Circuitos de corriente continua y ley de Ohm

Principiante

Un circuito eléctrico es un lazo cerrado que la carga puede recorrer: una pila, unos cables y algo que usa la energía, como una bombilla. Abre el lazo en cualquier punto, con un interruptor por ejemplo, y el flujo se detiene en todas partes a la vez.

Paso 1: la pila. Unas reacciones químicas mantienen un borne positivo y el otro negativo. La pila no crea carga, porque los cables ya están llenos de ella; empuja esa carga alrededor del lazo. Su voltaje indica cuánta energía lleva cada culombio de un borne al otro: una pila de 9 V da 9 julios a cada culombio.

Paso 2: la resistencia. Una bombilla o una resistencia dificultan el paso de la carga, como un estrechamiento en una tubería de agua. Más empuje da más corriente; más resistencia, menos. En resumen, intensidad = voltaje ÷ resistencia (ley de Ohm). En la animación, el cursor morado añade resistencia: los puntos naranjas se frenan en todo el lazo, no solo dentro de la resistencia, y la bombilla se atenúa.

Paso 3: un solo camino (en serie). Cuando las piezas están una detrás de otra, la misma corriente pasa por todas, sus resistencias se suman y se reparten el voltaje de la pila. Si se funde una bombilla de una guirnalda en serie, el lazo queda abierto y se apagan todas.

Paso 4: varios caminos (en paralelo). Cuando cada pieza tiene su propia rama conectada a la pila, cada una recibe el voltaje completo y funciona por su cuenta. Así se cablean las casas: apagar una lámpara no detiene la nevera.

Fíjate en que los puntos avanzan al mismo ritmo en todas partes: la carga no se gasta. La bombilla toma energía de las cargas, no las cargas mismas.

Ponte a prueba: una pila de 6 V hace pasar corriente por una resistencia de 3 Ω. ¿Cuál es la intensidad? (Respuesta: 2 A.)

Intermedio

Intensidad, tensión y resistencia

Un circuito es un camino cerrado de conductores, ya lleno de cargas móviles (electrones libres en un metal); la pila no las aporta, sino que las mantiene en movimiento. La intensidad $I$ es la carga que pasa por un punto cada segundo, $I=Q/t$, y se mide en amperios: $1\mathrm{A}=1C/s$. Por convenio se toma el sentido en que se movería la carga positiva, del borne + alrededor del circuito hasta el borne −, como hacen los puntos de la animación; los electrones de un metal se desplazan en sentido contrario, y eso representa la misma corriente.

La tensión (o voltaje) $V$ entre dos puntos es la energía que gana o pierde cada culombio entre ellos ($1\mathrm{V}=1J/C$): una diferencia de potencial eléctrico $\phi$, como una diferencia de altura. La energía por culombio que aporta una pila es su fuerza electromotriz (fem) $\epsilon$; la pila de 12 V de la animación da 12 J a cada culombio. La resistencia $R$, en ohmios ($1\Omega =1V/A$), es la tensión que hace falta por cada amperio. Para medir la intensidad y la tensión, el amperímetro se coloca en serie y el voltímetro en paralelo.

Ley de Ohm

En un metal a temperatura constante, la intensidad es proporcional a la tensión. La ley de Ohm lo expresa así:
$V=IR$
con $R$ constante: si se duplica la tensión, se duplica la intensidad. La gráfica de $V$ frente a $I$ es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente $R$; los componentes que se comportan así se llaman óhmicos. Una lámpara de filamento no lo es, porque su resistencia se multiplica por unas diez al calentarse, y tampoco lo es un diodo, que solo conduce en un sentido.

La resistencia de un hilo uniforme crece con su longitud $L$ y disminuye con el área $A$ de su sección:
$R=\frac{\rho L}{A}$
donde la resistividad $\rho$ depende del material. Para el cobre, $\rho =1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, así que un metro de hilo de 1 mm² tiene solo 0,017 Ω: los cables de conexión pueden tratarse, por lo general, como si no tuvieran resistencia frente a una bombilla de 10 Ω.

Serie, paralelo y potencia

Los componentes en serie están uno tras otro en un único camino, así que los recorre la misma intensidad y sus tensiones se suman: $I{R}_1+I{R}_2=I(R_1+R_2)$. Los componentes en paralelo están conectados entre los mismos dos puntos, así que comparten la tensión y sus intensidades se suman. Cada rama es un camino más, de modo que las conductancias $G=1/R$, en siemens (S), se suman, y el conjunto conduce mejor que cualquiera de las ramas por separado:

• $R_{\mathrm{serie}}=R_1+R_2$
• $\frac{1}{R_{\mathrm{paralelo}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Para dos resistencias en paralelo esto da $R_1{R}_2/(R_1+R_2)$, menos que la menor de ellas. Una red más grande se reduce paso a paso, sustituyendo cada cadena en serie o cada grupo en paralelo por su equivalente. Por último, cada culombio que cae a través de una tensión $V$ cede $V$ julios y por segundo pasan $I$ culombios, de modo que la potencia, en vatios, es
$P=VI=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$
En serie, donde $I$ es común, la resistencia mayor se lleva más potencia; en paralelo, donde es común $V$, se la lleva la menor.

Ejemplo resuelto: el circuito de la animación

La pila tiene $\epsilon =12\mathrm{V}$ y la bombilla $R_B=10\Omega$, que se trata como óhmica; el cursor morado lleva el reóstato de 5 Ω a 20 Ω y de vuelta cada 8 s. Al principio, con $R=5\Omega$,
$I=\frac{\epsilon }{R+R_B}=\frac{12}{5+10}=0,80\mathrm{A}$
$V_R=0,80\cdot 5=4,0\mathrm{V},V_B=0,80\cdot 10=8,0\mathrm{V}$

Son las lecturas de $I$, $V_R$ y $V_B$, y las caídas suman 12 V. La bombilla convierte $P_B=8,0\cdot 0,80=6,4\mathrm{W}$ y el reóstato 3,2 W, que juntos son los $\epsilon I=9,6\mathrm{W}$ que entrega la pila. A mitad del ciclo, con $R=20\Omega$, la intensidad es $12/30=0,40\mathrm{A}$, $V_R=8,0\mathrm{V}$ y $V_B=4,0\mathrm{V}$. Los repartos se han intercambiado: en serie, cada componente se lleva una parte de la tensión proporcional a su resistencia. La potencia de la bombilla se reduce a la cuarta parte, hasta 1,6 W, y su brillo disminuye.

Las dos flechas rojas $I$, la del cable superior justo antes de la bombilla y la del inferior justo después, tienen siempre la misma longitud: la bombilla toma energía de las cargas, no las cargas mismas. Los puntos se frenan a la vez en todo el lazo, no solo en el reóstato.

Ejemplo resuelto: faros con la batería del coche

Los dos faros de un coche, de 2,4 Ω cada uno en caliente, están en paralelo con su batería de 12 V. ¿Qué intensidad circula y qué cambia al conectar también la luneta térmica de 1,2 Ω?

Cada faro tiene los 12 V completos en sus bornes, así que toma $12/2,4=5,0\mathrm{A}$ y convierte $12\cdot 5,0=60\mathrm{W}$; entre los dos toman 10 A, como una sola resistencia de 1,2 Ω. La luneta añade una tercera rama de $12/1,2=10\mathrm{A}$, de modo que la batería suministra ahora 20 A y, en efecto,
$\frac{1}{R_{\mathrm{paralelo}}}=\frac{1}{2,4}+\frac{1}{2,4}+\frac{1}{1,2}=\frac{1}{0,60\Omega }$
da $12/0,60=20\mathrm{A}$.

En el caso ideal, los faros no notan la luneta. En la práctica se atenúan un poco: la pequeña resistencia interna $r$ de la batería, de unos 0,02 Ω, provoca una caída de $20\cdot 0,02=0,4\mathrm{V}$ con 20 A, y de unos 3 V cuando el motor de arranque toma cerca de 150 A, por lo que los faros se debilitan mientras se arranca el motor.

Seguir el potencial a lo largo del lazo

Toma el borne − como potencial cero y sigue la corriente: el potencial sube 12 V en la pila, se mantiene casi constante a lo largo de los cables, baja $V_R$ en el reóstato y $V_B$ en la bombilla, y vuelve a cero. La subida y las dos bajadas se compensan, así que $V_R+V_B=\epsilon$, la regla de la serie que muestra la animación.

Dos leyes extienden esto a cualquier red. En un nudo no se acumula carga, así que, contando como positivas las intensidades que entran y como negativas las que salen,
$\sum I=0\text{en un nudo}$
Y al dar una vuelta completa a cualquier malla, las fem que se atraviesan igualan las caídas en las resistencias, cada una con el signo que le da el sentido de recorrido:
$\sum \epsilon =\sum IR\text{en una malla}$

Son las leyes de Kirchhoff, que expresan la conservación de la carga y de la energía. Para el lazo de la animación, la segunda da $12=5I+10I$ al principio, de nuevo los 0,80 A.

Errores frecuentes

• Una bombilla no gasta corriente: entran 0,80 A y salen 0,80 A. Lo que gasta es energía, 8 J de cada culombio.
• Una pila da una tensión casi fija, no una intensidad fija: los mismos 12 V hacen pasar 0,80 A por 15 Ω, pero solo 0,40 A por 30 Ω.
• Una resistencia añadida en paralelo reduce la resistencia total y aumenta la intensidad que suministra la pila: dos bombillas de 10 Ω en paralelo equivalen a 5 Ω, no a 20 Ω.
• Los electrones no recorren el circuito a toda velocidad: con 0,80 A en un hilo de cobre de 1 mm² se desplazan a unos 0,06 mm/s, es decir, casi cinco horas por cada metro. La bombilla se enciende al instante porque el empujón llega a todos ellos en nanosegundos.
• Un cortocircuito supone una corriente enorme, no ninguna: en una batería de coche con 0,02 Ω interiores, $12/0,02=600\mathrm{A}$, suficiente para fundir un cable fino.

Dónde aparece

Una linterna es una pila, un interruptor y una lámpara en serie; una casa se cablea en paralelo, para que cada aparato reciba la tensión completa de la red y se encienda por su cuenta. Los controles de volumen y los indicadores de combustible son reóstatos o divisores de tensión, y las galgas extensiométricas y los termistores son resistencias cuyo valor $R$ cambia con la fuerza o la temperatura. Estas reglas están también detrás de la carga de un circuito $RC$ en Condensadores, y reaparecen en Potencia y energía eléctricas en casa (kilovatios hora y fusibles) y Campos magnéticos de imanes y corrientes.

Avanzado

De los campos a los elementos concentrados

La teoría de circuitos es una simplificación deliberada, y conviene saber con exactitud qué es lo que deja de lado. Un circuito en funcionamiento está lleno de campos eléctricos y magnéticos, y sin embargo lo describimos con un puñado de números. Esta sección explica cómo se hace esa reducción y cuándo está permitida.

El ejemplo que seguiremos a lo largo de toda la lección es el circuito de la animación: una pila de 12 V, un reóstato (una resistencia cuyo valor se puede variar) y una bombilla, todo en un único lazo. La resistencia $R$ del reóstato oscila entre 5 Ω y 20 Ω cada 8 segundos, y la bombilla se trata como una resistencia fija $R_B=10\Omega$.

Cada elemento, sea una pila, una resistencia o una bombilla, se trata como una caja con dos bornes, $a$ y $b$. Lo que ocurre dentro se ignora; solo importan la intensidad $I$ que atraviesa el elemento y la tensión entre sus bornes,
$V_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
donde $\phi$ es el potencial eléctrico y $\vec{E}$ el campo eléctrico. Para que sea un único número, la integral no debe depender del camino que se siga de $a$ a $b$. No depende mientras el campo fuera del elemento sea electrostático, porque la integral de un campo así a lo largo de cualquier lazo cerrado es cero, de modo que dos caminos con los mismos extremos dan el mismo resultado. Todo el detalle interior, la distribución del campo en una resistencia o la química de una pila, se condensa en un solo número por elemento: una resistencia $R$ o una fem $\epsilon$.

Dos condiciones hacen exacta esta descripción concentrada. La primera: ningún flujo magnético variable puede atravesar el espacio entre los elementos; si no, la ley de Faraday añade una fem inducida y $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}$ deja de ser cero ahí. La segunda: la carga no debe acumularse en ningún sitio, de modo que la intensidad que entra en un elemento sea igual a la que sale. Un circuito de corriente continua cumple las dos en cuanto pasa el breve transitorio del cierre del interruptor.

Queda una pregunta: ¿cómo sabe el campo que debe seguir cada curva del hilo? Lo crean las cargas de la superficie de los hilos y de los componentes, que se reordenan en pocos nanosegundos tras cerrar el interruptor, hasta que el campo dentro de cada hilo apunta a lo largo de él. En el cobre, el campo necesario es diminuto. Tomemos la mayor intensidad de la animación, 0,80 A, en un hilo de 1 mm² de sección. La densidad de corriente, la intensidad por unidad de área, es $J=0,80/10^{-6}=8\times 10^{5}A/{\mathrm{m}}^2$. La resistividad $\rho$ del cobre, el campo necesario por unidad de densidad de corriente, es $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, así que
$E=\rho J=1,7\times 10^{-8}\cdot 8\times 10^5\approx 0,014V/m$
Cada metro de hilo consume solo unos 0,014 V, de modo que casi todos los 12 V caen entre los bornes del reóstato y de la bombilla.

Las leyes de Kirchhoff como leyes de conservación

Dos leyes resuelven cualquier circuito de corriente continua, y cada una es una ley de conservación disfrazada: la ley de los nudos expresa la conservación de la carga, y la ley de las mallas, la conservación de la energía. Ver de dónde salen muestra también cuándo dejarían de valer.

Sea $\vec{J}$ la densidad de corriente: un vector que apunta a lo largo del flujo y cuyo módulo es la intensidad por unidad de área, en A/m². La corriente que sale de una superficie cerrada es $\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}$, donde $d\vec{A}$ es un pequeño trozo de superficie orientado hacia fuera. La carga ni se crea ni se destruye, así que esta salida es igual a la rapidez con que disminuye la carga del interior. En régimen estacionario la carga interior se mantiene constante, y por tanto
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=0$
Dibujemos ahora la superficie ajustada alrededor de un nudo. Solo la atraviesan los hilos, cada uno con su intensidad, y el resultado es la ley de los nudos, $\sum I=0$, contando como positivas las intensidades que salen y como negativas las que llegan.

La ley de las mallas necesita un ingrediente más. Un campo electrostático por sí solo no puede mantener la carga en circulación, porque su integral a lo largo de un lazo es cero: realiza tanto trabajo contra las cargas en una parte del lazo como a su favor en otra. Dentro de una pila actúa una segunda fuerza, no electrostática. Llamémosla $\vec{f}$, fuerza por unidad de carga; es de origen químico y empuja la carga del borne − al borne +, contra el campo electrostático. Su integral a través de la pila es la fem,
$\epsilon ={\int }_{-}^{+}\vec{f}\cdot d\vec{l}$
es decir, el trabajo que realiza sobre cada culombio que pasa. En una pila ideal, sin resistencia interna, $\vec{f}$ y el campo electrostático se anulan en el interior, de modo que la fem es igual a la tensión entre los bornes.

Fuera de las pilas solo actúa el campo electrostático, y $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ significa que el potencial tiene un único valor en cada punto: sal de donde quieras, recorre un lazo y volverás al mismo potencial. Los aumentos en las pilas tienen, por tanto, que igualar las caídas en todo lo demás. Esa es la ley de las mallas, un balance de energía para cada culombio que da la vuelta.

Una resistencia necesita una ley propia, y esta viene del material. Localmente, $\vec{J}=\sigma \vec{E}$, donde $\sigma$ es la conductividad y $\rho =1/\sigma$ la resistividad. En un hilo uniforme de longitud $L$ y sección $A$ el campo es uniforme, así que la tensión es $V=EL$ y la intensidad $I=JA=\sigma EA$. Al eliminar $E$ se obtiene la ley de Ohm, $V=IR$, con $R=\rho L/A$.

Apliquemos ahora las leyes al lazo animado. No tiene ramas, así que por todas partes circula una misma intensidad $I$. Al recorrerlo, la pila eleva el potencial en $\epsilon$, y el reóstato y la bombilla lo bajan en $IR$ y en $I{R}_B$:
$\epsilon -IR-I{R}_B=0\Rightarrow I=\frac{\epsilon }{R+R_B}$
Con $\epsilon =12\mathrm{V}$ y $R_B=10\Omega$, la intensidad va de 0,80 A con $R=5\Omega$ a 0,40 A con $R=20\Omega$.

Las reglas de asociación habituales se siguen enseguida. Los elementos en serie comparten una misma intensidad, así que sus tensiones se suman y también sus resistencias. Los elementos en paralelo comparten una misma tensión, así que sus intensidades se suman y también los inversos de sus resistencias.

En una red más grande las leyes siempre dan ecuaciones suficientes. Supongamos que es conexa y tiene $n$ nudos y $b$ ramas, siendo una rama un tramo de circuito entre dos nudos con su propia intensidad; hay entonces $b$ intensidades desconocidas. La ley de los nudos da $n-1$ ecuaciones independientes (la última es la suma de las demás, porque la intensidad de cada rama sale de un nudo y entra en otro), y la ley de las mallas da una por cada una de las $b-n+1$ mallas independientes: exactamente $b$ ecuaciones en total.

Resolver el lazo con una gráfica V–I

Una gráfica puede resolver el lazo sin álgebra, y sigue funcionando cuando un componente no cumple la ley de Ohm. La idea es dibujar, en los mismos ejes, lo que permite la bombilla y lo que permite el resto del circuito.

Leyenda

$I$	Intensidad que atraviesa la bombilla, la misma en todo el lazo.	$\mathrm{A}$
$V_B$	Tensión entre los bornes de la bombilla.	$\mathrm{V}$
$\epsilon$	Fem de la pila: el punto donde todas las rectas de carga cortan el eje de tensiones.	$\mathrm{V}$
$R_B$	Resistencia de la bombilla: la pendiente de su recta.	$\Omega$
$R_1$	Reóstato en el extremo bajo de su recorrido: una recta de carga poco inclinada, de pendiente $-R_1$, que llega al eje de intensidades en $\epsilon /R_1$.	$\Omega$
$R_2$	Reóstato en el extremo alto de su recorrido: una recta de carga más empinada, de pendiente $-R_2$.	$\Omega$

La figura 1 tiene la intensidad $I$ en el eje horizontal y la tensión $V_B$ de la bombilla en el vertical. La regla propia de la bombilla, $V_B=R_{B}I$, es la recta que pasa por el origen y está rotulada $R_B$; su pendiente es $R_B=10\Omega$. Todos los estados posibles de la bombilla están en esta recta. (En el panel experto de la animación esa misma recta se dibuja discontinua, y un punto se desliza por ella entre (0,40 A; 4,0 V) y (0,80 A; 8,0 V).)

El resto del circuito, la pila y el reóstato juntos, impone una segunda exigencia. Vista desde la bombilla, la pila aporta $\epsilon$ y el reóstato se lleva $IR$, de modo que lo que queda aparece en la bombilla:
$V_B=\epsilon -RI$
Esta es la recta de carga. Empieza en el eje de tensiones, en el punto rotulado $\epsilon$, a 12 V: sin corriente no hay caída en el reóstato, y la bombilla soportaría toda la fem. Después baja con pendiente $-R$ y llega al eje de intensidades en $\epsilon /R$, la intensidad que la pila impulsaría si se sustituyera la bombilla por un hilo.

La bombilla tiene que cumplir su recta y el circuito la recta de carga, así que el estado real del circuito, su punto de trabajo, está donde se cruzan. Al igualarlas, $R_{B}I=\epsilon -RI$, se recupera exactamente la ley de las mallas: la imagen y el álgebra resuelven la misma ecuación.

Sigamos ahora al reóstato. La figura dibuja la recta de carga para los dos extremos de su recorrido, $R_1=5\Omega$ y $R_2=20\Omega$, y el abanico sombreado entre ellas contiene todos los ajustes intermedios. Cuando $R$ crece de $R_1$ a $R_2$, la recta de carga gira en torno a su extremo fijo en $\epsilon$ y baja, desde la recta poco inclinada $R_1$, que llegaría al eje de intensidades en 2,4 A, hasta la recta empinada $R_2$, que se detiene en 0,60 A. Su cruce con la recta de la bombilla se desliza hacia abajo desde el punto 1, en (0,80 A; 8,0 V), hasta el punto 2, en (0,40 A; 4,0 V).

El método muestra su verdadera fuerza con componentes que no son óhmicos. La curva de un filamento real se dobla hacia arriba al calentarse y la de un diodo tiene un codo marcado; ninguno tiene una resistencia única, así que la fórmula de $I$ ya no sirve. El cruce con la recta de carga sigue siendo la respuesta, que se halla gráfica o numéricamente.

La potencia de la bombilla en un ciclo

El brillo de la bombilla sigue a su potencia, y la gráfica de esa potencia frente al tiempo en la animación guarda una sorpresa. Con $I=\epsilon /(R+R_B)$, la bombilla recibe
$P_B=I^2{R}_B=\frac{{\epsilon }^2{R}_B}{(R+R_B{)}^2}$
que va de 6,4 W con $R=5\Omega$ a 1,6 W con $R=20\Omega$.

La resistencia del reóstato sigue un coseno, $R=12,5-7,5\cos (2\pi t/T)$ en ohmios, con periodo $T=8\mathrm{s}$, pero la potencia no es una copia suya. Como $P_B$ varía con la inversa del cuadrado de $R+R_B$, cae deprisa desde su máximo y se queda mucho rato cerca de su mínimo. En $t=2\mathrm{s}$ el reóstato está a mitad de camino, en 12,5 Ω, y aun así $P_B=12^2\cdot 10/22,5^2\approx 2,8\mathrm{W}$, no los 4,0 W que quedan a medio camino entre los extremos, y se mantiene por debajo de 4 W durante unos dos tercios de cada ciclo. El área bajo la curva, unos 27 J por ciclo de 8 s, es la energía que la bombilla convierte en calor y luz.

Redes y teorema de Thévenin

Una red grande sería imposible de analizar si cada cambio obligara a empezar de cero. La linealidad nos salva: permite sustituir toda una red por dos números.

Con elementos óhmicos, cada ecuación de Kirchhoff es lineal en las intensidades y las fem. De ahí se siguen dos consecuencias. La primera es la superposición: las intensidades producidas por varias fuentes actuando a la vez son las sumas de las que produciría cada fuente por separado. La segunda es el teorema de Thévenin: cualquier red de fuentes y resistencias, vista desde dos de sus bornes, se comporta exactamente como una fem ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ en serie con una resistencia $R_{\mathrm{Th}}$. La razón es que, por linealidad, la tensión en los bornes es una función de la intensidad extraída que describe una recta, $V={\epsilon }_{\mathrm{Th}}-R_{\mathrm{Th}}I$, y una recta solo necesita una ordenada en el origen y una pendiente.

Ambos números son fáciles de hallar. La fem ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ es la tensión entre los bornes en circuito abierto, cuando no se extrae corriente. La resistencia $R_{\mathrm{Th}}$ es la resistencia entre los bornes cuando cada fem ideal se sustituye por un hilo.

Potencia máxima de una fuente

¿Qué carga toma más potencia de una fuente dada? La respuesta, llamada adaptación, importa desde los receptores de radio hasta la propia animación. La fuente real más sencilla es una pila: una fem ideal $\epsilon$ en serie con una resistencia interna $r$, ya en forma de Thévenin. Al suministrar una intensidad $I$, su tensión entre bornes baja a $\epsilon -Ir$. Una carga $R$ es recorrida por $I=\epsilon /(R+r)$ y por tanto recibe
$P=I^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(R+r{)}^2}$

Leyenda

$R$	Resistencia de la carga.	$\Omega$
$P$	Potencia que la carga toma de la fuente.	$\mathrm{W}$
$r$	Resistencia interna de la fuente; el máximo está en $R=r$.	$\Omega$
$P_{\max }$	Mayor potencia que la fuente puede entregar a una carga, ${\epsilon }^2/(4r)$.	$\mathrm{W}$
$R_1$	Una carga menor que $r$.	$\Omega$
$R_2$	Una carga mayor que $r$, con $R_1{R}_2=r^2$; toma la misma potencia que $R_1$.	$\Omega$

La figura 2 representa esta potencia $P$ frente a la carga $R$. Fíjate primero en los dos extremos. Con $R=0$ la carga es un cortocircuito: la intensidad es la mayor posible, $\epsilon /r$, pero no hay tensión en la carga, así que no toma nada. Cuando $R\to \infty$, la tensión en la carga se acerca a $\epsilon$, pero la intensidad se extingue y la potencia vuelve a caer a cero. Entre medias, la curva sube con fuerza hasta un único máximo $P_{\max }$ y luego baja despacio.

Para localizar el máximo, derivamos con la regla del cociente:
$\frac{dP}{dR}=\frac{{\epsilon }^2(r-R)}{(R+r{)}^3}$
Esta derivada es positiva para $R<r$, cero en $R=r$ y negativa por encima, así que el máximo está en $R=r$, marcado en el eje de la figura 2. Allí $I=\epsilon /(2r)$ y
$P_{\max }=\frac{{\epsilon }^2}{4r}$
mientras que la misma potencia, $I^{2}r$, se pierde dentro de la fuente: en el mejor de los casos, llega a la carga la mitad de la energía. La adaptación conviene con señales débiles, como las de una antena que alimenta un receptor, donde cada pizca de potencia cuenta. Los sistemas de potencia hacen lo contrario y mantienen $R$ muy por encima de $r$, porque el rendimiento, la fracción de la potencia suministrada que llega a la carga, es $R/(R+r)$, solo la mitad en la adaptación.

La curva tiene además una propiedad menos evidente: las potencias iguales vienen por parejas. Dividamos numerador y denominador de $P$ entre $R$:
$P=\frac{{\epsilon }^2}{R+2r+r^2/R}$
Sustituir $R$ por $r^2/R$ solo intercambia el primer y el último término del denominador, así que $P$ no cambia. Dos cargas con $R_1{R}_2=r^2$ consumen, pues, la misma potencia. En la figura 2 son los dos puntos de la línea de nivel discontinua, $R_1$ por debajo de $r$ y $R_2$ por encima en el mismo factor, $r/R_1=R_2/r$.

Esta simetría está escondida en la animación. Mira el circuito desde los dos bornes del reóstato. Según Thévenin, la pila y la bombilla en serie son una fuente de 12 V tras $R_{\mathrm{Th}}=R_B=10\Omega$, así que el reóstato es la carga $R$ de la figura 2 con $r=10\Omega$. Su potencia $I^{2}R$ alcanza un máximo de $12^2/(4\cdot 10)=3,6\mathrm{W}$ cuando el cursor pasa por 10 Ω, y vale 3,2 W en los dos extremos del recorrido, 5 Ω y 20 Ω, porque $5\cdot 20=10^2$. Así, mientras la potencia de la bombilla cambia en un factor cuatro, la del reóstato se mantiene entre 3,2 y 3,6 W.

Problema resuelto: dos bombillas en un reóstato

Pongamos ahora estas herramientas a trabajar en una pregunta de respuesta sorprendente. Dos bombillas idénticas comparten un reóstato y una pila: ¿conviene conectarlas en paralelo o en serie para que brillen lo máximo?

Leyenda

$\epsilon$	Fem de la pila.	$\mathrm{V}$
$R$	Resistencia del reóstato.	$\Omega$
$R_B$	Resistencia de una bombilla; las dos son iguales.	$\Omega$
$\phi$	Potencial del hilo situado sobre las bombillas, medido desde el borne − de la pila.	$\mathrm{V}$
$I$	Intensidad que sale de la pila y pasa por el reóstato.	$\mathrm{A}$
$I_B$	Intensidad en una bombilla: la mitad de $I$, porque las bombillas son idénticas.	$\mathrm{A}$

La figura 3 muestra la versión en paralelo: la pila $\epsilon$ de 12 V, el reóstato $R$ en el hilo superior, ajustado a 5 Ω, y dos bombillas idénticas de 10 Ω, $R_B$, una junto a otra entre los hilos superior e inferior. Toma el borne − de la pila, marcado con el símbolo de tierra, como cero del potencial, y sea $\phi$ el potencial del hilo que une el reóstato con las bombillas, en el nudo rotulado $\phi$. Un hilo de conexión no tiene resistencia, así que todo ese hilo está a $\phi$ y todo el hilo inferior a 0. Cada bombilla tiene, por tanto, $\phi$ entre sus bornes y es recorrida por $I_B=\phi /R_B$.

La intensidad $I$ que sale de la pila pasa por el reóstato, que tiene $\epsilon -\phi$ entre sus bornes, así que $I=(\epsilon -\phi )/R$. En el nudo, $I$ se reparte entre las dos intensidades de las bombillas, de modo que $I=2I_B$ por la ley de los nudos. Con los números,
$\frac{12-\phi }{5}=\frac{\phi }{10}+\frac{\phi }{10}\Rightarrow \phi =6,0\mathrm{V}$
ya que el miembro de la derecha es $\phi /5$, lo que da $12-\phi =\phi$.

Así, la pila impulsa $I=6,0/5=1,2\mathrm{A}$, y cada bombilla toma 0,60 A con 6,0 V, es decir, 3,6 W, frente a los 6,4 W de una sola bombilla con el mismo ajuste. La pila entrega $12\cdot 1,2=14,4\mathrm{W}$, de los que el reóstato se lleva $1,2^2\cdot 5=7,2\mathrm{W}$, exactamente la mitad. Thévenin explica esa mitad: vista desde las bombillas, la fuente es de 12 V tras 5 Ω, y el par en paralelo, que también es de 5 Ω, es una carga adaptada que toma el máximo, $12^2/(4\cdot 5)=7,2\mathrm{W}$. En serie, las bombillas suman 20 Ω, llevan $12/25=0,48\mathrm{A}$ y reciben solo $0,48^2\cdot 10\approx 2,3\mathrm{W}$ cada una. Gana el paralelo.

Con el reóstato en 20 Ω los papeles se invierten. En paralelo, $I=12/25=0,48\mathrm{A}$, cada bombilla lleva 0,24 A y recibe $0,24^2\cdot 10\approx 0,58\mathrm{W}$. En serie, ahora adaptada a la fuente, $I=12/40=0,30\mathrm{A}$ y cada bombilla recibe $0,30^2\cdot 10=0,90\mathrm{W}$. Gana la serie. Como las bombillas idénticas siempre se reparten la potencia a partes iguales, la conexión que más brilla es sencillamente la que consume más en total, la que tiene una resistencia más próxima, en cociente, a la de la fuente. Qué conexión brilla más depende de la resistencia de la fuente, no solo de las bombillas.

Por dónde fluye realmente la energía

Hasta ahora la energía ha sido pura contabilidad: $P=VI$ dice cuánto recibe cada elemento, no cómo le llega. La respuesta sorprende. Al comienzo del ciclo la pila entrega $12\cdot 0,80=9,6\mathrm{W}$ y la bombilla recibe 6,4 W, y sin embargo los electrones derivan a una fracción de milímetro por segundo: uno que saliera de la pila tardaría horas en llegar a la bombilla. La energía no viaja con los electrones; viaja por los campos. Las cargas de la superficie producen un campo eléctrico en el espacio alrededor del circuito, la corriente produce un campo magnético que rodea los hilos, y juntos transportan un flujo de energía, en vatios por metro cuadrado,
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$
donde ${\mu }_0$ es la constante magnética. Este flujo va de la pila, a través del espacio entre los hilos, hasta el reóstato y la bombilla.

Leyenda

$L$	Longitud de la resistencia.	$\mathrm{m}$
$a$	Radio de la resistencia.	$\mathrm{m}$
$I$	Intensidad que atraviesa la resistencia.	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Campo eléctrico justo fuera del lado: a lo largo de la barra, en el sentido de la corriente.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético de la corriente: rodea la barra, saliendo de la página por encima de ella y entrando en la página por debajo.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flujo de energía $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: apunta hacia el interior de la barra, hacia abajo en la parte superior y hacia arriba en la inferior.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figura 4 lo comprueba en una resistencia del lazo: un cilindro de longitud $L$ y radio $a$ por el que circula la intensidad $I$ hacia la derecha. Fíjate en los dos campos justo fuera de su lado, y luego en su producto vectorial.

El campo eléctrico: el potencial desciende de forma continua en $V$ a lo largo de la longitud $L$. La componente del campo a lo largo de una superficie es la misma justo dentro y justo fuera de ella, así que fuera del lado $\vec{E}$ también va a lo largo de la barra, en el sentido de la corriente, con módulo $V/L$. En la figura es el par de flechas rotuladas $\vec{E}$, que apuntan a la derecha encima y debajo de la barra.

El campo magnético: el campo de la corriente rodea la barra según la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de $I$, dedos curvándose en el sentido de $\vec{B}$), como muestra el anillo alrededor de la barra. En la superficie su módulo es ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$. Encima de la barra, $\vec{B}$ sale de la página; debajo, $\vec{B}$ entra en la página.

El flujo: $\vec{S}$ es perpendicular a ambos campos. Encima de la barra, $\vec{E}$ apunta a la derecha y $\vec{B}$ sale de la página, así que $\vec{S}$ apunta hacia abajo, hacia el interior de la barra. Debajo de la barra, $\vec{B}$ está invertido, así que $\vec{S}$ apunta hacia arriba, de nuevo hacia el interior de la barra. Lo mismo ocurre por todo el contorno: $\vec{S}$ apunta directamente hacia dentro desde todos los lados. Como $\vec{E}$ y $\vec{B}$ forman un ángulo recto, su módulo es
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
Multiplicado por el área lateral $2\pi aL$, la entrada es exactamente $VI$, la potencia que disipa la resistencia. Cada resistencia recibe su potencia a través de su superficie, desde el espacio que la rodea.

Dentro de la pila la imagen se invierte. Allí $\vec{E}$ apunta en contra de la corriente, de + a −, mientras que la fuerza química empuja la carga en sentido contrario, así que $\vec{S}$ apunta hacia fuera y la pila envía energía al espacio que la rodea. Los hilos guían la energía a lo largo del circuito; no la transportan por el interior del cobre.

Límites de validez

Todo modelo tiene un dominio en el que funciona, y conviene saber dónde acaba este.

La descripción con elementos concentrados supone que un cambio en un punto del circuito se nota en todas partes a la vez. Eso es cierto cuando el circuito es mucho menor que la longitud de onda $\lambda =c/f$ de sus señales, donde $c$ es la velocidad de la luz y $f$ la frecuencia. Para la red de 50 Hz, $\lambda$ es de 6000 km, así que sirve cualquier circuito doméstico; a 1 GHz es de solo 30 cm, y una placa de circuito impreso radia y debe tratarse con líneas de transmisión. Incluso en corriente continua, el modelo se salta el transitorio que sigue al cierre de un interruptor, pero con la inductancia de un lazo de laboratorio, de aproximadamente un microhenrio, la corriente de la animación se establecería en pocas décimas de microsegundo.

La ley de Ohm es una propiedad de los materiales, no una ley de la naturaleza, aunque sea excelente para los metales a temperatura fija. La resistencia de un filamento se multiplica por unas diez desde el frío hasta la incandescencia, por lo que una lámpara toma un pico de corriente al encenderse; los diodos y las descargas en gases no son óhmicos en absoluto, y un superconductor tiene exactamente $R=0$ por debajo de su temperatura crítica. Tampoco una pila es ideal: su resistencia interna $r$ crece al envejecer o con el frío.

A la escala más pequeña, $R=\rho L/A$ deja de valer por completo. Un hilo de solo unos pocos átomos de ancho conduce en escalones del cuanto de conductancia, $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, siendo la conductancia el inverso de la resistencia, medida en siemens; son unos 12,9 kΩ por canal de conducción, un valor fijado por la mecánica cuántica y no por el material ni por la longitud.

Lo que viene después

Un condensador en el lazo añade una carga que varía, $I=dQ/dt$, y la ley de las mallas se convierte en una ecuación diferencial: la carga exponencial de la lección Condensadores, con constante de tiempo $RC$. Una bobina añade una fem inducida, tema de Inducción electromagnética, donde $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi /dt$; una resistencia, una bobina y un condensador juntos obedecen la ecuación del oscilador amortiguado de Amortiguamiento y resonancia. Potencia y energía eléctricas en casa convierte $P=VI$ en kilovatios hora y fusibles, Corriente eléctrica y resistencia, la lección anterior, explica de dónde sale $\rho$, Semiconductores, diodos y LED trata los elementos no óhmicos más útiles, y Ondas electromagnéticas muestra cómo $\vec{S}$ transporta energía por el espacio vacío.