Prismas, dispersión y color

Principiante

Paso 1, el blanco es una mezcla. La luz del Sol parece incolora, pero lleva a la vez todos los colores del arcoíris. En 1666 Isaac Newton hizo pasar un rayo de sol por un prisma de vidrio y obtuvo una banda de colores, siempre en el mismo orden: rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta. Esa banda es un espectro.

Paso 2, cada color tiene su velocidad en el vidrio. En el vacío todos los colores van igual de rápido, pero el vidrio frena más al violeta y menos al rojo. Como la desviación nace del frenado, el violeta se desvía más y el rojo menos. Esta separación de colores por refracción se llama dispersión. Un cristal de ventana también los separa un poquito, pero su segunda cara, paralela a la primera, deshace el efecto; las caras inclinadas de un prisma, en cambio, lo suman, y el abanico se abre mucho.

En la animación, una linterna lanza luz blanca a un prisma: mira cómo el haz cruza el vidrio y se abre en abanico, pintando un espectro sobre la mesa.

Paso 3, el arcoíris. Cada gota de lluvia funciona como un prisma diminuto con un espejo al fondo: la luz entra, se refleja en la parte trasera de la gota y sale separada, cada color con su propio ángulo, cercano a 42°. Por eso solo ves un arcoíris con el Sol a la espalda y la lluvia delante, con el rojo en la parte exterior del arco.

Paso 4, el color de las cosas. Un tomate maduro se ve rojo porque absorbe casi todos los colores y devuelve sobre todo el rojo. Las luces, en cambio, se suman: rojo, verde y azul juntos se ven blancos, y así una pantalla de móvil forma cualquier color con tres tipos de puntitos.

Ponte a prueba: bajo una luz azul pura, ¿de qué color se ve un tomate maduro? (Casi negro: no hay luz roja que pueda devolver.)

Intermedio

Índice de refracción, longitud de onda y dispersión

La luz atraviesa el espacio vacío a $c=3,00\times 10^{8}m/s$, sea cual sea su color. En un material transparente va más despacio, con una velocidad $v$, y el índice de refracción dice cuántas veces más despacio:
$n=\frac{c}{v}$

Al cruzar una superficie, la luz conserva su frecuencia $f$, porque el otro lado se ve forzado a oscilar al ritmo de la onda que llega; como $v=f\lambda$, lo que se acorta es la longitud de onda, en un factor $n$. El color depende de la frecuencia, así que los colores se identifican por su longitud de onda $\lambda$ en el vacío: unos 700 nm para el rojo ($f=4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$) y 400 nm para el violeta.

El índice es ligeramente distinto para cada color, y esa diferencia es la dispersión. En el vidrio y en el agua aumenta hacia las longitudes de onda cortas, según una regla empírica:
$n(\lambda )\approx A+\frac{B}{{\lambda }^2}\text{(Cauchy)}$
El prisma de la animación es de flint denso, con $A=1,700$ y $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$, así que $n_{\mathrm{rojo}}=1,700+16000/700^2=1,733$ y $n_{\mathrm{violeta}}=1,700+16000/400^2=1,800$. El agua dispersa menos: 1,3305 para el rojo y 1,3435 para el violeta. Estas pequeñas diferencias, 0,067 y 0,013, son lo único que separa los colores.

Dos refracciones en un prisma

En cada cara se cumple la ley de Snell, con todos los ángulos medidos desde la normal a esa cara:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$
Para un prisma de ángulo de refringencia $\alpha$ en el aire, se sigue entonces un rayo en tres pasos:

• $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$
• ${\theta }_3=\alpha -{\theta }_2$
• $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$

El paso intermedio es geometría: el rayo interior y las normales de las dos caras forman un triángulo cuyo tercer ángulo es $180^{\circ }-\alpha$, así que ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. El rayo gira ${\theta }_1-{\theta }_2$ en la primera cara y ${\theta }_4-{\theta }_3$ en la segunda, las dos veces hacia la base, de modo que su desviación total es
$\delta ={\theta }_1+{\theta }_4-\alpha \text{(prisma de aˊngulo de refringencia }\alpha \text{)}$

En un prisma delgado, con ángulos pequeños, los senos pueden sustituirse por los propios ángulos: ${\theta }_1+{\theta }_4\approx n({\theta }_2+{\theta }_3)=n\alpha$, y
$\delta \approx (n-1)\alpha \text{(prisma delgado)}$
Dos colores se separan entonces unos $(n_{\mathrm{violeta}}-n_{\mathrm{rojo}})\alpha$. Una ventana tiene $\alpha =0$: todos los colores salen paralelos al haz incidente, y vuelven a solaparse.

Ejemplo resuelto: el prisma de la animación

El haz blanco llega a la primera cara con ${\theta }_1=55^{\circ }$, y $\sin 55^{\circ }=0,8192$. Para el rojo, $\sin {\theta }_2=0,8192/1,733=0,4727$, luego ${\theta }_2=28,2^{\circ }$; para el violeta, $\sin {\theta }_2=0,8192/1,800=0,4551$ y ${\theta }_2=27,1^{\circ }$. Dentro del vidrio las direcciones de los dos rayos difieren solo en $1,1^{\circ }$, y por eso la animación dibuja allí un único haz blanco.

Los dos rayos llegan a la segunda cara con ${\theta }_3=60^{\circ }-{\theta }_2$: $31,8^{\circ }$ el rojo y $32,9^{\circ }$ el violeta. A la salida, $\sin {\theta }_4=1,733\cdot 0,5267=0,9128$ da ${\theta }_4=65,9^{\circ }$ para el rojo, y $1,800\cdot 0,5436=0,9785$ da $78,1^{\circ }$ para el violeta. Las desviaciones son $\delta =55^{\circ }+65,9^{\circ }-60^{\circ }=60,9^{\circ }$ y $55^{\circ }+78,1^{\circ }-60^{\circ }=73,1^{\circ }$, los valores de los indicadores de $\delta$. La separación de $1,1^{\circ }$ dentro del vidrio ha crecido hasta $12,2^{\circ }$: el violeta sale casi rasante, donde un pequeño cambio de $\sin {\theta }_4$ produce un gran cambio de ángulo.

Los indicadores de velocidad bajan de $3,00\times 10^{8}m/s$ en el aire a $c/n=2,998\times 10^8/1,733=1,73\times 10^{8}m/s$ para el rojo y $1,67\times 10^{8}m/s$ para el violeta dentro del vidrio. El arco de $\delta$ se abre entre la dirección punteada sin desviar y el rayo rojo, y los colores caen sobre la mesa en orden, con el violeta más cerca del prisma.

Ejemplo resuelto: un prisma delgado de vidrio

Un prisma de 10° de vidrio crown, el vidrio habitual de las lentes, tiene $n=1,513$ para el rojo y $1,531$ para el violeta. Un haz blanco estrecho lo atraviesa casi perpendicularmente y llega a una pared situada a 2,0 m. ¿Qué anchura tiene el espectro?

Con la regla del prisma delgado,
${\delta }_{\mathrm{rojo}}\approx 0,513\cdot 10^{\circ }=5,13^{\circ },{\delta }_{\mathrm{violeta}}\approx 0,531\cdot 10^{\circ }=5,31^{\circ }$
La diferencia es de $0,18^{\circ }$, o sea $0,18\cdot \pi /180=3,1\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, de modo que en la pared el espectro mide unos $2,0\mathrm{m}\cdot 3,1\times 10^{-3}=6,3\mathrm{mm}$ de ancho, mientras que toda la mancha se desplaza unos $2,0\tan 5,2^{\circ }\approx 0,18\mathrm{m}$. Un trazado exacto con la ley de Snell para una incidencia de $5^{\circ }$ da $5,16^{\circ }$ y $5,35^{\circ }$: la regla es buena con un error inferior al 1 %.

Tallado en el flint de la animación, el mismo prisma da $0,733\cdot 10^{\circ }=7,3^{\circ }$ para el rojo y $8,0^{\circ }$ para el violeta: 1,4 veces la desviación, pero 3,7 veces la separación, $0,67^{\circ }$, lo que da un espectro de 23 mm de ancho.

Gotas de lluvia y el ángulo del arcoíris

La luz del Sol entra en una gota esférica con un ángulo de incidencia $\theta$, se refracta a ${\theta }^{\prime }$ según $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$, se refleja una vez en el fondo y sale refractándose; incide en la superficie interior con el mismo ${\theta }^{\prime }$ las dos veces, porque la gota es redonda. Gira $\theta -{\theta }^{\prime }$ al entrar, $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$ en el fondo y $\theta -{\theta }^{\prime }$ al salir, en total $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$, de modo que regresa formando con la dirección opuesta al Sol un ángulo
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$

En la animación, el rayo blanco entra con $\theta =59,3^{\circ }$ ($\sin \theta =0,86$). Para el rojo, $\sin {\theta }^{\prime }=0,86/1,3305=0,6464$, así que ${\theta }^{\prime }=40,27^{\circ }$ y $\phi =4\cdot 40,27^{\circ }-2\cdot 59,32^{\circ }=42,4^{\circ }$. El violeta, con $n=1,3435$, tiene ${\theta }^{\prime }=39,80^{\circ }$ y $\phi =40,6^{\circ }$: son los dos indicadores de $\phi$. Los rayos que entran más arriba o más abajo vuelven con ángulos menores, así que la luz se concentra cerca de este ángulo máximo.

Las gotas situadas a $42,4^{\circ }$ del punto opuesto al Sol (la sombra de tu cabeza) te envían, por tanto, luz roja, y las que están a $40,6^{\circ }$, violeta: el rojo es el borde exterior del arco. El Sol debe estar a tu espalda y a menos de 42° sobre el horizonte, o el arco queda por debajo del horizonte.

Sumar luces, restar pinturas

El ojo tiene tres tipos de receptores de color (los conos), más sensibles a la luz roja, a la verde y a la azul. Las luces que caen sobre un mismo punto se suman: el rojo más el verde excitan los conos casi igual que el amarillo espectral de 580 nm, así que el punto se ve amarillo, y el rojo, el verde y el azul juntos se ven blancos. Las pantallas construyen así sus colores, con minúsculos puntos rojos, verdes y azules.

Las pinturas, las tintas y los filtros restan: cada uno absorbe parte de la luz, y el ojo recibe lo que sobrevive. La pintura amarilla absorbe el azul y la cian absorbe el rojo, así que su mezcla solo devuelve verde. El color de un objeto depende también de la luz: bajo luz azul pura, un tomate maduro no tiene rojo que devolver y se ve casi negro.

Errores frecuentes

• El prisma no crea colores: separa los que ya hay en la luz blanca, y un segundo prisma invertido los vuelve a unir en blanco.
• La luz no cambia de color en el vidrio. La luz roja conserva su frecuencia de $4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$; su longitud de onda se acorta de 700 nm a $700/1,733=404\mathrm{nm}$, y sigue siendo roja.
• Un índice mayor significa luz más lenta, no más rápida: el violeta, con $n=1,800$, cruza el vidrio a $1,67\times 10^{8}m/s$, y el rojo a $1,73\times 10^{8}m/s$.
• La regla del prisma delgado exige un prisma delgado. Para el prisma de 60° de la animación, $(n-1)\alpha$ da $44^{\circ }$ para el rojo en lugar de $60,9^{\circ }$, y una separación de $4,0^{\circ }$ en lugar de $12,2^{\circ }$. Y $n\alpha$ es incorrecto para cualquier prisma: solo el exceso de $n$ sobre 1 desvía la luz.
• Mezclar luces no es mezclar pinturas: la luz roja y la verde dan amarillo, pero la pintura roja y la verde dan un marrón apagado, porque cada pintura absorbe la mayor parte de lo que devuelve la otra.

Dónde aparece

Los espectrómetros descomponen en espectros la luz de las estrellas, las llamas y las lámparas, y esos espectros revelan de qué está hecha la fuente; los diamantes tallados destellan con colores porque el diamante tiene un índice grande, 2,42, y una dispersión fuerte. En las lentes la dispersión es una molestia: una lente simple enfoca el violeta más cerca que el rojo, y una lente crown pegada a otra divergente de flint, más débil, cancela casi todo el error, como se ve en Lentes y espejos y en El ojo, la cámara y el telescopio. En las fibras ópticas ensancha los pulsos cortos. Las redes de difracción, en Difracción y experimento de la doble rendija, ordenan los colores por interferencia y desvían más el rojo, al revés que un prisma.

Avanzado

Por qué la luz es más lenta en el vidrio

El índice de refracción $n$ dice cuántas veces más despacio viaja la luz en un material que en el vacío, y el prisma muestra que $n$ depende del color. Para ver por qué, fíjate en de qué está hecho el vidrio: núcleos y electrones ligados, con espacio vacío entre ellos, donde todo campo eléctrico viaja exactamente a $c$. La onda más lenta del vidrio tiene que ser, por tanto, un efecto combinado. La onda que llega agita los electrones, los electrones agitados radian, y su radiación se suma a la onda que llega. Esta sección prepara las dos piezas; la siguiente las suma.

En el modelo de Lorentz cada electrón, de carga $q_e$ y masa $m$, está sujeto por una fuerza elástica, como la de un muelle, de modo que, si se le dejara solo, oscilaría con una frecuencia propia ${\omega }_0$. El campo eléctrico de la luz en el electrón es $E_0{e}^{i\omega t}$, donde $\omega$ es la frecuencia angular de la luz y el campo físico es la parte real. La segunda ley de Newton y su solución estacionaria son
$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{q_e}{m}{E}_0{e}^{i\omega t}x=\frac{q_e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{e}^{i\omega t}$
Para obtener la solución, prueba con $x\propto e^{i\omega t}$, de modo que $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, y despeja la amplitud. El electrón oscila a la frecuencia del campo, no a la suya. Por debajo de la resonancia, $\omega <{\omega }_0$, el factor ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ es positivo, así que el dipolo $q_{e}x$ se mueve en fase con el campo, y su amplitud crece a medida que $\omega$ se acerca a ${\omega }_0$.

Toma ahora una lámina delgada del material, de espesor $\Delta z$, que cruza el haz, con $N$ electrones por unidad de volumen. Vista a lo largo del haz, es un plano que lleva una carga $N{q}_e\Delta z$ por unidad de área, toda ella oscilando a la vez en el plano de la lámina. Un plano así radia una onda plana a cada lado, con un campo proporcional a la velocidad de sus cargas (resultado de la lección Ondas electromagnéticas; ${\epsilon }_0$ es la permitividad del vacío):
$E_a=-\frac{N{q}_e\Delta z}{2{\epsilon }_{0}c}\dot{x}$
Como la lámina es delgada, $E_a$ es pequeño. Lo que más importa es su sincronía: sigue a la velocidad $\dot{x}$, no al desplazamiento $x$, y eso lo desfasa un cuarto de ciclo.

Una lámina delgada retrasa la onda

Dos ondas de la misma frecuencia se suman como flechas. La figura 1 lo usa para mostrar cómo una onda pequeña, un cuarto de ciclo retrasada, se convierte en un retraso de toda la onda, que es lo que significa una velocidad menor.

Leyenda

$E_0$	Onda que llega a la lámina, dibujada como una flecha cuya longitud es su amplitud y cuya dirección es su fase.	$V/m$
$E_a$	Onda radiada por los electrones de la lámina: pequeña y un cuarto de ciclo retrasada respecto a $E_0$, por eso se dibuja en ángulo recto, en sentido horario.	$V/m$
$E^{\prime }$	Onda más allá de la lámina: la suma de $E_0$ y $E_a$.	$V/m$
$\phi$	Ángulo de $E_0$ a $E^{\prime }$: el retraso de fase $\omega (n-1)\Delta z/c$ que añade la lámina, igual a $|E_a|/|E_0|$.	$\mathrm{rad}$

En la figura 1 cada onda es una flecha en el plano complejo: su longitud es la amplitud y su dirección es la fase, y se omite el factor común $e^{i\omega t}$. Más allá de la lámina las dos ondas siguen a $c$, así que el factor que adquieren por el camino también es común a ambas y también se omite. La onda que llega, $E_0$, es la flecha horizontal. Para hallar la dirección de $E_a$, sustituye el movimiento del electrón en su fórmula. Como $\dot{x}=i\omega x$,
$E_a=-i\frac{\omega N{q}_e^2\Delta z}{2{\epsilon }_{0}mc({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{E}_0$
Por debajo de la resonancia la fracción es positiva (el signo de $q_e$ desaparece, pues solo aparece $q_e^2$), así que $E_a$ es $E_0$ por un número positivo pequeño por $-i$. Multiplicar por $-i=e^{-i\pi /2}$ gira una flecha un ángulo recto en sentido horario, y equivale a sustituir $t$ por $t-T/4$, donde $T$ es el periodo: la onda va un cuarto de ciclo retrasada. Esa es la flecha corta $E_a$, que apunta justo hacia abajo.

Más allá de la lámina las dos ondas se suman y su suma $E^{\prime }$ es la diagonal. Mira el triángulo rectángulo. Como $E_a$ es perpendicular a $E_0$ y mucho más corta, $E^{\prime }$ tiene la longitud de $E_0$ en primer orden (el cambio de longitud es de segundo orden en $|E_a|/|E_0|$), pero está girada en sentido horario un ángulo pequeño $\phi =|E_a|/|E_0|$. Girada en sentido horario significa retrasada en fase. La figura dibuja $\phi$ grande para que se vean las piezas; para una lámina delgada es diminuto.

Compáralo ahora con lo que haría una onda más lenta. Supón que la luz cruzara de verdad la lámina a la velocidad $c/n$. Tardaría $n\Delta z/c$ en lugar de $\Delta z/c$, así que llegaría más tarde en $(n-1)\Delta z/c$, y su flecha quedaría girada hacia atrás la fase $\phi =\omega (n-1)\Delta z/c$. Para $\phi$ pequeño, la onda más allá de la lámina quedaría multiplicada por
$e^{-i\phi }\approx 1-i\phi =1-\frac{i\omega (n-1)\Delta z}{c}$
es decir, la onda original más una pequeña parte un cuarto de ciclo retrasada, de tamaño relativo $\phi$: exactamente la forma de $E_0+E_a$ en la figura 1. Las dos descripciones coinciden cuando las partes pequeñas son iguales. Al igualar $\omega (n-1)\Delta z/c$ con la fracción de $E_a$ de arriba, los factores $\omega$, $\Delta z$ y $c$ se cancelan y queda
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}$

Este es el índice de un material diluido. Cada capa retrasa un poco la fase, en una cantidad que depende de lo intensamente que respondan los electrones, y eso depende de $\omega$: la dispersión está incluida en el mecanismo. Para comprobar el orden de magnitud, toma aire con un electrón efectivo por molécula, $N=2,5\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$, con resonancia cerca de 100 nm. La fórmula da $n-1\approx 1\times 10^{-4}$, el orden de magnitud correcto para el valor medido, $2,9\times 10^{-4}$.

Por debajo de la resonancia: ley de Cauchy y cielo azul

La luz visible está en el extremo de baja frecuencia de esta fórmula, y desarrollarla ahí da la ley sencilla que se usa para los prismas. El vidrio y el agua tienen sus resonancias intensas en el ultravioleta, así que para la luz visible $\omega$ queda muy por debajo de ${\omega }_0$ (la figura 3, en una sección posterior, dibuja toda la curva).

Primero, el límite de baja frecuencia. Para $\omega =0$ la fórmula da $n=A$, con $A-1=N{q}_e^2/(2{\epsilon }_{0}m{\omega }_0^2)$, así que, para cualquier $\omega$,
$n-1=\frac{A-1}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}\approx (A-1)\left(1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}\right)$
usando $1/(1-u)\approx 1+u$ para $u$ pequeño. Con $\omega =2\pi c/\lambda$ y la longitud de onda de resonancia ${\lambda }_0=2\pi c/{\omega }_0$, el cociente ${\omega }^2/{\omega }_0^2$ es ${\lambda }_0^2/{\lambda }^2$. El resultado es la ley de Cauchy, $n\approx A+B/{\lambda }^2$ con $B=(A-1){\lambda }_0^2$. Leída al revés, unos valores medidos de $A$ y $B$ dicen dónde está la resonancia. Los ajustes de la animación dan ${\lambda }_0=\sqrt{16000/0,700}\approx 150\mathrm{nm}$ para el vidrio flint ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) y $\sqrt{3090/0,3242}\approx 100\mathrm{nm}$ para el agua ($A=1,3242$, $B=3090\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$), ambas en el ultravioleta, como cabía esperar.

La ley de Cauchy explica también por qué un prisma ensancha más el extremo violeta del espectro que el rojo. La primera gráfica experta de la animación representa $n(\lambda )$ de 400 a 700 nm, con un punto para cada color del haz. Su pendiente, $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, vale $-9,3\times 10^{-5}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ a 700 nm y $-5,0\times 10^{-4}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ a 400 nm. Por el cubo, la curva es $(7/4{)}^3\approx 5,4$ veces más empinada en el extremo violeta.

El prisma convierte entonces cada diferencia de índice en una diferencia de ángulo. Sea $\alpha$ su ángulo de refringencia (60° en la animación). Un rayo llega a la primera cara con el ángulo de incidencia ${\theta }_1$ (55°) y se refracta con ${\theta }_2$; llega a la segunda cara con ${\theta }_3$ y sale con ${\theta }_4$. La ley de Snell en las dos caras da $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$ y $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$, y el triángulo da ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. Cambia ahora $n$ un poco, manteniendo fijo ${\theta }_1$. La primera relación da $n\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2=-\sin {\theta }_{2}dn$, y el triángulo da $d{\theta }_3=-d{\theta }_2$. Sustituye ambas en la diferencial de la segunda relación, $\cos {\theta }_{4}d{\theta }_4=\sin {\theta }_{3}dn+n\cos {\theta }_{3}d{\theta }_3$, y usa $\sin {\theta }_3\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_3\sin {\theta }_2=\sin \alpha$:
$\frac{d{\theta }_4}{dn}=\frac{\sin \alpha }{\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4}$
Para el rojo son 2,4 rad por unidad de $n$. Para el violeta, cuyo rayo de salida sale casi rasante, de modo que $\cos {\theta }_4$ es pequeño, son 4,7. Ambos efectos favorecen el extremo violeta. Por nanómetro de longitud de onda, el ángulo de salida cambia $2,4\cdot 9,3\times 10^{-5}\approx 2,2\times 10^{-4}$ rad a 700 nm, pero $4,7\cdot 5,0\times 10^{-4}\approx 2,4\times 10^{-3}$ rad a 400 nm, unas diez veces más: el extremo violeta del abanico se estira.

Los mismos electrones forzados radian también hacia los lados, y eso da su color al cielo. Muy por debajo de la resonancia, la amplitud $q_e{E}_0/(m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$ apenas depende de $\omega$, porque ${\omega }^2$ es pequeño frente a ${\omega }_0^2$. Un dipolo oscilante radia una potencia proporcional al cuadrado de su aceleración, y la aceleración es ${\omega }^{2}x$, así que la potencia radiada crece como ${\omega }^4{x}^2$, es decir, como ${\omega }^4$. Las moléculas del aire dispersan por tanto la luz del Sol en proporción a ${\omega }^4$ (dispersión de Rayleigh): $(650/450{)}^4\approx 4,4$ veces más a 450 nm que a 650 nm. La luz azul dispersada fuera del haz solar llena el cielo, y lo que queda tras un largo recorrido por el aire, como al ponerse el Sol, es rojo.

Velocidad de fase y velocidad de grupo

Un prisma separa los colores en el espacio. En un trozo largo de vidrio, la dispersión los separa también en el tiempo, porque un pulso no viaja a la velocidad de las crestas que contiene. La figura 2 muestra las dos velocidades una junto a otra.

Leyenda

$t_1$	Primer instante.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Un instante posterior; $\Delta t=t_2-t_1$.	$\mathrm{s}$
$E$	Campo eléctrico del pulso: la curva azul, cuyas crestas se mueven con la velocidad de fase, bajo una envolvente sombreada.	$V/m$
$v\Delta t$	Distancia que recorre una cresta entre $t_1$ y $t_2$: la velocidad de fase $v=c/n$ por $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$v_g\Delta t$	Distancia que recorre el máximo de la envolvente en el mismo tiempo: la velocidad de grupo $v_g=c/n_g$ por $\Delta t$.	$\mathrm{m}$

La figura 2 sigue un pulso corto de luz violeta por el vidrio flint, dibujado en dos instantes $t_1$ y $t_2$, separados por $\Delta t$. La curva azul es el campo eléctrico $E$: un tren de crestas bajo una envolvente suave, el contorno sombreado. Las crestas se mueven con la velocidad de fase $v=c/n$, la velocidad de las crestas de una onda sin fin de una sola frecuencia, así que la cresta marcada avanza $v\Delta t$, la distancia azul más larga. La envolvente se mueve con otra velocidad, la velocidad de grupo $v_g$, y avanza solo $v_g\Delta t$, la distancia morada más corta. Observa el máximo de la envolvente: en $t_1$ la cresta marcada está sobre él, y en $t_2$ la cresta se ha adelantado.

La figura usa el vidrio de la animación a 400 nm, donde $n=1,800$ y, como se calcula más abajo, el índice de grupo $n_g=c/v_g$ es 2,000. En el mismo tiempo las crestas recorren cinco longitudes de onda y la envolvente solo $5\cdot 1,800/2,000=4,5$. Así que la cresta que estaba sobre el máximo en $t_1$ va media longitud de onda por delante de él en $t_2$, y ahora el máximo queda sobre un valle. Van apareciendo crestas en la cola del pulso, que lo recorren hacia delante y se desvanecen en su frente.

¿Por qué tiene la envolvente su propia velocidad? Un pulso, como cualquier señal, es un cambio en la onda, y una onda que cambia es una mezcla de frecuencias vecinas. Toma solo dos, a $\omega \pm \delta \omega$, con números de onda $k\pm \delta k$. Su suma es una onda de frecuencia $\omega$ y número de onda $k$ cuya amplitud varía como $\cos (\delta \omega t-\delta kz)$, y ese patrón se mueve a $\delta \omega /\delta k$. Para una banda estrecha de frecuencias, esto se convierte en
$v_g=\frac{d\omega }{dk}$

En el vidrio $k=n\omega /c$, con $n$ dependiendo de $\omega$, así que $dk/d\omega =(n+\omega dn/d\omega )/c$. Como $\lambda =2\pi c/\omega$, un cambio pequeño da $d\lambda /\lambda =-d\omega /\omega$, de donde $\omega dn/d\omega =-\lambda dn/d\lambda$. El índice de grupo es, por tanto,
$n_g=\frac{c}{v_g}=n+\omega \frac{dn}{d\omega }=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }$

En la dispersión normal $n$ disminuye al aumentar $\lambda$, $dn/d\lambda <0$, así que $n_g>n$: los pulsos avanzan más despacio que las crestas que contienen. Con la ley de Cauchy, $-\lambda dn/d\lambda =2B/{\lambda }^2$ y $n_g=A+3B/{\lambda }^2$. Eso da 1,798 para el rojo y 2,000 para el violeta en el vidrio de la animación, frente a unos índices de fase de 1,733 y 1,800.

Cerca de una resonancia: absorción y dispersión anómala

La ley de Cauchy es solo la cola de baja frecuencia del índice del oscilador, y cerca de ${\omega }_0$ la fórmula del índice de arriba se dispara, algo que ningún material real hace. Los electrones reales pierden además energía, por colisiones y por su propia radiación. Modela esa pérdida con un término de rozamiento $\gamma \dot{x}$ en la ecuación del movimiento, donde $\gamma$ es la tasa de amortiguamiento. El factor ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ pasa entonces a ser ${\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega$, y el índice se vuelve un número complejo, que se escribe $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ con $n^{\prime }$ y $n^{\prime \prime }$ reales:
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega )}$

Leyenda

$n$	Índice de refracción, aquí un número complejo $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$; las dos curvas son sus partes.
$n^{\prime }$	Parte real del índice: las crestas se mueven a $c/n^{\prime }$.
$n^{\prime \prime }$	Parte imaginaria del índice: determina lo deprisa que se absorbe la onda.
$\omega$	Frecuencia angular de la luz.	$rad/s$
${\omega }_0$	Frecuencia propia de los electrones: la resonancia.	$rad/s$
$\gamma$	Tasa de amortiguamiento; es también la anchura del pico de absorción a media altura.	$rad/s$
$A$	Índice a frecuencia muy baja, donde empieza $n^{\prime }$: el término constante de la forma de Cauchy.
$A+\frac{B}{{\lambda }^2}$	Forma de Cauchy (punteada): sigue bien a $n^{\prime }$ muy por debajo de la resonancia y falla cerca de ella.

La figura 3 representa $n^{\prime }$ y $n^{\prime \prime }$ frente a $\omega$. Empieza por la izquierda. En $\omega =0$ la parte real $n^{\prime }$ parte de $A$ y crece despacio, y la forma de Cauchy punteada, $A+B/{\lambda }^2$, la sigue de cerca: este es el tramo donde viven el prisma y el arcoíris. Al acercarse a ${\omega }_0$, la forma punteada falla. La parte real $n^{\prime }$ sube hasta un máximo, cae en picado pasando por 1 exactamente en $\omega ={\omega }_0$, llega a un mínimo por debajo de 1 y luego vuelve a subir poco a poco hasta 1 desde abajo. La parte imaginaria $n^{\prime \prime }$ es casi nula lejos de la resonancia y forma un pico centrado en ${\omega }_0$, cuya anchura a media altura es $\gamma$.

Qué significa $n^{\prime \prime }$: una onda que ha recorrido una distancia $z$ en el material lleva el factor $e^{i(\omega t-n\omega z/c)}$. Con $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ se divide en $e^{i(\omega t-n^{\prime }\omega z/c)}$, una onda cuyas crestas se mueven a $c/n^{\prime }$, por $e^{-\omega n^{\prime \prime }z/c}$, una amplitud que disminuye con la distancia. Así que $n^{\prime \prime }$ es la absorción. La figura 3 muestra que solo es intensa a menos de unos $\gamma$ de ${\omega }_0$: el material es opaco cerca de su resonancia y transparente lejos de ella.

A lo largo de esa banda de absorción $n^{\prime }$ disminuye al aumentar la frecuencia, el tramo empinado de la figura 3. Es la dispersión anómala: dentro de la banda se invierte el orden de los colores que daría un prisma. La relación entre absorción y dispersión no es una rareza del modelo. Las relaciones de Kramers-Kronig, que se deducen solo de la causalidad (ninguna respuesta antes de su causa), la hacen exacta: un material cuyo índice difiere de 1 tiene que absorber en algún punto del espectro.

A la derecha de la figura 3, por encima de todas las resonancias, la corrección de $n$ cambia de signo y $n^{\prime }$ queda por debajo de 1. Para los rayos X cada electrón es casi libre, y el vidrio tiene $n\approx 1-3\times 10^{-6}$ a 0,1 nm, de modo que las crestas viajan más deprisa que $c$. Ninguna señal lo hace. Aquí $1-n$ es proporcional a ${\lambda }^2$, así que $-\lambda dn/d\lambda =2(1-n)$, y la fórmula del índice de grupo da $n_g=1+3\times 10^{-6}$. Un índice menor que 1 significa también que los rayos X que inciden sobre una superficie pulida con ángulos rasantes inferiores a unos 0,15° se reflejan totalmente, el principio de los espejos de los telescopios de rayos X.

Los materiales reales tienen varias resonancias. Sumando sus contribuciones se obtiene la forma de Sellmeier, $n^2=1+{\sum }_k{B}_k{\lambda }^2/({\lambda }^2-{\lambda }_k^2)$, donde cada ${\lambda }_k$ es una longitud de onda de resonancia y $B_k$ su intensidad. Los términos electrónicos están en el ultravioleta y los de los iones que vibran, en el infrarrojo. Entre unos y otros, el índice de grupo de la sílice tiene un mínimo cerca de 1,3 µm, donde pulsos de longitudes de onda ligeramente distintas viajan a la misma velocidad: la longitud de onda de dispersión nula de las fibras de telecomunicaciones.

Los electrones libres, como en un plasma, no sienten ninguna fuerza recuperadora, así que ${\omega }_0=0$. El tratamiento completo da entonces $n^2=1-{\omega }_p^2/{\omega }^2$, con la frecuencia de plasma ${\omega }_p$ definida por ${\omega }_p^2=N{q}_e^2/({\epsilon }_{0}m)$; la fórmula del medio diluido con ${\omega }_0=0$ da su forma de primer orden, $n\approx 1-{\omega }_p^2/(2{\omega }^2)$. Por debajo de ${\omega }_p$, $n^2$ es negativo y la onda no puede atravesar el medio: se refleja. Para los $10^{12}$ electrones por metro cúbico de la ionosfera, ${\omega }_p/2\pi \approx 9\mathrm{MHz}$, así que las ondas de radio de frecuencia menor enviadas verticalmente hacia arriba vuelven a bajar.

El arcoíris como ángulo estacionario

El índice del agua cambia solo en torno a un 1 % a lo largo del espectro visible, de 1,3305 para el rojo a 700 nm a 1,3435 para el violeta a 400 nm, y sin embargo un arcoíris separa los colores con nitidez. La razón es geométrica: una gota envía la luz que refleja una vez en su interior sobre todo en una dirección, y esa dirección depende de $n$. La figura 4 muestra de dónde sale la dirección privilegiada.

Leyenda

$b$	Parámetro de impacto de un rayo: su distancia al eje de la gota en unidades del radio, $b=\sin \theta$, con $\theta$ el ángulo de incidencia.
$\phi$	Ángulo entre el rayo de salida y la dirección antisolar (en línea recta alejándose del Sol), $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$, con ${\theta }^{\prime }$ el ángulo de refracción.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_{\max }$	El mayor ángulo de salida, en la cima plana de la curva: el ángulo del arcoíris.	$\mathrm{rad}$
$\Delta \phi$	Altura de cada banda sombreada: el mismo intervalo pequeño de ángulos de salida en ambas.	$\mathrm{rad}$
$\Delta b_1$	Intervalo de $b$ cuyos rayos salen en la banda superior: ancho, porque la curva es plana ahí.
$\Delta b_2$	Intervalo de $b$ en la pendiente ascendente cuyos rayos salen en la banda inferior: estrecho, porque la curva es empinada ahí.

La figura 4 corresponde a la luz roja y a los rayos que entran en una gota esférica, se reflejan una vez en su interior y salen. La luz del Sol incide de manera uniforme sobre la cara de la gota. Designa cada rayo por su parámetro de impacto $b$: su distancia al eje que pasa por el centro de la gota paralelo a la luz solar, en unidades del radio de la gota. Un rayo que llega a la superficie con ángulo de incidencia $\theta$ tiene $b=\sin \theta$, y se refracta hacia el interior con ${\theta }^{\prime }$, con $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$. Cada una de las dos refracciones desvía el rayo $\theta -{\theta }^{\prime }$ y la reflexión lo desvía $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$, así que en total lo desvían $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$. El eje vertical es el ángulo $\phi$ entre el rayo de salida y la dirección antisolar, la que se aleja del Sol en línea recta; es $180^{\circ }$ menos el desvío total:
$\phi (b)=4{\theta }^{\prime }-2\theta$

Sigue ahora la curva. Parte de cero en el centro, $b=0$, donde el rayo entra recto y vuelve recto. Se aplana hasta un máximo ${\phi }_{\max }$ y luego baja hasta unos 15° en el borde, $b=1$, donde su tangente se vuelve vertical. La segunda gráfica experta de la animación muestra la parte alta de esta curva, para $b$ de 0,5 a 1.

Las dos bandas sombreadas tienen la misma altura $\Delta \phi$: una en la pendiente ascendente y otra en la cima. Sigue cada banda hasta el eje $b$ para ver qué rayos acaban en ella. En la pendiente empinada solo cae en la banda un intervalo estrecho $\Delta b_2$ de rayos, más una franja delgada de rayos del borde cerca de $b=1$, donde la curva se hunde atravesándola. En la cima plana cae un intervalo $\Delta b_1$ unas tres veces más ancho. Hay que contar además los rayos por área: los de parámetro de impacto entre $b$ y $b+db$ inciden en un anillo de la cara de la gota cuya área es proporcional a $bdb$, así que los rayos lejanos al centro cuentan más. Con esta ponderación la banda superior recoge cerca de un 40 % de todos los rayos rojos reflejados una vez, y la inferior solo un 9 %. Ese es todo el efecto: donde $\phi$ es estacionario, muchos rayos salen en casi la misma dirección, y esa dirección se ve brillante.

Para hallar la cima, haz $d\phi /d\theta =0$. A partir de $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$ se necesita $d{\theta }^{\prime }/d\theta =\frac{1}{2}$. Derivar la ley de Snell da $\cos \theta d\theta =n\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }$, así que en la cima $2\cos \theta =n\cos {\theta }^{\prime }$. Eleva al cuadrado y sustituye $n^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }=n^2-n^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }=n^2-{\sin }^2\theta$. Entonces $4{\cos }^2\theta =n^2-{\sin }^2\theta =n^2-1+{\cos }^2\theta$, lo que da
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta ,{\cos }^2\theta =\frac{n^2-1}{3}\text{(arcoıˊris)}$

Para el rojo, ${\cos }^2\theta =(1,3305^2-1)/3=0,2567$, así que $\theta =59,6^{\circ }$ ($b=0,862$), ${\theta }^{\prime }=40,4^{\circ }$ y ${\phi }_{\max }=42,4^{\circ }$. Para el violeta, $n=1,3435$ da $b=0,855$ y ${\phi }_{\max }=40,6^{\circ }$. La luz roja vuelve así hasta 42,4° del punto antisolar y la violeta solo hasta 40,6°, de modo que el rojo queda en el exterior del arco. El rayo de la animación, con $b=0,86$, está casi sobre los dos máximos, que marcan sus líneas punteadas.

¿Qué nitidez tiene el borde del arco? Cerca de su cima, ${\phi }_{\max }-\phi$ crece como el cuadrado de la distancia a la cima a lo largo del eje $b$. Dicho al revés, el intervalo de $b$ que cae a menos de un ángulo $\delta$ de la cima crece solo como $\sqrt{\delta }$, así que el número de rayos por unidad de ángulo crece como $1/\sqrt{{\phi }_{\max }-\phi }$ cuando $\phi$ se acerca a ${\phi }_{\max }$. En números, alrededor de una quinta parte de los rayos rojos reflejados una vez sale a menos de 1° del máximo, unas quince veces más que en una banda de 1° alrededor de 20°. Más allá de ${\phi }_{\max }$ no llega ninguno, de modo que el cielo justo dentro del arco es más brillante que justo fuera de él.

Los rayos reflejados dos veces dentro de la gota dan un segundo arco. Para ellos, ${\phi }_2=180^{\circ }+2\theta -6{\theta }^{\prime }$, que es estacionario, ahora en un mínimo, donde ${\cos }^2\theta =(n^2-1)/8$: a 50,2° para el rojo y 53,6° para el violeta. Este arco secundario es más tenue, porque se pierde luz en cada reflexión, y sus colores están invertidos, con el rojo por dentro. Entre 42,4° y 50,2° no llega ninguno de los dos tipos de rayos, así que la franja de cielo entre los dos arcos es más oscura.

Problema resuelto: un destello a través del vidrio flint

Supón que el vidrio flint del prisma ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) se estira hasta formar una fibra de 1,00 km y se envía por ella un destello breve de luz blanca. ¿Cuánto tiempo separa la llegada de sus componentes roja (700 nm) y violeta (400 nm), y qué predecirían los índices de fase ordinarios?

Cada color viaja como un pulso, así que se mueve a su velocidad de grupo, y hay que usar el índice de grupo. Con la ley de Cauchy, $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, así que
$n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }=A+\frac{3B}{{\lambda }^2}$
Aquí $B/{\lambda }^2$ es $16000/700^2=0,03265$ para el rojo y $16000/400^2=0,1000$ para el violeta, lo que da $n_{g,\mathrm{rojo}}=1,700+3\cdot 0,03265=1,798$ y $n_{g,\mathrm{violeta}}=1,700+3\cdot 0,1000=2,000$. Cada componente necesita $t=L{n}_g/c$: $5,997\mu \mathrm{s}$ para el rojo y $6,671\mu \mathrm{s}$ para el violeta. El retraso entre ellos es
$\Delta t=\frac{L(n_{g,\mathrm{violeta}}-n_{g,\mathrm{rojo}})}{c}\left(n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }\right)$
$\Delta t=\frac{1000\cdot 0,202}{2,998\times 10^8}=674\mathrm{ns}$

Con los índices de fase, en cambio, $n_{\mathrm{violeta}}-n_{\mathrm{rojo}}=0,1000-0,03265=0,06735$ y $1000\cdot 0,06735/(2,998\times 10^8)=225\mathrm{ns}$, tres veces menos. Lo que ensancha un pulso es la rapidez con que $n$ cambia con el color, no el tamaño de $n$. Un destello blanco de 1 ns sale por tanto de la fibra convertido en una estela de unos 0,67 µs, con el rojo primero. Los enlaces de telecomunicaciones lo evitan enviando luz láser de solo 0,1 nm de anchura a través de sílice cerca de 1,55 µm, donde el ensanchamiento es de unos 17 ps por nanómetro de ancho de banda y por kilómetro: menos de 2 ps por kilómetro.

Límites de validez

El modelo del oscilador es clásico. La mecánica cuántica conserva su forma pero cambia su significado: cada resonancia es una transición atómica desde el estado fundamental, de energía $E_{\mathrm{g}}$, hasta un estado excitado de energía $E_k$, con $\hslash {\omega }_k=E_k-E_{\mathrm{g}}$, y cada una entra con un peso llamado fuerza del oscilador. El resultado para un medio diluido ignora además el campo de los dipolos vecinos. En un sólido denso ese campo local cambia el resultado a $(n^2-1)/(n^2+2)=N{q}_e^2/(3{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$, que se reduce al nuestro cuando $n$ está cerca de 1. Dentro de una banda de absorción la velocidad de grupo puede superar $c$ o incluso hacerse negativa. El pulso queda entonces muy deformado, su máximo ya no marca una señal, y el frente de una señal sigue sin adelantar nunca a $c$.

La imagen de rayos del arcoíris exige gotas mucho mayores que la longitud de onda. En gotas más pequeñas, los rayos que salen con el mismo ángulo por caminos distintos interfieren y añaden tenues arcos supernumerarios justo por dentro del violeta. En la niebla, gotitas de unos $d=10$ µm de diámetro difuminan cada color unos $\lambda /d\approx 3^{\circ }$, más que los casi 2° que separan el rojo del violeta, así que un arcoíris de niebla es casi blanco.

Por último, el color no es la longitud de onda. El ojo reduce cualquier espectro a tres señales de conos, así que una mezcla de luz roja y verde puede igualar exactamente el amarillo espectral, y ninguna pantalla con tres primarios puede mostrar todos los colores espectrales.

Lo que viene después

El oscilador forzado es el de la lección Amortiguamiento y resonancia, ahora a frecuencias ópticas, y el plano de carga que radia pertenece a Ondas electromagnéticas. El ángulo estacionario del arcoíris recuerda al principio de Fermat de Reflexión y refracción: allí es estacionario el tiempo de recorrido, aquí el ángulo de salida, y en ambos casos los rayos vecinos se refuerzan. Los errores de color de las lentes y su remedio reaparecen en Lentes y espejos y en El ojo, la cámara y el telescopio; las redes de difracción, que ordenan los colores por interferencia, en Difracción y experimento de la doble rendija; y la polarización parcial del azul del cielo, en Polarización de la luz. Las propias frecuencias de resonancia proceden de los niveles de energía atómicos, que Modelos atómicos: el átomo de Bohr empieza a explicar.