Prismes, dispersion et couleurs

Débutant

Étape 1, le blanc est un mélange. La lumière du Soleil paraît incolore, et pourtant elle contient à la fois toutes les couleurs de l'arc-en-ciel. En 1666, Isaac Newton fit passer un rayon de soleil dans un prisme de verre et obtint une bande de couleurs, toujours dans le même ordre : rouge, orange, jaune, vert, bleu, violet. Cette bande s'appelle un spectre.

Étape 2, chaque couleur a sa vitesse dans le verre. Dans le vide, toutes les couleurs vont aussi vite, mais le verre freine le plus le violet et le moins le rouge. Comme la déviation vient du ralentissement, le violet est le plus dévié et le rouge le moins. Ce tri des couleurs par réfraction s'appelle la dispersion. Une vitre plane les trie un tout petit peu, mais sa seconde face, parallèle à la première, annule l'effet ; les faces inclinées d'un prisme, elles, l'additionnent, et l'éventail s'ouvre largement.

Dans l'animation, une lampe envoie de la lumière blanche dans un prisme : regardez le faisceau traverser le verre et s'ouvrir en éventail, peignant un spectre sur la table.

Étape 3, l'arc-en-ciel. Chaque goutte de pluie agit comme un minuscule prisme muni d'un miroir au fond : la lumière y entre, se réfléchit sur l'arrière de la goutte et ressort triée, chaque couleur sous son propre angle, proche de 42°. Voilà pourquoi on ne voit un arc-en-ciel qu'avec le Soleil dans le dos et la pluie devant soi, le rouge à l'extérieur de l'arc.

Étape 4, la couleur des objets. Une tomate mûre paraît rouge parce qu'elle absorbe la plupart des couleurs et renvoie surtout le rouge. Les lumières, elles, s'additionnent : rouge, vert et bleu ensemble paraissent blancs, et c'est ainsi qu'un écran de téléphone fabrique toutes les couleurs avec trois sortes de points minuscules.

Testez-vous : sous une lumière bleue pure, de quelle couleur paraît une tomate mûre ? (Presque noire : il n'y a pas de rouge à renvoyer.)

Intermédiaire

Indice, longueur d'onde et dispersion

La lumière traverse le vide à $c=3,00\times 10^{8}m/s$, quelle que soit sa couleur. Dans un matériau transparent, elle va moins vite, à une vitesse $v$, et l'indice de réfraction dit combien de fois moins vite :
$n=\frac{c}{v}$

En traversant une surface, la lumière garde sa fréquence $f$, car l'autre côté est excité au rythme de l'onde qui arrive ; comme $v=f\lambda$, c'est la longueur d'onde qui diminue, dans le rapport $n$. La couleur est liée à la fréquence : on repère donc les couleurs par leur longueur d'onde $\lambda$ dans le vide, environ 700 nm pour le rouge ($f=4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$) et 400 nm pour le violet.

L'indice est légèrement différent pour chaque couleur, et cette différence, c'est la dispersion. Dans le verre et dans l'eau, il augmente vers les courtes longueurs d'onde, selon une loi empirique :
$n(\lambda )\approx A+\frac{B}{{\lambda }^2}\text{(Cauchy)}$
Le prisme de l'animation est en flint dense, avec $A=1,700$ et $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$ ; on a donc $n_{\mathrm{rouge}}=1,700+16000/700^2=1,733$ et $n_{\mathrm{violet}}=1,700+16000/400^2=1,800$. L'eau disperse moins : 1,3305 pour le rouge, 1,3435 pour le violet. Ces petits écarts, 0,067 et 0,013, sont tout ce qui sépare les couleurs.

Deux réfractions dans un prisme

À chaque face, la loi de Snell-Descartes s'applique, chaque angle étant mesuré depuis la normale à cette face :
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$
Pour un prisme d'angle au sommet $\alpha$ placé dans l'air, on suit alors un rayon en trois étapes :

• $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$
• ${\theta }_3=\alpha -{\theta }_2$
• $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$

L'étape du milieu relève de la géométrie : le rayon intérieur et les deux normales aux faces forment un triangle dont le troisième angle vaut $180^{\circ }-\alpha$, d'où ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. Le rayon tourne de ${\theta }_1-{\theta }_2$ à la première face et de ${\theta }_4-{\theta }_3$ à la seconde, les deux fois vers la base, si bien que sa déviation totale est
$\delta ={\theta }_1+{\theta }_4-\alpha \text{(prisme d’angle au sommet }\alpha \text{)}$

Pour un prisme mince, aux petits angles, on peut remplacer les sinus par les angles : ${\theta }_1+{\theta }_4\approx n({\theta }_2+{\theta }_3)=n\alpha$, d'où
$\delta \approx (n-1)\alpha \text{(prisme mince)}$
Deux couleurs s'écartent alors d'environ $(n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{rouge}})\alpha$. Une vitre a $\alpha =0$ : toutes les couleurs ressortent parallèles au faisceau incident, et elles se superposent de nouveau.

Exemple résolu : le prisme de l'animation

Le faisceau blanc rencontre la première face sous ${\theta }_1=55^{\circ }$, et $\sin 55^{\circ }=0,8192$. Pour le rouge, $\sin {\theta }_2=0,8192/1,733=0,4727$, donc ${\theta }_2=28,2^{\circ }$ ; pour le violet, $\sin {\theta }_2=0,8192/1,800=0,4551$ et ${\theta }_2=27,1^{\circ }$. Dans le verre, les trajets ne sont écartés que de $1,1^{\circ }$ : l'animation y dessine donc un seul faisceau blanc.

Les deux rayons atteignent la seconde face sous ${\theta }_3=60^{\circ }-{\theta }_2$ : $31,8^{\circ }$ pour le rouge, $32,9^{\circ }$ pour le violet. À la sortie, $\sin {\theta }_4=1,733\cdot 0,5267=0,9128$ donne ${\theta }_4=65,9^{\circ }$ pour le rouge, et $1,800\cdot 0,5436=0,9785$ donne $78,1^{\circ }$ pour le violet. Les déviations valent $\delta =55^{\circ }+65,9^{\circ }-60^{\circ }=60,9^{\circ }$ et $55^{\circ }+78,1^{\circ }-60^{\circ }=73,1^{\circ }$, les valeurs des affichages de $\delta$. L'écart de $1,1^{\circ }$ à l'intérieur du verre est devenu $12,2^{\circ }$ : le violet ressort presque en rasant la face, là où une petite variation de $\sin {\theta }_4$ entraîne une grande variation de l'angle.

Les affichages de vitesse passent de $3,00\times 10^{8}m/s$ dans l'air à $c/n=2,998\times 10^8/1,733=1,73\times 10^{8}m/s$ pour le rouge et à $1,67\times 10^{8}m/s$ pour le violet dans le verre. L'arc de $\delta$ s'ouvre entre la direction non déviée en pointillés et le rayon rouge, et les couleurs arrivent sur la table dans l'ordre, le violet le plus près du prisme.

Exemple résolu : un prisme mince en verre

Un prisme de 10° en verre crown, le verre ordinaire des lentilles, a pour indice $n=1,513$ pour le rouge et $1,531$ pour le violet. Un étroit faisceau blanc le traverse presque perpendiculairement et arrive sur un mur situé à 2,0 m. Quelle est la largeur du spectre ?

D'après la règle du prisme mince,
${\delta }_{\mathrm{rouge}}\approx 0,513\cdot 10^{\circ }=5,13^{\circ },{\delta }_{\mathrm{violet}}\approx 0,531\cdot 10^{\circ }=5,31^{\circ }$
L'écart vaut $0,18^{\circ }$, soit $0,18\cdot \pi /180=3,1\times 10^{-3}\mathrm{rad}$ ; sur le mur, le spectre mesure donc environ $2,0\mathrm{m}\cdot 3,1\times 10^{-3}=6,3\mathrm{mm}$ de large, tandis que la tache entière se déplace d'environ $2,0\tan 5,2^{\circ }\approx 0,18\mathrm{m}$. Un tracé exact avec la loi de Snell-Descartes sous $5^{\circ }$ d'incidence donne $5,16^{\circ }$ et $5,35^{\circ }$ : la règle est exacte à moins de 1 % près.

Taillé dans le verre flint de l'animation, le même prisme donne $0,733\cdot 10^{\circ }=7,3^{\circ }$ pour le rouge et $8,0^{\circ }$ pour le violet : une déviation 1,4 fois plus grande, mais un écart 3,7 fois plus grand, $0,67^{\circ }$, ce qui donne un spectre large de 23 mm.

Gouttes de pluie et angle de l'arc-en-ciel

La lumière du Soleil pénètre dans une goutte de pluie sphérique sous un angle d'incidence $\theta$, se réfracte en ${\theta }^{\prime }$ avec $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$, se réfléchit une fois au fond puis ressort en se réfractant ; comme la goutte est ronde, elle rencontre chaque fois la surface intérieure sous le même angle ${\theta }^{\prime }$. Elle tourne de $\theta -{\theta }^{\prime }$ à l'entrée, de $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$ au fond et de $\theta -{\theta }^{\prime }$ à la sortie, soit $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$ en tout ; elle revient donc sous un angle, par rapport à la direction opposée au Soleil, de
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$

Dans l'animation, le rayon blanc entre sous $\theta =59,3^{\circ }$ ($\sin \theta =0,86$). Pour le rouge, $\sin {\theta }^{\prime }=0,86/1,3305=0,6464$, donc ${\theta }^{\prime }=40,27^{\circ }$ et $\phi =4\cdot 40,27^{\circ }-2\cdot 59,32^{\circ }=42,4^{\circ }$. Le violet, d'indice $n=1,3435$, a ${\theta }^{\prime }=39,80^{\circ }$ et $\phi =40,6^{\circ }$ : ce sont les deux affichages de $\phi$. Les rayons qui entrent plus haut ou plus bas reviennent sous des angles plus petits ; la lumière s'accumule donc près de cet angle maximal.

Les gouttes situées à $42,4^{\circ }$ du point opposé au Soleil (l'ombre de votre tête) vous envoient donc du rouge, et celles qui sont à $40,6^{\circ }$ du violet : le rouge forme le bord extérieur de l'arc. Le Soleil doit se trouver dans votre dos et à moins de 42° au-dessus de l'horizon, sinon l'arc se trouve sous l'horizon.

Additionner des lumières, soustraire des peintures

L'œil possède trois sortes de récepteurs de couleur (les cônes), les plus sensibles respectivement à la lumière rouge, verte et bleue. Les lumières qui tombent au même endroit s'additionnent : le rouge plus le vert excite les cônes à peu près comme le jaune spectral à 580 nm, de sorte que la tache paraît jaune, et le rouge, le vert et le bleu ensemble paraissent blancs. Les écrans fabriquent ainsi leurs couleurs avec de minuscules points rouges, verts et bleus.

Les peintures, les encres et les filtres soustraient : chacun absorbe une partie de la lumière, et l'œil reçoit ce qui subsiste. La peinture jaune absorbe le bleu et la peinture cyan absorbe le rouge ; leur mélange ne renvoie donc que du vert. La couleur d'un objet dépend aussi de la lumière : sous une lumière bleue pure, une tomate mûre n'a pas de rouge à renvoyer et paraît presque noire.

Erreurs fréquentes

• Le prisme ne crée pas de couleurs : il trie celles qui se trouvent déjà dans la lumière blanche, et un second prisme retourné les recombine en lumière blanche.
• La lumière ne change pas de couleur dans le verre. La lumière rouge garde sa fréquence de $4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ ; sa longueur d'onde passe de 700 nm à $700/1,733=404\mathrm{nm}$, et pourtant elle reste rouge.
• Un indice plus grand signifie une lumière plus lente, et non plus rapide : le violet, d'indice $n=1,800$, traverse le verre à $1,67\times 10^{8}m/s$, le rouge à $1,73\times 10^{8}m/s$.
• La règle du prisme mince exige un prisme mince. Pour le prisme de 60° de l'animation, $(n-1)\alpha$ donne $44^{\circ }$ pour le rouge au lieu de $60,9^{\circ }$, et un écart de $4,0^{\circ }$ au lieu de $12,2^{\circ }$. Et $n\alpha$ est faux pour tout prisme : seul l'excès de $n$ sur 1 dévie la lumière.
• Mélanger des lumières n'est pas mélanger des peintures : la lumière rouge et la lumière verte donnent du jaune, mais la peinture rouge et la peinture verte donnent un brun terne, parce que chaque peinture absorbe l'essentiel de ce que renvoie l'autre.

Où on le rencontre

Les spectromètres étalent la lumière des étoiles, des flammes et des lampes en spectres qui révèlent de quoi la source est faite, et les diamants taillés jettent des éclats colorés parce que le diamant a un indice élevé, 2,42, et une forte dispersion. Dans les lentilles, la dispersion est une gêne : une lentille simple focalise le violet plus près que le rouge, et une lentille convergente en crown collée à une lentille divergente en flint plus faible corrige l'essentiel de l'erreur, comme on le voit dans Lentilles et miroirs, puis dans L'œil, l'appareil photo et la lunette. Dans les fibres optiques, la dispersion étale les impulsions brèves. Les réseaux, étudiés dans Diffraction et fentes de Young, trient plutôt les couleurs par interférence et dévient le plus le rouge, à l'inverse d'un prisme.

Avancé

Pourquoi la lumière est plus lente dans le verre

L'indice de réfraction $n$ dit combien de fois la lumière est plus lente dans un matériau que dans le vide, et le prisme montre que $n$ dépend de la couleur. Pour comprendre pourquoi, regardons de quoi le verre est fait : des noyaux et des électrons liés, avec du vide entre eux, où tout champ électrique se propage exactement à la vitesse $c$. L'onde plus lente dans le verre doit donc être un effet composé. L'onde qui arrive agite les électrons, les électrons agités rayonnent, et leur rayonnement s'ajoute à l'onde qui arrive. Cette partie met en place les deux éléments ; la suivante les additionne.

Dans le modèle de Lorentz, chaque électron, de charge $q_e$ et de masse $m$, est retenu par une force de type ressort, de sorte que, laissé à lui-même, il oscillerait à une pulsation propre ${\omega }_0$. Le champ électrique de la lumière au niveau de l'électron est $E_0{e}^{i\omega t}$, où $\omega$ est la pulsation de la lumière et où le champ physique est la partie réelle. La deuxième loi de Newton et sa solution en régime établi sont
$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{q_e}{m}{E}_0{e}^{i\omega t}x=\frac{q_e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{e}^{i\omega t}$
Pour obtenir la solution, essayons $x\propto e^{i\omega t}$, de sorte que $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, puis résolvons pour l'amplitude. L'électron oscille à la pulsation qui l'excite, pas à la sienne. En dessous de la résonance, $\omega <{\omega }_0$, le facteur ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ est positif, donc le dipôle $q_{e}x$ évolue en phase avec le champ, et son amplitude croît quand $\omega$ s'approche de ${\omega }_0$.

Prenons maintenant une lame mince du matériau, d'épaisseur $\Delta z$, en travers du faisceau, avec $N$ électrons par unité de volume. Vue le long du faisceau, c'est une nappe plane portant une charge $N{q}_e\Delta z$ par unité de surface, dont toutes les charges oscillent ensemble dans le plan de la nappe. Une telle nappe rayonne une onde plane de chaque côté, avec un champ proportionnel à la vitesse de ses charges (résultat de la leçon Ondes électromagnétiques ; ${\epsilon }_0$ est la permittivité du vide) :
$E_a=-\frac{N{q}_e\Delta z}{2{\epsilon }_{0}c}\dot{x}$
Comme la lame est mince, $E_a$ est faible. Ce qui compte le plus, c'est son décalage dans le temps : il suit la vitesse $\dot{x}$, et non le déplacement $x$, ce qui le décale d'un quart de période.

Une lame mince retarde l'onde

Deux ondes de même fréquence s'ajoutent comme des flèches. La figure 1 s'en sert pour montrer comment une petite onde en retard d'un quart de période se traduit par un retard de l'onde entière, ce que signifie une vitesse plus faible.

Légende

$E_0$	Onde arrivant sur la lame, dessinée comme une flèche dont la longueur est l'amplitude et la direction la phase.	$V/m$
$E_a$	Onde rayonnée par les électrons de la lame : faible, et en retard d'un quart de période sur $E_0$, donc dessinée à angle droit, dans le sens horaire.	$V/m$
$E^{\prime }$	Onde au-delà de la lame : la somme de $E_0$ et de $E_a$.	$V/m$
$\phi$	Angle de $E_0$ à $E^{\prime }$ : le retard de phase $\omega (n-1)\Delta z/c$ ajouté par la lame, égal à $|E_a|/|E_0|$.	$\mathrm{rad}$

Dans la figure 1, chaque onde est une flèche dans le plan complexe : sa longueur est l'amplitude et sa direction la phase, le facteur commun $e^{i\omega t}$ étant omis. Au-delà de la lame, les deux ondes poursuivent leur route à la vitesse $c$ ; le facteur qu'elles acquièrent en chemin est donc lui aussi commun aux deux, et omis également. L'onde incidente $E_0$ est la flèche horizontale. Pour trouver la direction de $E_a$, reportons le mouvement de l'électron dans sa formule. Comme $\dot{x}=i\omega x$,
$E_a=-i\frac{\omega N{q}_e^2\Delta z}{2{\epsilon }_{0}mc({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{E}_0$
En dessous de la résonance, la fraction est positive (le signe de $q_e$ disparaît, car seul $q_e^2$ apparaît), donc $E_a$ vaut $E_0$ multiplié par un petit nombre positif et par $-i$. Multiplier par $-i=e^{-i\pi /2}$ tourne une flèche d'un angle droit dans le sens horaire, ce qui revient à remplacer $t$ par $t-T/4$, où $T$ est la période : l'onde a un quart de période de retard. C'est la courte flèche $E_a$, dirigée droit vers le bas.

Au-delà de la lame, les deux ondes s'additionnent et leur somme $E^{\prime }$ est la diagonale. Regardons le triangle rectangle. Comme $E_a$ est perpendiculaire à $E_0$ et beaucoup plus courte, $E^{\prime }$ a la longueur de $E_0$ au premier ordre (la variation de longueur est du second ordre en $|E_a|/|E_0|$), mais elle est tournée dans le sens horaire d'un petit angle $\phi =|E_a|/|E_0|$. Une rotation dans le sens horaire signifie un retard de phase. La figure dessine $\phi$ grand pour que l'on distingue les éléments ; pour une lame mince, il est minuscule.

Comparons maintenant avec ce que ferait une onde plus lente. Supposons que la lumière traverse réellement la lame à la vitesse $c/n$. Elle y mettrait $n\Delta z/c$ au lieu de $\Delta z/c$, donc elle arriverait plus tard de $(n-1)\Delta z/c$, et sa flèche serait tournée en arrière de la phase $\phi =\omega (n-1)\Delta z/c$. Pour $\phi$ petit, l'onde au-delà de la lame serait multipliée par
$e^{-i\phi }\approx 1-i\phi =1-\frac{i\omega (n-1)\Delta z}{c}$
c'est-à-dire l'onde initiale plus une petite partie en retard d'un quart de période, de taille relative $\phi$ : exactement la forme de $E_0+E_a$ dans la figure 1. Les deux descriptions concordent quand les petites parties sont égales. En posant $\omega (n-1)\Delta z/c$ égal à la fraction de $E_a$ ci-dessus, les facteurs $\omega$, $\Delta z$ et $c$ se simplifient et il reste
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}$

C'est l'indice d'un matériau dilué. Chaque couche retarde un peu la phase, d'une quantité fixée par la force avec laquelle les électrons répondent, et cela dépend de $\omega$ : la dispersion est inscrite dans le mécanisme. Pour vérifier l'ordre de grandeur, prenons de l'air avec un électron effectif par molécule, $N=2,5\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$, résonnant près de 100 nm. La formule donne $n-1\approx 1\times 10^{-4}$, le bon ordre de grandeur pour la valeur mesurée, $2,9\times 10^{-4}$.

Sous la résonance : loi de Cauchy et ciel bleu

La lumière visible se situe à l'extrémité basse fréquence de cette formule, et la développer là donne la loi simple utilisée pour les prismes. Le verre et l'eau ont leurs fortes résonances dans l'ultraviolet : pour la lumière visible, $\omega$ est donc bien en dessous de ${\omega }_0$ (la figure 3, dans une section plus loin, trace toute la courbe).

Nommons d'abord la limite basse fréquence. Pour $\omega =0$, la formule donne $n=A$, avec $A-1=N{q}_e^2/(2{\epsilon }_{0}m{\omega }_0^2)$, donc, pour tout $\omega$,
$n-1=\frac{A-1}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}\approx (A-1)\left(1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}\right)$
en utilisant $1/(1-u)\approx 1+u$ pour $u$ petit. Avec $\omega =2\pi c/\lambda$ et la longueur d'onde de résonance ${\lambda }_0=2\pi c/{\omega }_0$, le rapport ${\omega }^2/{\omega }_0^2$ est égal à ${\lambda }_0^2/{\lambda }^2$. On obtient la loi de Cauchy, $n\approx A+B/{\lambda }^2$ avec $B=(A-1){\lambda }_0^2$. Lue à l'envers, une mesure de $A$ et de $B$ indique où se trouve la résonance. Les ajustements de l'animation donnent ${\lambda }_0=\sqrt{16000/0,700}\approx 150\mathrm{nm}$ pour le verre flint ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) et $\sqrt{3090/0,3242}\approx 100\mathrm{nm}$ pour l'eau ($A=1,3242$, $B=3090\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$), tous deux dans l'ultraviolet, comme prévu.

La loi de Cauchy explique aussi pourquoi un prisme étale davantage l'extrémité violette du spectre que l'extrémité rouge. Le premier graphique de la vue experte de l'animation trace $n(\lambda )$ de 400 à 700 nm, avec un point pour chaque couleur du faisceau. Sa pente, $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, vaut $-9,3\times 10^{-5}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ à 700 nm et $-5,0\times 10^{-4}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ à 400 nm. À cause du cube, la courbe est $(7/4{)}^3\approx 5,4$ fois plus raide du côté violet.

Le prisme transforme ensuite chaque écart d'indice en écart d'angle. Notons $\alpha$ son angle au sommet (60° dans l'animation). Un rayon rencontre la première face sous l'angle d'incidence ${\theta }_1$ (55°) et se réfracte à l'angle ${\theta }_2$ ; il rencontre la seconde face sous l'angle ${\theta }_3$ et en sort sous l'angle ${\theta }_4$. La loi de Snell-Descartes aux deux faces donne $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$ et $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$, et le triangle donne ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. Faisons maintenant varier légèrement $n$, en gardant ${\theta }_1$ fixe. La première relation donne $n\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2=-\sin {\theta }_{2}dn$, et le triangle donne $d{\theta }_3=-d{\theta }_2$. Reportons les deux dans la différentielle de la seconde relation, $\cos {\theta }_{4}d{\theta }_4=\sin {\theta }_{3}dn+n\cos {\theta }_{3}d{\theta }_3$, et utilisons $\sin {\theta }_3\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_3\sin {\theta }_2=\sin \alpha$ :
$\frac{d{\theta }_4}{dn}=\frac{\sin \alpha }{\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4}$
Cela vaut 2,4 rad par unité de $n$ pour le rouge. Pour le violet, dont le rayon de sortie est presque rasant, si bien que $\cos {\theta }_4$ est petit, cela vaut 4,7. Les deux effets favorisent l'extrémité violette. Par nanomètre de longueur d'onde, l'angle de sortie varie de $2,4\cdot 9,3\times 10^{-5}\approx 2,2\times 10^{-4}$ rad à 700 nm, mais de $4,7\cdot 5,0\times 10^{-4}\approx 2,4\times 10^{-3}$ rad à 400 nm, soit environ dix fois plus : l'extrémité violette de l'éventail est étirée.

Les mêmes électrons forcés rayonnent aussi latéralement, ce qui donne au ciel sa couleur. Loin sous la résonance, l'amplitude $q_e{E}_0/(m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$ dépend à peine de $\omega$, car ${\omega }^2$ est petit devant ${\omega }_0^2$. Un dipôle oscillant rayonne une puissance proportionnelle au carré de son accélération, et l'accélération est ${\omega }^{2}x$ ; la puissance rayonnée croît donc comme ${\omega }^4{x}^2$, c'est-à-dire comme ${\omega }^4$. Les molécules d'air diffusent donc la lumière du Soleil proportionnellement à ${\omega }^4$ (diffusion de Rayleigh) : $(650/450{)}^4\approx 4,4$ fois plus à 450 nm qu'à 650 nm. La lumière bleue diffusée hors du faisceau solaire remplit le ciel, et ce qui reste après un long trajet dans l'air, comme au coucher du Soleil, est rouge.

Vitesse de phase et vitesse de groupe

Un prisme sépare les couleurs dans l'espace. Dans un long morceau de verre, la dispersion les sépare aussi dans le temps, car une impulsion ne se propage pas à la vitesse des crêtes qu'elle contient. La figure 2 montre côte à côte les deux vitesses.

Légende

$t_1$	Premier instant.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Un instant ultérieur ; $\Delta t=t_2-t_1$.	$\mathrm{s}$
$E$	Champ électrique de l'impulsion : la courbe bleue, dont les crêtes se déplacent à la vitesse de phase, sous une enveloppe ombrée.	$V/m$
$v\Delta t$	Distance parcourue par une crête entre $t_1$ et $t_2$ : la vitesse de phase $v=c/n$ multipliée par $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$v_g\Delta t$	Distance parcourue par le sommet de l'enveloppe dans le même temps : la vitesse de groupe $v_g=c/n_g$ multipliée par $\Delta t$.	$\mathrm{m}$

La figure 2 suit une brève impulsion de lumière violette dans le verre flint, dessinée à deux instants $t_1$ et $t_2$, séparés de $\Delta t$. La courbe bleue est le champ électrique $E$ : un train de crêtes sous une enveloppe lisse, le contour ombré. Les crêtes se déplacent à la vitesse de phase $v=c/n$, la vitesse des crêtes d'une onde sans fin à une seule fréquence ; la crête repérée avance donc de $v\Delta t$, la plus longue distance bleue. L'enveloppe se déplace à une autre vitesse, la vitesse de groupe $v_g$, et n'avance que de $v_g\Delta t$, la plus courte distance violette. Observez le sommet de l'enveloppe : à $t_1$, la crête repérée est sur lui, et à $t_2$ elle l'a dépassé.

La figure utilise le verre de l'animation à 400 nm, où $n=1,800$ et où, comme nous le calculons plus loin, l'indice de groupe $n_g=c/v_g$ vaut 2,000. Dans le même temps, les crêtes franchissent cinq longueurs d'onde et l'enveloppe seulement $5\cdot 1,800/2,000=4,5$. La crête qui était sur le sommet à $t_1$ a donc une demi-longueur d'onde d'avance sur lui à $t_2$, et le sommet est maintenant sur un creux. Des crêtes apparaissent sans cesse à l'arrière de l'impulsion, la traversent en courant vers l'avant, et s'estompent à son front.

Pourquoi l'enveloppe a-t-elle sa propre vitesse ? Une impulsion, comme tout signal, est une modification de l'onde, et une onde qui varie est un mélange de fréquences voisines. N'en prenons que deux, à $\omega \pm \delta \omega$, de nombres d'onde $k\pm \delta k$. Leur somme est une onde de pulsation $\omega$ et de nombre d'onde $k$ dont l'amplitude varie comme $\cos (\delta \omega t-\delta kz)$, et ce motif se déplace à $\delta \omega /\delta k$. Pour une bande étroite de fréquences, cela devient
$v_g=\frac{d\omega }{dk}$

Dans le verre, $k=n\omega /c$, avec $n$ dépendant de $\omega$, donc $dk/d\omega =(n+\omega dn/d\omega )/c$. Comme $\lambda =2\pi c/\omega$, une petite variation donne $d\lambda /\lambda =-d\omega /\omega$, d'où $\omega dn/d\omega =-\lambda dn/d\lambda$. L'indice de groupe est donc
$n_g=\frac{c}{v_g}=n+\omega \frac{dn}{d\omega }=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }$

En dispersion normale, $n$ diminue quand $\lambda$ augmente, $dn/d\lambda <0$, donc $n_g>n$ : les impulsions avancent plus lentement que les crêtes qu'elles contiennent. Avec la loi de Cauchy, $-\lambda dn/d\lambda =2B/{\lambda }^2$ et $n_g=A+3B/{\lambda }^2$. Cela donne 1,798 pour le rouge et 2,000 pour le violet dans le verre de l'animation, contre des indices de phase de 1,733 et 1,800.

Près d'une résonance : absorption et dispersion anomale

La loi de Cauchy n'est que la queue basse fréquence de l'indice de l'oscillateur, et près de ${\omega }_0$ la formule de l'indice ci-dessus diverge, ce qu'aucun matériau réel ne fait. Les vrais électrons perdent aussi de l'énergie, par collisions et par leur propre rayonnement. Modélisons cette perte par un terme de frottement $\gamma \dot{x}$ dans l'équation du mouvement, où $\gamma$ est le taux d'amortissement. Le facteur ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ devient alors ${\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega$, et l'indice devient un nombre complexe, écrit $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ avec $n^{\prime }$ et $n^{\prime \prime }$ réels :
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega )}$

Légende

$n$	Indice de réfraction, ici un nombre complexe $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ ; les deux courbes en sont les parties.
$n^{\prime }$	Partie réelle de l'indice : les crêtes se déplacent à $c/n^{\prime }$.
$n^{\prime \prime }$	Partie imaginaire de l'indice : elle fixe la rapidité avec laquelle l'onde est absorbée.
$\omega$	Pulsation de la lumière.	$rad/s$
${\omega }_0$	Pulsation propre des électrons : la résonance.	$rad/s$
$\gamma$	Taux d'amortissement ; c'est aussi la largeur du pic d'absorption à mi-hauteur.	$rad/s$
$A$	Indice aux très basses fréquences, d'où part $n^{\prime }$ : le terme constant de la forme de Cauchy.
$A+\frac{B}{{\lambda }^2}$	Forme de Cauchy (en pointillés) : elle suit bien $n^{\prime }$ loin sous la résonance et échoue près d'elle.

La figure 3 trace $n^{\prime }$ et $n^{\prime \prime }$ en fonction de $\omega$. Partons de la gauche. À $\omega =0$, la partie réelle $n^{\prime }$ part de $A$ et croît lentement, et la forme de Cauchy en pointillés, $A+B/{\lambda }^2$, la suit de près : c'est le domaine du prisme et de l'arc-en-ciel. À l'approche de ${\omega }_0$, la forme en pointillés échoue. La partie réelle $n^{\prime }$ monte jusqu'à un maximum, redescend brutalement en passant par 1 exactement à $\omega ={\omega }_0$, atteint un minimum inférieur à 1, puis remonte doucement vers 1 par en dessous. La partie imaginaire $n^{\prime \prime }$ est presque nulle loin de la résonance et forme un pic centré sur ${\omega }_0$, dont la largeur à mi-hauteur est $\gamma$.

Ce que signifie $n^{\prime \prime }$ : une onde ayant parcouru une distance $z$ dans le matériau porte le facteur $e^{i(\omega t-n\omega z/c)}$. Avec $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$, il se scinde en $e^{i(\omega t-n^{\prime }\omega z/c)}$, une onde dont les crêtes se déplacent à $c/n^{\prime }$, multipliée par $e^{-\omega n^{\prime \prime }z/c}$, une amplitude qui décroît avec la distance. Donc $n^{\prime \prime }$ représente l'absorption. La figure 3 montre qu'elle n'est forte qu'à moins d'environ $\gamma$ de ${\omega }_0$ : le matériau est opaque près de sa résonance et transparent loin d'elle.

Dans cette bande d'absorption, $n^{\prime }$ diminue quand la fréquence augmente : c'est la partie raide de la figure 3. C'est la dispersion anomale : à l'intérieur de la bande, l'ordre des couleurs que donnerait un prisme est inversé. Le lien entre absorption et dispersion n'est pas une particularité du modèle. Les relations de Kramers-Kronig, qui découlent de la seule causalité (aucune réponse avant sa cause), le rendent exact : un matériau dont l'indice diffère de 1 doit absorber quelque part dans le spectre.

À droite de la figure 3, au-dessus de toutes les résonances, la correction de $n$ change de signe et $n^{\prime }$ est inférieur à 1. Pour les rayons X, chaque électron est presque libre, et le verre a $n\approx 1-3\times 10^{-6}$ à 0,1 nm : les crêtes se propagent donc plus vite que $c$. Aucun signal ne le fait. Ici, $1-n$ est proportionnel à ${\lambda }^2$, donc $-\lambda dn/d\lambda =2(1-n)$, et la formule de l'indice de groupe donne $n_g=1+3\times 10^{-6}$. Un indice inférieur à 1 signifie aussi que les rayons X qui frappent une surface polie sous des angles rasants inférieurs à environ 0,15° sont totalement réfléchis : c'est le principe des miroirs des télescopes à rayons X.

Les matériaux réels ont plusieurs résonances. En sommant leurs contributions, on obtient la forme de Sellmeier, $n^2=1+{\sum }_k{B}_k{\lambda }^2/({\lambda }^2-{\lambda }_k^2)$, où chaque ${\lambda }_k$ est une longueur d'onde de résonance et $B_k$ son intensité. Les termes électroniques se trouvent dans l'ultraviolet et ceux des ions qui vibrent dans l'infrarouge. Entre les deux, l'indice de groupe de la silice passe par un minimum vers 1,3 µm, où des impulsions de longueurs d'onde légèrement différentes se propagent à la même vitesse : c'est la longueur d'onde de dispersion nulle des fibres de télécommunication.

Les électrons libres, comme dans un plasma, ne subissent aucune force de rappel, donc ${\omega }_0=0$. Le traitement complet donne alors $n^2=1-{\omega }_p^2/{\omega }^2$, avec la pulsation plasma ${\omega }_p$ définie par ${\omega }_p^2=N{q}_e^2/({\epsilon }_{0}m)$ ; la formule du milieu dilué avec ${\omega }_0=0$ en donne la forme au premier ordre, $n\approx 1-{\omega }_p^2/(2{\omega }^2)$. En dessous de ${\omega }_p$, $n^2$ est négatif et l'onde ne peut pas traverser : elle est réfléchie. Pour les $10^{12}$ électrons par mètre cube de l'ionosphère, ${\omega }_p/2\pi \approx 9\mathrm{MHz}$, si bien que les ondes radio de fréquence plus basse envoyées droit vers le haut redescendent.

L'arc-en-ciel, un angle stationnaire

L'indice de l'eau ne varie que d'environ 1 % sur le spectre visible, de 1,3305 pour le rouge à 700 nm à 1,3435 pour le violet à 400 nm, et pourtant un arc-en-ciel sépare nettement les couleurs. La raison est géométrique : une goutte renvoie la lumière qu'elle réfléchit une fois à l'intérieur surtout dans une direction, et cette direction dépend de $n$. La figure 4 montre d'où vient cette direction privilégiée.

Légende

$b$	Paramètre d'impact d'un rayon : sa distance à l'axe de la goutte en unités du rayon, $b=\sin \theta$, où $\theta$ est l'angle d'incidence.
$\phi$	Angle entre le rayon sortant et la direction antisolaire (droit à l'opposé du Soleil), $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$, où ${\theta }^{\prime }$ est l'angle de réfraction.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_{\max }$	Le plus grand angle de sortie, au sommet plat de la courbe : l'angle de l'arc-en-ciel.	$\mathrm{rad}$
$\Delta \phi$	Hauteur de chaque bande ombrée : le même petit intervalle d'angles de sortie dans les deux.	$\mathrm{rad}$
$\Delta b_1$	Intervalle de $b$ dont les rayons sortent dans la bande supérieure : large, car la courbe est plate à cet endroit.
$\Delta b_2$	Intervalle de $b$ sur la pente montante dont les rayons sortent dans la bande inférieure : étroit, car la courbe y est raide.

La figure 4 concerne la lumière rouge et les rayons qui pénètrent dans une goutte sphérique, s'y réfléchissent une fois et en ressortent. La lumière du Soleil tombe uniformément sur la face de la goutte. Repérons chaque rayon par son paramètre d'impact $b$ : sa distance à l'axe passant par le centre de la goutte et parallèle à la lumière du Soleil, en unités du rayon de la goutte. Un rayon qui rencontre la surface sous l'angle d'incidence $\theta$ a $b=\sin \theta$, et il se réfracte dans la goutte sous l'angle ${\theta }^{\prime }$, avec $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$. Chacune des deux réfractions dévie le rayon de $\theta -{\theta }^{\prime }$ et la réflexion le dévie de $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$, donc il est dévié au total de $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$. L'axe vertical est l'angle $\phi$ entre le rayon sortant et la direction antisolaire, la direction opposée au Soleil ; c'est $180^{\circ }$ moins la déviation totale :
$\phi (b)=4{\theta }^{\prime }-2\theta$

Suivons maintenant la courbe. Elle part de zéro au centre, $b=0$, où le rayon entre droit et ressort droit en sens inverse. Elle s'aplatit jusqu'à un maximum ${\phi }_{\max }$, puis retombe à environ 15° au bord, $b=1$, où sa tangente devient verticale. Le second graphique de la vue experte de l'animation montre le sommet de cette courbe, pour $b$ de 0,5 à 1.

Les deux bandes ombrées ont la même hauteur $\Delta \phi$ : l'une sur la pente montante, l'autre au sommet. Suivons chaque bande jusqu'à l'axe des $b$ pour voir quels rayons y aboutissent. Sur la pente raide, seul un intervalle étroit $\Delta b_2$ de rayons tombe dans la bande, plus une mince frange de rayons du bord près de $b=1$, où la courbe replonge à travers elle. Au sommet plat, c'est un intervalle $\Delta b_1$ environ trois fois plus large qui y tombe. Il faut aussi compter les rayons par leur surface : ceux dont le paramètre d'impact est compris entre $b$ et $b+db$ frappent un anneau de la face de la goutte dont l'aire est proportionnelle à $bdb$, de sorte que les rayons éloignés du centre comptent davantage. Avec cette pondération, la bande supérieure recueille environ 40 % de tous les rayons rouges réfléchis une fois, et la bande inférieure seulement 9 %. Tout l'effet est là : là où $\phi$ est stationnaire, beaucoup de rayons sortent dans presque la même direction, et cette direction paraît brillante.

Pour trouver le sommet, posons $d\phi /d\theta =0$. À partir de $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$, il faut $d{\theta }^{\prime }/d\theta =\frac{1}{2}$. La différentiation de la loi de Snell-Descartes donne $\cos \theta d\theta =n\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }$, donc au sommet $2\cos \theta =n\cos {\theta }^{\prime }$. Élevons au carré et remplaçons $n^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }=n^2-n^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }=n^2-{\sin }^2\theta$. Alors $4{\cos }^2\theta =n^2-{\sin }^2\theta =n^2-1+{\cos }^2\theta$, ce qui donne
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta ,{\cos }^2\theta =\frac{n^2-1}{3}\text{(arc-en-ciel)}$

Pour le rouge, ${\cos }^2\theta =(1,3305^2-1)/3=0,2567$, donc $\theta =59,6^{\circ }$ ($b=0,862$), ${\theta }^{\prime }=40,4^{\circ }$ et ${\phi }_{\max }=42,4^{\circ }$. Pour le violet, $n=1,3435$ donne $b=0,855$ et ${\phi }_{\max }=40,6^{\circ }$. La lumière rouge revient donc jusqu'à 42,4° du point antisolaire et la violette seulement jusqu'à 40,6° : le rouge est à l'extérieur de l'arc. Le rayon de l'animation, à $b=0,86$, se trouve presque sur les deux maxima, que repèrent ses lignes en pointillés.

Quelle est la netteté du bord de l'arc ? Près de son sommet, ${\phi }_{\max }-\phi$ croît comme le carré de la distance au sommet le long de l'axe des $b$. Inversement, l'intervalle de $b$ qui tombe à moins d'un angle $\delta$ du sommet ne croît que comme $\sqrt{\delta }$, de sorte que le nombre de rayons par unité d'angle croît comme $1/\sqrt{{\phi }_{\max }-\phi }$ quand $\phi$ s'approche de ${\phi }_{\max }$. En chiffres, environ un cinquième des rayons rouges réfléchis une fois ressortent à moins de 1° du maximum, quelque quinze fois plus que dans une bande de 1° autour de 20°. Au-delà de ${\phi }_{\max }$, il n'en arrive aucun ; le ciel juste à l'intérieur de l'arc est donc plus lumineux que juste à l'extérieur.

Les rayons réfléchis deux fois dans la goutte donnent un second arc. Pour eux, ${\phi }_2=180^{\circ }+2\theta -6{\theta }^{\prime }$, qui est stationnaire, cette fois en un minimum, là où ${\cos }^2\theta =(n^2-1)/8$ : à 50,2° pour le rouge et 53,6° pour le violet. Cet arc secondaire est plus pâle, car de la lumière est perdue à chaque réflexion, et ses couleurs sont inversées, le rouge étant à l'intérieur. Entre 42,4° et 50,2°, aucun des deux types de rayons n'arrive ; la bande de ciel entre les deux arcs est donc plus sombre.

Problème résolu : un éclair dans le verre flint

Supposons que le verre flint du prisme ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) soit étiré en une fibre de 1,00 km de long et qu'on y envoie un bref éclair de lumière blanche. Quel intervalle de temps sépare l'arrivée de ses parties rouge (700 nm) et violette (400 nm), et que prédiraient les indices de phase ordinaires ?

Chaque couleur se propage comme une impulsion, donc à sa vitesse de groupe, et c'est l'indice de groupe qu'il faut employer. Avec la loi de Cauchy, $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, donc
$n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }=A+\frac{3B}{{\lambda }^2}$
Ici, $B/{\lambda }^2$ vaut $16000/700^2=0,03265$ pour le rouge et $16000/400^2=0,1000$ pour le violet, ce qui donne $n_{g,\mathrm{rouge}}=1,700+3\cdot 0,03265=1,798$ et $n_{g,\mathrm{violet}}=1,700+3\cdot 0,1000=2,000$. Chaque partie met un temps $t=L{n}_g/c$ : $5,997\mu \mathrm{s}$ pour le rouge et $6,671\mu \mathrm{s}$ pour le violet. Le retard entre elles est
$\Delta t=\frac{L(n_{g,\mathrm{violet}}-n_{g,\mathrm{rouge}})}{c}\left(n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }\right)$
$\Delta t=\frac{1000\cdot 0,202}{2,998\times 10^8}=674\mathrm{ns}$

Avec les indices de phase à la place, $n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{rouge}}=0,1000-0,03265=0,06735$ et $1000\cdot 0,06735/(2,998\times 10^8)=225\mathrm{ns}$, soit trois fois trop peu. Ce qui étire une impulsion, c'est la rapidité avec laquelle $n$ varie avec la couleur, et non la valeur de $n$ elle-même. Un éclair blanc de 1 ns sort donc de la fibre sous la forme d'une traînée d'environ 0,67 µs, le rouge en premier. Les liaisons de télécommunication évitent cet étalement en envoyant dans la silice une lumière laser large de 0,1 nm seulement, près de 1,55 µm, où l'étalement est d'environ 17 ps par nanomètre de largeur de bande et par kilomètre : moins de 2 ps par kilomètre.

Limites de validité

Le modèle de l'oscillateur est classique. La mécanique quantique en conserve la forme mais en change le sens : chaque résonance est une transition atomique de l'état fondamental, d'énergie $E_{\mathrm{g}}$, vers un état excité d'énergie $E_k$, avec $\hslash {\omega }_k=E_k-E_{\mathrm{g}}$, et chacune intervient avec un poids appelé force d'oscillateur. Le résultat pour un milieu dilué ignore aussi le champ des dipôles voisins. Dans un solide dense, ce champ local transforme le résultat en $(n^2-1)/(n^2+2)=N{q}_e^2/(3{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$, qui se réduit au nôtre quand $n$ est proche de 1. Dans une bande d'absorption, la vitesse de groupe peut dépasser $c$ ou même devenir négative. L'impulsion est alors fortement déformée, son maximum ne marque plus un signal, et le front d'un signal ne dépasse pourtant jamais $c$.

L'image en rayons de l'arc-en-ciel exige des gouttes bien plus grandes que la longueur d'onde. Dans de plus petites gouttes, les rayons qui ressortent sous le même angle par des chemins différents interfèrent et ajoutent de faibles arcs surnuméraires juste à l'intérieur du violet. Dans le brouillard, des gouttelettes d'environ $d=10$ µm de diamètre étalent chaque couleur sur environ $\lambda /d\approx 3^{\circ }$, plus que les presque 2° qui séparent le rouge du violet ; un arc de brouillard est donc presque blanc.

Enfin, la couleur n'est pas la longueur d'onde. L'œil réduit tout spectre à trois signaux de cônes, si bien qu'un mélange de lumière rouge et de lumière verte peut reproduire exactement le jaune spectral, et qu'aucun écran à trois primaires ne peut afficher toutes les couleurs spectrales.

Ce qui vient ensuite

L'oscillateur forcé est celui de la leçon Amortissement et résonance, cette fois à des fréquences optiques, et la nappe de charges qui rayonne relève de la leçon Ondes électromagnétiques. L'angle stationnaire de l'arc-en-ciel fait écho au principe de Fermat de la leçon Réflexion et réfraction : là, c'est la durée du trajet qui est stationnaire, ici l'angle de sortie, et dans les deux cas les rayons voisins se renforcent. Les défauts de couleur des lentilles et leur remède reviennent dans Lentilles et miroirs et dans L'œil, l'appareil photo et la lunette ; les réseaux, qui trient les couleurs par interférence, dans Diffraction et fentes de Young ; et la polarisation partielle de la lumière du ciel bleu dans Polarisation de la lumière. Les fréquences de résonance elles-mêmes viennent des niveaux d'énergie atomiques, que la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr commence à expliquer.