Carga elétrica e eletricidade estática

Iniciante

Passe um suéter de lã pela cabeça num quarto escuro e talvez veja faíscas minúsculas e ouça estalos. Isso é eletricidade estática: carga elétrica acumulada em um objeto que permanece ali.

Passo 1: dois tipos de carga. Tudo é feito de átomos. No centro de cada átomo ficam os prótons, que têm carga positiva (+); ao redor deles se movem os elétrons, bem mais leves, que têm carga negativa (−). Um objeto comum tem exatamente tantos elétrons quanto prótons, por isso é neutro.

Passo 2: a regra do jogo. Cargas iguais se empurram; cargas opostas se puxam.

Passo 3: carregar por atrito. Alguns materiais seguram seus elétrons com mais força que outros. Atrite um balão de borracha em um cachecol de lã e os elétrons saem da lã para o balão. Agora o balão tem elétrons extras, então é negativo; a lã está com falta da mesma quantidade, então é positiva. Nenhuma carga é criada ou destruída: ela apenas se move, e o total continua o mesmo.

Passo 4: condutores e isolantes. Nos metais, alguns elétrons circulam livremente, então a carga extra se espalha por todo o objeto; são os condutores. Na borracha, no plástico, no papel e na lã, os elétrons ficam parados, então a carga permanece onde foi colocada; são os isolantes.

Passo 5: puxando coisas neutras. Um balão carregado desloca as cargas dentro de um pedaço de papel próximo, então o lado voltado para ele fica levemente positivo. Esse lado está mais perto, então a atração vence e o papel salta para cima.

Teste você mesmo: um pente de plástico ganha elétrons do seu cabelo. O pente é positivo ou negativo? Ele vai atrair ou repelir o seu cabelo? (Negativo; atrai, porque o seu cabelo agora é positivo.)

Na animação, elétrons azuis pulam da lã para o balão, deixando para trás sinais de mais vermelhos; depois, pedacinhos de papel saltam até o balão.

Intermediário

O que é a carga e como ela é contada

A carga elétrica é uma propriedade das partículas que formam os átomos. Ela aparece em dois tipos, chamados positivo e negativo por Benjamin Franklin: os prótons no núcleo têm carga positiva, os elétrons, muito mais leves, ao redor do núcleo têm carga negativa, e os nêutrons não têm carga. Cargas iguais se repelem; cargas opostas se atraem. Um átomo tem tantos elétrons quanto prótons, portanto é neutro: sua carga líquida é zero, mas ele contém bastante dos dois tipos.

A carga é medida em coulombs (C), e cargas estáticas costumam ser da ordem de nanocoulombs (1 nC é $10^{-9}\mathrm{C}$) ou microcoulombs. Ela ocorre em números inteiros de uma menor porção, a carga elementar: um próton tem $+e$ e um elétron $-e$, onde
$e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
portanto a carga de qualquer objeto é
$q=\pm ne,n=0,1,2,\dots$

Nos sólidos, os núcleos permanecem presos no lugar e só os elétrons se movem, então $n$ conta os elétrons ganhos (sinal $-$) ou perdidos (sinal $+$). Um coulomb equivale a $6,24\times 10^{18}$ cargas elementares.

O atrito separa a carga; o total se conserva

Quando dois materiais diferentes se tocam, alguns elétrons superficiais passam para o que os prende com mais força; o atrito multiplica os pontos de contato. Borracha, PVC e polietileno tiram elétrons da lã, do cabelo e da pele, enquanto o vidro perde alguns para a seda. Essas listas, chamadas séries triboelétricas, são guias aproximados: umidade e sujeira podem alterá-las.

Atritar não cria carga; separa carga que já existia. Em um sistema isolado, aquele em que nenhuma carga entra ou sai, o total nunca muda:
$\sum q=\mathrm{const}\text{(isolated system)}$
A soma é feita com sinais: um balão negativo e um cachecol positivo, de mesma magnitude, somam zero, como antes de se tocarem. Nenhum experimento jamais encontrou essa lei violada.

Exemplo resolvido: o balão da animação

Na animação, o balão é atritado com quatro movimentos de vai e vem, e o contador sobe até $n=6,0\times 10^{10}$ elétrons; cada sinal de menos azul que atravessa representa $10^{10}$ deles. O balão ganhou elétrons, então
$q=-ne=-6,0\times 10^{10}\cdot 1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
$q=-9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}=-9,6\mathrm{nC}$

A lã perdeu exatamente esses elétrons, então carrega $+9,6\mathrm{nC}$. Estes são os valores finais nos medidores azul e vermelho; em todo momento do atrito os dois são iguais e opostos, pois cada sinal de mais vermelho deixado na lã corresponde a um sinal de menos azul no balão.

É muito? Um balão de 3 g contém cerca de $10^{24}$ elétrons, então só um em 17 trilhões está a mais. As forças elétricas são tão fortes que até esse desequilíbrio levanta papel.

Condutores e isolantes

Em um metal, um ou dois elétrons por átomo circulam livremente por toda a peça, então a carga extra se espalha imediatamente e se acomoda na superfície externa. Esses materiais são condutores: metais, água salgada e o corpo humano, cujos portadores de carga são íons.

Em isolantes como borracha, plástico, vidro e papel seco, os elétrons permanecem presos aos seus átomos, então a carga fica onde foi colocada. É por isso que, na animação, o lado atritado do balão está voltado para o papel. Uma colher de metal segurada com a mão nua não pode ser carregada por atrito: a carga escapa pelo seu corpo para o solo.

Ligar um condutor ao solo, que pode dar ou receber qualquer quantidade de carga, é chamado aterramento. Em tempo úmido, uma película de água nas superfícies também drena carga, embora mais devagar; por isso truques estáticos funcionam melhor em dias secos.

Exemplo resolvido: dividir carga entre esferas

Quando dois condutores se tocam, elétrons fluem até que nada os empurre mais. Condutores idênticos devem, por simetria, terminar com cargas iguais, e a conservação fixa o total:
$q^{\prime }=\frac{q_1+q_2}{2}\text{(identical conductors in contact)}$

Três esferas metálicas idênticas estão sobre suportes isolantes: A tem $-12\mathrm{nC}$, B é neutra e C tem $+4\mathrm{nC}$. A toca B, depois B toca C. Qual é a carga final de cada esfera?

Primeiro contato: o total é $-12\mathrm{nC}$, então A e B ficam com $-6\mathrm{nC}$ cada, depois que $6\mathrm{nC}/e=3,7\times 10^{10}$ elétrons passaram de A para B. Segundo contato: o total é $-6+4=-2\mathrm{nC}$, então B e C ficam com $-1\mathrm{nC}$ cada. Conferência: $-6-1-1=-8\mathrm{nC}$, o total inicial $-12+0+4$. No segundo contato, $5\mathrm{nC}/e=3,1\times 10^{10}$ elétrons atravessaram de B para C, anulando os seus $+4\mathrm{nC}$ e deixando-o levemente negativo; nenhuma carga positiva se deslocou.

Atração sem contato: polarização e indução

Um objeto carregado pode puxar um neutro sem tocá-lo. Aproxime uma haste negativa de uma esfera metálica: os elétrons livres da esfera são empurrados para o lado oposto, deixando o lado próximo positivo. Isso é indução eletrostática. A esfera continua neutra, mas seu lado positivo está mais perto da haste, e as forças elétricas enfraquecem com a distância, então a atração vence.

No papel, um isolante, os elétrons não podem se deslocar; em vez disso, cada molécula é levemente esticada e vira um pequeno dipolo, um par de cargas iguais e opostas separadas por uma distância pequena. O papel é polarizado: positivo na face voltada para o balão e negativo na face oposta, como mostra o close-up com os sinais + e − se afastando.

As setas no pedacinho do meio mostram a disputa. A seta $mg$, o peso do pedacinho, permanece a mesma, enquanto a seta verde $F$, a força elétrica, cresce cada vez mais rápido conforme o balão desce. Quando $F$ tem o mesmo comprimento que $mg$, o pedacinho decola; o pedacinho do meio, logo abaixo do balão, sai primeiro. Um eletroscópio também usa indução: uma haste carregada perto de sua tampa empurra carga do mesmo sinal da haste para duas folhas finas, que se repelem e se abrem.

Erros comuns

• Atritar não cria carga: os $-9,6\mathrm{nC}$ do balão e os $+9,6\mathrm{nC}$ da lã já estavam na matéria neutra, e continuam somando zero.
• Um objeto positivo perdeu elétrons, não ganhou prótons: os $+9,6\mathrm{nC}$ da lã significam $6,0\times 10^{10}$ elétrons faltando.
• Neutro não significa sem carga: um balão neutro de 3 g contém cerca de 160.000 C de carga negativa nos seus elétrons, exatamente equilibrada pelos núcleos.
• Atração não prova que um corpo está carregado: um pedacinho de papel neutro é atraído por qualquer sinal. Só a repulsão mostra que dois corpos têm cargas do mesmo sinal.
• Multiplique por $e$, não divida: $6,0\times 10^{10}$ elétrons carregam $9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}$, enquanto a divisão dá o absurdo $3,7\times 10^{29}\mathrm{C}$.

Onde você encontra isso

A eletricidade estática funciona em impressoras a laser e fotocopiadoras, cujo tambor carregado pega o toner no padrão da página; na pintura por pulverização e em precipitadores eletrostáticos, que removem mais de 99 % das cinzas da fumaça de usinas. Ela também é um perigo: caminhar sobre um tapete em um dia seco pode deixar cerca de um microcoulomb em você, o suficiente para uma faísca na maçaneta, e caminhões-tanque são aterrados antes da descarga. Um raio carrega entre 5 e 30 C.

A próxima lição, Lei de Coulomb, mede a força entre duas cargas. Campo elétrico e potencial, Capacitores e Corrente elétrica e resistência seguem a carga para o espaço ao seu redor, para o armazenamento e para o movimento.

Avançado

Uma força que quase se anula

Esta seção explica por que as forças elétricas governam o mundo cotidiano, embora a maior parte da matéria pareça sem carga. Duas pequenas cargas $q_1$ e $q_2$ a uma distância $r$ uma da outra se atraem ou se repelem com uma força de módulo
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
(lei de Coulomb), onde $k=8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Como a gravidade, essa força cai com o inverso do quadrado da distância. Diferentemente da gravidade, ela é incomparavelmente mais intensa. Compare as duas forças entre dois prótons, cada um com carga $e$ e massa $m_p$, sendo $G$ a constante gravitacional. As duas forças têm o mesmo $1/r^2$, então $r$ se cancela e a razão é a mesma em qualquer distância:
$\frac{F_e}{F_g}=\frac{k{e}^2}{G{m}_p^2}\approx 1,2\times 10^{36}$

Por que, então, notamos tão raramente? Porque a carga tem dois sinais, e a matéria os equilibra quase perfeitamente: a carga de um átomo ou molécula é zero com precisão de uma parte em $10^{21}$ de $e$. Uma estimativa grosseira mostra por que o equilíbrio precisa ser tão fino. Uma gota de água de 1 g contém $3,3\times 10^{23}$ elétrons, uma carga de cerca de $5,4\times 10^4\mathrm{C}$, igualada pela mesma carga positiva em seus núcleos. Retire um elétron em cada milhão de cada uma dessas duas gotas e coloque-as a 1 m de distância. Cada gota fica com $q=+0,054\mathrm{C}$, e elas se repelem com
$F=\frac{k{q}^2}{r^2}\approx 2,6\times 10^7\mathrm{N}$
o peso de cerca de 2600 toneladas.

O que sentimos são resíduos. Átomos vizinhos são neutros, mas, em distâncias atômicas, suas cargas positivas e negativas não ficam exatamente uma sobre a outra. Essa pequena diferença é a força que empurra uma mesa, a tensão em uma corda e as ligações da química.

Quantizada, invariante e conservada

Três fatos experimentais definem o que é a carga. Toda teoria da matéria precisa respeitar os três.

Primeiro, a carga é quantizada: ela aparece apenas em múltiplos inteiros da carga elementar $e$. Entre 1909 e 1913, Robert Millikan mostrou isso equilibrando minúsculas gotas de óleo carregadas contra a gravidade em um campo elétrico; cada carga que ele mediu era um número inteiro vezes $e$. Desde 2019, o SI fixa $e=1,602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$ exatamente, e esse valor define o coulomb. Os quarks carregam frações, $+\frac{2}{3}e$ ou $-\frac{1}{3}e$, mas nunca são encontrados isolados. Eles estão sempre ligados em partículas com cargas inteiras: o próton (uud) tem $+e$, o nêutron (udd) zero.

Segundo, a carga é invariante: ela não depende da velocidade com que a partícula carregada se move. Dentro de um núcleo de hélio, os prótons se movem a uma fração considerável da velocidade da luz; em uma molécula de hidrogênio, eles estão quase em repouso. Se a carga de um próton mudasse com sua velocidade, um dos dois gases teria carga líquida, mas ambos são neutros com precisão de cerca de uma parte em $10^{20}$. Energia, momento linear, comprimentos e intervalos de tempo dependem do observador; a carga não.

Terceiro, a carga é conservada: em todo processo já observado, a carga total depois é igual à carga total antes. Um raio gama que passa perto de um núcleo pode se transformar em um elétron e um pósitron, $0\to (-e)+(+e)$. Um nêutron livre decai em um próton, um elétron e um antineutrino, $0\to (+e)+(-e)+0$. Partículas surgem e desaparecem, mas a carga líquida não muda.

Conservação local: a equação da continuidade

Legenda

$S$	Superfície fechada que limita o volume $V$.
$V$	O volume dentro de $S$, mantido fixo.	${\mathrm{m}}^3$
$\rho$	Carga por unidade de volume dentro de $V$ (os pontos vermelhos).	$C/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{J}$	Densidade de corrente: corrente por unidade de área, no sentido em que a carga positiva flui.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	Um pequeno pedaço de $S$ como vetor: seu comprimento é a área $dA$ do pedaço, e ele aponta para fora de $V$.	${\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Ângulo entre $\vec{J}$ e $d\vec{A}$; acima de $90^{\circ }$ onde a carga entra.	$\mathrm{rad}$

A conservação diz mais do que “o total permanece o mesmo”. A carga não pode desaparecer em um lugar e reaparecer em outro; ela precisa viajar até lá. Esta seção transforma essa ideia em uma equação, e a Figura 1 organiza a contabilidade.

A Figura 1 mostra um volume fixo $V$ limitado por uma superfície fechada $S$. A carga dentro dele é descrita por sua densidade $\rho$, a carga por unidade de volume (os pontos vermelhos). A carga em movimento é descrita pela densidade de corrente $\vec{J}$, a corrente por unidade de área, apontando no sentido em que a carga positiva flui. As setas $\vec{J}$ cruzam $S$ nos dois sentidos: a maioria deixa $V$, mas as duas à esquerda entram nele.

Para contar o que cruza $S$, divida-a em pequenos pedaços. O pedaço ampliado à direita tem área $dA$, e o transformamos em um vetor $d\vec{A}$ de comprimento $dA$, apontando para fora de $V$. Só a parte de $\vec{J}$ ao longo de $d\vec{A}$ transporta carga através do pedaço; a parte paralela ao pedaço desliza por ele. Assim, a corrente que sai pelo pedaço é
$\vec{J}\cdot d\vec{A}=JdA\cos \theta$
onde $\theta$ é o ângulo entre as duas setas do pedaço ampliado. Onde a carga sai, $\theta$ está abaixo de $90^{\circ }$ e esse termo é positivo; onde a carga entra, $\theta$ está acima de $90^{\circ }$ e ele é negativo. Somando todos os pedaços, ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$ é a corrente líquida que sai de $V$.

Agora a física. Como $V$ é fixo, a carga dentro dele só pode mudar atravessando $S$. Logo, a carga interna diminui exatamente tão rápido quanto a corrente líquida sai:
$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho dV=-{\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$
Essa é a forma integral da conservação local. Para transformá-la em um enunciado sobre pontos isolados, use o teorema da divergência, que reescreve o fluxo através de uma superfície fechada como uma integral de volume do divergente: ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}={\int }_V\nabla \cdot \vec{J}dV$. Como $V$ não se move, a derivada no tempo pode entrar na integral da esquerda, e ambos os lados se tornam integrais sobre o mesmo volume:
${\int }_V\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}\right)dV=0$
Isso vale para todo volume fixo, por menor que seja. Uma integral que se anula sobre cada pequena região só pode fazê-lo se o integrando for zero em cada ponto, logo
$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}=0$
Essa é a equação da continuidade. Em palavras: onde a densidade de carga está diminuindo, a corrente está se espalhando a partir desse ponto.

Por que insistir na lei local, se a lei global manteria o total da mesma forma? Imagine a carga desaparecendo na Terra e reaparecendo, no mesmo instante, na Lua. O total nunca mudaria. Mas na relatividade, dois eventos distantes que são simultâneos para um observador não são simultâneos para outro observador que passa em movimento. Esse segundo observador veria a carga faltando por um tempo, ou presente nos dois lugares ao mesmo tempo. Só a carga que flui continuamente através das fronteiras é conservada para todo observador.

O gráfico $q(t)$ da animação mostra a forma integral em ação. Desenhe $S$ em torno do balão. A carga cruza essa superfície apenas onde o balão e a lã se tocam, então a inclinação da curva azul do balão é a corrente que entra no balão. A curva vermelha da lã tem a inclinação oposta em todo instante: o que um ganha, o outro perde. A carga muda 9,6 nC em 3,2 s, uma corrente média de 3,0 nA. A transferência acompanha a distância atritada, então a corrente atinge um pico de cerca de 4,7 nA no meio do movimento e cai a zero em cada extremidade do movimento, onde o balão para e inverte o sentido.

Por que um corpo neutro é puxado

Legenda

$Q$	Carga positiva da fonte.	$\mathrm{C}$
$d$	Distância de $Q$ ao centro do corpo.	$\mathrm{m}$
$q$	Valor de cada uma das duas cargas que o campo separa no corpo.	$\mathrm{C}$
$\vec{s}$	Separação das cargas, de $-q$ até $+q$; o momento de dipolo é $\vec{p}=q\vec{s}$.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}(\vec{r})$	Campo de $Q$ na extremidade $-q$, a mais próxima, na posição $\vec{r}$ a partir de $Q$.	$N/C$
$\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$	Campo de $Q$ na extremidade $+q$: mais fraco, porque essa extremidade está mais longe de $Q$.	$N/C$
${\vec{F}}_{-}$	Força sobre $-q$, em direção a $Q$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{+}$	Força sobre $+q$, afastando-se de $Q$ e menor.	$\mathrm{N}$
$\vec{F}$	Força líquida sobre o corpo, ${\vec{F}}_{-}+{\vec{F}}_{+}$: em direção a $Q$.	$\mathrm{N}$

Um balão carregado atrai pedacinhos de papel que não têm carga líquida. Esta seção explica como isso acontece e determina quão rapidamente a força cresce quando o balão se aproxima.

A Figura 2 mostra um corpo neutro a uma distância $d$ de uma carga positiva $Q$. As cargas do corpo não estão rigidamente fixas; elas podem se deslocar um pouco. O campo de $Q$ aponta para longe de $Q$, então empurra a carga positiva para longe e atrai a carga negativa para mais perto. Uma carga $-q$ se acumula no lado próximo e $+q$ no lado distante, separadas pelo pequeno vetor $\vec{s}$, traçado de $-q$ para $+q$. O corpo tornou-se um dipolo induzido, com momento de dipolo $\vec{p}=q\vec{s}$. Quão grande $\vec{p}$ se torna depende de quão facilmente as cargas se deslocam. Em um campo fraco comparado aos campos dentro dos átomos, ele é proporcional ao campo,
$\vec{p}=\alpha \vec{E}$
onde a constante $\alpha$, a polarizabilidade, mede essa facilidade.

Agora observe as forças. Cada extremidade do dipolo sente o campo onde está. Seja $\vec{r}$ a posição da extremidade próxima, medida a partir de $Q$. A extremidade $-q$ em $\vec{r}$ está no campo $\vec{E}(\vec{r})$ e é puxada em direção a $Q$ por ${\vec{F}}_{-}$. A extremidade $+q$ em $\vec{r}+\vec{s}$ está mais afastada, no campo mais fraco $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$, e é empurrada para longe pela força menor ${\vec{F}}_{+}$. As duas cargas são iguais e opostas, mas os campos em que estão não são iguais, então as forças não se cancelam. A soma delas, a força líquida $\vec{F}$ desenhada abaixo do corpo, aponta para $Q$.

Para encontrar seu módulo, some as duas forças e expanda o campo ao longo do pequeno passo $\vec{s}$: $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})\approx \vec{E}(\vec{r})+(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$, onde $(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$ é a variação de $\vec{E}$ nesse passo. Então
$\vec{F}=q[\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})-\vec{E}(\vec{r})]\approx (\vec{p}\cdot \nabla )\vec{E}$
Assim, um dipolo sente uma força líquida apenas onde o campo muda de um lugar para outro.

Em seguida, substitua $\vec{p}=\alpha \vec{E}$. Para qualquer campo, $(\vec{E}\cdot \nabla )\vec{E}=\frac{1}{2}\nabla (E^2)-\vec{E}\times (\nabla \times \vec{E})$, e um campo eletrostático não tem rotacional, $\nabla \times \vec{E}=0$. Portanto
$\vec{F}=\frac{\alpha }{2}\nabla (E^2)$
Perto de uma carga pontual, $E=kQ/r^2$, logo $E^2=k^2{Q}^2/r^4$. Seu gradiente aponta para $Q$, com módulo $4k^2{Q}^2/r^5$. No corpo, $r=d$, e a força de atração é
$F=\frac{2\alpha k^2{Q}^2}{d^5}\text{(point charge)}$

Três consequências decorrem disso. Primeiro, a força sempre aponta para o campo mais forte, qualquer que seja o sinal da fonte, porque $E^2$ ignora os sinais. Inverta o sinal de $Q$ na Figura 2: $\vec{E}$ e $\vec{p}$ se invertem, e a extremidade $+q$ passa a ser a mais próxima, mas $\vec{F}$ continua apontando para $Q$. Segundo, em um campo uniforme $E^2$ é igual em todo lugar, então não há força líquida. Um corpo alongado ainda gira, porque se polariza mais facilmente ao longo do seu comprimento; é por isso que os pedacinhos de papel giram no ar e pousam por uma das extremidades. Terceiro, a força é muito íngreme: reduzir $d$ à metade a multiplica por $2^5=32$.

O gráfico $F/mg$ do pedacinho do meio na animação mostra essa inclinação. Quando o balão começa a descer em 5,6 s, a força é 6 % do peso do pedacinho. Ela chega a um quarto em 7,0 s e a mais da metade em 7,4 s, e cruza a linha tracejada em 1 por volta de 7,6 s, quando o pedacinho sobe. Enquanto isso, a distância entre o centro do balão e o pedacinho diminui de 80 para 52 unidades. Para uma carga no centro, a lei $1/d^5$ aumentaria a força $(80/52{)}^5\approx 8,6$ vezes; na prática, ela cresce 17 vezes. A razão é que a carga está na superfície inferior do balão, cuja parte mais próxima fica quase duas vezes mais perto. Depois que o pedacinho sobe, a distância se fecha ainda mais e a força dispara.

Condutores em equilíbrio

Em um condutor, algumas cargas são livres para se mover: em um metal, os elétrons. Elas continuam se movendo enquanto algum campo as empurrar; assim, quando tudo se acomoda, o campo dentro do material é zero, $\vec{E}=0$. A lei de Gauss, desenvolvida em Campo elétrico e potencial, diz então que não há carga líquida em lugar nenhum no interior: toda carga em excesso ou induzida fica na superfície. O campo logo fora é perpendicular à superfície, pois uma componente ao longo dela ainda moveria as cargas superficiais. Seu módulo é $E=\sigma /{\epsilon }_0$, onde $\sigma$ é a carga por unidade de área da superfície e ${\epsilon }_0=1/(4\pi k)$ é a permissividade do vácuo.

A mesma mobilidade explica a eletrização por indução. Aproxime uma haste carregada de um condutor, e carga de sinal oposto se acumula no lado voltado para ela. Ligue o condutor à terra: a carga flui pela ligação até que o condutor fique com uma carga líquida oposta à da haste, mantida ali pela atração da haste. Desfaça primeiro a ligação com a terra, depois retire a haste, e o condutor mantém essa carga.

A carga se acumula onde a superfície se curva

Legenda

$V$	Potencial do fio e de ambas as esferas: igual em todo o condutor.	$\mathrm{V}$
$R_1$	Raio da esfera maior.	$\mathrm{m}$
$R_2$	Raio da esfera menor.	$\mathrm{m}$
$q_1$	Carga da esfera maior.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Carga da esfera menor.	$\mathrm{C}$
${\vec{E}}_1$	Campo logo fora da esfera maior, perpendicular à sua superfície.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Campo logo fora da esfera menor: mais forte, já que $E=V/R$.	$N/C$

Em um condutor carregado, a carga não se espalha uniformemente: ela se acumula onde a superfície se curva mais fortemente. A Figura 3 mostra o caso mais simples que torna isso preciso.

A Figura 3 mostra duas esferas condutoras de raios $R_1$ e $R_2$, a primeira a maior, bem afastadas e unidas por um fio fino. Juntas formam um único condutor, então a carga flui pelo fio até que toda ela, fio e as duas esferas, esteja em um único potencial $V$. Como as esferas estão afastadas, o potencial de cada uma vem apenas da sua própria carga, e uma esfera de raio $R$ com carga $q$ tem $V=kq/R$. Igualando os dois potenciais, $k{q}_1/R_1=k{q}_2/R_2$, logo
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2}$
A esfera maior tem a maior carga. Agora observe as setas de campo. O campo na superfície de uma esfera é
$E=\frac{kq}{R^2}=\frac{V}{R}$
e, como $V$ é compartilhado, $E$ varia com $1/R$. Assim, ${\vec{E}}_2$, na esfera pequena, é mais longo que ${\vec{E}}_1$ na razão $R_1:R_2$; as setas estão desenhadas assim para $R_1=2R_2$. Quanto menor a esfera, mais forte o campo em sua superfície e, como $E=\sigma /{\epsilon }_0$, mais carga ela carrega por unidade de área.

O mesmo vale para um único condutor de qualquer forma: uma ponta aguda se comporta como uma pequena esfera, e uma região plana como uma grande. Uma ponta com raio de 0,1 mm em um corpo de raio 10 cm tem um campo superficial cerca de mil vezes maior que o do corpo. É por isso que faíscas e o brilho fraco da descarga corona começam em pontas e bordas.

Exemplo resolvido: quando uma bolinha salta?

Este problema coloca a força do dipolo induzido para funcionar em um objeto real. Coloque a carga do balão, $Q=9,6\mathrm{nC}$, em uma esfera metálica de raio 1 cm sobre um suporte isolante. Fora da esfera, seu campo é exatamente o de uma carga pontual $Q$ no centro. Abaixo da esfera há uma bolinha condutora leve de espuma de poliestireno revestida de grafite, com 2 mm de diâmetro e densidade de massa ${\rho }_m=20kg/{\mathrm{m}}^3$. Quão perto a esfera precisa chegar antes que a bolinha salte para cima?

Passo 1, a força. Uma pequena bola condutora de raio $a$ tem polarizabilidade $\alpha =4\pi {\epsilon }_0{a}^3=a^3/k$. Substituindo isso em $F=2\alpha k^2{Q}^2/d^5$, obtemos
$F=\frac{2k{Q}^2{a}^3}{d^5}$
onde $d$ é a distância entre os centros da esfera e da bolinha.

Passo 2, o peso. A massa da bolinha é seu volume vezes sua densidade, logo $mg=\frac{4}{3}\pi a^3{\rho }_{m}g$.

Passo 3, a condição. A bolinha sobe quando $F>mg$. Os dois lados contêm $a^3$, que se cancela:
$\frac{2k{Q}^2}{d^5}>\frac{4}{3}\pi {\rho }_{m}g$
Resolvendo para $d^5$:
$d^5<\frac{3k{Q}^2}{2\pi {\rho }_{m}g}$

Passo 4, os números. Em unidades SI, $3k{Q}^2=2,5\times 10^{-6}$ e $2\pi {\rho }_{m}g=1,23\times 10^3$, logo $d^5<2,0\times 10^{-9}{\mathrm{m}}^5$ e $d<1,8\mathrm{cm}$. A bolinha sobe quando seu centro chega a menos de 1,8 cm do centro da esfera. Subtraindo o raio da esfera, de 1 cm, e o da bolinha, de 1 mm, sobra uma folga de cerca de 7 mm entre as superfícies.

Como a distância de levantamento varia

Legenda

$d$	Distância do centro da esfera carregada ao centro da bolinha.	$\mathrm{m}$
$F$	Força de atração para cima sobre a bolinha, $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$, onde $a$ é o raio da bolinha.	$\mathrm{N}$
$mg$	Peso da bolinha (linha tracejada).	$\mathrm{N}$
$Q$	Carga na esfera; a curva da esquerda é para $Q$, a da direita para $2Q$.	$\mathrm{C}$
$d_Q$	Distância em que a força para a carga $Q$ iguala o peso: 1,8 cm.	$\mathrm{m}$
$d_{2Q}$	Distância em que a força para a carga $2Q$ iguala o peso: 2,4 cm.	$\mathrm{m}$

O problema resolvido deu um número. A Figura 4 mostra como esse número muda quando a carga ou a bolinha muda, e por que o tamanho da bolinha desaparece.

A Figura 4 traça a força $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$ sobre a bolinha em função da distância $d$ ao centro da esfera. A força cresce rapidamente quando $d$ diminui. O peso $mg$ não depende de $d$, por isso é a linha horizontal tracejada. A bolinha sobe sempre que uma curva passa acima dessa linha, isto é, a qualquer distância dentro do ponto de cruzamento. Para a carga $Q$, a curva da esquerda, o cruzamento está em $d_Q$, os 1,8 cm encontrados acima.

Agora dobre a carga. A força varia com $Q^2$, então é 4 vezes maior em qualquer distância, e a curva da direita, para $2Q$, cruza a linha mais afastada. No novo cruzamento a força ainda deve ser igual a $mg$, então $4/d_{2Q}^5=1/d_Q^5$ e
$d_{2Q}=4^{1/5}{d}_Q=2^{2/5}{d}_Q\approx 1,32d_Q$
que equivale a 2,4 cm. Por causa da quinta potência, dobrar a carga ganha apenas cerca de um terço a mais de distância.

O tamanho da bolinha não importa, apenas sua densidade, desde que ela permaneça pequena em relação a $d$, pois $a^3$ se cancelou. Uma bolinha 32 vezes mais densa elevaria a linha tracejada 32 vezes e puxaria o cruzamento para dentro por um fator $32^{1/5}=2$, até 0,9 cm. Isso fica dentro da esfera, cujo raio é 1 cm; então essa bolinha nunca subiria antes de tocar a esfera.

O que acontece no contato? A bolinha condutora recebe uma parte da carga da esfera, de mesmo sinal, então passa a ser repelida e é lançada para longe. O papel conduz tão mal que se carrega apenas lentamente, e é por isso que um pedacinho de papel fica grudado no balão.

Limites de validade

Cada modelo desta lição funciona apenas dentro de certa faixa.

O ar isola apenas até cerca de 3 MV/m. Acima disso, elétrons livres errantes ganham energia suficiente entre colisões com moléculas para arrancar outros elétrons, e a avalanche crescente é uma faísca. O balão está longe disso. Sua carga, espalhada por uma área atritada de cerca de 100 cm², produz um campo de aproximadamente $\sigma /(2{\epsilon }_0)\approx 5\times 10^{4}V/m$, cerca de 55 vezes fraco demais; o fator 2 aparece porque o campo de uma folha isolante carregada aponta para fora dos dois lados. A esfera do problema resolvido chega bem mais perto: seu campo superficial, $kQ/R^2=8,6\times 10^{5}V/m$ com $R=1\mathrm{cm}$, está a menos de um fator quatro da ruptura. No outro extremo, um raio carrega de 5 a 30 C, até $2\times 10^{20}$ elétrons, através de centenas de megavolts.

A quantização é invisível na escala do balão, onde um elétron muda a carga em uma parte em $6\times 10^{10}$. É por isso que a carga pode ser tratada como um fluido contínuo de densidade $\rho$, como na equação da continuidade. A lei $\vec{p}=\alpha \vec{E}$ exige campos muito abaixo dos que existem dentro dos átomos, cerca de $5\times 10^{11}V/m$, e a lei $1/d^5$ exige um corpo pequeno em relação a $d$. A série triboelétrica é empírica: ainda se discute se elétrons, íons ou minúsculos pedaços de material transportam a carga entre superfícies atritadas. Por fim, a eletrostática clássica não consegue explicar por que um elétron não cai sobre um próton. Isso exige a mecânica quântica, que começa em Modelos atômicos: o átomo de Bohr.

Onde isso leva

A Lei de Coulomb trata por completo a força entre cargas pontuais. Campo elétrico e potencial transforma campos, a lei de Gauss e condutores equipotenciais em ferramentas; Capacitores armazenam carga separada; Corrente elétrica e resistência estuda a própria densidade de corrente $\vec{J}$. Cargas em movimento também sofrem forças magnéticas (Força magnética sobre cargas em movimento), e a equação da continuidade está embutida nas equações de Maxwell (Ondas eletromagnéticas). Semicondutores, diodos e LEDs tratam uma falta de elétron como um portador positivo, e Partículas e forças: o Modelo Padrão deduz a conservação da carga a partir de uma simetria da natureza.