre cargas puntuales. Campo y potencial eléctricos convierte los campos, la ley de Gauss y los conductores equipotenciales en herramientas; Condensadores almacena carga separada; Corriente eléctrica y resistencia estudia la propia densidad de corriente $\vec{J}$. Las cargas en movimiento sienten además fuerzas magnéticas (Fuerza magnética sobre cargas en movimiento), y la ecuación de continuidad está incorporada en las ecuaciones de Maxwell (Ondas electromagnéticas). Semiconductores, diodos y LED trata un electrón que falta como un portador positivo, y Partículas y fuerzas: el modelo estándar deduce la conservación de la carga de una simetría de la naturaleza.