Amortiguamiento y resonancia

Principiante

Todo lo que puede balancearse o rebotar tiene una frecuencia natural: su propio ritmo, el número de idas y vueltas que hace por segundo si se le deja libre. Un péndulo corto oscila más rápido que uno largo, y un bloque rebota más rápido en un resorte rígido que en uno blando.

Paso 1: el amortiguamiento. Empuja un columpio y déjalo: cada vaivén es un poco menor que el anterior. La resistencia del aire y el rozamiento se llevan algo de energía en cada vaivén y la convierten en calor, y frenan más cuanto más rápido va el objeto. Este apagarse gradual se llama amortiguamiento.

Paso 2: ¿cuánto amortiguamiento? En la animación, tres bloques idénticos cuelgan de resortes idénticos; se tiran hacia abajo y se sueltan a la vez. A la izquierda, en el aire (amortiguamiento débil), el bloque rebota muchas veces, cada vez menos. A la derecha, en un jarabe espeso (amortiguamiento fuerte), nunca se pasa del equilibrio, pero vuelve muy despacio. En el centro, en un líquido más fluido, el amortiguamiento basta justo para que no rebote. Es el amortiguamiento crítico, y su etiqueta «en reposo» aparece la primera. Amortiguadores de coche y cierrapuertas se ajustan cerca de él.

Paso 3: la resonancia. Pequeños empujones al ritmo natural aportan energía en el momento justo: el movimiento crece. A la derecha, el extremo superior de un resorte se sacude suavemente al ritmo propio del bloque, y pronto el bloque se mueve mucho más que la sacudida. El amortiguamiento limita ese crecimiento.

Comprueba lo aprendido: una lavadora vibra con fuerza unos segundos mientras el tambor acelera y se calma a máxima velocidad. ¿Por qué?
Respuesta: al acelerar, el giro del tambor pasa por la frecuencia natural de la máquina y la sacude un momento a su ritmo: es resonancia.

Intermedio

Dos fuerzas: el resorte y el amortiguador

Un bloque unido a un resorte, que se estira y se suelta, siente dos fuerzas: la fuerza recuperadora del resorte, $-kx$, que apunta de vuelta hacia el equilibrio, y una fuerza de amortiguamiento que se opone al movimiento, como el arrastre de un líquido o el del aceite de un amortiguador. En un movimiento lento dentro de un líquido, la fuerza de amortiguamiento es casi proporcional a la velocidad, así que la fuerza neta es
$F=-kx-bv$

La constante de amortiguamiento $b$ se mide en kilogramos por segundo (kg/s, lo mismo que N·s/m). Las dos fuerzas alcanzan su máximo en momentos distintos: la del resorte, en los extremos del recorrido, donde el bloque se detiene un instante, y la de amortiguamiento, cuando el bloque va más deprisa, lo que con amortiguamiento débil ocurre cerca del equilibrio.

En la animación, las flechas doradas muestran $-bv$ y se invierten cada vez que un bloque da la vuelta. El bloque de la derecha, en jarabe espeso con $b=30kg/s$, tiene la flecha más larga aunque es el que se mueve más despacio: a su velocidad máxima, 0,077 m/s, la fuerza de amortiguamiento $30\cdot 0,077\approx 2,3\mathrm{N}$ equilibra exactamente la fuerza del resorte.

Amortiguamiento débil: un decaimiento exponencial

Con amortiguamiento débil, el bloque conserva casi su ritmo natural, pero cada vaivén es menor que el anterior en la misma proporción, porque una fuerza de amortiguamiento que crece con la velocidad se lleva en cada ciclo una fracción fija de la energía que queda. Eso es un decaimiento exponencial, $A=A_0{e}^{-\beta t}$, con
$\beta =\frac{b}{2m},{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
La tasa de amortiguamiento $\beta$ se mide en s⁻¹: tras un tiempo $1/\beta$ la amplitud ha bajado a $1/e$, alrededor del 37 %, y se reduce a la mitad cada $\ln 2/\beta$. Aquí, ${\omega }_0$ es la frecuencia angular natural. El movimiento completo es un coseno dentro de la envolvente que se encoge:
$x=A_0{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi ),{\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$

El amortiguador frena un poco al bloque, así que la frecuencia angular amortiguada ${\omega }_d$ queda justo por debajo de ${\omega }_0$. El factor de calidad mide lo débil que es el amortiguamiento:
$Q=\frac{{\omega }_0}{2\beta }=\frac{m{\omega }_0}{b}$
Cada ciclo multiplica la amplitud por cerca de $e^{-\pi /Q}$, de modo que tras $Q$ ciclos solo queda $e^{-\pi }$, alrededor del 4 %. Un diapasón, con un factor $Q$ de varios miles, suena durante segundos después de un solo golpe.

Amortiguamiento débil, crítico y fuerte

Al crecer $b$, el decaimiento se acelera, hasta que en un valor crítico el bloque deja de sobrepasar el equilibrio:
$b_c=2\sqrt{km}=2m{\omega }_0$
Ahí $\beta ={\omega }_0$ y ${\omega }_d$ se anula. Al comparar $b$ con $b_c$ aparecen tres tipos de movimiento:

• $b<b_c$, amortiguamiento débil: el bloque sobrepasa el equilibrio una y otra vez, con vaivenes que se apagan de forma exponencial.
• $b=b_c$, amortiguamiento crítico: la vuelta más rápida posible al equilibrio sin rebasarlo en ningún momento.
• $b>b_c$, amortiguamiento fuerte: tampoco hay rebasamiento, pero el amortiguador se opone con tanta fuerza que el bloque vuelve arrastrándose.

Un exceso de amortiguamiento es lento por la misma razón que lo es una cuchara en la miel: la fuerza de amortiguamiento enseguida iguala a la del resorte, y eso limita la velocidad a unos $kx/b$. Si triplicas $b$, el bloque vuelve tres veces más despacio.

Ejemplo resuelto: los tres bloques de la animación

Los tres bloques tienen $m=1\mathrm{kg}$ y $k=25N/m$, y cada uno se baja 10 cm y se suelta desde el reposo:
${\omega }_0=\sqrt{25/1}=5rad/s,b_c=2\sqrt{25\cdot 1}=10kg/s$
así que $f_0\approx 0,80\mathrm{Hz}$, un ciclo cada 1,26 s. El bloque del centro es exactamente crítico; el de la derecha tiene el triple de $b_c$, y el de la izquierda, una décima parte. Para el bloque de la izquierda,
$\beta =\frac{1}{2\cdot 1}=0,5{\mathrm{s}}^{-1},Q=\frac{5}{2\cdot 0,5}=5$

Tras 3 s, su amplitud es $10\mathrm{cm}\cdot e^{-0,5\cdot 3}\approx 2,2\mathrm{cm}$, el valor que marca el indicador azul $A$ cuando el indicador $t$, que empieza a contar en el momento de soltar, señala 3 s. La amplitud se reduce a la mitad cada $\ln 2/0,5\approx 1,4\mathrm{s}$, cada ciclo la multiplica por $e^{-\pi /5}\approx 0,53$, y después de 5 ciclos, unos 6,3 s, solo queda el 4 %. Cada bloque se mantiene a menos de 4 mm de su línea de equilibrio de trazos a partir de unos 1,0 s (crítico), 3,8 s (fuerte) y 6,4 s (débil).

Resonancia: empujones acompasados con el movimiento

Ahora excita el oscilador con una fuerza periódica $F_0\cos \omega t$. Pasado el arranque, oscila de forma estable a la frecuencia de la fuerza, con la amplitud
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
Lejos de ${\omega }_0$ la respuesta es pequeña; cerca de ella, la amplitud sube con fuerza: es la resonancia. En ${\omega }_0$ la fuerza del resorte y la inercia se anulan entre sí, y la fuerza impulsora solo tiene que reponer lo que quita el amortiguamiento:
$A({\omega }_0)=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{Q{F}_0}{k}$
Una fuerza constante estiraría el resorte una distancia $F_0/k$; aplicada al ritmo adecuado, mueve el bloque $Q$ veces más lejos. En resonancia el bloque va un cuarto de ciclo por detrás del empujón, de modo que se mueve más deprisa justo cuando el empujón es más fuerte, y cada empujón realiza trabajo positivo.

A la derecha de la animación, el extremo superior de un resorte idéntico, con amortiguamiento débil, se sacude con una amplitud $Y=2\mathrm{cm}$ exactamente a $f_0=0,80\mathrm{Hz}$. Si el extremo de un resorte se desplaza una distancia $y$, su tracción cambia en $ky$, así que la sacudida actúa como una fuerza $F_0=kY=25\cdot 0,02=0,5\mathrm{N}$, y
$A=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{0,5}{1\cdot 5}=0,10\mathrm{m}$
que es $QY=10\mathrm{cm}$. El indicador $A$ del bloque excitado sube hasta ahí despacio, más o menos como $QY(1-e^{-\beta t})$: unos 6 cm tras 2 s de sacudidas, 9 cm tras 4,6 s y 9,9 cm al final del bucle.

Ejemplo resuelto: un coche con el amortiguador gastado

Una rueda de un coche soporta unos 400 kg sobre un resorte de suspensión con $k=40000N/m$:
${\omega }_0=\sqrt{40000/400}=10rad/s,b_c=2\sqrt{40000\cdot 400}=8000kg/s$
así que la carrocería rebota a unos 1,6 Hz. Un amortiguador sano, ajustado algo por debajo de $b_c$, deja que la carrocería sobrepase el equilibrio una vez tras un bache. Uno gastado, con $b=800kg/s$, da $\beta =800/(2\cdot 400)=1,0{\mathrm{s}}^{-1}$ y $Q=10/(2\cdot 1,0)=5$, como el bloque de la izquierda de la animación. Un rebote de 4 cm se reduce entonces a la mitad cada 0,7 s y aún mide $4\cdot e^{-2}\approx 0,5\mathrm{cm}$ a los 2 s, tres rebotes después.

La carretera también puede excitar al coche. Unas ondulaciones separadas $d=10\mathrm{m}$ sacuden la rueda $v/d$ veces por segundo, lo que coincide con los 1,59 Hz naturales a $v\approx 16m/s$, unos 57 km/h. A esa velocidad, el coche del amortiguador gastado sube y baja unas $Q=5$ veces más que las ondulaciones y parece flotar.

Errores frecuentes

• Más amortiguamiento no siempre es más rápido: el bloque de la derecha, con el triple de $b_c$, tarda unos 3,8 s en asentarse, y el crítico solo 1,0 s.
• El amortiguamiento débil cambia la amplitud, no el ritmo: con $Q=5$ el periodo solo pasa de 1,257 s a 1,263 s.
• El tiempo $1/\beta$ no es una semivida: con $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$ la amplitud baja al 37 % en 2 s y a la mitad en 1,4 s; la energía, que va como $A^2$, se reduce a la mitad en 0,7 s.
• La resonancia no es infinita: el amortiguamiento limita la amplitud a $Q{F}_0/k$, 10 cm para el resorte sacudido, donde los 0,125 W de potencia de la fuerza impulsora igualan lo que disipa el amortiguador.
• El valor crítico es $2\sqrt{km}$, no $\sqrt{km}$: olvidar el 2 da 5 kg/s en lugar de 10 kg/s para los bloques.

Dónde aparece

Un amortiguamiento cercano al crítico se incorpora a los cierrapuertas, las agujas de los aparatos de medida y las suspensiones de los coches; cerca de la cima de la torre Taipei 101, un péndulo de acero de unas 660 toneladas oscila contra el balanceo del edificio. La resonancia se aprovecha en los relojes de cuarzo, cuyo cristal vibra a 32 768 Hz, en los instrumentos musicales y en la sintonía de la radio. En las estructuras hay que evitarla: el puente del Milenio de Londres se balanceó de lado en los días siguientes a su inauguración, en 2000, cuando los peatones se pusieron a caminar al paso de su vaivén. La misma ecuación rige los circuitos hechos con las piezas de Condensadores e Inducción electromagnética, y cada modo de Ondas estacionarias.

Avanzado

La ecuación del movimiento libre

El amortiguamiento es cualquier fuerza que drena la energía de una vibración: el aire, el aceite, un imán que frena una placa metálica. Esta sección encuentra todos los movimientos libres posibles de un bloque en un resorte con amortiguamiento. Importan por partida doble: describen cómo se calma un sistema perturbado, y son también el régimen transitorio del que todo oscilador forzado tiene que librarse antes de llegar a su régimen estacionario.

Toma un bloque de masa $m$ en un resorte de constante elástica $k$, con un amortiguador que empuja en contra de la velocidad con la fuerza $-b\dot{x}$. Aquí $x$ es el desplazamiento desde el equilibrio y $b$ es la constante de amortiguamiento. La segunda ley de Newton da $m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$. Divide entre $m$ y define dos cocientes, la tasa de amortiguamiento $\beta =b/(2m)$ y la frecuencia angular natural ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$. La ecuación adopta su forma estándar
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$
El factor 2 es un convenio que evita mitades en las raíces de más abajo.

La ecuación es lineal y sus coeficientes no cambian con el tiempo. La exponencial es la única función cuya derivada es un múltiplo de sí misma, así que prueba $x=e^{st}$ con una constante $s$, que puede ser compleja. Cada derivada temporal se limita entonces a multiplicar por $s$. Todos los términos llevan el mismo factor $e^{st}$, y al dividir por él queda la ecuación característica $s^2+2\beta s+{\omega }_0^2=0$. La fórmula de la ecuación de segundo grado da sus dos raíces:
$s_1=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2},s_2=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$
Como la ecuación es lineal, cualquier suma $c_1{e}^{s_{1}t}+c_2{e}^{s_{2}t}$ también es solución, y las dos constantes quedan fijadas por la posición y la velocidad iniciales. Así que todo el movimiento libre se decide por dónde caen las dos raíces.

La animación usa $m=1\mathrm{kg}$ y $k=25N/m$, de modo que ${\omega }_0=5rad/s$ (0,80 Hz), con tres amortiguadores, $b=1$, 10 y $30kg/s$, es decir, $\beta =0,5$, 5 y $15{\mathrm{s}}^{-1}$.

Tres tipos de movimiento libre

Que un bloque soltado vaya y venga o simplemente vuelva poco a poco depende solo del signo de ${\beta }^2-{\omega }_0^2$ bajo la raíz. Un mapa de las raíces muestra los tres casos a la vez, y también qué amortiguamiento devuelve el bloque más deprisa.

Leyenda

$s_1$	Raíz con el signo más: el punto azul de arriba y luego, sobre el eje real, la que vuelve hacia 0.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$s_2$	Raíz con el signo menos: el punto azul de abajo y luego, sobre el eje real, la que se aleja de 0.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$\beta$	Tasa de amortiguamiento $b/(2m)$: la parte real del par cambiada de signo, su distancia a la izquierda del eje vertical.	${\mathrm{s}}^{-1}$
${\omega }_d$	Frecuencia angular amortiguada $\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$: la parte imaginaria de $s_1$, la altura del punto de arriba.	$rad/s$
${\omega }_0$	Frecuencia angular natural $\sqrt{k/m}$: el radio del arco; en $-{\omega }_0$ se juntan las dos raíces.	$rad/s$

La figura 1 es el plano complejo de $s$: la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical. Un solo número clasifica los casos, la razón de amortiguamiento $\zeta =\beta /{\omega }_0$. Es igual a $b/b_c$, donde $b_c=2\sqrt{km}$ es la constante crítica de amortiguamiento, el valor de $b$ con el que $\beta ={\omega }_0$. En la animación $b_c=10kg/s$, así que los tres bloques tienen $\zeta =0,1$; 1 y 3.

Amortiguamiento débil, $\zeta <1$. El número bajo la raíz es negativo, así que las raíces forman el par complejo $-\beta \pm i{\omega }_d$, los dos puntos azules, con la frecuencia angular amortiguada ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$. Como $e^{(-\beta \pm i{\omega }_d)t}=e^{-\beta t}{e}^{\pm i{\omega }_{d}t}$, la parte real $-\beta$ fija el decaimiento y la parte imaginaria $\pm {\omega }_d$ fija la oscilación. Al combinar las dos exponenciales para que $x$ sea real, se obtiene
$x=C{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi )$
una oscilación dentro de una envolvente que se encoge como $e^{-\beta t}$; las constantes $C$ y $\phi$ salen de la posición y la velocidad iniciales. Fíjate ahora en el triángulo rectángulo, dibujado para $\zeta =0,6$. Su cateto horizontal es $\beta$, su cateto vertical es ${\omega }_d$ y su hipotenusa es $\sqrt{{\beta }^2+{\omega }_d^2}={\omega }_0$. Por tanto, una raíz compleja siempre está a la distancia ${\omega }_0$ del origen. Al crecer $b$, el par se desplaza por el arco azul de radio ${\omega }_0$, la raíz de arriba hacia abajo y la de abajo hacia arriba, en dirección al eje real.

Amortiguamiento crítico, $\zeta =1$. Las dos raíces se juntan en $-{\omega }_0$. Una raíz doble solo aporta una exponencial, $e^{-{\omega }_{0}t}$; la segunda solución independiente es $t{e}^{-{\omega }_{0}t}$, como confirma sustituirla en la ecuación.

Amortiguamiento fuerte, $\zeta >1$. La raíz cuadrada es ahora real y menor que $\beta$, así que las dos raíces son reales y negativas. Al crecer $b$, $s_1$ da la vuelta hacia 0 y $s_2$ se aleja hacia la izquierda. Nada oscila: el bloque vuelve poco a poco.

La gráfica experta de $x(t)$ de la animación usa el azul, el verde y el morado de la figura 1 y muestra los tres bloques soltados desde el reposo en $-10\mathrm{cm}$; llama a esta distancia inicial $A_0=10\mathrm{cm}$. El azul ($\zeta =0,1$, $s=-0,5\pm 4,97i{\mathrm{s}}^{-1}$) sobrepasa el equilibrio hasta $+7,3\mathrm{cm}$ medio periodo después de soltarlo, a los 0,63 s. El verde ($\zeta =1$) sigue $x=-A_0(1+{\omega }_{0}t)e^{-{\omega }_{0}t}$ y queda a menos de 4 mm de cero tras 1,0 s, aproximadamente. El morado ($\zeta =3$) tiene las raíces $-0,86$ y $-29,1{\mathrm{s}}^{-1}$. Su término rápido, $e^{-29,1t}$, desaparece en menos de una décima de segundo. La raíz lenta, cercana a $-{\omega }_0^2/(2\beta )$ cuando el amortiguamiento es fuerte, deja una vuelta lenta con una constante de tiempo de 1,2 s.

¿Qué amortiguamiento devuelve el bloque más deprisa? Una suma de exponenciales solo se apaga tan rápido como su término más lento, aquel cuya raíz está más cerca del eje vertical en la figura 1. Por debajo del amortiguamiento crítico esa distancia es $\beta$, que crece con $b$ mientras el par avanza hacia la izquierda por el arco. Por encima es $|s_1|$, que disminuye al crecer $b$, porque $s_1$ vuelve hacia 0. Las dos tendencias se encuentran en $\zeta =1$: ahí la raíz más cercana está tan a la izquierda como puede, y la tasa de decaimiento alcanza su mayor valor, ${\omega }_0$. Si se admite un pequeño rebasamiento, un poco menos de amortiguamiento es aún más rápido. Con $\zeta =0,75$ el bloque queda a menos de 4 mm de cero tras 0,64 s, y por eso las agujas de los aparatos de medida suelen ajustarse algo por debajo del valor crítico.

La energía y el significado de Q

Las raíces dicen lo rápido que decae el movimiento; la energía dice por qué. Además da el número que los ingenieros citan para cualquier oscilador, el factor de calidad $Q$.

Leyenda

$x$	Desplazamiento del bloque desde el equilibrio.	$\mathrm{m}$
$t$	Tiempo transcurrido desde que se suelta.	$\mathrm{s}$
$E$	Energía almacenada, cinética más elástica: $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$.	$\mathrm{J}$
$E_0$	Energía al soltarlo, toda en el resorte: $\frac{1}{2}k{A}_0^2$.	$\mathrm{J}$
$e^{-2\beta t}$	Factor de decaimiento de la curva discontinua $E_0{e}^{-2\beta t}$, que la energía toca en cada extremo del recorrido.
$dE/dt$	Ritmo de cambio de la energía, $-b{\dot{x}}^2$: mayor en valor absoluto donde el bloque va más deprisa, nulo en un extremo del recorrido.	$\mathrm{W}$
$T_d$	Periodo amortiguado $2\pi /{\omega }_d$: un ciclo completo, el tramo verde.	$\mathrm{s}$

La figura 2 sigue al bloque con amortiguamiento débil de la animación ($\zeta =0,1$), soltado desde el reposo en $x=-A_0$: su posición $x(t)$ arriba y su energía almacenada $E$ abajo, sobre el mismo eje de tiempos. Para leer el panel de abajo, averigua primero a qué ritmo cambia $E$. Multiplica la ecuación del movimiento, $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$, por $\dot{x}$. El producto $m\ddot{x}\dot{x}$ es la derivada temporal de $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$, y $kx\dot{x}$ es la de $\frac{1}{2}k{x}^2$. Así que los términos de inercia y de resorte forman juntos la derivada de $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, y lo que queda dice
$\frac{dE}{dt}=-b{\dot{x}}^2$
El amortiguador retira energía al ritmo $b{\dot{x}}^2$. Ese ritmo nunca es negativo, y se anula cada vez que el bloque se detiene un instante.

Mira ahora el panel de abajo. La energía solo se drena mientras el bloque se mueve, así que $E$ baja a escalones. Cada punto marca un extremo del recorrido, donde $\dot{x}=0$ y toda la energía está en el resorte; ahí la pendiente de $E$ es cero y la curva es plana. La tangente marcada $dE/dt$ toca la parte más empinada de la primera bajada, donde el bloque va más deprisa, justo antes de pasar por el equilibrio. En un extremo del recorrido $|x|=A_0{e}^{-\beta t}$, así que la energía allí vale $\frac{1}{2}k{A}_0^2{e}^{-2\beta t}$. Por eso los tramos planos están exactamente sobre la curva discontinua $E_0{e}^{-2\beta t}$, con $E_0=\frac{1}{2}k{A}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,10^2=0,125\mathrm{J}$. Entre extremos, $E$ se separa alrededor de un 10 % por encima y por debajo de esa curva. De un extremo al siguiente, medio periodo amortiguado $T_d/2$, la energía queda multiplicada por $e^{-\beta T_d}\approx 0,53$.

Si suavizas los escalones, aparece una ley sencilla. Durante un ciclo con amortiguamiento débil, el movimiento es casi $A\cos {\omega }_{0}t$ con una amplitud $A$ que se reduce lentamente. El promedio de ${\dot{x}}^2$ sobre el ciclo es entonces $\frac{1}{2}{\omega }_0^2{A}^2$, mientras que $E=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2$. Así que el promedio de $b{\dot{x}}^2$ es $(b/m)E=2\beta E$, y
$\frac{dE}{dt}=-2\beta E$
La energía decae como $e^{-2\beta t}$. La energía va con el cuadrado de la amplitud, así que la amplitud decae la mitad de rápido, como $e^{-\beta t}$, tal como decían las raíces.

El factor de calidad se define como $Q={\omega }_0/(2\beta )$. Con él, la ley se escribe $dE/dt=-{\omega }_{0}E/Q$. El bloque recorre un radián de fase en el tiempo $1/{\omega }_0$, así que en ese tiempo pierde la fracción $1/Q$ de su energía: $Q$ es la energía almacenada dividida entre la energía perdida por radián. Un oscilador de $Q$ alto vibra durante muchos ciclos; el bloque con amortiguamiento débil solo tiene $Q=5$. Una regla conocida dice que la fracción perdida por ciclo es $2\pi /Q$. Aquí eso daría un 126 %, lo cual es imposible: la regla es solo el primer término de la expresión exacta $1-e^{-2\pi /Q}$, válida únicamente para $Q$ grande. La ley exponencial en sí es exacta de un ciclo al siguiente. A lo largo de un periodo amortiguado $T_d=2\pi /{\omega }_d=1,263\mathrm{s}$, el tramo verde de la figura 2, la energía conserva la fracción $e^{-2\beta T_d}\approx 0,28$, así que en el primer ciclo se pierde el 72 %.

El oscilador forzado

Ahora empuja el bloque con una fuerza periódica $F_0\cos \omega t$. Es la situación del cono de un altavoz, de un puente con viento racheado o de un electrón en una onda luminosa, y las preguntas son cuán grande es la respuesta y cuánto se retrasa. La ecuación del movimiento gana un segundo miembro:
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=(F_0/m)\cos \omega t$
Como la ecuación es lineal, su solución general es una solución particular cualquiera más el movimiento libre hallado antes. La parte libre se apaga, como $e^{-\beta t}$ con amortiguamiento débil; se llama régimen transitorio. Lo que queda es el régimen estacionario, que oscila a la frecuencia de la fuerza $\omega$, no a ${\omega }_0$.

Los números complejos encuentran deprisa el régimen estacionario. Escribe la fuerza como la parte real de $F_0{e}^{i\omega t}$ y busca $x$ como la parte real de $\hat{x}{e}^{i\omega t}$, donde la amplitud compleja $\hat{x}$ es una constante aún por hallar. Tomar la parte real conmuta con sumar, con derivar y con multiplicar por números reales, así que se puede resolver la ecuación compleja y tomar la parte real al final. Cada $d/dt$ que actúa sobre $e^{i\omega t}$ se convierte en un factor $i\omega$. Multiplicar por $i$ es un cuarto de vuelta en el plano complejo, así que la velocidad adelanta al desplazamiento en 90°. La ecuación diferencial se reduce a álgebra:
$({\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega )\hat{x}=F_0/m$
El truco necesita linealidad: un término en $x^2$ mezclaría las partes real e imaginaria, y la parte real de la respuesta compleja ya no resolvería la ecuación real. La linealidad da también superposición, de modo que una fuerza formada por muchas frecuencias produce la suma de las respuestas por separado.

El triángulo de fasores: amplitud y retraso

La ecuación compleja dice que dos flechas suman una tercera. Dibujarlas convierte la amplitud y el retraso de fase en simple geometría.

Leyenda

$F_0/m$	La fuerza impulsora por unidad de masa, sobre el eje real.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\hat{x}$	Amplitud compleja del desplazamiento, que forma el ángulo $-\delta$ con la fuerza; dibujada a su propia escala.	$\mathrm{m}$
$({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$	Términos de resorte e inercia juntos: un múltiplo real de $\hat{x}$, así que apunta en la dirección de $\hat{x}$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$(2\beta \omega )i\hat{x}$	Término de amortiguamiento: $\hat{x}$ girado un cuarto de vuelta hacia delante por el factor $i$ y multiplicado por $2\beta \omega$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\delta$	Retraso del desplazamiento respecto de la fuerza: el ángulo entre $\hat{x}$ y $F_0/m$.	$\mathrm{rad}$

La figura 3 dibuja la ecuación en el plano complejo, para $\omega =0,75{\omega }_0$ y $\beta =0,25{\omega }_0$. La fuerza $F_0/m$ está sobre el eje real. La flecha dorada es $\hat{x}$, dibujada a su propia escala. El término del resorte ${\omega }_0^2\hat{x}$ y el término de inercia $-{\omega }^2\hat{x}$ son ambos múltiplos reales de $\hat{x}$, así que juntos forman la flecha verde $({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$, que apunta en la dirección de $\hat{x}$. El término de amortiguamiento $2\beta \omega i\hat{x}$ lleva de más el factor $i$, así que la flecha naranja forma un ángulo recto con la verde. La verde más la naranja tienen que dar la fuerza. La fuerza es, por tanto, la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y $\hat{x}$, que está sobre el cateto verde, se retrasa respecto de la fuerza en el ángulo $\delta$ entre ese cateto y la hipotenusa.

Al despejar $\hat{x}$ de la ecuación se obtiene
$\hat{x}=\frac{F_0/m}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega }$
Su módulo es la amplitud $A$, y su argumento es $-\delta$, donde $\delta$ es el retraso del desplazamiento respecto de la fuerza. El triángulo da ambos sin más álgebra. Sus catetos miden $({\omega }_0^2-{\omega }^2)A$ y $2\beta \omega A$ y su hipotenusa es $F_0/m$, así que el teorema de Pitágoras da la amplitud y el cociente de los catetos da el retraso:
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
$\tan \delta =\frac{2\beta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$
Cuando $\omega$ sube y pasa por ${\omega }_0$, $\delta$ sube de 0 a $180^{\circ }$. La figura 3 está dibujada por debajo de la resonancia, donde el cateto verde es positivo y $\delta$ es menor de $90^{\circ }$. Por encima de ${\omega }_0$ el factor ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ se vuelve negativo, la flecha verde apunta en contra de $\hat{x}$ y $\delta$ supera los $90^{\circ }$.

Cómo leer la curva de resonancia

Las dos fórmulas anteriores contienen toda la respuesta estacionaria. Representarlas frente a la frecuencia de la fuerza muestra dónde responde con fuerza el oscilador, lo aguda que es esa respuesta y qué hace la fase al pasar.

Leyenda

$A$	Amplitud estacionaria del desplazamiento.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Retraso del desplazamiento respecto de la fuerza.	$\mathrm{rad}$
$\omega$	Frecuencia angular de la fuerza.	$rad/s$
${\omega }_0$	Frecuencia angular natural: justo a la derecha del pico de amplitud, donde $\delta =\pi /2$.	$rad/s$
${\omega }_1$	Frecuencia de media potencia inferior, donde $\delta =\pi /4$.	$rad/s$
${\omega }_2$	Frecuencia de media potencia superior, donde $\delta =3\pi /4$.	$rad/s$
$\Delta \omega$	Anchura total a media potencia: ${\omega }_2-{\omega }_1=2\beta ={\omega }_0/Q$.	$rad/s$
$F_0/k$	Estiramiento estático: la amplitud para una fuerza que cambia muy despacio.	$\mathrm{m}$
$Q{F}_0/k$	Amplitud en ${\omega }_0$: $Q$ veces el estiramiento estático.	$\mathrm{m}$
$\pi /2$	Un cuarto de vuelta: el retraso en ${\omega }_0$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Media vuelta: el retraso muy por encima de ${\omega }_0$, donde el bloque se mueve en contra de la fuerza.	$\mathrm{rad}$

La figura 4 esboza la respuesta estacionaria de un bloque con $Q=3$: la amplitud $A(\omega )$ arriba y el retraso $\delta (\omega )$ abajo, sobre el mismo eje de frecuencias. El panel de resonancia de la animación representa $A(\omega )$ para el resorte sacudido, con $Q=5$ y $Q=1$. Allí el extremo superior del resorte se mueve $Y=2\mathrm{cm}$, lo que actúa sobre el bloque como una fuerza con $F_0/m={\omega }_0^{2}Y$, de modo que $F_0/k=Y$.

Lee las curvas de izquierda a derecha. Muy por debajo de ${\omega }_0$ domina el resorte: $A\approx F_0/k$, el estiramiento estático (2 cm en la animación), $\delta \approx 0$, y el bloque sigue a la placa que lo sacude. Muy por encima de ${\omega }_0$ domina la inercia: $A\approx F_0/(m{\omega }^2)$ baja por debajo del nivel discontinuo $F_0/k$, $\delta$ se acerca a $\pi$ y el bloque se mueve en contra de la fuerza. En ${\omega }_0$, justo a la derecha del pico, el resorte y la inercia se anulan y solo el amortiguamiento equilibra la fuerza: $A=Q{F}_0/k$ y $\delta =\pi /2$. La velocidad está entonces en fase con la fuerza, así que la fuerza impulsora hace trabajo positivo durante todo el ciclo. En la animación, la curva alta $Q=5$ llega a 10 cm, mientras que la curva baja y gris $Q=1$ da solo 2 cm en ${\omega }_0$.

La anchura del pico se mide con la potencia. En el régimen estacionario, la potencia media que se toma de la fuerza es igual a la potencia media que disipa el amortiguador, $P=\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$, que vale 0,125 W en resonancia para $Q=5$. Escribir ${\omega }^2{A}^2=(F_0/m{)}^2/[({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2/{\omega }^2+4{\beta }^2]$ muestra que $P$ tiene su máximo exactamente en ${\omega }_0$ y cae a la mitad donde $|{\omega }_0^2-{\omega }^2|=2\beta \omega$. Son las frecuencias ${\omega }_1$ y ${\omega }_2$ de la figura; para $Q=5$ valen 4,52 y 5,52 rad/s (0,72 y 0,88 Hz). Ahí los dos catetos del triángulo de la figura 3 son iguales, así que $\tan \delta =\pm 1$: la curva del retraso pasa por $\pi /4$ en ${\omega }_1$ y por $3\pi /4$ en ${\omega }_2$. La anchura total es
$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=2\beta =\frac{{\omega }_0}{Q}$
así que $Q$ mide también lo agudo que es el pico, ${\omega }_0/\Delta \omega$. El pico de la amplitud queda un poco por debajo de ${\omega }_0$, en $\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}\approx 4,95rad/s$, donde llega a 10,05 cm en lugar de 10 cm.

El punto sobre la curva de la animación muestra el arranque. La placa parte de su posición central y se mueve como $Y\sin {\omega }_{0}t$, mientras que el bloque parte del reposo. El desplazamiento estacionario se retrasa un cuarto de vuelta respecto del movimiento de la placa, lo que lo convierte en $-QY\cos {\omega }_{0}t$, y al principio el régimen transitorio lo anula, de modo que $x\approx -QY(1-e^{-\beta t})\cos {\omega }_{0}t$. La amplitud sube en una escala de tiempo $1/\beta =2\mathrm{s}$ y solo alcanza el 90 % del pico tras $\ln 10/\beta \approx 4,6\mathrm{s}$. Un pico estrecho y una extinción lenta son un mismo hecho visto dos veces: la anchura $2\beta$ por el tiempo de decaimiento $1/\beta$ vale siempre 2, así que un oscilador muy sintonizado tarda en responder.

Problema resuelto: sacudir a un ritmo equivocado

Sacude el mismo resorte ($F_0/m=0,5m/{\mathrm{s}}^2$, $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, ${\omega }_0^2=25{\mathrm{s}}^{-2}$, $b=1kg/s$) a 0,50 Hz y a 1,00 Hz, a un lado y a otro de su frecuencia natural de 0,80 Hz. Halla en cada caso la amplitud estacionaria, el retraso y la potencia media.

Por debajo de la resonancia, a 0,50 Hz: $\omega =2\pi f=\pi \approx 3,14rad/s$, así que ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-9,87=15,13{\mathrm{s}}^{-2}$ y $2\beta \omega =3,14{\mathrm{s}}^{-2}$. Entonces
$A=\frac{0,5}{\sqrt{15,13^2+3,14^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{3,14}{15,13},\delta \approx 12^{\circ }$
Por encima de la resonancia, a 1,00 Hz: $\omega =2\pi \approx 6,28rad/s$, así que ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-39,48=-14,48{\mathrm{s}}^{-2}$ y $2\beta \omega =6,28{\mathrm{s}}^{-2}$. El denominador negativo sitúa $\delta$ entre $90^{\circ }$ y $180^{\circ }$:
$A=\frac{0,5}{\sqrt{14,48^2+6,28^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{6,28}{-14,48},\delta \approx 157^{\circ }$

Ambas amplitudes rondan los 3,2 cm, un tercio de los 10 cm de resonancia. La diferencia está en la fase: a 0,50 Hz el bloque va acompasado con la placa, mientras que a 1,00 Hz se mueve casi en contra de ella. La potencia media $\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$ también difiere: unos 5 mW a 0,50 Hz y 20 mW a 1,00 Hz, frente a 125 mW en resonancia. Las amplitudes son iguales, pero la frecuencia se ha duplicado, así que la amplitud de la velocidad $\omega A$ a 1,00 Hz es el doble y la potencia, el cuádruple.

El arranque también cuenta. Si se parte del reposo, la oscilación libre a ${\omega }_d=4,97rad/s$ se suma al movimiento estacionario y produce con él pulsaciones de periodo $2\pi /|\omega -{\omega }_d|$, aquí 3,4 s y 4,8 s. Con la placa partiendo de su posición central, como en la animación, las primeras oscilaciones llegan por eso a 4,1 y 4,5 cm, más que los 3,2 cm estacionarios. Tras $3/\beta =6\mathrm{s}$ el régimen transitorio ha bajado a $e^{-3}$, alrededor del 5 %.

Más allá del amortiguamiento lineal

Todo lo anterior suponía una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad. El rozamiento real a menudo no lo es, y la forma del decaimiento indica qué ley actúa.

El rozamiento seco es una fuerza constante $\mu N$ en contra del movimiento, con $\mu$ el coeficiente de rozamiento y $N$ la fuerza normal. Mantiene el periodo en $2\pi /{\omega }_0$, pero recorta la amplitud en la misma cantidad $2\mu N/k$ en cada medio vaivén. El motivo: en un medio vaivén de $A_1$ a $A_2$, la energía que pierde el resorte, $\frac{1}{2}k(A_1^2-A_2^2)$, es igual al trabajo $\mu N(A_1+A_2)$ realizado contra el rozamiento. La envolvente es una línea recta, y el bloque se para en seco al cabo de un tiempo finito, cuando la fuerza del resorte ya no puede vencer al rozamiento. Con 0,1 N de rozamiento, el bloque de la animación perdería 8 mm por medio vaivén y se detendría tras 12 de ellos, unos 7,5 s. Un arrastre que crece como $v^2$ acaba deprisa con los vaivenes grandes y deja que persistan los pequeños, de modo que la amplitud cae aproximadamente como $1/(1+t/t_1)$, con un tiempo $t_1$ fijado por la amplitud inicial. Una prueba práctica: representa el logaritmo de la amplitud frente al tiempo. Solo el amortiguamiento lineal da una recta.

El resorte también puede ser no lineal. Un resorte que se endurece vibra más deprisa con amplitudes grandes, así que su curva de resonancia se inclina hacia las frecuencias altas, y al barrer la frecuencia de la fuerza la amplitud puede saltar entre dos valores estacionarios. También puede entrar energía sin una fuerza periódica. Impulsar un columpio poniéndose de pie y agachándose dos veces por ciclo cambia una propiedad del oscilador, su longitud efectiva, en lugar de empujarlo: es la resonancia paramétrica. Una cuerda frotada con un arco o el escape de un reloj aportan energía al compás del propio movimiento. Eso actúa como un amortiguamiento negativo, que agranda el vaivén hasta que la no linealidad lo limita. El puente de Tacoma Narrows, destruido en 1940, cedió por un aleteo autoexcitado de ese tipo en un viento constante, no por una simple resonancia con una fuerza periódica.

Límites de validez

El amortiguador lineal es exacto para una resistencia eléctrica, casi exacto para un freno de corrientes de Foucault y válido para un movimiento lento en un líquido viscoso (Fuerza de arrastre y velocidad terminal). Un resorte real es lineal solo para estiramientos pequeños (Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación). Además, la amplitud de resonancia tarda en formarse: la fuerza tiene que durar muchas veces $1/\beta =2Q/{\omega }_0$, que son 1,4 s para un diapasón con $Q\approx 2000$ a 440 Hz.

El amortiguamiento nunca viene solo. Las colisiones moleculares que drenan la energía también dan al bloque golpes al azar, de modo que un oscilador en equilibrio a la temperatura $T$ conserva una energía media $k_{B}T$, donde $k_B$ es la constante de Boltzmann. La mitad está en el resorte, así que el promedio de $\frac{1}{2}k{x}^2$ es $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, y el bloque tiembla en $\sqrt{k_{B}T/k}$ (valor cuadrático medio). Para el resorte de 25 N/m a 300 K son $1,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$, muy por debajo de cualquier cosa visible. Para una micropalanca de microscopio de fuerza atómica con $k=0,1N/m$ son 0,2 nm, un límite inferior para lo que el instrumento puede detectar. Este vínculo entre disipación y fuerza aleatoria es el teorema de fluctuación-disipación. Los efectos cuánticos llegan en escalones de $\hslash {\omega }_0\approx 5\times 10^{-34}\mathrm{J}$; frente a los 0,125 J del bloque son totalmente despreciables, y solo importan para moléculas, átomos y microrresonadores muy fríos.

Lo que viene después

Con la carga $q$ en lugar de $x$, la misma ecuación describe un circuito en serie, $L\ddot{q}+R\dot{q}+q/C=V_0\cos \omega t$. La inductancia $L$, la resistencia $R$ y $1/C$ hacen el papel de $m$, $b$ y $k$, de modo que ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ y $Q={\omega }_{0}L/R$. Una radio que separe emisoras de onda media espaciadas 10 kHz, cerca de 1 MHz, necesita una anchura ${\omega }_0/Q$ no mayor que esa separación, es decir, un factor $Q$ del orden de 100; véanse Condensadores, Inducción electromagnética y Ondas electromagnéticas.

La luz excita de la misma manera a los electrones ligados en los átomos. Por debajo de sus resonancias ultravioletas, la respuesta crece con la frecuencia, y por eso el vidrio desvía más la luz violeta que la roja (Prismas, dispersión y color); en una resonancia se absorbe energía, como hacen los iones de un cristal de sal en el infrarrojo. La misma curva, cada vez con su propia ${\omega }_0$ y su propio factor $Q$, se ajusta a las mareas atmosféricas, a los modos de Ondas estacionarias y a los núcleos de un aparato de resonancia magnética. En física cuántica, el producto de la anchura por el tiempo de decaimiento reaparece como el vínculo entre la anchura de una línea espectral y la vida media del estado que la emite.