Prismas, dispersão e cor

Iniciante

Passo 1, o branco é uma mistura. A luz do Sol parece incolor, mas carrega todas as cores do arco-íris ao mesmo tempo. Em 1666, Isaac Newton fez um raio de Sol atravessar um prisma de vidro e obteve uma faixa de cores, sempre na mesma ordem: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, violeta. Essa faixa é um espectro.

Passo 2, cada cor tem sua própria velocidade no vidro. No espaço vazio, todas as cores viajam igualmente rápido, mas o vidro retém mais o violeta e menos o vermelho. Como a refração vem da diminuição da velocidade, o violeta é o mais desviado e o vermelho o menos. Essa separação das cores pela refração se chama dispersão. Uma janela plana também separa um pouco as cores, mas sua segunda face, paralela à primeira, desfaz o efeito; as faces inclinadas de um prisma somam os efeitos, então o leque se abre bastante.

Na animação, uma lanterna envia luz branca para um prisma: observe o feixe atravessar o vidro e se abrir, pintando um espectro sobre a mesa.

Passo 3, arco-íris. Cada gota de chuva funciona como um pequeno prisma com um espelho no fundo: a luz do Sol entra, reflete na parte de trás da gota e sai separada, cada cor em seu próprio ângulo perto de 42°. Por isso o arco-íris só aparece com o Sol atrás de você e a chuva à sua frente, com o vermelho na parte externa do arco.

Passo 4, as cores das coisas. Um tomate maduro parece vermelho porque absorve a maioria das cores e devolve principalmente o vermelho. Já as luzes se somam: vermelho, verde e azul juntos parecem branco, e é assim que a tela de um celular forma todas as cores com três tipos de pontinhos.

Teste você mesmo: sob luz azul pura, de que cor um tomate maduro parece? (Quase preto: não há luz vermelha para ele devolver.)

Intermediário

Índice, comprimento de onda e dispersão

A luz atravessa o espaço vazio com $c=3,00\times 10^{8}m/s$, qualquer que seja sua cor. Em um material transparente ela é mais lenta, com velocidade $v$, e o índice de refração diz quantas vezes mais lenta:
$n=\frac{c}{v}$

Ao cruzar uma superfície, a luz mantém sua frequência $f$, porque o outro lado é excitado no ritmo da onda que chega; como $v=f\lambda$, é o comprimento de onda que diminui, pelo fator $n$. A cor está ligada à frequência, por isso as cores são identificadas pelo comprimento de onda $\lambda$ no vácuo: cerca de 700 nm para o vermelho ($f=4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$) e 400 nm para o violeta.

O índice é ligeiramente diferente para cada cor, e essa diferença é a dispersão. No vidro e na água ele cresce em direção aos comprimentos de onda curtos, segundo uma regra empírica:
$n(\lambda )\approx A+\frac{B}{{\lambda }^2}\text{(Cauchy)}$
O prisma da animação é um vidro denso de flint com $A=1,700$ e $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$, logo $n_{\mathrm{red}}=1,700+16000/700^2=1,733$ e $n_{\mathrm{violet}}=1,700+16000/400^2=1,800$. A água dispersa menos: 1,3305 para o vermelho, 1,3435 para o violeta. Essas pequenas diferenças, 0,067 e 0,013, são tudo o que separa as cores.

Duas refrações em um prisma

Em cada face vale a lei de Snell, com todos os ângulos medidos a partir da normal a essa face:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$
Para um prisma de ângulo de vértice $\alpha$ no ar, um raio é então seguido em três etapas:

• $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$
• ${\theta }_3=\alpha -{\theta }_2$
• $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$

A etapa do meio é geometria: o raio interno e as duas normais às faces formam um triângulo cujo terceiro ângulo é $180^{\circ }-\alpha$, logo ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. O raio se desvia de ${\theta }_1-{\theta }_2$ na primeira face e de ${\theta }_4-{\theta }_3$ na segunda, ambas as vezes em direção à base, de modo que seu desvio total é
$\delta ={\theta }_1+{\theta }_4-\alpha \text{(prism of apex angle }\alpha \text{)}$

Para um prisma delgado, com ângulos pequenos, os senos podem ser substituídos pelos próprios ângulos: ${\theta }_1+{\theta }_4\approx n({\theta }_2+{\theta }_3)=n\alpha$, e
$\delta \approx (n-1)\alpha \text{(thin prism)}$
Duas cores se separam então em cerca de $(n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{red}})\alpha$. Uma janela tem $\alpha =0$: cada cor sai paralela ao feixe incidente, e as cores voltam a se sobrepor.

Exemplo resolvido: o prisma da animação

O feixe branco atinge a primeira face com ${\theta }_1=55^{\circ }$, e $\sin 55^{\circ }=0,8192$. Para o vermelho, $\sin {\theta }_2=0,8192/1,733=0,4727$, logo ${\theta }_2=28,2^{\circ }$; para o violeta, $\sin {\theta }_2=0,8192/1,800=0,4551$ e ${\theta }_2=27,1^{\circ }$. Dentro do vidro, os caminhos ficam a apenas $1,1^{\circ }$ um do outro, por isso a animação desenha ali um único feixe branco.

Ambos os raios chegam à segunda face com ${\theta }_3=60^{\circ }-{\theta }_2$: $31,8^{\circ }$ para o vermelho, $32,9^{\circ }$ para o violeta. Na saída, $\sin {\theta }_4=1,733\cdot 0,5267=0,9128$ dá ${\theta }_4=65,9^{\circ }$ para o vermelho, e $1,800\cdot 0,5436=0,9785$ dá $78,1^{\circ }$ para o violeta. Os desvios são $\delta =55^{\circ }+65,9^{\circ }-60^{\circ }=60,9^{\circ }$ e $55^{\circ }+78,1^{\circ }-60^{\circ }=73,1^{\circ }$, os valores dos indicadores de $\delta$. A diferença de $1,1^{\circ }$ no interior cresceu para $12,2^{\circ }$: o violeta sai quase rasante, onde uma pequena mudança de $\sin {\theta }_4$ produz uma grande mudança de ângulo.

Os indicadores de velocidade caem de $3,00\times 10^{8}m/s$ no ar para $c/n=2,998\times 10^8/1,733=1,73\times 10^{8}m/s$ para o vermelho e $1,67\times 10^{8}m/s$ para o violeta dentro do vidro. O arco de $\delta$ se abre entre a direção reta tracejada e o raio vermelho, e as cores caem sobre a mesa em ordem, com o violeta mais perto do prisma.

Exemplo resolvido: um prisma delgado de vidro

Um prisma de 10° de vidro crown, o vidro comum das lentes, tem $n=1,513$ para o vermelho e $1,531$ para o violeta. Um feixe branco estreito o atravessa quase em ângulo reto e atinge uma parede a 2,0 m de distância. Qual é a largura do espectro?

Com a regra do prisma delgado,
${\delta }_{\mathrm{red}}\approx 0,513\cdot 10^{\circ }=5,13^{\circ },{\delta }_{\mathrm{violet}}\approx 0,531\cdot 10^{\circ }=5,31^{\circ }$
a separação é de $0,18^{\circ }$, ou $0,18\cdot \pi /180=3,1\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, de modo que na parede o espectro tem cerca de $2,0\mathrm{m}\cdot 3,1\times 10^{-3}=6,3\mathrm{mm}$ de largura, enquanto a mancha inteira se desloca cerca de $2,0\tan 5,2^{\circ }\approx 0,18\mathrm{m}$. Um traçado exato com a lei de Snell para incidência de $5^{\circ }$ dá $5,16^{\circ }$ e $5,35^{\circ }$: a regra acerta com precisão melhor que 1 %.

Com o vidro flint da animação, o mesmo prisma dá $0,733\cdot 10^{\circ }=7,3^{\circ }$ para o vermelho e $8,0^{\circ }$ para o violeta: 1,4 vez o desvio, mas 3,7 vezes a separação, $0,67^{\circ }$, que produz um espectro de 23 mm de largura.

Gotas de chuva e o ângulo do arco-íris

A luz solar entra em uma gota esférica de chuva com ângulo de incidência $\theta$, refrata para ${\theta }^{\prime }$ com $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$, reflete uma vez na parte de trás e refrata para fora, encontrando a superfície interna sempre no mesmo ${\theta }^{\prime }$, porque a gota é redonda. Ela se desvia de $\theta -{\theta }^{\prime }$ ao entrar, de $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$ na parte de trás e de $\theta -{\theta }^{\prime }$ ao sair, $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$ no total. Assim, volta em um ângulo, medido a partir da direção oposta ao Sol, de
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$

Na animação, o raio branco entra com $\theta =59,3^{\circ }$ ($\sin \theta =0,86$). Para o vermelho, $\sin {\theta }^{\prime }=0,86/1,3305=0,6464$, logo ${\theta }^{\prime }=40,27^{\circ }$ e $\phi =4\cdot 40,27^{\circ }-2\cdot 59,32^{\circ }=42,4^{\circ }$. O violeta, com $n=1,3435$, tem ${\theta }^{\prime }=39,80^{\circ }$ e $\phi =40,6^{\circ }$: os dois valores de $\phi$ indicados. Raios que entram mais acima ou mais abaixo voltam em ângulos menores, então a luz se concentra perto desse ângulo máximo.

Gotas situadas a $42,4^{\circ }$ do ponto oposto ao Sol (a sombra da sua cabeça) enviam portanto vermelho até você, e as que estão a $40,6^{\circ }$ enviam violeta: o vermelho é a borda externa do arco. O Sol deve estar atrás de você e a menos de 42° acima do horizonte, ou o arco fica abaixo do horizonte.

Somar luzes, subtrair tintas

O olho tem três tipos de receptores de cor (cones), mais sensíveis à luz vermelha, verde e azul. Luzes que incidem no mesmo ponto se somam: vermelho mais verde excita os cones quase como o amarelo espectral de 580 nm, então o ponto parece amarelo, e vermelho, verde e azul juntos parecem branco. As telas formam suas cores dessa maneira, com pequenos pontos vermelhos, verdes e azuis.

Tintas, pigmentos de impressão e filtros subtraem: cada um absorve parte da luz, e o olho recebe o que sobrou. A tinta amarela absorve o azul e a tinta ciano absorve o vermelho, então a mistura devolve apenas o verde. A cor de um objeto também depende da luz: sob luz azul pura, um tomate maduro não tem vermelho para devolver e parece quase preto.

Erros comuns

• O prisma não cria cores: ele separa as que já estão na luz branca, e um segundo prisma invertido volta a juntá-las em branco.
• A luz não muda de cor no vidro. A luz vermelha mantém sua frequência de $4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$; seu comprimento de onda diminui de 700 nm para $700/1,733=404\mathrm{nm}$, e mesmo assim continua vermelha.
• Um índice maior significa luz mais lenta, não mais rápida: o violeta, com $n=1,800$, atravessa o vidro a $1,67\times 10^{8}m/s$, e o vermelho a $1,73\times 10^{8}m/s$.
• A regra do prisma delgado exige um prisma delgado. Para o prisma de 60° da animação, $(n-1)\alpha$ dá $44^{\circ }$ para o vermelho em vez de $60,9^{\circ }$, e uma separação de $4,0^{\circ }$ em vez de $12,2^{\circ }$. E $n\alpha$ está errado para qualquer prisma: só o excesso de $n$ sobre 1 desvia a luz.
• Misturar luzes não é misturar tintas: luz vermelha e verde produzem amarelo, mas tinta vermelha e verde produzem um marrom sem brilho, porque cada tinta absorve a maior parte do que a outra devolveria.

Onde isso aparece

Espectrômetros espalham a luz de estrelas, chamas e lâmpadas em espectros que revelam do que a fonte é feita. Diamantes lapidados brilham em cores porque o diamante tem um índice alto, 2,42, e forte dispersão. Nas lentes a dispersão é um incômodo: uma lente simples focaliza o violeta mais perto do que o vermelho, e uma lente de crown colada a uma lente de flint divergente mais fraca cancela a maior parte do erro, como mostram Lentes e espelhos e O olho, câmeras e telescópios. Nas fibras ópticas ela alarga pulsos curtos. As redes, em Difração e fenda dupla, separam as cores por interferência e desviam o vermelho ao máximo, o oposto de um prisma.

Avançado

Por que a luz é mais lenta no vidro

O índice de refração $n$ diz quantas vezes mais devagar a luz se propaga em um material do que no vácuo, e o prisma mostra que $n$ depende da cor. Para entender por quê, observe do que o vidro é feito: núcleos e elétrons ligados, com espaço vazio entre eles, no qual todo campo elétrico se propaga exatamente com $c$. A onda mais lenta no vidro precisa, portanto, ser um efeito combinado. A onda que chega faz os elétrons vibrarem, os elétrons vibrantes irradiam, e essa radiação se soma à onda que chega. Esta seção estabelece as duas partes; a seguinte as soma.

No modelo de Lorentz, cada elétron, de carga $q_e$ e massa $m$, é mantido em seu lugar por uma força semelhante à de uma mola, de modo que, se deixado sozinho, oscilaria com uma frequência natural ${\omega }_0$. O campo elétrico da luz sobre o elétron é $E_0{e}^{i\omega t}$, onde $\omega$ é a frequência angular da luz e o campo físico é a parte real. A segunda lei de Newton e sua solução estacionária são
$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{q_e}{m}{E}_0{e}^{i\omega t}x=\frac{q_e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{e}^{i\omega t}$
Para obter a solução, tente $x\propto e^{i\omega t}$, de modo que $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, e resolva para a amplitude. O elétron oscila na frequência de excitação, não na sua própria. Abaixo da ressonância, $\omega <{\omega }_0$, o fator ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ é positivo, então o dipolo $q_{e}x$ se move em fase com o campo, e sua amplitude cresce quando $\omega$ se aproxima de ${\omega }_0$.

Agora considere uma camada fina do material, de espessura $\Delta z$, atravessando o feixe, com $N$ elétrons por unidade de volume. Vista ao longo do feixe, é uma lâmina plana com carga $N{q}_e\Delta z$ por unidade de área, toda oscilando junta no plano da lâmina. Essa lâmina irradia uma onda plana para cada lado, com campo proporcional à velocidade de suas cargas (um resultado de Ondas eletromagnéticas; ${\epsilon }_0$ é a permissividade do vácuo):
$E_a=-\frac{N{q}_e\Delta z}{2{\epsilon }_{0}c}\dot{x}$
Como a camada é fina, $E_a$ é pequeno. O mais importante é o instante em que ele ocorre: ele segue a velocidade $\dot{x}$, não o deslocamento $x$, e isso o desloca de um quarto de ciclo.

Uma camada fina atrasa a onda

Duas ondas de mesma frequência se somam como setas. A Figura 1 usa isso para mostrar como uma pequena onda um quarto de ciclo atrasada se transforma em um atraso de toda a onda, que é exatamente o que uma velocidade menor significa.

Legenda

$E_0$	Onda que chega à lâmina, desenhada como uma seta cujo comprimento é a amplitude e cuja direção é a fase.	$V/m$
$E_a$	Onda irradiada pelos elétrons da lâmina: pequena e um quarto de ciclo atrás de $E_0$, por isso desenhada em ângulo reto, no sentido horário.	$V/m$
$E^{\prime }$	Onda além da lâmina: a soma de $E_0$ e $E_a$.	$V/m$
$\phi$	Ângulo de $E_0$ até $E^{\prime }$: o atraso de fase $\omega (n-1)\Delta z/c$ adicionado pela lâmina, igual a $|E_a|/|E_0|$.	$\mathrm{rad}$

Na Figura 1, cada onda é uma seta no plano complexo: seu comprimento é a amplitude e sua direção é a fase, com o fator comum $e^{i\omega t}$ omitido. Além da lâmina, ambas as ondas continuam a $c$, então o fator que adquirem no caminho também é comum a ambas e é omitido. A onda que chega $E_0$ é a seta horizontal. Para achar a direção de $E_a$, substitua o movimento do elétron em sua fórmula. Como $\dot{x}=i\omega x$,
$E_a=-i\frac{\omega N{q}_e^2\Delta z}{2{\epsilon }_{0}mc({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{E}_0$
Abaixo da ressonância, a fração é positiva (o sinal de $q_e$ desaparece, pois só $q_e^2$ aparece), então $E_a$ é $E_0$ vezes um pequeno número positivo vezes $-i$. Multiplicar por $-i=e^{-i\pi /2}$ gira uma seta em ângulo reto no sentido horário, e é o mesmo que substituir $t$ por $t-T/4$, onde $T$ é o período: a onda está um quarto de ciclo atrasada. Essa é a seta curta $E_a$, apontando diretamente para baixo.

Além da lâmina, as duas se somam, e sua soma $E^{\prime }$ é a diagonal. Observe o triângulo retângulo. Como $E_a$ é perpendicular a $E_0$ e muito menor, $E^{\prime }$ tem o comprimento de $E_0$ em primeira ordem (a mudança de comprimento é de segunda ordem em $|E_a|/|E_0|$), mas está girada no sentido horário por um pequeno ângulo $\phi =|E_a|/|E_0|$. Girada no sentido horário significa atrasada em fase. A figura desenha $\phi$ grande para que as partes sejam visíveis; para uma lâmina fina ele é minúsculo.

Agora compare com o que uma onda mais lenta faria. Suponha que a luz realmente atravessasse a lâmina à velocidade $c/n$. Ela levaria $n\Delta z/c$ em vez de $\Delta z/c$, então chegaria mais tarde por $(n-1)\Delta z/c$, e sua seta seria girada de volta pela fase $\phi =\omega (n-1)\Delta z/c$. Para $\phi$ pequeno, a onda além da lâmina seria multiplicada por
$e^{-i\phi }\approx 1-i\phi =1-\frac{i\omega (n-1)\Delta z}{c}$
isto é, a onda original mais um pequeno pedaço, um quarto de ciclo atrás, de tamanho relativo $\phi$: exatamente a forma de $E_0+E_a$ na Figura 1. As duas descrições concordam quando as pequenas partes são iguais. Igualando $\omega (n-1)\Delta z/c$ à fração de $E_a$ acima, os fatores $\omega$, $\Delta z$ e $c$ se cancelam e resta
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}$

Este é o índice de um material diluído. Cada camada puxa a fase para trás um pouco, por uma quantidade determinada por quão fortemente os elétrons respondem, e isso depende de $\omega$: a dispersão está embutida no mecanismo. Como verificação de tamanho, tome o ar com um elétron efetivo por molécula, $N=2,5\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$, ressoando perto de 100 nm. A fórmula dá $n-1\approx 1\times 10^{-4}$, a ordem de grandeza correta para o valor medido $2,9\times 10^{-4}$.

Abaixo da ressonância: lei de Cauchy e o céu azul

A luz visível está na extremidade de baixa frequência dessa fórmula, e expandi-la ali dá a lei simples usada para prismas. Vidro e água têm suas fortes ressonâncias no ultravioleta, então para a luz visível $\omega$ fica bem abaixo de ${\omega }_0$ (a Figura 3, em uma seção posterior, mostra a curva inteira).

Primeiro, identifique o limite de baixa frequência. Em $\omega =0$ a fórmula dá $n=A$, com $A-1=N{q}_e^2/(2{\epsilon }_{0}m{\omega }_0^2)$, então, para qualquer $\omega$
$n-1=\frac{A-1}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}\approx (A-1)\left(1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}\right)$
usando $1/(1-u)\approx 1+u$ para $u$ pequeno. Com $\omega =2\pi c/\lambda$ e o comprimento de onda de ressonância ${\lambda }_0=2\pi c/{\omega }_0$, a razão ${\omega }^2/{\omega }_0^2$ é igual a ${\lambda }_0^2/{\lambda }^2$. O resultado é a lei de Cauchy, $n\approx A+B/{\lambda }^2$, com $B=(A-1){\lambda }_0^2$. Lidos ao contrário, um $A$ e um $B$ medidos dizem onde está a ressonância. Os ajustes da animação dão ${\lambda }_0=\sqrt{16000/0,700}\approx 150\mathrm{nm}$ para o vidro flint ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) e $\sqrt{3090/0,3242}\approx 100\mathrm{nm}$ para a água ($A=1,3242$, $B=3090\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$), ambas no ultravioleta, como esperado.

A lei de Cauchy também explica por que um prisma espalha a extremidade violeta do espectro mais do que a vermelha. O primeiro gráfico do nível avançado da animação traça $n(\lambda )$ de 400 a 700 nm, com um ponto para cada cor do feixe. Sua inclinação, $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, é $-9,3\times 10^{-5}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ em 700 nm e $-5,0\times 10^{-4}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ em 400 nm. Por causa do cubo, a curva é $(7/4{)}^3\approx 5,4$ vezes mais íngreme na extremidade violeta.

O prisma então transforma cada diferença de índice em uma diferença de ângulo. Seja $\alpha$ seu ângulo de vértice (60° na animação). Um raio encontra a primeira face com ângulo de incidência ${\theta }_1$ (55°) e se refrata para ${\theta }_2$; encontra a segunda face em ${\theta }_3$ e sai em ${\theta }_4$. A lei de Snell nas duas faces dá $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$ e $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$, e o triângulo dá ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. Agora mude $n$ ligeiramente, mantendo ${\theta }_1$ fixo. A primeira relação dá $n\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2=-\sin {\theta }_{2}dn$, e o triângulo dá $d{\theta }_3=-d{\theta }_2$. Coloque ambas na diferencial da segunda relação, $\cos {\theta }_{4}d{\theta }_4=\sin {\theta }_{3}dn+n\cos {\theta }_{3}d{\theta }_3$, e use $\sin {\theta }_3\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_3\sin {\theta }_2=\sin \alpha$:
$\frac{d{\theta }_4}{dn}=\frac{\sin \alpha }{\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4}$
Isso dá 2,4 rad por unidade de $n$ para o vermelho. Para o violeta, cujo raio de saída sai quase rasante, de modo que $\cos {\theta }_4$ é pequeno, dá 4,7. Os dois efeitos favorecem a extremidade violeta. Por nanômetro de comprimento de onda, o ângulo de saída muda em $2,4\cdot 9,3\times 10^{-5}\approx 2,2\times 10^{-4}$ rad em 700 nm, mas em $4,7\cdot 5,0\times 10^{-4}\approx 2,4\times 10^{-3}$ rad em 400 nm, cerca de dez vezes mais: a extremidade violeta do leque é esticada.

Os mesmos elétrons em oscilação forçada também irradiam lateralmente, e isso dá ao céu sua cor. Bem abaixo da ressonância, a amplitude $q_e{E}_0/(m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$ quase não depende de $\omega$, porque ${\omega }^2$ é pequeno perto de ${\omega }_0^2$. Um dipolo oscilante irradia potência proporcional ao quadrado de sua aceleração, e a aceleração é ${\omega }^{2}x$. Assim, a potência irradiada cresce como ${\omega }^4{x}^2$, isto é, como ${\omega }^4$. Moléculas do ar espalham, portanto, a luz solar proporcionalmente a ${\omega }^4$ (espalhamento de Rayleigh): $(650/450{)}^4\approx 4,4$ vezes mais em 450 nm do que em 650 nm. A luz azul espalhada do feixe solar preenche o céu, e o que resta após um longo percurso pelo ar, como no pôr do sol, é vermelho.

Velocidade de fase e velocidade de grupo

Um prisma separa as cores no espaço. Em um pedaço longo de vidro, a dispersão também as separa no tempo, porque um pulso não viaja à velocidade das cristas da onda dentro dele. A Figura 2 mostra as duas velocidades lado a lado.

Legenda

$t_1$	Primeiro instante.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Um instante posterior; $\Delta t=t_2-t_1$.	$\mathrm{s}$
$E$	Campo elétrico do pulso: a curva azul, cujas cristas se movem com a velocidade de fase, sob uma envoltória sombreada.	$V/m$
$v\Delta t$	Distância que uma crista percorre entre $t_1$ e $t_2$: a velocidade de fase $v=c/n$ vezes $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$v_g\Delta t$	Distância que o pico da envoltória percorre no mesmo tempo: a velocidade de grupo $v_g=c/n_g$ vezes $\Delta t$.	$\mathrm{m}$

A Figura 2 acompanha um pulso curto de luz violeta no vidro flint, desenhado em dois instantes $t_1$ e $t_2$, separados por $\Delta t$. A curva azul é o campo elétrico $E$: um trem de cristas sob uma envoltória suave, o contorno sombreado. As cristas se movem com a velocidade de fase $v=c/n$, a velocidade das cristas de uma onda infinita de uma única frequência; assim, a crista marcada avança $v\Delta t$, a distância azul mais longa. A envoltória se move com outra velocidade, a velocidade de grupo $v_g$, e avança apenas $v_g\Delta t$, a distância roxa mais curta. Observe o pico da envoltória: em $t_1$ a crista marcada está sobre ele, e em $t_2$ a crista já passou à frente dele.

A figura usa o vidro da animação em 400 nm, onde $n=1,800$ e, como calculado abaixo, o índice de grupo $n_g=c/v_g$ é 2,000. No mesmo tempo, as cristas cruzam cinco comprimentos de onda e a envoltória apenas $5\cdot 1,800/2,000=4,5$. Assim, a crista que estava sobre o pico em $t_1$ está meio comprimento de onda à frente dele em $t_2$, e o pico agora está sobre um vale. Cristas continuam surgindo na cauda do pulso, avançando através dele e se apagando na frente.

Por que a envoltória tem velocidade própria? Um pulso, como qualquer sinal, é uma mudança na onda, e uma onda que muda é uma mistura de frequências vizinhas. Tome apenas duas, em $\omega \pm \delta \omega$, com números de onda $k\pm \delta k$. A soma delas é uma onda em $\omega$ e $k$ cuja amplitude varia como $\cos (\delta \omega t-\delta kz)$, e esse padrão se move com $\delta \omega /\delta k$. Para uma faixa estreita de frequências, isso se torna
$v_g=\frac{d\omega }{dk}$

No vidro $k=n\omega /c$, com $n$ dependendo de $\omega$, logo $dk/d\omega =(n+\omega dn/d\omega )/c$. Como $\lambda =2\pi c/\omega$, uma pequena variação dá $d\lambda /\lambda =-d\omega /\omega$, daí $\omega dn/d\omega =-\lambda dn/d\lambda$. O índice de grupo é portanto
$n_g=\frac{c}{v_g}=n+\omega \frac{dn}{d\omega }=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }$

Na dispersão normal, $n$ cai à medida que $\lambda$ cresce, $dn/d\lambda <0$, logo $n_g>n$: os pulsos se movem mais devagar que as cristas dentro deles. Com a lei de Cauchy, $-\lambda dn/d\lambda =2B/{\lambda }^2$ e $n_g=A+3B/{\lambda }^2$. Isso dá 1,798 para o vermelho e 2,000 para o violeta no vidro da animação, contra índices de fase de 1,733 e 1,800.

Perto de uma ressonância: absorção e dispersão anômala

A lei de Cauchy é apenas a cauda de baixa frequência do índice do oscilador, e perto de ${\omega }_0$ a fórmula de índice acima explode, o que nenhum material real faz. Elétrons reais também perdem energia, em colisões e pela própria radiação. Modelamos essa perda por um termo de atrito $\gamma \dot{x}$ na equação de movimento, onde $\gamma$ é a taxa de amortecimento. O fator ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ passa então a ser ${\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega$, e o índice se torna um número complexo, escrito $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ com $n^{\prime }$ e $n^{\prime \prime }$ reais:
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega )}$

Legenda

$n$	Índice de refração, aqui um número complexo $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$; as duas curvas são suas partes.
$n^{\prime }$	Parte real do índice: as cristas se movem com $c/n^{\prime }$.
$n^{\prime \prime }$	Parte imaginária do índice: define a rapidez com que a onda é absorvida.
$\omega$	Frequência angular da luz.	$rad/s$
${\omega }_0$	Frequência natural dos elétrons: a ressonância.	$rad/s$
$\gamma$	Taxa de amortecimento; é também a largura do pico de absorção na metade da altura.	$rad/s$
$A$	Índice em frequência muito baixa, onde $n^{\prime }$ começa: o termo constante da forma de Cauchy.
$A+\frac{B}{{\lambda }^2}$	Forma de Cauchy (tracejada): segue $n^{\prime }$ bem abaixo da ressonância e falha perto dela.

A Figura 3 traça $n^{\prime }$ e $n^{\prime \prime }$ em função de $\omega$. Comece pela esquerda. Em $\omega =0$, a parte real $n^{\prime }$ começa em $A$ e sobe lentamente, e a forma tracejada de Cauchy $A+B/{\lambda }^2$ a acompanha de perto: é o trecho onde vivem o prisma e o arco-íris. Ao se aproximar de ${\omega }_0$, a forma tracejada falha. A parte real $n^{\prime }$ sobe até um pico, cai abruptamente exatamente em $\omega ={\omega }_0$ passando por 1, atinge um mínimo abaixo de 1 e depois sobe lentamente de volta a 1 por baixo. A parte imaginária $n^{\prime \prime }$ é quase zero longe da ressonância e forma um pico centrado em ${\omega }_0$, cuja largura na metade da altura é $\gamma$.

O que $n^{\prime \prime }$ significa: uma onda que percorreu uma distância $z$ através do material carrega o fator $e^{i(\omega t-n\omega z/c)}$. Com $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$, isso se divide em $e^{i(\omega t-n^{\prime }\omega z/c)}$, uma onda cujas cristas se movem com $c/n^{\prime }$, vezes $e^{-\omega n^{\prime \prime }z/c}$, uma amplitude que diminui com a distância. Logo, $n^{\prime \prime }$ é a absorção. A Figura 3 mostra que ela é forte apenas dentro de cerca de $\gamma$ de ${\omega }_0$: o material é opaco perto de sua ressonância e transparente longe dela.

Ao longo dessa banda de absorção, $n^{\prime }$ cai à medida que a frequência sobe, o trecho íngreme da Figura 3. Isso é a dispersão anômala: dentro da banda, a ordem das cores que um prisma daria se inverte. A ligação entre absorção e dispersão não é uma peculiaridade do modelo. As relações de Kramers–Kronig, que decorrem apenas da causalidade (nenhuma resposta antes de sua causa), a tornam exata: um material cujo índice difere de 1 precisa absorver em algum ponto do espectro.

À direita da Figura 3, acima de todas as ressonâncias, a correção de $n$ muda de sinal e $n^{\prime }$ fica abaixo de 1. Para raios X, cada elétron é quase livre, e o vidro tem $n\approx 1-3\times 10^{-6}$ em 0,1 nm, de modo que as cristas viajam mais rápido que $c$. Nenhum sinal o faz. Aqui $1-n$ é proporcional a ${\lambda }^2$, então $-\lambda dn/d\lambda =2(1-n)$, e a fórmula do índice de grupo dá $n_g=1+3\times 10^{-6}$. Um índice abaixo de 1 também significa que raios X que atingem uma superfície polida em ângulos rasantes abaixo de cerca de 0,15° são totalmente refletidos, o princípio dos espelhos de telescópios de raios X.

Materiais reais têm várias ressonâncias. Somando suas contribuições, obtém-se a forma de Sellmeier $n^2=1+{\sum }_k{B}_k{\lambda }^2/({\lambda }^2-{\lambda }_k^2)$, em que cada ${\lambda }_k$ é um comprimento de onda de ressonância e $B_k$ sua intensidade. Os termos eletrônicos estão no ultravioleta, e os termos de íons vibrantes no infravermelho. Entre eles, o índice de grupo da sílica tem um mínimo perto de 1,3 µm, onde pulsos de comprimentos de onda ligeiramente diferentes viajam à mesma velocidade: o comprimento de onda de dispersão nula das fibras de telecomunicações.

Elétrons livres, como em um plasma, não sentem força restauradora, então ${\omega }_0=0$. O tratamento completo então dá $n^2=1-{\omega }_p^2/{\omega }^2$, com a frequência de plasma ${\omega }_p$ definida por ${\omega }_p^2=N{q}_e^2/({\epsilon }_{0}m)$; a fórmula diluída com ${\omega }_0=0$ dá sua forma de primeira ordem, $n\approx 1-{\omega }_p^2/(2{\omega }^2)$. Abaixo de ${\omega }_p$, $n^2$ é negativo e a onda não consegue atravessar: ela é refletida. Para os $10^{12}$ elétrons por metro cúbico da ionosfera, ${\omega }_p/2\pi \approx 9\mathrm{MHz}$, de modo que ondas de rádio de frequência menor enviadas verticalmente para cima voltam para baixo.

O arco-íris como ângulo estacionário

O índice da água muda apenas cerca de 1% no espectro visível, de 1,3305 para o vermelho em 700 nm a 1,3435 para o violeta em 400 nm, e ainda assim um arco-íris separa as cores com nitidez. A razão é geométrica: uma gota envia a luz que reflete uma vez no interior sobretudo em uma direção, e essa direção depende de $n$. A Figura 4 mostra de onde vem a direção preferencial.

Legenda

$b$	Parâmetro de impacto de um raio: sua distância ao eixo da gota em unidades do raio, $b=\sin \theta$, com $\theta$ o ângulo de incidência.
$\phi$	Ângulo entre o raio de saída e a direção oposta ao Sol (diretamente afastada do Sol), $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$, com ${\theta }^{\prime }$ o ângulo de refração.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_{\max }$	O maior ângulo de saída, no topo achatado da curva: o ângulo do arco-íris.	$\mathrm{rad}$
$\Delta \phi$	Altura de cada faixa sombreada: a mesma pequena faixa de ângulos de saída nas duas.	$\mathrm{rad}$
$\Delta b_1$	Faixa de $b$ cujos raios saem na faixa superior: larga, porque a curva é achatada ali.
$\Delta b_2$	Faixa de $b$ na encosta ascendente cujos raios saem na faixa inferior: estreita, porque a curva é íngreme ali.

A Figura 4 vale para a luz vermelha e para os raios que entram em uma gota esférica, são refletidos uma vez no interior e saem. A luz do Sol incide uniformemente sobre a face da gota. Identifique cada raio pelo seu parâmetro de impacto $b$: sua distância ao eixo que passa pelo centro da gota, paralelo à luz solar, em unidades do raio da gota. Um raio que encontra a superfície com ângulo de incidência $\theta$ tem $b=\sin \theta$, e se refrata para dentro da gota em ${\theta }^{\prime }$, com $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$. Cada uma das duas refrações desvia o raio de $\theta -{\theta }^{\prime }$, e a reflexão o desvia de $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$, de modo que ele é desviado no total de $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$. O eixo vertical é o ângulo $\phi$ entre o raio de saída e a direção antissolar, a direção diretamente oposta ao Sol; ele é $180^{\circ }$ menos o desvio total:
$\phi (b)=4{\theta }^{\prime }-2\theta$

Agora siga a curva. Ela sobe a partir de zero no centro, $b=0$, onde o raio entra e sai em linha reta. Ela se achata em um máximo ${\phi }_{\max }$ e depois cai para cerca de 15° na borda, $b=1$, onde sua tangente fica vertical. O segundo gráfico do nível avançado da animação mostra o topo dessa curva, para $b$ de 0,5 a 1.

As duas faixas sombreadas têm a mesma altura $\Delta \phi$: uma na encosta ascendente, outra no topo. Siga cada faixa para baixo até o eixo $b$ para ver quais raios terminam nela. Na encosta íngreme, apenas uma faixa estreita $\Delta b_2$ de raios cai na faixa, além de uma fina porção de raios de borda perto de $b=1$, onde a curva mergulha de volta através da faixa. No topo achatado, uma faixa cerca de três vezes mais larga, $\Delta b_1$, faz isso. Os raios também precisam ser contados por área: os que têm parâmetro de impacto entre $b$ e $b+db$ atingem um anel da face da gota cuja área é proporcional a $bdb$, de modo que raios longe do centro contam mais. Com essa ponderação, a faixa superior reúne cerca de 40% de todos os raios vermelhos refletidos uma vez, e a inferior apenas cerca de 9%. Esse é todo o efeito: onde $\phi$ é estacionário, muitos raios saem quase na mesma direção, e essa direção parece brilhante.

Para achar o topo, faça $d\phi /d\theta =0$. A partir de $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$, isso exige $d{\theta }^{\prime }/d\theta =\frac{1}{2}$. Derivando a lei de Snell, obtém-se $\cos \theta d\theta =n\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }$, então no topo $2\cos \theta =n\cos {\theta }^{\prime }$. Eleve ao quadrado e substitua $n^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }=n^2-n^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }=n^2-{\sin }^2\theta$. Então $4{\cos }^2\theta =n^2-{\sin }^2\theta =n^2-1+{\cos }^2\theta$, o que dá
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta ,{\cos }^2\theta =\frac{n^2-1}{3}\text{(rainbow)}$

Para o vermelho, ${\cos }^2\theta =(1,3305^2-1)/3=0,2567$, logo $\theta =59,6^{\circ }$ ($b=0,862$), ${\theta }^{\prime }=40,4^{\circ }$ e ${\phi }_{\max }=42,4^{\circ }$. Para o violeta, $n=1,3435$ dá $b=0,855$ e ${\phi }_{\max }=40,6^{\circ }$. A luz vermelha volta, assim, a até 42,4° do ponto antissolar, e o violeta apenas até 40,6°, de modo que o vermelho fica na parte externa do arco. O raio da animação, em $b=0,86$, fica quase exatamente sobre os dois máximos, marcados por suas linhas tracejadas.

Quão nítida é a borda do arco? Perto do seu topo, ${\phi }_{\max }-\phi$ cresce com o quadrado da distância ao topo ao longo do eixo $b$. Visto ao contrário, o intervalo de $b$ que cai dentro de um ângulo $\delta$ do topo cresce apenas com $\sqrt{\delta }$, de modo que o número de raios por unidade de ângulo cresce com $1/\sqrt{{\phi }_{\max }-\phi }$ à medida que $\phi$ se aproxima de ${\phi }_{\max }$. Em números, cerca de um quinto dos raios vermelhos refletidos uma vez saem a menos de 1° do máximo, cerca de quinze vezes mais do que em uma faixa de 1° em torno de 20°. Além de ${\phi }_{\max }$ nenhum chega, de modo que o céu logo dentro do arco é mais brilhante do que logo fora dele.

Raios refletidos duas vezes dentro da gota dão um segundo arco. Para eles, ${\phi }_2=180^{\circ }+2\theta -6{\theta }^{\prime }$, que é estacionário, agora em um mínimo, onde ${\cos }^2\theta =(n^2-1)/8$: em 50,2° para o vermelho e 53,6° para o violeta. Esse arco secundário é mais fraco, porque a luz se perde em cada reflexão, e suas cores são invertidas, com o vermelho por dentro. Entre 42,4° e 50,2° nenhum dos dois tipos de raio chega, de modo que a faixa do céu entre os dois arcos é mais escura.

Problema resolvido: um flash pelo vidro flint

Suponha que o vidro flint do prisma ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) seja estirado em uma fibra de 1,00 km de comprimento, e um flash curto de luz branca seja enviado por ela. Com que diferença de tempo chegam suas partes vermelha (700 nm) e violeta (400 nm), e o que os índices de fase comuns previriam?

Cada cor viaja como um pulso, então se move com sua velocidade de grupo, e o índice a usar é o de grupo. Com a lei de Cauchy, $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, logo
$n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }=A+\frac{3B}{{\lambda }^2}$
Aqui $B/{\lambda }^2$ é $16000/700^2=0,03265$ para o vermelho e $16000/400^2=0,1000$ para o violeta, o que dá $n_{g,\mathrm{red}}=1,700+3\cdot 0,03265=1,798$ e $n_{g,\mathrm{violet}}=1,700+3\cdot 0,1000=2,000$. Cada parte precisa de $t=L{n}_g/c$: $5,997\mu \mathrm{s}$ para o vermelho e $6,671\mu \mathrm{s}$ para o violeta. O atraso entre elas é
$\Delta t=\frac{L(n_{g,\mathrm{violet}}-n_{g,\mathrm{red}})}{c}\left(n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }\right)$
$\Delta t=\frac{1000\cdot 0,202}{2,998\times 10^8}=674\mathrm{ns}$

Com os índices de fase, ao contrário, $n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{red}}=0,1000-0,03265=0,06735$ e $1000\cdot 0,06735/(2,998\times 10^8)=225\mathrm{ns}$, três vezes menor. O que estica um pulso é a rapidez com que $n$ muda com a cor, não o tamanho de $n$ em si. Um flash branco de 1 ns deixa, portanto, a fibra como um rastro de cerca de 0,67 µs de comprimento, com o vermelho na frente. Os enlaces de telecomunicações evitam isso enviando luz de laser com apenas 0,1 nm de largura pela sílica perto de 1,55 µm, onde o alargamento é de cerca de 17 ps por nanômetro de banda por quilômetro: menos de 2 ps por quilômetro.

Limites de validade

O modelo do oscilador é clássico. A mecânica quântica mantém sua forma, mas muda seu significado: cada ressonância é uma transição atômica do estado fundamental, de energia $E_{\mathrm{g}}$, para um estado excitado de energia $E_k$, com $\hslash {\omega }_k=E_k-E_{\mathrm{g}}$, e cada uma entra com um peso chamado força do oscilador. O resultado diluído também ignora o campo de dipolos vizinhos. Em um sólido denso, esse campo local muda o resultado para $(n^2-1)/(n^2+2)=N{q}_e^2/(3{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$, que se reduz ao nosso quando $n$ está próximo de 1. Dentro de uma banda de absorção, a velocidade de grupo pode exceder $c$ ou até se tornar negativa. O pulso fica então fortemente remodelado, seu pico não marca mais um sinal, e a frente de qualquer sinal ainda nunca ultrapassa $c$.

O modelo de raios do arco-íris exige gotas muito maiores que o comprimento de onda. Em gotas menores, raios que saem com o mesmo ângulo por caminhos diferentes interferem e acrescentam faixas supranumerárias fracas logo dentro do violeta. Na neblina, gotículas de cerca de $d=10$ µm de diâmetro borram cada cor em aproximadamente $\lambda /d\approx 3^{\circ }$, mais do que os quase 2° entre o vermelho e o violeta, de modo que um arco de neblina é quase branco.

Por fim, cor não é comprimento de onda. O olho reduz qualquer espectro a três sinais de cones, então uma mistura de luz vermelha e verde pode coincidir exatamente com o amarelo espectral, e nenhuma tela com três primárias consegue mostrar todas as cores espectrais.

Para onde isso leva

O oscilador forçado é o de Amortecimento e ressonância, agora em frequências ópticas, e a lâmina radiante de carga pertence a Ondas eletromagnéticas. O ângulo estacionário do arco-íris ecoa o princípio de Fermat de Reflexão e refração: lá o tempo de percurso é estacionário, aqui o ângulo de saída, e em ambos os casos raios vizinhos se reforçam mutuamente. Os erros de cor das lentes e sua correção voltam em Lentes e espelhos e em O olho, câmeras e telescópios; as redes, que separam cores por interferência, em Difração e fenda dupla; e a polarização parcial do céu azul em Polarização da luz. As próprias frequências de ressonância vêm dos níveis de energia atômicos, que Modelos atômicos: o átomo de Bohr começa a explicar.