Circuits en courant continu et loi d'Ohm

Débutant

Un circuit électrique est une boucle fermée que les charges peuvent parcourir : une pile, des fils et un appareil qui utilise l'énergie, par exemple une lampe. Ouvrez la boucle n'importe où, avec un interrupteur par exemple, et le courant s'arrête partout à la fois.

Étape 1 : la pile. Des réactions chimiques maintiennent une borne positive et l'autre négative. La pile ne crée pas de charges, puisque les fils en sont déjà pleins ; elle pousse ces charges tout autour de la boucle. Sa tension indique l'énergie que chaque coulomb transporte d'une borne à l'autre : une pile de 9 V donne 9 joules à chaque coulomb.

Étape 2 : la résistance. Une lampe ou une résistance freine le passage des charges, comme un rétrécissement dans un tuyau d'eau. Plus de poussée donne plus de courant ; plus de résistance en donne moins. En bref, intensité = tension ÷ résistance (loi d'Ohm). Dans l'animation, le curseur violet ajoute de la résistance : les points orange ralentissent dans toute la boucle, pas seulement dans la résistance, et la lampe faiblit.

Étape 3 : un seul chemin (en série). Quand les éléments sont placés les uns après les autres, la même intensité les traverse tous, leurs résistances s'additionnent et ils se partagent la tension de la pile. Si une lampe d'une guirlande en série grille, la boucle est ouverte et toutes s'éteignent.

Étape 4 : plusieurs chemins (en dérivation). Quand chaque élément a sa propre branche aux bornes de la pile, chacun reçoit toute la tension et fonctionne seul. Les maisons sont câblées ainsi : éteindre une lampe n'arrête pas le réfrigérateur.

Remarquez que les points avancent au même rythme partout : les charges ne s'usent pas. La lampe prend de l'énergie aux charges, pas les charges elles-mêmes.

Testez-vous : une pile de 6 V fait passer un courant dans une résistance de 3 Ω. Quelle est l'intensité ? (Réponse : 2 A.)

Intermédiaire

Intensité, tension et résistance

Un circuit est un chemin fermé de conducteurs, déjà plein de charges mobiles (les électrons libres d'un métal) ; la pile ne les fournit pas, elle les maintient en mouvement. L'intensité $I$ du courant est la charge qui passe en un point par seconde, $I=Q/t$, en ampères : $1\mathrm{A}=1C/s$. Par convention, le courant circule dans le sens où iraient des charges positives, de la borne + à la borne − en faisant le tour du circuit, comme les points de l'animation ; les électrons d'un métal dérivent dans l'autre sens, ce qui revient au même courant.

La tension $V$ entre deux points est l'énergie que chaque coulomb gagne ou perd entre eux ($1\mathrm{V}=1J/C$) : une différence de potentiel électrique $\phi$, comme une différence de hauteur. L'énergie par coulomb qu'une pile fournit est sa force électromotrice (f.é.m.) $\epsilon$ ; la pile de 12 V de l'animation donne 12 J à chaque coulomb. La résistance $R$, en ohms ($1\Omega =1V/A$), est la tension nécessaire par ampère. Pour les mesurer, on place un ampèremètre en série et un voltmètre en dérivation.

La loi d'Ohm

Pour un métal à température constante, l'intensité est proportionnelle à la tension. C'est la loi d'Ohm :
$V=IR$
avec $R$ constante : doublez la tension et l'intensité double. Le graphique de $V$ en fonction de $I$ est une droite passant par l'origine, de pente $R$, et de tels composants sont dits ohmiques. Une lampe à filament n'est pas ohmique, car sa résistance est multipliée par dix environ en chauffant, et une diode non plus, puisqu'elle ne conduit que dans un sens.

La résistance d'un fil homogène croît avec sa longueur $L$ et décroît avec sa section $A$ :
$R=\frac{\rho L}{A}$
où la résistivité $\rho$ dépend du matériau. Pour le cuivre, $\rho =1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$ : un mètre de fil de 1 mm² n'a donc que 0,017 Ω, et l'on peut en général considérer les fils de connexion comme sans résistance à côté d'une lampe de 10 Ω.

Série, dérivation et puissance

Des composants en série se suivent sur un seul chemin : ils sont traversés par la même intensité, et leurs tensions s'additionnent, $I{R}_1+I{R}_2=I(R_1+R_2)$. Des composants en dérivation sont branchés entre les deux mêmes points : ils ont la même tension, et leurs intensités s'additionnent. Chaque branche est un chemin de plus ; les conductances $G=1/R$, en siemens (S), s'additionnent donc, et le groupe conduit mieux que n'importe quelle branche seule :

• $R_{\mathrm{s}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{rie}}=R_1+R_2$
• $\frac{1}{R_{\mathrm{parall}\grave{\mathrm{e}}\mathrm{le}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Pour deux résistances en dérivation, cela donne $R_1{R}_2/(R_1+R_2)$, valeur inférieure à la plus petite des deux. Un réseau plus grand se réduit pas à pas, chaque chaîne en série et chaque groupe en dérivation étant remplacés par leur équivalent. Enfin, chaque coulomb qui chute d'une tension $V$ cède $V$ joules, et $I$ coulombs passent par seconde ; la puissance, en watts, vaut donc
$P=VI=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$
En série, où $I$ est commune, la plus grande résistance reçoit le plus de puissance ; en dérivation, où $V$ est commune, c'est la plus petite.

Exemple résolu : le circuit de l'animation

La pile a une f.é.m. $\epsilon =12\mathrm{V}$ et la lampe une résistance $R_B=10\Omega$, supposée ohmique ; le curseur violet fait passer le rhéostat de 5 Ω à 20 Ω, puis le ramène, en un cycle de 8 s. Au départ, avec $R=5\Omega$,
$I=\frac{\epsilon }{R+R_B}=\frac{12}{5+10}=0,80\mathrm{A}$
$V_R=0,80\cdot 5=4,0\mathrm{V},V_B=0,80\cdot 10=8,0\mathrm{V}$

Ce sont les valeurs affichées pour $I$, $V_R$ et $V_B$, et les chutes de tension s'additionnent bien pour faire 12 V. La lampe convertit $P_B=8,0\cdot 0,80=6,4\mathrm{W}$ et le rhéostat 3,2 W, soit ensemble les $\epsilon I=9,6\mathrm{W}$ que fournit la pile. À mi-cycle, pour $R=20\Omega$, l'intensité vaut $12/30=0,40\mathrm{A}$, $V_R=8,0\mathrm{V}$ et $V_B=4,0\mathrm{V}$. Les parts se sont échangées : en série, chaque composant prend une part de la tension proportionnelle à sa résistance. La puissance de la lampe est divisée par quatre, à 1,6 W, et son halo lumineux rétrécit.

Les deux flèches rouges $I$, sur le fil du haut juste avant la lampe et sur le fil du bas après elle, ont toujours la même longueur : la lampe prend de l'énergie aux charges, pas les charges elles-mêmes. Les points ralentissent partout dans la boucle en même temps, et pas seulement dans le rhéostat.

Exemple résolu : les phares sur une batterie de voiture

Les deux phares d'une voiture, de 2,4 Ω chacun quand ils sont chauds, sont montés en dérivation aux bornes de sa batterie de 12 V. Quelle intensité circule, et que se passe-t-il quand on allume aussi le dégivrage de lunette arrière de 1,2 Ω ?

Chaque phare reçoit les 12 V en entier : il est donc traversé par $12/2,4=5,0\mathrm{A}$ et convertit $12\cdot 5,0=60\mathrm{W}$ ; ensemble, ils laissent passer 10 A, comme une seule résistance de 1,2 Ω. Le dégivrage ajoute une troisième branche de $12/1,2=10\mathrm{A}$ ; la batterie fournit donc maintenant 20 A, et l'on retrouve bien
$\frac{1}{R_{\mathrm{parall}\grave{\mathrm{e}}\mathrm{le}}}=\frac{1}{2,4}+\frac{1}{2,4}+\frac{1}{1,2}=\frac{1}{0,60\Omega }$
ce qui donne $12/0,60=20\mathrm{A}$.

Idéalement, les phares ne remarquent pas le dégivrage. En pratique, ils faiblissent un peu : la petite résistance interne $r$ de la batterie, environ 0,02 Ω, coûte $20\cdot 0,02=0,4\mathrm{V}$ à 20 A, et près de 3 V quand le démarreur appelle environ 150 A ; c'est pourquoi les phares faiblissent pendant que le moteur est lancé.

Suivre le potentiel le long de la boucle

Prenons la borne − comme potentiel nul et suivons le courant : le potentiel fait un bond de 12 V dans la pile, reste presque constant le long des fils, chute de $V_R$ dans le rhéostat puis de $V_B$ dans la lampe, et retombe à zéro. La marche montante et les deux marches descendantes se compensent, d'où $V_R+V_B=\epsilon$, la règle des tensions en série que montre l'animation.

Deux lois étendent cela à n'importe quel réseau. Aucune charge ne s'accumule en un nœud ; en comptant positivement les intensités qui arrivent et négativement celles qui repartent,
$\sum I=0\text{en un nœud}$
Et, sur un tour complet d'une maille quelconque, les f.é.m. rencontrées égalent les chutes de tension dans les résistances, chacune affectée du signe donné par le sens du parcours :
$\sum \epsilon =\sum IR\text{le long d’une maille}$

Ce sont les lois de Kirchhoff, la loi des nœuds et la loi des mailles, qui traduisent la conservation de la charge et celle de l'énergie. Pour la boucle de l'animation, la seconde donne $12=5I+10I$ au départ, soit de nouveau les 0,80 A.

Erreurs fréquentes

• Une lampe ne consomme pas de courant : 0,80 A y entrent et 0,80 A en sortent. Elle consomme de l'énergie, 8 J prélevés sur chaque coulomb.
• Une pile impose une tension à peu près fixe, et non une intensité fixe : les mêmes 12 V font passer 0,80 A dans 15 Ω, mais 0,40 A dans 30 Ω.
• Une résistance ajoutée en dérivation abaisse la résistance totale et augmente l'intensité fournie par la pile : deux lampes de 10 Ω en dérivation font 5 Ω, et non 20 Ω.
• Les électrons ne courent pas autour du circuit : pour 0,80 A dans un fil de cuivre de 1 mm², ils dérivent à environ 0,06 mm/s, soit près de cinq heures par mètre. La lampe s'allume aussitôt parce que la poussée atteint tous les électrons en quelques nanosecondes.
• Un court-circuit signifie un courant énorme, et non nul : aux bornes d'une batterie de voiture de 0,02 Ω de résistance interne, $12/0,02=600\mathrm{A}$, assez pour faire fondre un fil mince.

Où on le rencontre

Une lampe de poche, c'est une pile, un interrupteur et une lampe en série ; une maison est câblée en dérivation, afin que chaque appareil reçoive la pleine tension du secteur et s'allume indépendamment des autres. Les boutons de volume et les jauges de carburant sont des rhéostats ou des diviseurs de tension, et les jauges de contrainte et les thermistances sont des résistances dont $R$ varie avec la force ou la température. Ces règles sont aussi derrière la charge d'un circuit $RC$ dans Condensateurs, et reviennent dans Puissance et énergie électriques à la maison (kilowattheures et fusibles) et Champs magnétiques des aimants et des courants.

Avancé

Des champs aux éléments localisés

La théorie des circuits est une simplification délibérée, et il vaut mieux savoir exactement ce qu'elle laisse de côté. Un circuit en fonctionnement est plein de champs électriques et magnétiques, et pourtant nous le décrivons avec une poignée de nombres. Cette section explique comment se fait cette réduction et quand elle est permise.

L'exemple suivi tout au long de la leçon est le circuit de l'animation : une pile de 12 V, un rhéostat (une résistance dont on peut faire varier la valeur) et une lampe, le tout dans une seule boucle. La résistance $R$ du rhéostat oscille entre 5 Ω et 20 Ω toutes les 8 secondes, et la lampe est traitée comme une résistance fixe $R_B=10\Omega$.

Chaque élément, qu'il s'agisse d'une pile, d'une résistance ou d'une lampe, est traité comme une boîte à deux bornes, $a$ et $b$. Ce qui se passe à l'intérieur est ignoré ; seuls comptent l'intensité $I$ qui traverse l'élément et la tension entre ses bornes,
$V_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
où $\phi$ est le potentiel électrique et $\vec{E}$ le champ électrique. Pour que ce soit un nombre unique, l'intégrale ne doit pas dépendre du chemin suivi de $a$ à $b$. C'est le cas tant que le champ à l'extérieur de l'élément est électrostatique, car l'intégrale d'un tel champ sur toute boucle fermée est nulle, de sorte que deux chemins de mêmes extrémités donnent le même résultat. Tout le détail intérieur, la répartition du champ dans une résistance ou la chimie d'une pile, est condensé en un seul nombre par élément : une résistance $R$ ou une f.é.m. $\epsilon$.

Deux conditions rendent cette description localisée exacte. D'abord, aucun flux magnétique variable ne doit traverser l'espace entre les éléments ; sinon la loi de Faraday ajoute une f.é.m. induite et $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}$ n'est plus nulle à cet endroit. Ensuite, la charge ne doit s'accumuler nulle part, pour que l'intensité qui entre dans un élément soit égale à celle qui en sort. Un circuit en courant continu remplit les deux conditions dès que le bref régime transitoire de la fermeture est passé.

Une question demeure : comment le champ sait-il suivre chaque coude du fil ? Il est produit par des charges situées sur les surfaces des fils et des composants, qui se réarrangent en quelques nanosecondes après la fermeture de l'interrupteur, jusqu'à ce que le champ à l'intérieur de chaque fil soit dirigé le long de celui-ci. Dans le cuivre, le champ nécessaire est minuscule. Prenons la plus forte intensité de l'animation, 0,80 A, dans un fil de section 1 mm². La densité de courant, l'intensité par unité de surface, vaut $J=0,80/10^{-6}=8\times 10^{5}A/{\mathrm{m}}^2$. La résistivité $\rho$ du cuivre, le champ nécessaire par unité de densité de courant, est de $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, donc
$E=\rho J=1,7\times 10^{-8}\cdot 8\times 10^5\approx 0,014V/m$
Chaque mètre de fil ne consomme qu'environ 0,014 V, si bien que presque tous les 12 V tombent aux bornes du rhéostat et de la lampe.

Les lois de Kirchhoff, issues des lois de conservation

Deux lois suffisent à résoudre tout circuit en courant continu, et chacune est une loi de conservation déguisée : la loi des nœuds exprime la conservation de la charge, la loi des mailles celle de l'énergie. Voir d'où elles viennent montre aussi quand elles cesseraient de s'appliquer.

Soit $\vec{J}$ la densité de courant : un vecteur dirigé le long de l'écoulement, dont la norme est l'intensité par unité de surface, en A/m². Le courant qui sort d'une surface fermée est $\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}$, où $d\vec{A}$ est un petit élément de surface orienté vers l'extérieur. La charge n'est ni créée ni détruite : cette sortie est donc égale au rythme de diminution de la charge qui se trouve à l'intérieur. En régime permanent, la charge intérieure reste constante, d'où
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=0$
Traçons maintenant la surface au plus près d'un nœud. Seuls les fils la percent, chacun apportant son intensité, et l'on obtient la loi des nœuds, $\sum I=0$, les intensités qui partent étant comptées positivement et celles qui arrivent négativement.

La loi des mailles demande un ingrédient de plus. Un champ électrostatique seul ne peut pas entretenir la circulation des charges, car son intégrale sur une boucle est nulle : il fournit autant de travail contre les charges sur une partie de la boucle qu'en leur faveur sur une autre. À l'intérieur d'une pile agit une seconde force, non électrostatique. Appelons-la $\vec{f}$, force par unité de charge ; d'origine chimique, elle pousse les charges de la borne − vers la borne +, contre le champ électrostatique. Son intégrale à travers la pile est la f.é.m.,
$\epsilon ={\int }_{-}^{+}\vec{f}\cdot d\vec{l}$
c'est-à-dire le travail qu'elle fournit à chaque coulomb qui passe. Dans une pile idéale, sans résistance interne, $\vec{f}$ et le champ électrostatique se compensent à l'intérieur, de sorte que la f.é.m. est égale à la tension entre les bornes.

En dehors des piles, seul le champ électrostatique agit, et $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ signifie que le potentiel a une valeur unique en chaque point : partez de n'importe où, faites le tour d'une boucle, et vous revenez au même potentiel. Les hausses aux bornes des piles doivent donc être égales aux chutes aux bornes de tout le reste. C'est la loi des mailles, un bilan d'énergie pour chaque coulomb qui fait le tour.

Une résistance exige une loi propre, qui vient du matériau. Localement, $\vec{J}=\sigma \vec{E}$, où $\sigma$ est la conductivité et $\rho =1/\sigma$ la résistivité. Dans un fil homogène de longueur $L$ et de section $A$, le champ est uniforme : la tension vaut $V=EL$ et l'intensité $I=JA=\sigma EA$. En éliminant $E$, on obtient la loi d'Ohm, $V=IR$, avec $R=\rho L/A$.

Appliquons maintenant les lois à la boucle de l'animation. Elle n'a pas de branches, donc la même intensité $I$ circule partout. En faisant le tour, la pile élève le potentiel de $\epsilon$, et le rhéostat et la lampe l'abaissent de $IR$ et de $I{R}_B$ :
$\epsilon -IR-I{R}_B=0\Rightarrow I=\frac{\epsilon }{R+R_B}$
Avec $\epsilon =12\mathrm{V}$ et $R_B=10\Omega$, l'intensité varie entre 0,80 A pour $R=5\Omega$ et 0,40 A pour $R=20\Omega$.

Les règles d'association habituelles en découlent aussitôt. Des éléments en série sont traversés par la même intensité, donc leurs tensions s'additionnent, et leurs résistances aussi. Des éléments en dérivation ont la même tension, donc leurs intensités s'additionnent, et les inverses de leurs résistances aussi.

Pour un réseau plus grand, les lois fournissent toujours assez d'équations. Supposons-le connexe, avec $n$ nœuds et $b$ branches, une branche étant un tronçon de circuit entre deux nœuds, avec sa propre intensité ; il y a alors $b$ intensités inconnues. La loi des nœuds donne $n-1$ équations indépendantes (la dernière est la somme des autres, puisque l'intensité de chaque branche part d'un nœud et arrive dans un autre), et la loi des mailles en donne une pour chacune des $b-n+1$ mailles indépendantes : exactement $b$ équations en tout.

Résoudre la boucle sur un graphique V–I

Un graphique peut résoudre la boucle sans algèbre, et il continue de fonctionner quand un composant ne suit pas la loi d'Ohm. L'idée est de tracer, dans les mêmes axes, ce que permet la lampe et ce que permet le reste du circuit.

Légende

$I$	Intensité dans la lampe, la même tout autour de la boucle.	$\mathrm{A}$
$V_B$	Tension aux bornes de la lampe.	$\mathrm{V}$
$\epsilon$	F.é.m. de la pile : le point où toutes les droites de charge coupent l'axe des tensions.	$\mathrm{V}$
$R_B$	Résistance de la lampe : la pente de sa droite.	$\Omega$
$R_1$	Rhéostat au bas de sa plage : une droite de charge peu inclinée, de pente $-R_1$, qui atteint l'axe des intensités en $\epsilon /R_1$.	$\Omega$
$R_2$	Rhéostat en haut de sa plage : une droite de charge plus raide, de pente $-R_2$.	$\Omega$

La figure 1 porte l'intensité $I$ sur l'axe horizontal et la tension $V_B$ de la lampe sur l'axe vertical. La loi propre de la lampe, $V_B=R_{B}I$, est la droite passant par l'origine, étiquetée $R_B$ ; sa pente est $R_B=10\Omega$. Tous les états possibles de la lampe se trouvent sur cette droite. (Dans le panneau expert de l'animation, la même droite est tracée en tirets, et un point glisse dessus entre (0,40 A ; 4,0 V) et (0,80 A ; 8,0 V).)

Le reste du circuit, pile et rhéostat ensemble, impose une seconde exigence. Vue de la lampe, la pile fournit $\epsilon$ et le rhéostat en prélève $IR$, de sorte que le reste apparaît aux bornes de la lampe :
$V_B=\epsilon -RI$
C'est la droite de charge. Elle part de l'axe des tensions au point étiqueté $\epsilon$, à 12 V : sans courant, il n'y a pas de chute de tension aux bornes du rhéostat et la lampe recevrait toute la f.é.m. Elle descend ensuite avec la pente $-R$ et atteint l'axe des intensités en $\epsilon /R$, l'intensité que la pile débiterait si la lampe était remplacée par un fil.

La lampe doit obéir à sa droite et le circuit à la droite de charge ; l'état réel du circuit, son point de fonctionnement, se trouve donc à leur intersection. En égalant les deux, $R_{B}I=\epsilon -RI$, on retrouve exactement la loi des mailles : l'image et l'algèbre résolvent la même équation.

Suivons maintenant le rhéostat. La figure trace la droite de charge pour les deux extrémités de sa plage, $R_1=5\Omega$ et $R_2=20\Omega$, et l'éventail grisé entre elles contient tous les réglages intermédiaires. Quand $R$ passe de $R_1$ à $R_2$, la droite de charge pivote autour de son extrémité fixe en $\epsilon$ et s'abaisse, de la droite peu inclinée $R_1$, qui atteindrait l'axe des intensités à 2,4 A, à la droite raide $R_2$, qui s'arrête à 0,60 A. Son intersection avec la droite de la lampe glisse du point 1, en (0,80 A ; 8,0 V), au point 2, en (0,40 A ; 4,0 V).

La méthode montre toute sa force avec des composants non ohmiques. La courbe d'un vrai filament se relève en chauffant, celle d'une diode présente un coude net ; ni l'une ni l'autre n'a une résistance unique, donc la formule de $I$ ne s'applique plus. L'intersection avec la droite de charge reste la réponse, trouvée graphiquement ou numériquement.

La puissance de la lampe sur un cycle

L'éclat de la lampe suit sa puissance, et le graphique de cette puissance en fonction du temps, dans l'animation, réserve une surprise. Avec $I=\epsilon /(R+R_B)$, la lampe reçoit
$P_B=I^2{R}_B=\frac{{\epsilon }^2{R}_B}{(R+R_B{)}^2}$
qui va de 6,4 W pour $R=5\Omega$ à 1,6 W pour $R=20\Omega$.

La résistance du rhéostat suit un cosinus, $R=12,5-7,5\cos (2\pi t/T)$ en ohms, de période $T=8\mathrm{s}$, mais la puissance n'en est pas une copie. Comme $P_B$ varie comme l'inverse du carré de $R+R_B$, elle chute vite depuis son maximum et s'attarde près de son minimum. À $t=2\mathrm{s}$, le rhéostat est à mi-course, à 12,5 Ω, et pourtant $P_B=12^2\cdot 10/22,5^2\approx 2,8\mathrm{W}$, et non les 4,0 W situés à mi-chemin entre les extrêmes ; elle reste sous 4 W pendant environ les deux tiers de chaque cycle. L'aire sous la courbe, environ 27 J par cycle de 8 s, est l'énergie que la lampe convertit en chaleur et en lumière.

Réseaux et théorème de Thévenin

Un grand réseau serait impossible à analyser si chaque modification obligeait à tout reprendre depuis le début. La linéarité nous sauve : elle permet de remplacer tout un réseau par deux nombres.

Avec des éléments ohmiques, chacune des équations de Kirchhoff est linéaire en les intensités et les f.é.m. Deux conséquences en découlent. La première est la superposition : les intensités produites par plusieurs sources agissant ensemble sont les sommes de celles que chaque source produirait seule. La seconde est le théorème de Thévenin : tout réseau de sources et de résistances, vu de deux de ses bornes, se comporte exactement comme une f.é.m. ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ en série avec une résistance $R_{\mathrm{Th}}$. La raison est que, par linéarité, la tension aux bornes est une fonction affine de l'intensité débitée, $V={\epsilon }_{\mathrm{Th}}-R_{\mathrm{Th}}I$, et une droite n'exige qu'une ordonnée à l'origine et une pente.

Les deux nombres sont faciles à trouver. La f.é.m. ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ est la tension aux bornes ouvertes, quand aucun courant n'est débité. La résistance $R_{\mathrm{Th}}$ est la résistance entre les bornes quand chaque f.é.m. idéale est remplacée par un fil.

Puissance maximale d'une source

Quelle charge prélève le plus de puissance sur une source donnée ? La réponse, appelée adaptation, compte des récepteurs radio jusqu'à l'animation elle-même. La source réelle la plus simple est une pile : une f.é.m. idéale $\epsilon$ en série avec une résistance interne $r$, déjà sous la forme de Thévenin. Quand elle débite une intensité $I$, sa tension aux bornes s'affaisse à $\epsilon -Ir$. Une charge $R$ est parcourue par $I=\epsilon /(R+r)$ et reçoit donc
$P=I^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(R+r{)}^2}$

Légende

$R$	Résistance de la charge.	$\Omega$
$P$	Puissance que la charge prélève sur la source.	$\mathrm{W}$
$r$	Résistance interne de la source ; le maximum se trouve en $R=r$.	$\Omega$
$P_{\max }$	Puissance maximale que la source peut fournir à une charge, ${\epsilon }^2/(4r)$.	$\mathrm{W}$
$R_1$	Une charge plus petite que $r$.	$\Omega$
$R_2$	Une charge plus grande que $r$, avec $R_1{R}_2=r^2$ ; elle absorbe la même puissance que $R_1$.	$\Omega$

La figure 2 trace cette puissance $P$ en fonction de la charge $R$. Regardons d'abord les deux extrémités. Pour $R=0$, la charge est un court-circuit : l'intensité est à son maximum, $\epsilon /r$, mais la tension aux bornes de la charge est nulle, donc elle ne reçoit rien. Quand $R\to \infty$, la tension aux bornes de la charge tend vers $\epsilon$, mais l'intensité s'éteint et la puissance retombe à zéro. Entre les deux, la courbe monte rapidement jusqu'à un maximum unique $P_{\max }$, puis décroît lentement.

Pour localiser le maximum, dérivons avec la règle du quotient :
$\frac{dP}{dR}=\frac{{\epsilon }^2(r-R)}{(R+r{)}^3}$
Cette dérivée est positive pour $R<r$, nulle pour $R=r$ et négative au-delà : le maximum se trouve donc en $R=r$, marqué sur l'axe de la figure 2. On y a $I=\epsilon /(2r)$ et
$P_{\max }=\frac{{\epsilon }^2}{4r}$
tandis que la même puissance, $I^{2}r$, est perdue à l'intérieur de la source : au mieux, la moitié de l'énergie arrive à la charge. L'adaptation convient aux signaux faibles, comme celui d'une antenne qui alimente un récepteur, où chaque bribe de puissance compte. Les réseaux de distribution d'énergie font l'inverse et gardent $R$ très supérieure à $r$, car le rendement, la fraction de la puissance fournie qui arrive à la charge, est $R/(R+r)$, soit seulement la moitié à l'adaptation.

La courbe a aussi une propriété moins évidente : les puissances égales vont par paires. Divisons le numérateur et le dénominateur de $P$ par $R$ :
$P=\frac{{\epsilon }^2}{R+2r+r^2/R}$
Remplacer $R$ par $r^2/R$ ne fait qu'échanger le premier et le dernier terme du dénominateur, donc $P$ est inchangée. Deux charges telles que $R_1{R}_2=r^2$ absorbent donc la même puissance. Sur la figure 2, ce sont les deux points de la droite de niveau en tirets, $R_1$ en dessous de $r$ et $R_2$ au-dessus dans le même rapport, $r/R_1=R_2/r$.

Cette symétrie est cachée dans l'animation. Regardons le circuit depuis les deux bornes du rhéostat. D'après Thévenin, la pile et la lampe en série forment une source de 12 V derrière $R_{\mathrm{Th}}=R_B=10\Omega$ ; le rhéostat est donc la charge $R$ de la figure 2, avec $r=10\Omega$. Sa puissance $I^{2}R$ culmine à $12^2/(4\cdot 10)=3,6\mathrm{W}$ quand le curseur passe par 10 Ω, et elle vaut 3,2 W aux deux extrémités de la plage, 5 Ω et 20 Ω, parce que $5\cdot 20=10^2$. Ainsi, alors que la puissance de la lampe varie dans un rapport de quatre, celle du rhéostat reste entre 3,2 et 3,6 W.

Problème résolu : deux lampes sur un rhéostat

Mettons maintenant ces outils au travail sur une question dont la réponse surprend. Deux lampes identiques partagent un rhéostat et une pile : faut-il les monter en dérivation ou en série pour qu'elles brillent le plus ?

Légende

$\epsilon$	F.é.m. de la pile.	$\mathrm{V}$
$R$	Résistance du rhéostat.	$\Omega$
$R_B$	Résistance d'une lampe ; les deux sont égales.	$\Omega$
$\phi$	Potentiel du fil au-dessus des lampes, mesuré à partir de la borne − de la pile.	$\mathrm{V}$
$I$	Intensité qui sort de la pile et traverse le rhéostat.	$\mathrm{A}$
$I_B$	Intensité dans une lampe : la moitié de $I$, puisque les lampes sont identiques.	$\mathrm{A}$

La figure 3 montre le montage en dérivation : la pile $\epsilon$ de 12 V, le rhéostat $R$ sur le fil du haut, réglé à 5 Ω, et deux lampes identiques de 10 Ω, $R_B$, côte à côte entre les fils du haut et du bas. Prenons la borne − de la pile, marquée par le symbole de masse, comme zéro du potentiel, et soit $\phi$ le potentiel du fil qui relie le rhéostat aux lampes, au nœud étiqueté $\phi$. Un fil de connexion n'a pas de résistance : tout ce fil est donc au potentiel $\phi$ et tout le fil du bas à 0. Chaque lampe a donc la tension $\phi$ à ses bornes et est parcourue par $I_B=\phi /R_B$.

L'intensité $I$ qui sort de la pile traverse le rhéostat, dont les bornes sont à la tension $\epsilon -\phi$, donc $I=(\epsilon -\phi )/R$. Au nœud, $I$ se partage entre les deux intensités des lampes, donc $I=2I_B$ d'après la loi des nœuds. Avec les valeurs numériques,
$\frac{12-\phi }{5}=\frac{\phi }{10}+\frac{\phi }{10}\Rightarrow \phi =6,0\mathrm{V}$
puisque le membre de droite vaut $\phi /5$, ce qui donne $12-\phi =\phi$.

La pile débite donc $I=6,0/5=1,2\mathrm{A}$, et chaque lampe prend 0,60 A sous 6,0 V, soit 3,6 W, contre 6,4 W pour une lampe seule au même réglage. La pile fournit $12\cdot 1,2=14,4\mathrm{W}$, dont le rhéostat prend $1,2^2\cdot 5=7,2\mathrm{W}$, exactement la moitié. Thévenin explique cette moitié : vue des lampes, la source est de 12 V derrière 5 Ω, et la paire en dérivation, elle aussi de 5 Ω, est une charge adaptée qui reçoit le maximum, $12^2/(4\cdot 5)=7,2\mathrm{W}$. En série, les lampes font 20 Ω, sont parcourues par $12/25=0,48\mathrm{A}$ et ne reçoivent que $0,48^2\cdot 10\approx 2,3\mathrm{W}$ chacune. La dérivation l'emporte.

Avec le rhéostat à 20 Ω, les rôles s'inversent. En dérivation, $I=12/25=0,48\mathrm{A}$, chaque lampe est parcourue par 0,24 A et reçoit $0,24^2\cdot 10\approx 0,58\mathrm{W}$. En série, désormais adaptée à la source, $I=12/40=0,30\mathrm{A}$ et chaque lampe reçoit $0,30^2\cdot 10=0,90\mathrm{W}$. La série l'emporte. Comme des lampes identiques se partagent toujours la puissance à égalité, le montage le plus lumineux est simplement celui qui absorbe le plus au total, celui dont la résistance est la plus proche, en rapport, de celle de la source. Le montage le plus lumineux dépend de la résistance de la source, et pas des seules lampes.

Où l'énergie circule vraiment

Jusqu'ici, l'énergie n'était qu'une comptabilité : $P=VI$ dit combien chaque élément reçoit, pas comment l'énergie lui parvient. La réponse est surprenante. Au début du cycle, la pile fournit $12\cdot 0,80=9,6\mathrm{W}$ et la lampe reçoit 6,4 W, alors que les électrons dérivent à une fraction de millimètre par seconde : un électron quittant la pile mettrait des heures à atteindre la lampe. L'énergie ne voyage pas avec les électrons ; elle se propage dans les champs. Les charges de surface produisent un champ électrique dans l'espace autour du circuit, le courant produit un champ magnétique qui entoure les fils, et ensemble ils transportent un flux d'énergie, en watts par mètre carré,
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$
où ${\mu }_0$ est la constante magnétique. Ce flux va de la pile, à travers l'espace entre les fils, vers le rhéostat et la lampe.

Légende

$L$	Longueur de la résistance.	$\mathrm{m}$
$a$	Rayon de la résistance.	$\mathrm{m}$
$I$	Intensité dans la résistance.	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Champ électrique juste à l'extérieur de la face latérale : le long du barreau, dans le sens du courant.	$V/m$
$\vec{B}$	Champ magnétique du courant : il entoure le barreau, sortant de la page au-dessus de lui et entrant dans la page au-dessous.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flux d'énergie $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$ : il pointe vers l'intérieur du barreau, vers le bas en haut et vers le haut en bas.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figure 4 le vérifie sur une résistance de la boucle : un cylindre de longueur $L$ et de rayon $a$ parcouru par l'intensité $I$ vers la droite. Regardons les deux champs juste à l'extérieur de sa face latérale, puis leur produit vectoriel.

Le champ électrique : le potentiel baisse régulièrement de $V$ sur la longueur $L$. La composante du champ le long d'une surface est la même juste à l'intérieur et juste à l'extérieur ; à l'extérieur de la face latérale, $\vec{E}$ est donc lui aussi dirigé le long du barreau, dans le sens du courant, avec la norme $V/L$. Sur la figure, ce sont les deux flèches étiquetées $\vec{E}$, dirigées vers la droite au-dessus et au-dessous du barreau.

Le champ magnétique : le champ du courant tourne autour du barreau selon la règle de la main droite (pouce dans le sens de $I$, doigts repliés dans le sens de $\vec{B}$), comme le montre l'anneau autour du barreau. À la surface, sa norme est ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$. Au-dessus du barreau, $\vec{B}$ sort de la page ; au-dessous, $\vec{B}$ entre dans la page.

Le flux : $\vec{S}$ est perpendiculaire aux deux champs. Au-dessus du barreau, $\vec{E}$ est dirigé vers la droite et $\vec{B}$ hors de la page, donc $\vec{S}$ pointe vers le bas, vers l'intérieur du barreau. Au-dessous, $\vec{B}$ est inversé, donc $\vec{S}$ pointe vers le haut, là encore vers l'intérieur du barreau. Il en va de même tout autour : $\vec{S}$ pointe droit vers l'intérieur de tous les côtés. Comme $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires, sa norme est
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
Multipliée par l'aire latérale $2\pi aL$, l'entrée d'énergie est exactement $VI$, la puissance que la résistance dissipe. Chaque résistance reçoit sa puissance par sa surface, depuis l'espace qui l'entoure.

À l'intérieur de la pile, l'image s'inverse. Là, $\vec{E}$ est dirigé contre le courant, de + vers −, tandis que la force chimique pousse la charge dans l'autre sens ; $\vec{S}$ pointe donc vers l'extérieur et la pile envoie de l'énergie dans l'espace environnant. Les fils guident l'énergie le long du circuit ; ils ne la transportent pas à l'intérieur du cuivre.

Limites de validité

Tout modèle a un domaine où il fonctionne, et il est utile de savoir où celui-ci s'arrête.

La description à éléments localisés suppose qu'un changement en un point du circuit se ressent partout à la fois. C'est vrai quand le circuit est très petit devant la longueur d'onde $\lambda =c/f$ de ses signaux, où $c$ est la vitesse de la lumière et $f$ la fréquence. Pour le secteur à 50 Hz, $\lambda$ vaut 6000 km, donc tout circuit domestique convient ; à 1 GHz, elle n'est que de 30 cm, et un circuit imprimé rayonne et doit être traité avec des lignes de transmission. Même en courant continu, le modèle ignore le régime transitoire qui suit la fermeture d'un interrupteur, mais avec l'inductance d'environ un microhenry d'une boucle de montage, le courant de l'animation s'établirait en quelques dixièmes de microseconde.

La loi d'Ohm est une propriété des matériaux, pas une loi de la nature, bien qu'elle soit excellente pour les métaux à température fixe. La résistance d'un filament est multipliée par dix environ entre le froid et l'incandescence, si bien qu'une lampe appelle une pointe de courant à l'allumage ; les diodes et les décharges dans les gaz ne sont pas du tout ohmiques, et un supraconducteur a exactement $R=0$ sous sa température critique. Une pile n'est pas non plus idéale : sa résistance interne $r$ augmente quand elle vieillit ou qu'elle a froid.

À la plus petite échelle, $R=\rho L/A$ cesse tout simplement d'être valable. Un fil large de quelques atomes seulement conduit par paliers égaux au quantum de conductance, $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, la conductance étant l'inverse de la résistance, mesurée en siemens ; cela fait environ 12,9 kΩ par canal de conduction, valeur fixée par la mécanique quantique plutôt que par le matériau ou par la longueur.

Ce qui vient ensuite

Un condensateur dans la boucle ajoute une charge variable, $I=dQ/dt$, et la loi des mailles devient une équation différentielle : la charge exponentielle de la leçon Condensateurs, de constante de temps $RC$. Une bobine ajoute une f.é.m. induite, sujet d'Induction électromagnétique, où $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi /dt$ ; une résistance, une bobine et un condensateur obéissent ensemble à l'équation de l'oscillateur amorti d'Amortissement et résonance. Puissance et énergie électriques à la maison transforme $P=VI$ en kilowattheures et en fusibles, Courant électrique et résistance, la leçon précédente, explique d'où vient $\rho$, Semi-conducteurs, diodes et LED traite les éléments non ohmiques les plus utiles, et Ondes électromagnétiques montre $\vec{S}$ transportant de l'énergie à travers l'espace vide.