Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm

Iniciante

Um circuito elétrico é um laço fechado no qual a carga pode circular: uma bateria, alguns fios e algo que usa energia, como uma lâmpada. Abra o laço em qualquer ponto, com um interruptor por exemplo, e o fluxo para em todo lugar ao mesmo tempo.

Passo 1: a bateria. Reações químicas dentro dela mantêm um polo positivo e o outro negativo. Ela não cria carga (os fios já estão cheios dela); ela empurra essa carga pelo laço. Sua tensão diz quanta energia cada coulomb carrega de um polo ao outro: uma bateria de 9 V dá a cada coulomb 9 joules.

Passo 2: resistência. Uma lâmpada ou um resistor dificulta a passagem da carga, como um trecho estreito em um cano de água. Mais empurrão dá mais corrente; mais resistência dá menos. Logo, corrente = tensão ÷ resistência (lei de Ohm). Na animação, o cursor roxo acrescenta resistência: as bolinhas laranjas diminuem a velocidade em todo o laço, não só dentro do resistor, e a lâmpada escurece.

Passo 3: um caminho (série). Quando as partes estão enfileiradas uma após a outra, a mesma corrente passa por cada uma, as resistências se somam e elas dividem a tensão da bateria. Se uma lâmpada de um conjunto em série queimar, o laço se abre e todas as lâmpadas apagam.

Passo 4: vários caminhos (paralelo). Quando cada parte tem seu próprio ramo ligado à bateria, cada uma recebe a tensão total e funciona sozinha. É assim que as casas são ligadas: desligar uma lâmpada não para a geladeira.

As bolinhas se movem no mesmo ritmo em todo lugar: a carga não é consumida. A lâmpada retira energia das cargas, não as cargas em si.

Teste você mesmo: uma bateria de 6 V faz passar uma corrente por um resistor de 3 Ω. Qual é a corrente? (Resposta: 2 A.)

Intermediário

Corrente, tensão e resistência

Um circuito é um caminho fechado de condutores, já cheio de cargas móveis (elétrons livres em um metal); a bateria não as fornece, mas as mantém em movimento. A corrente $I$ é a carga que passa por um ponto por segundo, $I=Q/t$, em ampères: $1\mathrm{A}=1C/s$. Por convenção, ela flui como fluiria a carga positiva, do polo positivo pelo circuito até o polo negativo, como mostram as bolinhas da animação; os elétrons em um metal derivam no sentido oposto, o que corresponde à mesma corrente.

A tensão $V$ entre dois pontos é a energia que cada coulomb ganha ou perde entre eles ($1\mathrm{V}=1J/C$): uma diferença de potencial elétrico $\phi$, como uma diferença de altura. A energia por coulomb que uma bateria fornece é sua força eletromotriz (fem) $\epsilon$; a bateria de 12 V da animação dá a cada coulomb 12 J. A resistência $R$, em ohms ($1\Omega =1V/A$), é a tensão necessária por ampère. Para medi-las, um amperímetro é ligado em série e um voltímetro em paralelo.

Lei de Ohm

Para um metal a temperatura constante, a corrente é proporcional à tensão. A lei de Ohm escreve isso como
$V=IR$
com $R$ constante: dobre a tensão e a corrente dobra. O gráfico de $V$ contra $I$ é uma reta passando pela origem com inclinação $R$, e tais componentes são chamados de ôhmicos. Uma lâmpada incandescente não é, porque sua resistência sobe cerca de dez vezes ao aquecer, e um diodo também não, pois conduz em um único sentido.

A resistência de um fio uniforme cresce com seu comprimento $L$ e diminui com sua área de seção transversal $A$:
$R=\frac{\rho L}{A}$
onde a resistividade $\rho$ depende do material. Para o cobre $\rho =1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, então um metro de fio de 1 mm² tem apenas 0,017 Ω: fios de ligação geralmente podem ser tratados como sem resistência ao lado de uma lâmpada de 10 Ω.

Série, paralelo e potência

Componentes em série ficam um após o outro em um único caminho, então conduzem a mesma corrente, e suas tensões se somam: $I{R}_1+I{R}_2=I(R_1+R_2)$. Componentes em paralelo ficam ligados aos mesmos dois pontos, então compartilham a mesma tensão, e suas correntes se somam. Cada ramo é mais um caminho; por isso as condutâncias $G=1/R$, em siemens (S), se somam, e o conjunto conduz melhor do que qualquer ramo isolado:

• $R_{\mathrm{series}}=R_1+R_2$
• $\frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Para dois resistores em paralelo, isso dá $R_1{R}_2/(R_1+R_2)$, menor que o menor deles. Uma rede maior é reduzida passo a passo, substituindo cada cadeia em série ou grupo em paralelo pelo seu equivalente. Por fim, cada coulomb que cai através de uma tensão $V$ cede $V$ joules, e $I$ coulombs passam por segundo; logo, a potência, em watts, é
$P=VI=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$
Em série, onde $I$ é compartilhada, a resistência maior recebe mais potência; em paralelo, onde $V$ é compartilhada, a menor recebe mais.

Exemplo resolvido: o circuito da animação

A bateria tem $\epsilon =12\mathrm{V}$ e a lâmpada $R_B=10\Omega$, tratada como ôhmica; o cursor roxo leva o reostato de 5 Ω a 20 Ω e de volta a cada 8 s. No início, com $R=5\Omega$,
$I=\frac{\epsilon }{R+R_B}=\frac{12}{5+10}=0,80\mathrm{A}$
$V_R=0,80\cdot 5=4,0\mathrm{V},V_B=0,80\cdot 10=8,0\mathrm{V}$

Esses são os valores de $I$, $V_R$ e $V_B$, e as quedas somam 12 V. A lâmpada converte $P_B=8,0\cdot 0,80=6,4\mathrm{W}$ e o reostato 3,2 W, juntos os $\epsilon I=9,6\mathrm{W}$ que a bateria entrega. Na metade do ciclo, com $R=20\Omega$, a corrente é $12/30=0,40\mathrm{A}$, $V_R=8,0\mathrm{V}$ e $V_B=4,0\mathrm{V}$. As parcelas se inverteram: em série, cada componente recebe uma parcela da tensão proporcional à sua resistência. A potência da lâmpada cai a um quarto, para 1,6 W, e seu brilho diminui.

As duas setas vermelhas de $I$, no fio de cima logo antes da lâmpada e no fio de baixo depois dela, têm sempre o mesmo comprimento: a lâmpada retira energia das cargas, não as cargas em si. As bolinhas desaceleram em todo o laço ao mesmo tempo, não só no reostato.

Exemplo resolvido: faróis em uma bateria de carro

Os dois faróis de um carro, cada um com 2,4 Ω quando quentes, estão em paralelo com a bateria de 12 V. Qual corrente flui e o que muda quando o aquecedor do vidro traseiro, de 1,2 Ω, também é ligado?

Cada lâmpada tem a tensão total de 12 V sobre si, então consome $12/2,4=5,0\mathrm{A}$ e converte $12\cdot 5,0=60\mathrm{W}$; juntas consomem 10 A, como um único resistor de 1,2 Ω. O aquecedor acrescenta um terceiro ramo de $12/1,2=10\mathrm{A}$, então a bateria agora fornece 20 A, e de fato
$\frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\frac{1}{2,4}+\frac{1}{2,4}+\frac{1}{1,2}=\frac{1}{0,60\Omega }$
dá $12/0,60=20\mathrm{A}$.

Idealmente, as lâmpadas não percebem o aquecedor. Na prática, elas escurecem um pouco: a pequena resistência interna $r$ da bateria, cerca de 0,02 Ω, custa $20\cdot 0,02=0,4\mathrm{V}$ com 20 A, e cerca de 3 V quando o motor de partida consome cerca de 150 A, então as lâmpadas escurecem enquanto o motor gira.

Seguindo o potencial ao longo do circuito

Tome o polo negativo como potencial zero e siga a corrente: o potencial sobe 12 V na bateria, permanece quase constante ao longo dos fios, cai $V_R$ no reostato e $V_B$ na lâmpada, e volta a zero. O salto para cima e os dois saltos para baixo se cancelam, então $V_R+V_B=\epsilon$, a regra de série mostrada na animação.

Duas regras estendem isso a qualquer rede. Nenhuma carga se acumula em um nó; então, contando as correntes que chegam como positivas e as que saem como negativas,
$\sum I=0\text{at a junction}$
E uma vez ao longo de qualquer laço fechado, as fems percorridas são iguais às quedas nos resistores, cada uma com o sinal do sentido de percurso:
$\sum \epsilon =\sum IR\text{around a loop}$

Essas são as regras de Kirchhoff, que expressam a conservação da carga e da energia. Para o laço da animação, a segunda dá $12=5I+10I$ no início, de novo os 0,80 A.

Erros comuns

• Uma lâmpada não consome corrente: 0,80 A entram e 0,80 A saem. Ela consome energia, 8 J de cada coulomb.
• Uma bateria fornece uma tensão quase fixa, não uma corrente fixa: os mesmos 12 V fazem passar 0,80 A por 15 Ω, mas 0,40 A por 30 Ω.
• Um resistor acrescentado em paralelo reduz a resistência total e aumenta a corrente da bateria: duas lâmpadas de 10 Ω em paralelo dão 5 Ω, não 20 Ω.
• Elétrons não correm pelo circuito: transportando 0,80 A em um fio de cobre de 1 mm², eles derivam a cerca de 0,06 mm/s, quase cinco horas por metro. A lâmpada acende imediatamente porque o empurrão alcança todos eles em nanossegundos.
• Curto-circuito significa uma corrente enorme, não nenhuma: em uma bateria de carro com 0,02 Ω internos, $12/0,02=600\mathrm{A}$, o suficiente para derreter um fio fino.

Onde você encontra isso

Uma lanterna é uma pilha, um interruptor e uma lâmpada em série; uma casa é ligada em paralelo, para que cada aparelho receba a tensão total da rede e ligue sozinho. Controles de volume e medidores de combustível são reostatos ou divisores de tensão, e extensômetros e termistores são resistores cujo $R$ muda com a força ou a temperatura. As mesmas regras estão por trás da carga $RC$ em Capacitores e voltam em Potência e energia elétrica em casa (quilowatt-hora e fusíveis) e Campos magnéticos de ímãs e correntes.

Avançado

Dos campos aos elementos concentrados

A teoria de circuitos é uma simplificação deliberada, e vale a pena saber exatamente o que ela descarta. Um circuito em funcionamento está cheio de campos elétricos e magnéticos, mas o descrevemos com um punhado de números. Esta seção explica como essa redução funciona e quando ela é permitida.

O exemplo ao longo de toda a seção é o circuito da animação: uma bateria de 12 V, um reostato (um resistor cujo valor pode ser variado) e uma lâmpada, todos em um único laço. A resistência $R$ do reostato oscila entre 5 Ω e 20 Ω a cada 8 segundos, e a lâmpada é tratada como uma resistência fixa $R_B=10\Omega$.

Cada elemento, seja uma pilha, um resistor ou uma lâmpada, é tratado como uma caixa com dois terminais, $a$ e $b$. O que acontece lá dentro é ignorado; o que importa é a corrente $I$ que passa pelo elemento e a tensão entre seus terminais,
$V_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
onde $\phi$ é o potencial elétrico e $\vec{E}$ o campo elétrico. Para que isso seja um número único, a integral não pode depender do caminho de $a$ até $b$. Isso vale enquanto o campo fora do elemento for eletrostático, pois a integral de um campo desse tipo ao longo de qualquer laço fechado é zero, então dois caminhos com os mesmos extremos dão o mesmo resultado. Todos os detalhes internos, o padrão de campo dentro de um resistor ou a química de uma pilha, ficam condensados em um número por elemento: uma resistência $R$ ou uma fem $\epsilon$.

Duas condições tornam essa descrição concentrada exata. Primeiro, nenhum fluxo magnético variável pode atravessar o espaço entre os elementos; caso contrário, a lei de Faraday acrescenta uma fem induzida, e $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}$ deixa de ser zero ali. Segundo, a carga não pode se acumular em lugar nenhum, de modo que a corrente que entra em um elemento seja igual à que sai. Um circuito de corrente contínua satisfaz as duas assim que o breve transitório após fechar a chave tiver passado.

Resta uma pergunta: como o campo sabe seguir cada curva do fio? Ele é produzido por cargas nas superfícies dos fios e componentes, que se reorganizam em nanossegundos após fechar a chave até que o campo dentro de cada fio aponte ao longo dele. No cobre, o campo necessário é minúsculo. Tome a maior corrente da animação, 0,80 A, em um fio de 1 mm² de seção. A densidade de corrente, a corrente por unidade de área, é $J=0,80/10^{-6}=8\times 10^{5}A/{\mathrm{m}}^2$. A resistividade do cobre $\rho$, isto é, o campo necessário por unidade de densidade de corrente, vale $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, logo
$E=\rho J=1,7\times 10^{-8}\cdot 8\times 10^5\approx 0,014V/m$
Cada metro de fio consome apenas cerca de 0,014 V, de modo que quase todos os 12 V caem sobre o reostato e a lâmpada.

As regras de Kirchhoff a partir das leis de conservação

Duas regras resolvem qualquer circuito de corrente contínua, e cada uma é, no fundo, uma lei de conservação: a regra dos nós expressa a conservação da carga, a regra das malhas, a conservação da energia. Ver de onde elas vêm também mostra quando falhariam.

Seja $\vec{J}$ a densidade de corrente: um vetor ao longo do fluxo, cujo módulo é a corrente por unidade de área, em A/m². A corrente que sai de uma superfície fechada é $\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}$, onde $d\vec{A}$ é um pequeno elemento da superfície apontando para fora. A carga não é criada nem destruída, logo essa saída é igual à taxa com que a carga interna diminui. Em regime estacionário a carga interna permanece constante, então
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=0$
Agora envolva bem apertado uma junção com a superfície. Apenas os fios a atravessam, cada um com sua corrente, e o resultado é a regra dos nós, $\sum I=0$, com as correntes que saem contadas como positivas e as que chegam como negativas.

A regra das malhas precisa de mais um ingrediente. Um campo puramente eletrostático não consegue manter a carga circulando, pois sua integral ao longo de um laço é zero: ele realiza tanto trabalho contra as cargas em uma parte do laço quanto em outra. Dentro de uma pilha atua uma segunda força, não eletrostática. Chame-a de $\vec{f}$, a força por unidade de carga; ela é de origem química e empurra a carga do polo negativo para o positivo, contra o campo eletrostático. Sua integral através da pilha é a fem,
$\epsilon ={\int }_{-}^{+}\vec{f}\cdot d\vec{l}$
o trabalho que ela realiza sobre cada coulomb que a atravessa. Em uma pilha ideal, sem resistência interna, $\vec{f}$ e o campo eletrostático se anulam no interior, de modo que a fem é igual à tensão entre os polos.

Fora das pilhas, só atua o campo eletrostático, e $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ significa que o potencial tem um único valor em cada ponto: comece em qualquer lugar, percorra um laço e você volta ao mesmo potencial. Os aumentos nas pilhas devem, portanto, igualar as quedas em todo o resto. Essa é a regra das malhas, um balanço de energia para cada coulomb que dá a volta.

Um resistor precisa de uma lei própria, e ela vem do material. Localmente, $\vec{J}=\sigma \vec{E}$, onde $\sigma$ é a condutividade e $\rho =1/\sigma$ a resistividade. Em um fio uniforme de comprimento $L$ e seção $A$, o campo é uniforme, de modo que a tensão é $V=EL$ e a corrente $I=JA=\sigma EA$. Eliminando $E$, obtém-se a lei de Ohm, $V=IR$, com $R=\rho L/A$.

Aplique agora as regras ao laço animado. Ele não tem ramificações, então uma única corrente $I$ passa por tudo. Percorrendo o laço, a bateria eleva o potencial em $\epsilon$, e o reostato e a lâmpada o reduzem em $IR$ e $I{R}_B$:
$\epsilon -IR-I{R}_B=0\Rightarrow I=\frac{\epsilon }{R+R_B}$
Com $\epsilon =12\mathrm{V}$ e $R_B=10\Omega$, a corrente vai de 0,80 A em $R=5\Omega$ a 0,40 A em $R=20\Omega$.

As conhecidas regras de associação seguem imediatamente. Elementos em série compartilham uma corrente, então suas tensões se somam, e o mesmo acontece com suas resistências. Elementos em paralelo compartilham uma tensão, então suas correntes se somam, e o mesmo acontece com os inversos de suas resistências.

Em uma rede maior, as regras sempre fornecem equações suficientes. Suponha que ela seja conectada e tenha $n$ nós e $b$ ramos, sendo um ramo um trecho do circuito entre dois nós com corrente própria; há então $b$ correntes desconhecidas. A regra dos nós dá $n-1$ equações independentes (a última é a soma das outras, pois cada corrente de ramo sai de um nó e entra em outro), e a regra das malhas dá uma para cada uma das $b-n+1$ malhas independentes: exatamente $b$ equações no total.

Resolvendo a malha no gráfico V–I

Um gráfico pode resolver a malha sem álgebra, e continua funcionando quando um componente não obedece à lei de Ohm. A ideia é desenhar, nos mesmos eixos, o que a lâmpada permite e o que o restante do circuito permite.

Legenda

$I$	Corrente pela lâmpada, a mesma em todo o laço.	$\mathrm{A}$
$V_B$	Tensão sobre a lâmpada.	$\mathrm{V}$
$\epsilon$	Fem da bateria: onde toda reta de carga encontra o eixo de tensão.	$\mathrm{V}$
$R_B$	Resistência da lâmpada: a inclinação de sua reta.	$\Omega$
$R_1$	Reostato no extremo inferior de sua faixa: uma reta de carga rasa, com inclinação $-R_1$, que atinge o eixo de corrente em $\epsilon /R_1$.	$\Omega$
$R_2$	Reostato no extremo superior de sua faixa: uma reta de carga mais íngreme, com inclinação $-R_2$.	$\Omega$

A figura 1 tem a corrente $I$ no eixo horizontal e a tensão da lâmpada $V_B$ no eixo vertical. A regra própria da lâmpada, $V_B=R_{B}I$, é a reta que passa pela origem com o rótulo $R_B$; sua inclinação é $R_B=10\Omega$. Todo estado em que a lâmpada pode estar fica sobre essa reta. (No painel de nível avançado da animação, a mesma linha é tracejada, e um ponto desliza sobre ela entre (0,40 A, 4,0 V) e (0,80 A, 8,0 V).)

O restante do circuito, bateria e reostato juntos, impõe uma segunda exigência. Visto da lâmpada, a bateria fornece $\epsilon$, e o reostato toma dele $IR$, de modo que o que sobra aparece sobre a lâmpada:
$V_B=\epsilon -RI$
Essa é a reta de carga. Ela começa no eixo de tensão, no ponto rotulado $\epsilon$, 12 V: sem corrente não há queda no reostato, e a lâmpada sente toda a fem. Depois cai com inclinação $-R$ e atinge o eixo de corrente em $\epsilon /R$, a corrente que a bateria produziria se a lâmpada fosse substituída por um fio.

A lâmpada deve obedecer à sua reta, e o circuito, à reta de carga; por isso o estado real do circuito, seu ponto de operação, está onde as duas se cruzam. Igualando as duas, $R_{B}I=\epsilon -RI$, obtém-se exatamente a regra das malhas: o desenho e a álgebra resolvem a mesma equação.

Agora acompanhe o reostato. A figura traça a reta de carga para as duas extremidades de sua faixa, $R_1=5\Omega$ e $R_2=20\Omega$, e o leque hachurado entre elas contém todas as posições intermediárias. Conforme $R$ cresce de $R_1$ a $R_2$, a reta de carga gira em torno de sua extremidade fixa em $\epsilon$ e desce: da reta rasa $R_1$, que atingiria o eixo de corrente em 2,4 A, até a reta íngreme $R_2$, que termina em 0,60 A. Seu cruzamento com a reta da lâmpada desliza para baixo, do ponto 1, em (0,80 A, 8,0 V), até o ponto 2, em (0,40 A, 4,0 V).

O método mostra sua verdadeira força com componentes não ôhmicos. A curva de um filamento real se curva para cima conforme ele aquece, e a de um diodo tem um joelho agudo; nenhum deles tem uma resistência única, então a fórmula para $I$ não se aplica mais. O cruzamento com a reta de carga ainda dá a resposta, encontrada graficamente ou numericamente.

A potência da lâmpada ao longo de um ciclo

O brilho da lâmpada acompanha sua potência, e o gráfico da potência em função do tempo, na animação, guarda uma surpresa. Com $I=\epsilon /(R+R_B)$, a lâmpada recebe
$P_B=I^2{R}_B=\frac{{\epsilon }^2{R}_B}{(R+R_B{)}^2}$
que vai de 6,4 W em $R=5\Omega$ a 1,6 W em $R=20\Omega$.

O reostato segue um cosseno, $R=12,5-7,5\cos (2\pi t/T)$ em ohms, com período $T=8\mathrm{s}$, mas a potência não é uma cópia dele. Como $P_B$ varia com o inverso do quadrado de $R+R_B$, ela cai rapidamente do pico e permanece perto do mínimo. Em $t=2\mathrm{s}$ o reostato está na metade do caminho, em 12,5 Ω, mas $P_B=12^2\cdot 10/22,5^2\approx 2,8\mathrm{W}$, não os 4,0 W do meio-termo entre os extremos, e ela fica abaixo de 4 W por cerca de dois terços de cada ciclo. A área sob a curva, cerca de 27 J por ciclo de 8 s, é a energia que a lâmpada converte em calor e luz.

Redes e o teorema de Thévenin

Uma rede grande seria impossível de analisar se cada mudança exigisse recomeçar do zero. A linearidade resolve o problema: ela permite substituir uma rede inteira por dois números.

Com elementos ôhmicos, todas as equações de Kirchhoff são lineares nas correntes e nas fems. Disso decorrem duas consequências. A primeira é a superposição: as correntes produzidas por várias fontes atuando juntas são a soma das correntes que cada fonte produziria sozinha. A segunda é o teorema de Thévenin: qualquer rede de fontes e resistores, vista de dois de seus terminais, se comporta exatamente como uma única fem ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ em série com uma única resistência $R_{\mathrm{Th}}$. A razão é que, pela linearidade, a tensão nos terminais é uma função linear da corrente drenada deles, $V={\epsilon }_{\mathrm{Th}}-R_{\mathrm{Th}}I$, e uma reta precisa apenas de um ponto de partida e de uma inclinação.

Ambos os números são fáceis de achar. A fem ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ é a tensão nos terminais abertos, quando nenhuma corrente é drenada. A resistência $R_{\mathrm{Th}}$ é a resistência entre os terminais com cada fonte ideal substituída por um fio.

Potência máxima de uma fonte

Qual carga retira a maior potência de uma dada fonte? A resposta, chamada casamento, importa desde receptores de rádio até a própria animação. A fonte real mais simples é uma bateria: uma fem ideal $\epsilon$ em série com uma resistência interna $r$, já na forma de Thévenin. Uma corrente $I$ faz sua tensão nos terminais cair para $\epsilon -Ir$. Uma carga $R$ conduz $I=\epsilon /(R+r)$ e, portanto, recebe
$P=I^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(R+r{)}^2}$

Legenda

$R$	Resistência da carga.	$\Omega$
$P$	Potência que a carga retira da fonte.	$\mathrm{W}$
$r$	Resistência interna da fonte; o pico está em $R=r$.	$\Omega$
$P_{\max }$	Maior potência que a fonte pode entregar a uma carga, ${\epsilon }^2/(4r)$.	$\mathrm{W}$
$R_1$	Uma carga menor que $r$.	$\Omega$
$R_2$	Uma carga maior que $r$, com $R_1{R}_2=r^2$; ela consome a mesma potência que $R_1$.	$\Omega$

A figura 2 traça essa potência $P$ em função da carga $R$. Observe primeiro as extremidades. Em $R=0$, a carga é um curto-circuito: a corrente está no máximo, $\epsilon /r$, mas não há tensão sobre a carga, então ela não recebe nada. Quando $R\to \infty$, a tensão sobre a carga se aproxima de $\epsilon$, mas a corrente desaparece e a potência volta a zero. Entre os dois extremos, a curva sobe abruptamente até um único pico $P_{\max }$ e depois declina lentamente.

Para localizar o pico, derive pela regra do quociente:
$\frac{dP}{dR}=\frac{{\epsilon }^2(r-R)}{(R+r{)}^3}$
Isso é positivo abaixo de $R=r$, zero em $R=r$ e negativo acima, então o pico está em $R=r$, marcado no eixo da figura 2. Ali $I=\epsilon /(2r)$ e
$P_{\max }=\frac{{\epsilon }^2}{4r}$
enquanto a mesma quantidade, $I^{2}r$, se perde dentro da fonte: na melhor das hipóteses, metade da energia chega à carga. O casamento convém a sinais fracos, como uma antena alimentando um receptor, onde cada fração de potência conta. Os sistemas de potência fazem o oposto e mantêm $R$ bem acima de $r$, porque a eficiência, a fração da saída que chega à carga, é $R/(R+r)$, apenas metade no casamento.

A curva tem ainda uma propriedade menos óbvia: potências iguais vêm em pares. Divida o numerador e o denominador de $P$ por $R$:
$P=\frac{{\epsilon }^2}{R+2r+r^2/R}$
Substituir $R$ por $r^2/R$ apenas troca o primeiro e o último termo do denominador, então $P$ não muda. Duas cargas com $R_1{R}_2=r^2$ consomem, portanto, a mesma potência. Na figura 2, elas são os dois pontos sobre a linha de nível tracejada, $R_1$ abaixo de $r$ e $R_2$ acima dele pelo mesmo fator, $r/R_1=R_2/r$.

Essa simetria fica oculta na animação. Olhe o circuito a partir dos dois terminais do reostato. Pelo teorema de Thévenin, a bateria e a lâmpada em série formam uma fonte de 12 V atrás de $R_{\mathrm{Th}}=R_B=10\Omega$, de modo que o reostato é a carga $R$ da figura 2 com $r=10\Omega$. Sua potência $I^{2}R$ atinge o pico de $12^2/(4\cdot 10)=3,6\mathrm{W}$ quando o cursor passa por 10 Ω, e vale 3,2 W nas duas pontas da faixa, 5 Ω e 20 Ω, porque $5\cdot 20=10^2$. Assim, enquanto a potência da lâmpada muda por um fator quatro, a do reostato permanece entre 3,2 e 3,6 W.

Exercício resolvido: duas lâmpadas em um reostato

Agora aplique essas ferramentas a uma pergunta com resposta surpreendente. Duas lâmpadas idênticas dividem um reostato e uma bateria: devem ser ligadas em paralelo ou em série para brilhar mais?

Legenda

$\epsilon$	Fem da bateria.	$\mathrm{V}$
$R$	Resistência do reostato.	$\Omega$
$R_B$	Resistência de uma lâmpada; as duas são iguais.	$\Omega$
$\phi$	Potencial do fio acima das lâmpadas, medido a partir do polo − da bateria.	$\mathrm{V}$
$I$	Corrente da bateria através do reostato.	$\mathrm{A}$
$I_B$	Corrente em uma lâmpada: metade de $I$, já que as lâmpadas são idênticas.	$\mathrm{A}$

A figura 3 mostra a versão em paralelo: a bateria de 12 V $\epsilon$, o reostato $R$ no fio superior, ajustado em 5 Ω, e duas lâmpadas idênticas de 10 Ω, $R_B$, lado a lado entre o fio superior e o inferior. Tome o polo negativo da bateria, marcado com o símbolo de terra, como zero de potencial, e seja $\phi$ o potencial do fio que liga o reostato às lâmpadas, no nó rotulado $\phi$. Um fio de ligação não tem resistência, então todo esse fio está em $\phi$ e o fio inferior inteiro está em 0. Cada lâmpada tem, portanto, $\phi$ sobre si e conduz $I_B=\phi /R_B$.

A corrente $I$ da bateria passa pelo reostato, sobre o qual há $\epsilon -\phi$, então $I=(\epsilon -\phi )/R$. No nó, $I$ se divide nas duas correntes das lâmpadas, então $I=2I_B$ pela regra dos nós. Com os números,
$\frac{12-\phi }{5}=\frac{\phi }{10}+\frac{\phi }{10}\Rightarrow \phi =6,0\mathrm{V}$
pois o lado direito é $\phi /5$, o que dá $12-\phi =\phi$.

Assim, a bateria fornece $I=6,0/5=1,2\mathrm{A}$, e cada lâmpada recebe 0,60 A a 6,0 V, isto é, 3,6 W, contra 6,4 W para uma única lâmpada na mesma configuração. A bateria entrega $12\cdot 1,2=14,4\mathrm{W}$, e o reostato absorve dela $1,2^2\cdot 5=7,2\mathrm{W}$, exatamente a metade. O teorema de Thévenin explica essa metade: vistas das lâmpadas, a fonte é 12 V atrás de 5 Ω, e o par em paralelo, também 5 Ω, é uma carga casada que retira o máximo, $12^2/(4\cdot 5)=7,2\mathrm{W}$. Em série, as lâmpadas somam 20 Ω, conduzem $12/25=0,48\mathrm{A}$ e recebem apenas $0,48^2\cdot 10\approx 2,3\mathrm{W}$ cada. Vence o paralelo.

Com o reostato em 20 Ω, os papéis se invertem. Em paralelo, $I=12/25=0,48\mathrm{A}$, cada lâmpada conduz 0,24 A e recebe $0,24^2\cdot 10\approx 0,58\mathrm{W}$. Em série, agora casada com a fonte, $I=12/40=0,30\mathrm{A}$ e cada lâmpada recebe $0,30^2\cdot 10=0,90\mathrm{W}$. Vence a série. Como lâmpadas idênticas sempre dividem a potência igualmente, a ligação mais brilhante é simplesmente aquela que retira mais no total, aquela cuja resistência está, proporcionalmente, mais próxima da resistência da fonte. Qual ligação é mais brilhante depende da resistência da fonte, e não só das lâmpadas.

Para onde a energia realmente flui

Até aqui, a energia era contabilidade: $P=VI$ diz quanto cada elemento consome, não como a energia chega até ele. A resposta é surpreendente. No início do ciclo, a bateria entrega $12\cdot 0,80=9,6\mathrm{W}$ e a lâmpada recebe 6,4 W, porém os elétrons derivam a uma fração de milímetro por segundo: um elétron que deixasse a bateria levaria horas para chegar à lâmpada. A energia não viaja sobre os elétrons; ela se propaga pelos campos. As cargas superficiais produzem um campo elétrico no espaço ao redor do circuito, a corrente produz um campo magnético que circunda os fios, e juntos eles transportam um fluxo de energia, em watts por metro quadrado,
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$
onde ${\mu }_0$ é a constante magnética. Esse fluxo vai da bateria, pelo espaço entre os fios, até o reostato e a lâmpada.

Legenda

$L$	Comprimento do resistor.	$\mathrm{m}$
$a$	Raio do resistor.	$\mathrm{m}$
$I$	Corrente pelo resistor.	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Campo elétrico logo fora da lateral: ao longo da haste, no sentido da corrente.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético da corrente: circunda a haste, saindo da página acima dela e entrando abaixo.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Fluxo de energia $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: aponta para dentro da haste, para baixo no topo e para cima na base.	$W/{\mathrm{m}}^2$

A figura 4 verifica isso em um resistor do laço: um cilindro de comprimento $L$ e raio $a$ conduzindo a corrente $I$ para a direita. Observe os dois campos logo fora de sua lateral e depois o produto vetorial deles.

O campo elétrico: o potencial cai uniformemente de $V$ ao longo do comprimento $L$. A componente do campo ao longo de uma superfície é a mesma logo dentro e logo fora dela, então fora da lateral $\vec{E}$ também corre ao longo da haste, no sentido da corrente, com módulo $V/L$. Na figura, são as setas rotuladas $\vec{E}$, apontando para a direita acima e abaixo da haste.

O campo magnético: o campo da corrente circunda a haste pela regra da mão direita (polegar no sentido de $I$, dedos se curvando no sentido de $\vec{B}$), como mostra o anel em torno da haste. Na superfície, seu módulo é ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$. Acima da haste, $\vec{B}$ sai da página; abaixo, $\vec{B}$ entra na página.

O fluxo: $\vec{S}$ é perpendicular aos dois campos. Acima da haste, $\vec{E}$ aponta para a direita e $\vec{B}$ para fora da página, então $\vec{S}$ aponta para baixo, para dentro da haste. Abaixo da haste, $\vec{B}$ está invertido, então $\vec{S}$ aponta para cima, de novo para dentro da haste. O mesmo vale em todo o contorno: $\vec{S}$ aponta diretamente para dentro da haste em todos os lados. Como $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares, seu módulo é
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
multiplicado pela área lateral $2\pi aL$, o influxo é exatamente $VI$, a potência que o resistor dissipa. Cada resistor recebe sua potência por meio de sua superfície, a partir do espaço ao redor.

Dentro da bateria, a figura se inverte. Lá $\vec{E}$ aponta contra a corrente, de + para −, enquanto a força química empurra a carga no sentido oposto; assim, $\vec{S}$ aponta para fora, e a bateria envia energia ao espaço em volta. Os fios guiam a energia ao longo do circuito; eles não a transportam dentro do cobre.

Limites de validade

Todo modelo tem uma faixa em que funciona, e vale a pena saber onde esta termina.

A imagem concentrada supõe que uma mudança em um ponto do circuito seja sentida em todos os outros ao mesmo tempo. Isso vale quando o circuito é muito menor que o comprimento de onda $\lambda =c/f$ de seus sinais, onde $c$ é a velocidade da luz e $f$ a frequência. Para a rede elétrica de 50 Hz, $\lambda$ é de 6000 km, então qualquer circuito doméstico se qualifica; em 1 GHz, são apenas 30 cm, e uma placa de circuito irradia e deve ser tratada com linhas de transmissão. Mesmo em corrente contínua, o modelo ignora o transitório que segue o fechamento de uma chave, mas, com a indutância de cerca de um microhenry de um laço de bancada, a corrente da animação se estabilizaria em alguns décimos de microssegundo.

A lei de Ohm é uma propriedade dos materiais, não uma lei da natureza, embora seja excelente para metais a temperatura fixa. A resistência de um filamento sobe cerca de dez vezes do frio ao rubro, então uma lâmpada consome um surto de corrente ao ser ligada; diodos e descargas em gases não são ôhmicos de forma alguma, e um supercondutor tem $R=0$ exatamente abaixo de sua temperatura crítica. Tampouco uma bateria é ideal: sua resistência interna $r$ cresce com o envelhecimento ou com o frio.

Na menor escala, $R=\rho L/A$ falha por completo. Um fio com apenas poucos átomos de largura conduz em degraus do quantum de condutância, $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, onde a condutância é o inverso da resistência, medida em siemens; isso equivale a cerca de 12,9 kΩ por canal condutor, determinado pela mecânica quântica, e não pelo material ou pelo comprimento.

Para onde isso leva

Um capacitor no laço acrescenta uma carga que muda, $I=dQ/dt$, e a regra das malhas se torna uma equação diferencial: o carregamento exponencial de Capacitores, com constante de tempo $RC$. Um indutor acrescenta uma fem induzida, tema de Indução eletromagnética, onde $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi /dt$; um resistor, um indutor e um capacitor juntos obedecem à equação do oscilador amortecido de Amortecimento e ressonância. Potência e energia elétrica em casa transforma $P=VI$ em quilowatt-hora e fusíveis. Corrente elétrica e resistência, a aula anterior, explica de onde vem $\rho$; Semicondutores, diodos e LEDs cobre os elementos não ôhmicos mais úteis; e Ondas eletromagnéticas mostra $\vec{S}$ transportando energia pelo espaço vazio.