Amortissement et résonance

Débutant

Tout ce qui peut se balancer ou rebondir possède une fréquence propre : son rythme à lui, le nombre d'allers-retours qu'il fait chaque seconde quand on le laisse libre. Un pendule court oscille plus vite qu'un long, et un bloc rebondit plus vite sur un ressort raide que sur un ressort mou.

Étape 1 : l'amortissement. Lancez une balançoire et laissez-la : chaque aller-retour est un peu plus petit que le précédent. La résistance de l'air et les frottements prennent un peu d'énergie à chaque passage et la transforment en chaleur, d'autant plus que l'objet va vite. Cet affaiblissement s'appelle l'amortissement.

Étape 2 : quel amortissement ? Dans l'animation, trois blocs identiques pendent à des ressorts identiques ; on les tire vers le bas et on les lâche ensemble. À gauche, dans l'air (amortissement faible), le bloc rebondit souvent, de moins en moins haut. À droite, dans un sirop épais (amortissement fort), il ne dépasse jamais l'équilibre, mais y revient très lentement. Au milieu, dans un liquide plus fluide, l'amortissement suffit tout juste à empêcher les rebonds. C'est l'amortissement critique, et son étiquette « au repos » apparaît la première. Amortisseurs de voiture et ferme-portes sont réglés près de ce point.

Étape 3 : la résonance. De petites poussées au rythme propre apportent chacune de l'énergie au bon moment : le mouvement grandit. À droite, on secoue doucement le haut d'un ressort à son propre rythme, et le bloc finit par bouger bien plus que la secousse. L'amortissement limite cette croissance.

Testez-vous : une machine à laver tremble fort quelques secondes quand son tambour accélère, puis se calme à pleine vitesse. Pourquoi ?
Réponse : en accélérant, le tambour passe par la fréquence propre de la machine et la secoue un instant en rythme : c'est la résonance.

Intermédiaire

Deux forces : le ressort et l'amortisseur

Un bloc au bout d'un ressort, tiré puis lâché, subit deux forces : la force de rappel du ressort, $-kx$, dirigée vers la position d'équilibre, et une force d'amortissement qui s'oppose au mouvement, comme la traînée d'un liquide ou celle de l'huile d'un amortisseur. Pour un mouvement lent dans un liquide, la force d'amortissement est à peu près proportionnelle à la vitesse ; la force résultante vaut donc
$F=-kx-bv$

Le coefficient d'amortissement $b$ s'exprime en kilogrammes par seconde (kg/s, ce qui équivaut à des N·s/m). Les deux forces sont maximales à des moments différents : celle du ressort aux extrémités de la course, où le bloc s'arrête un instant, celle de l'amortisseur quand le bloc va le plus vite, ce qui, pour un amortissement faible, se produit près de l'équilibre.

Dans l'animation, les flèches dorées représentent $-bv$ ; elles s'inversent chaque fois qu'un bloc fait demi-tour. Le bloc de droite, dans un sirop épais avec $b=30kg/s$, a la flèche la plus longue alors qu'il se déplace le plus lentement : à sa vitesse maximale, 0,077 m/s, la force d'amortissement $30\cdot 0,077\approx 2,3\mathrm{N}$ équilibre exactement la traction du ressort.

Amortissement faible : une décroissance exponentielle

Avec un amortissement faible, le bloc garde presque son rythme naturel, mais chaque oscillation est plus petite que la précédente dans le même rapport, car une force d'amortissement qui croît avec la vitesse prélève à chaque cycle une fraction fixe de l'énergie restante. C'est une décroissance exponentielle, $A=A_0{e}^{-\beta t}$, avec
$\beta =\frac{b}{2m},{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
Le taux d'amortissement $\beta$ s'exprime en s⁻¹ : au bout d'une durée $1/\beta$, l'amplitude est tombée à $1/e$, soit environ 37 %, et elle est divisée par deux toutes les $\ln 2/\beta$. Ici ${\omega }_0$ est la pulsation propre. Le mouvement complet est un cosinus à l'intérieur de l'enveloppe qui se resserre :
$x=A_0{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi ),{\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$

L'amortisseur retient un peu le bloc : la pseudo-pulsation ${\omega }_d$ est donc légèrement inférieure à ${\omega }_0$. Le facteur de qualité mesure la faiblesse de l'amortissement :
$Q=\frac{{\omega }_0}{2\beta }=\frac{m{\omega }_0}{b}$
Chaque cycle multiplie l'amplitude par environ $e^{-\pi /Q}$ ; après $Q$ cycles, il ne reste donc que $e^{-\pi }$ de l'amplitude, soit environ 4 %. Un diapason, dont le $Q$ se compte en milliers, sonne pendant plusieurs secondes après un seul coup.

Amortissement faible, critique et fort

Quand $b$ augmente, la décroissance s'accélère, jusqu'à une valeur critique pour laquelle le bloc ne dépasse plus l'équilibre :
$b_c=2\sqrt{km}=2m{\omega }_0$
On a alors $\beta ={\omega }_0$, et ${\omega }_d$ tombe à zéro. En comparant $b$ et $b_c$, on distingue trois types de mouvement :

• $b<b_c$, amortissement faible : le bloc dépasse l'équilibre encore et encore, avec des oscillations qui s'éteignent exponentiellement.
• $b=b_c$, amortissement critique : le retour le plus rapide possible à l'équilibre, sans aucun dépassement.
• $b>b_c$, amortissement fort : pas de dépassement non plus, mais l'amortisseur résiste si fort que le bloc revient lentement.

Un amortissement trop fort est lent pour la même raison qu'une cuillère est lente dans du miel : la force d'amortissement égale vite la traction du ressort, ce qui limite la vitesse à environ $kx/b$. Triplez $b$ et le bloc revient en rampant trois fois moins vite.

Exemple résolu : les trois blocs de l'animation

Les trois blocs ont $m=1\mathrm{kg}$ et $k=25N/m$ ; chacun est tiré de 10 cm vers le bas puis lâché sans vitesse :
${\omega }_0=\sqrt{25/1}=5rad/s,b_c=2\sqrt{25\cdot 1}=10kg/s$
soit $f_0\approx 0,80\mathrm{Hz}$, un cycle toutes les 1,26 s. Le bloc du milieu est exactement critique ; celui de droite a trois fois $b_c$, celui de gauche un dixième. Pour le bloc de gauche,
$\beta =\frac{1}{2\cdot 1}=0,5{\mathrm{s}}^{-1},Q=\frac{5}{2\cdot 0,5}=5$

Au bout de 3 s, son amplitude vaut $10\mathrm{cm}\cdot e^{-0,5\cdot 3}\approx 2,2\mathrm{cm}$, la valeur de l'affichage bleu $A$ quand l'affichage $t$, qui démarre au lâcher, indique 3 s. L'amplitude est divisée par deux toutes les $\ln 2/0,5\approx 1,4\mathrm{s}$, chaque cycle la multiplie par $e^{-\pi /5}\approx 0,53$, et après 5 cycles, soit environ 6,3 s, il n'en reste que 4 %. Chaque bloc reste à moins de 4 mm de sa ligne d'équilibre en pointillés au bout d'environ 1,0 s (critique), 3,8 s (fort) et 6,4 s (faible).

Résonance : des poussées en phase avec le mouvement

Excitons maintenant l'oscillateur avec une force périodique $F_0\cos \omega t$. Une fois le démarrage passé, il oscille régulièrement à la fréquence excitatrice, avec l'amplitude
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
Loin de ${\omega }_0$, la réponse est faible ; près de ${\omega }_0$, l'amplitude grimpe brusquement : c'est la résonance. En ${\omega }_0$, la force du ressort et l'inertie se compensent, et l'excitation n'a plus qu'à équilibrer l'amortissement :
$A({\omega }_0)=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{Q{F}_0}{k}$
Une force constante étirerait le ressort de $F_0/k$ ; appliquée en rythme, elle déplace le bloc $Q$ fois plus loin. À la résonance, le bloc a un quart de cycle de retard sur la poussée : il va donc le plus vite quand la poussée est la plus forte, et chaque poussée fournit un travail positif.

À droite de l'animation, le haut d'un ressort identique, faiblement amorti, est secoué avec une amplitude $Y=2\mathrm{cm}$, exactement à $f_0=0,80\mathrm{Hz}$. Déplacer le haut d'un ressort de $y$ change sa traction de $ky$ ; la secousse agit donc comme une force $F_0=kY=25\cdot 0,02=0,5\mathrm{N}$, et
$A=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{0,5}{1\cdot 5}=0,10\mathrm{m}$
soit $QY=10\mathrm{cm}$. L'affichage $A$ du bloc excité y monte lentement, à peu près comme $QY(1-e^{-\beta t})$ : environ 6 cm après 2 s de secousses, 9 cm après 4,6 s et 9,9 cm à la fin de la boucle.

Exemple résolu : une voiture à l'amortisseur usé

Au niveau d'une roue, la suspension d'une voiture porte environ 400 kg sur un ressort de raideur $k=40000N/m$ :
${\omega }_0=\sqrt{40000/400}=10rad/s,b_c=2\sqrt{40000\cdot 400}=8000kg/s$
si bien que la caisse rebondit à environ 1,6 Hz. Un amortisseur en bon état, réglé un peu en dessous de $b_c$, laisse la caisse dépasser une fois l'équilibre après une bosse. Un amortisseur usé, avec $b=800kg/s$, donne $\beta =800/(2\cdot 400)=1,0{\mathrm{s}}^{-1}$ et $Q=10/(2\cdot 1,0)=5$, comme le bloc de gauche de l'animation. Un rebond de 4 cm est alors divisé par deux toutes les 0,7 s et vaut encore $4\cdot e^{-2}\approx 0,5\mathrm{cm}$ au bout de 2 s, trois rebonds plus tard.

La route peut aussi exciter la voiture. Des ondulations de la chaussée espacées de $d=10\mathrm{m}$ secouent la roue $v/d$ fois par seconde, ce qui correspond à la fréquence propre de 1,59 Hz pour $v\approx 16m/s$, soit environ 57 km/h. À cette vitesse, la voiture usée oscille avec une amplitude environ $Q=5$ fois supérieure à celle des ondulations et semble flotter.

Erreurs fréquentes

• Plus d'amortissement n'est pas toujours plus rapide : le bloc de droite, à trois fois $b_c$, met environ 3,8 s à se stabiliser, le bloc critique seulement 1,0 s.
• Un amortissement faible change l'amplitude, pas le rythme : avec $Q=5$, la période passe seulement de 1,257 s à 1,263 s.
• Le temps $1/\beta$ n'est pas une demi-vie : avec $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, l'amplitude tombe à 37 % en 2 s et est divisée par deux en 1,4 s ; l'énergie, qui varie comme $A^2$, est divisée par deux en 0,7 s.
• La résonance n'est pas infinie : l'amortissement plafonne l'amplitude à $Q{F}_0/k$, soit 10 cm pour le ressort secoué, valeur pour laquelle les 0,125 W fournis par l'excitation égalent les pertes de l'amortisseur.
• La valeur critique est $2\sqrt{km}$, et non $\sqrt{km}$ : oublier le 2 donne 5 kg/s au lieu de 10 kg/s pour les blocs.

Où on le rencontre

Un amortissement proche du critique équipe les ferme-portes, les aiguilles des instruments de mesure et les suspensions de voiture ; près du sommet de la tour Taipei 101, un pendule d'acier d'environ 660 tonnes oscille à contretemps des balancements de l'immeuble. On met la résonance à profit dans les montres à quartz, dont le cristal vibre à 32 768 Hz, dans les instruments de musique et dans l'accord des postes de radio. Il faut l'éviter dans les ouvrages : la passerelle du Millénaire, à Londres, a oscillé latéralement les premiers jours de son ouverture, en 2000, parce que les piétons se mettaient au pas avec elle. La même équation régit les circuits faits des composants étudiés dans Condensateurs et Induction électromagnétique, ainsi que chaque mode dans Ondes stationnaires.

Avancé

L'équation du mouvement libre

L'amortissement désigne toute force qui draine l'énergie d'une vibration : l'air, l'huile, un aimant qui freine une plaque métallique. Cette partie établit tous les mouvements libres possibles d'un bloc amorti au bout d'un ressort. Ils comptent doublement : ce sont eux qui décrivent comment un système perturbé se calme, et ils forment aussi le régime transitoire dont tout oscillateur forcé doit se débarrasser avant d'atteindre son régime permanent.

Prenons un bloc de masse $m$ au bout d'un ressort de raideur $k$, avec un amortisseur qui s'oppose à la vitesse par la force $-b\dot{x}$. Ici $x$ est l'écart à l'équilibre et $b$ le coefficient d'amortissement. La deuxième loi de Newton donne $m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$. Divisons par $m$ et nommons deux rapports, le taux d'amortissement $\beta =b/(2m)$ et la pulsation propre ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$. L'équation prend sa forme canonique
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$
Le facteur 2 est une convention qui évite des moitiés dans les racines ci-dessous.

L'équation est linéaire et ses coefficients ne dépendent pas du temps. L'exponentielle est la seule fonction dont la dérivée est un multiple d'elle-même : essayons donc $x=e^{st}$, avec une constante $s$ éventuellement complexe. Chaque dérivation par rapport au temps revient alors à multiplier par $s$. Tous les termes portent le même facteur $e^{st}$ ; en le simplifiant, il reste l'équation caractéristique $s^2+2\beta s+{\omega }_0^2=0$. La formule du second degré donne ses deux racines :
$s_1=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2},s_2=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$
L'équation étant linéaire, toute somme $c_1{e}^{s_{1}t}+c_2{e}^{s_{2}t}$ est encore solution, et les deux constantes sont fixées par la position et la vitesse initiales. Tout le mouvement libre se décide donc par la position des deux racines.

L'animation utilise $m=1\mathrm{kg}$ et $k=25N/m$, d'où ${\omega }_0=5rad/s$ (0,80 Hz), avec trois amortisseurs, $b=1$, 10 et $30kg/s$, soit $\beta =0,5$, 5 et $15{\mathrm{s}}^{-1}$.

Trois sortes de mouvement libre

Qu'un bloc lâché oscille de part et d'autre de l'équilibre ou y revienne lentement dépend seulement du signe de ${\beta }^2-{\omega }_0^2$ sous la racine. Une carte des racines montre les trois cas d'un coup, et aussi quel amortissement ramène le bloc le plus vite.

Légende

$s_1$	Racine avec le signe plus : le point bleu du haut, puis, sur l'axe réel, celle qui revient vers 0.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$s_2$	Racine avec le signe moins : le point bleu du bas, puis, sur l'axe réel, celle qui s'éloigne de 0.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$\beta$	Taux d'amortissement $b/(2m)$ : l'opposé de la partie réelle de la paire, sa distance à gauche de l'axe vertical.	${\mathrm{s}}^{-1}$
${\omega }_d$	Pseudo-pulsation $\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$ : la partie imaginaire de $s_1$, la hauteur du point du haut.	$rad/s$
${\omega }_0$	Pulsation propre $\sqrt{k/m}$ : le rayon de l'arc ; les deux racines se rejoignent en $-{\omega }_0$.	$rad/s$

La figure 1 représente le plan complexe de $s$ : partie réelle sur l'axe horizontal, partie imaginaire sur l'axe vertical. Un seul nombre trie les cas, le rapport d'amortissement $\zeta =\beta /{\omega }_0$. Il est égal à $b/b_c$, où $b_c=2\sqrt{km}$ est le coefficient d'amortissement critique, la valeur de $b$ pour laquelle $\beta ={\omega }_0$. Dans l'animation, $b_c=10kg/s$ : les trois blocs ont donc $\zeta =0,1$ ; 1 et 3.

Amortissement faible, $\zeta <1$. Le nombre sous la racine est négatif : les racines forment la paire complexe $-\beta \pm i{\omega }_d$, les deux points bleus, avec la pseudo-pulsation ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$. Comme $e^{(-\beta \pm i{\omega }_d)t}=e^{-\beta t}{e}^{\pm i{\omega }_{d}t}$, la partie réelle $-\beta$ fixe la décroissance et la partie imaginaire $\pm {\omega }_d$ fixe l'oscillation. En combinant les deux exponentielles pour que $x$ soit réel, on obtient
$x=C{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi )$
une oscillation à l'intérieur d'une enveloppe qui rétrécit en $e^{-\beta t}$ ; les constantes $C$ et $\phi$ viennent de la position et de la vitesse initiales. Regardez maintenant le triangle rectangle, tracé pour $\zeta =0,6$. Son côté horizontal vaut $\beta$, son côté vertical ${\omega }_d$, et son hypoténuse $\sqrt{{\beta }^2+{\omega }_d^2}={\omega }_0$. Une racine complexe se trouve donc toujours à la distance ${\omega }_0$ de l'origine. Quand $b$ augmente, la paire se déplace le long de l'arc bleu de rayon ${\omega }_0$, la racine du haut vers le bas et celle du bas vers le haut, en direction de l'axe réel.

Amortissement critique, $\zeta =1$. Les deux racines se rejoignent en $-{\omega }_0$. Une racine double ne fournit qu'une exponentielle, $e^{-{\omega }_{0}t}$ ; la deuxième solution indépendante est $t{e}^{-{\omega }_{0}t}$, comme on le vérifie en la reportant dans l'équation.

Amortissement fort, $\zeta >1$. La racine carrée est maintenant réelle et inférieure à $\beta$ : les deux racines sont réelles et négatives. Quand $b$ augmente, $s_1$ revient vers 0 et $s_2$ part vers la gauche. Rien n'oscille : le bloc revient lentement.

Le graphe $x(t)$ de la vue experte de l'animation reprend le bleu, le vert et le violet de la figure 1 et montre les trois blocs lâchés sans vitesse depuis $-10\mathrm{cm}$ ; appelons cette distance de lâcher $A_0=10\mathrm{cm}$. Le bleu ($\zeta =0,1$, $s=-0,5\pm 4,97i{\mathrm{s}}^{-1}$) dépasse l'équilibre jusqu'à $+7,3\mathrm{cm}$ une demi-période après le lâcher, à 0,63 s. Le vert ($\zeta =1$) suit $x=-A_0(1+{\omega }_{0}t)e^{-{\omega }_{0}t}$ et se trouve à moins de 4 mm de zéro au bout d'environ 1,0 s. Le violet ($\zeta =3$) a pour racines $-0,86$ et $-29,1{\mathrm{s}}^{-1}$. Son terme rapide, $e^{-29,1t}$, disparaît en moins d'un dixième de seconde. La racine lente, voisine de $-{\omega }_0^2/(2\beta )$ quand l'amortissement est fort, laisse un lent retour avec une constante de temps de 1,2 s.

Quel amortissement ramène le bloc le plus vite ? Une somme d'exponentielles ne s'éteint qu'aussi vite que son terme le plus lent, celui dont la racine est la plus proche de l'axe vertical sur la figure 1. En dessous de l'amortissement critique, cette distance vaut $\beta$, qui croît avec $b$ tandis que la paire glisse vers la gauche le long de l'arc. Au-dessus, elle vaut $|s_1|$, qui diminue quand $b$ augmente, car $s_1$ revient vers 0. Les deux tendances se rejoignent en $\zeta =1$ : la racine la plus proche y est aussi loin à gauche que possible, et le taux de décroissance atteint sa plus grande valeur, ${\omega }_0$. Si un petit dépassement est acceptable, un peu moins d'amortissement est encore plus rapide. Pour $\zeta =0,75$, le bloc reste à moins de 4 mm de zéro au bout de 0,64 s, ce qui explique que les aiguilles d'instruments soient souvent réglées un peu en dessous du critique.

L'énergie et le sens de Q

Les racines disent à quelle vitesse le mouvement décroît ; l'énergie dit pourquoi. Elle donne aussi le nombre que les ingénieurs citent pour tout oscillateur, le facteur de qualité $Q$.

Légende

$x$	Écart du bloc à l'équilibre.	$\mathrm{m}$
$t$	Temps écoulé depuis le lâcher.	$\mathrm{s}$
$E$	Énergie stockée, cinétique plus élastique : $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$.	$\mathrm{J}$
$E_0$	Énergie au lâcher, entièrement dans le ressort : $\frac{1}{2}k{A}_0^2$.	$\mathrm{J}$
$e^{-2\beta t}$	Facteur de décroissance de la courbe en pointillés $E_0{e}^{-2\beta t}$, que l'énergie touche à chaque extrémité de la course.
$dE/dt$	Variation de l'énergie par unité de temps, $-b{\dot{x}}^2$ : la plus grande en valeur absolue là où le bloc va le plus vite, nulle à une extrémité de la course.	$\mathrm{W}$
$T_d$	Pseudo-période $2\pi /{\omega }_d$ : un cycle complet, l'intervalle vert.	$\mathrm{s}$

La figure 2 suit le bloc faiblement amorti de l'animation ($\zeta =0,1$), lâché sans vitesse en $x=-A_0$ : sa position $x(t)$ en haut et son énergie stockée $E$ en bas, sur le même axe des temps. Pour lire le panneau du bas, cherchons d'abord à quel rythme $E$ varie. Multiplions l'équation du mouvement, $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$, par $\dot{x}$. Le produit $m\ddot{x}\dot{x}$ est la dérivée par rapport au temps de $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$, et $kx\dot{x}$ celle de $\frac{1}{2}k{x}^2$. Les termes d'inertie et de rappel forment donc ensemble la dérivée de $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, et il reste
$\frac{dE}{dt}=-b{\dot{x}}^2$
L'amortisseur retire l'énergie au rythme $b{\dot{x}}^2$. Ce débit n'est jamais négatif, et il s'annule chaque fois que le bloc s'arrête un instant.

Regardez maintenant le panneau du bas. L'énergie ne s'écoule que pendant que le bloc bouge : $E$ décroît donc en marches d'escalier. Chaque point marque une extrémité de la course, où $\dot{x}=0$ et où toute l'énergie est dans le ressort ; la pente de $E$ y est nulle et la courbe y est plate. La tangente marquée $dE/dt$ touche la partie la plus raide de la première chute, là où le bloc va le plus vite, juste avant de passer par l'équilibre. À une extrémité de la course, $|x|=A_0{e}^{-\beta t}$ : l'énergie y vaut donc $\frac{1}{2}k{A}_0^2{e}^{-2\beta t}$. Les paliers se trouvent par conséquent exactement sur la courbe en pointillés $E_0{e}^{-2\beta t}$, avec $E_0=\frac{1}{2}k{A}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,10^2=0,125\mathrm{J}$. Entre deux extrémités, $E$ s'écarte d'environ 10 % au-dessus et au-dessous de cette courbe. D'une extrémité à la suivante, soit une demi-pseudo-période $T_d/2$, l'énergie est multipliée par $e^{-\beta T_d}\approx 0,53$.

En lissant les marches, on obtient une loi simple. Sur un cycle faiblement amorti, le mouvement est presque $A\cos {\omega }_{0}t$, avec une amplitude $A$ qui diminue lentement. La moyenne de ${\dot{x}}^2$ sur le cycle vaut alors $\frac{1}{2}{\omega }_0^2{A}^2$, tandis que $E=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2$. La moyenne de $b{\dot{x}}^2$ vaut donc $(b/m)E=2\beta E$, et
$\frac{dE}{dt}=-2\beta E$
L'énergie décroît en $e^{-2\beta t}$. Comme l'énergie varie comme le carré de l'amplitude, l'amplitude décroît deux fois moins vite, en $e^{-\beta t}$, exactement comme l'annonçaient les racines.

Le facteur de qualité est défini par $Q={\omega }_0/(2\beta )$. Avec lui, la loi s'écrit $dE/dt=-{\omega }_{0}E/Q$. Le bloc parcourt un radian de phase en une durée $1/{\omega }_0$ ; pendant ce temps, il perd donc la fraction $1/Q$ de son énergie : $Q$ est l'énergie stockée divisée par l'énergie perdue par radian. Un oscillateur de grand $Q$ vibre pendant de nombreux cycles ; le bloc faiblement amorti n'a que $Q=5$. Une règle bien connue dit que la fraction perdue par cycle vaut $2\pi /Q$. Ici, cela ferait 126 %, ce qui est impossible : la règle n'est que le premier terme de l'expression exacte $1-e^{-2\pi /Q}$, valable seulement pour un grand $Q$. La loi exponentielle elle-même est exacte d'un cycle au suivant. Sur une pseudo-période $T_d=2\pi /{\omega }_d=1,263\mathrm{s}$, l'intervalle vert de la figure 2, l'énergie conserve la fraction $e^{-2\beta T_d}\approx 0,28$ : 72 % sont donc perdus dès le premier cycle.

L'oscillateur forcé

Poussons maintenant le bloc avec une force périodique $F_0\cos \omega t$. C'est la situation d'une membrane de haut-parleur, d'un pont dans un vent en rafales ou d'un électron dans une onde lumineuse, et les questions sont de savoir quelle est l'ampleur de la réponse et de combien elle est en retard. L'équation du mouvement acquiert un second membre :
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=(F_0/m)\cos \omega t$
L'équation étant linéaire, sa solution générale est une solution particulière quelconque plus le mouvement libre trouvé plus haut. La partie libre s'éteint, en $e^{-\beta t}$ pour un amortissement faible ; on l'appelle le régime transitoire. Ce qui reste est le régime permanent, qui oscille à la pulsation excitatrice $\omega$, et non à ${\omega }_0$.

Les nombres complexes donnent vite le régime permanent. Écrivons la force comme la partie réelle de $F_0{e}^{i\omega t}$ et cherchons $x$ comme la partie réelle de $\hat{x}{e}^{i\omega t}$, où l'amplitude complexe $\hat{x}$ est une constante à déterminer. Prendre la partie réelle commute avec l'addition, la dérivation et la multiplication par des nombres réels : on peut donc résoudre l'équation complexe et ne prendre la partie réelle qu'à la fin. Chaque $d/dt$ agissant sur $e^{i\omega t}$ devient un facteur $i\omega$. Multiplier par $i$ revient à tourner d'un quart de tour dans le plan complexe : la vitesse est donc en avance de 90° sur le déplacement. L'équation différentielle devient de l'algèbre :
$({\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega )\hat{x}=F_0/m$
L'astuce exige la linéarité : un terme en $x^2$ mélangerait parties réelle et imaginaire, et la partie réelle de la réponse complexe ne serait plus solution de l'équation réelle. La linéarité donne aussi la superposition : une force composée de nombreuses fréquences produit la somme des réponses séparées.

Le triangle de Fresnel : amplitude et retard

L'équation complexe dit que deux flèches s'additionnent pour en donner une troisième. Les dessiner transforme l'amplitude et le retard de phase en simple géométrie.

Légende

$F_0/m$	L'excitation, force par unité de masse, portée par l'axe réel.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\hat{x}$	Amplitude complexe du déplacement, à l'angle $-\delta$ de l'excitation ; tracée à sa propre échelle.	$\mathrm{m}$
$({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$	Termes de rappel et d'inertie réunis : un multiple réel de $\hat{x}$, donc dirigé selon $\hat{x}$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$(2\beta \omega )i\hat{x}$	Terme d'amortissement : $\hat{x}$ tourné d'un quart de tour en avance par le facteur $i$ et multiplié par $2\beta \omega$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\delta$	Retard du déplacement sur l'excitation : l'angle entre $\hat{x}$ et $F_0/m$.	$\mathrm{rad}$

La figure 3 dessine l'équation dans le plan complexe, pour $\omega =0,75{\omega }_0$ et $\beta =0,25{\omega }_0$. L'excitation $F_0/m$ est portée par l'axe réel. La flèche dorée est $\hat{x}$, tracée à sa propre échelle. Le terme de rappel ${\omega }_0^2\hat{x}$ et le terme d'inertie $-{\omega }^2\hat{x}$ sont tous deux des multiples réels de $\hat{x}$ : ensemble, ils forment la flèche verte $({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$, dirigée selon $\hat{x}$. Le terme d'amortissement $2\beta \omega i\hat{x}$ porte en plus le facteur $i$ : la flèche orange est donc perpendiculaire à la verte. La verte plus l'orange doivent donner l'excitation. L'excitation est donc l'hypoténuse d'un triangle rectangle, et $\hat{x}$, porté par le côté vert, est en retard sur l'excitation de l'angle $\delta$ entre ce côté et l'hypoténuse.

En résolvant l'équation pour $\hat{x}$, on obtient
$\hat{x}=\frac{F_0/m}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega }$
Son module est l'amplitude $A$, et son argument vaut $-\delta$, où $\delta$ est le retard du déplacement sur la force. Le triangle donne les deux sans autre calcul. Les côtés de son angle droit mesurent $({\omega }_0^2-{\omega }^2)A$ et $2\beta \omega A$, et son hypoténuse $F_0/m$ : le théorème de Pythagore donne l'amplitude, et le rapport des deux côtés donne le retard :
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
$\tan \delta =\frac{2\beta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$
Quand $\omega$ croît en franchissant ${\omega }_0$, $\delta$ passe de 0 à $180^{\circ }$. La figure 3 est tracée en dessous de la résonance, où le côté vert est positif et $\delta$ inférieur à $90^{\circ }$. Au-dessus de ${\omega }_0$, le facteur ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ devient négatif, la flèche verte pointe à l'opposé de $\hat{x}$, et $\delta$ dépasse $90^{\circ }$.

Lire la courbe de résonance

Les deux formules ci-dessus contiennent toute la réponse permanente. Les tracer en fonction de la fréquence excitatrice montre où l'oscillateur répond fortement, à quel point cette réponse est pointue, et ce que fait la phase au passage.

Légende

$A$	Amplitude permanente du déplacement.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Retard du déplacement sur l'excitation.	$\mathrm{rad}$
$\omega$	Pulsation de l'excitation.	$rad/s$
${\omega }_0$	Pulsation propre : juste à droite du pic d'amplitude, là où $\delta =\pi /2$.	$rad/s$
${\omega }_1$	Pulsation de mi-puissance inférieure, où $\delta =\pi /4$.	$rad/s$
${\omega }_2$	Pulsation de mi-puissance supérieure, où $\delta =3\pi /4$.	$rad/s$
$\Delta \omega$	Largeur totale à mi-puissance : ${\omega }_2-{\omega }_1=2\beta ={\omega }_0/Q$.	$rad/s$
$F_0/k$	Allongement statique : l'amplitude pour une excitation qui varie très lentement.	$\mathrm{m}$
$Q{F}_0/k$	Amplitude en ${\omega }_0$ : $Q$ fois l'allongement statique.	$\mathrm{m}$
$\pi /2$	Un quart de tour : le retard en ${\omega }_0$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Un demi-tour : le retard bien au-dessus de ${\omega }_0$, où le bloc se déplace à l'opposé de l'excitation.	$\mathrm{rad}$

La figure 4 esquisse la réponse permanente d'un bloc de $Q=3$ : l'amplitude $A(\omega )$ en haut et le retard $\delta (\omega )$ en bas, sur le même axe des fréquences. Le panneau de résonance de l'animation trace $A(\omega )$ pour le ressort secoué, avec $Q=5$ et $Q=1$. Le haut du ressort y est déplacé de $Y=2\mathrm{cm}$, ce qui agit sur le bloc comme une force avec $F_0/m={\omega }_0^{2}Y$, d'où $F_0/k=Y$.

Lisez les courbes de gauche à droite. Bien en dessous de ${\omega }_0$, le ressort domine : $A\approx F_0/k$, l'allongement statique (2 cm dans l'animation), $\delta \approx 0$, et le bloc suit l'excitateur. Bien au-dessus de ${\omega }_0$, l'inertie domine : $A\approx F_0/(m{\omega }^2)$ descend sous le niveau $F_0/k$ en pointillés, $\delta$ tend vers $\pi$, et le bloc se déplace à l'opposé de l'excitation. En ${\omega }_0$, juste à droite du pic, ressort et inertie se compensent et seul l'amortissement équilibre l'excitation : $A=Q{F}_0/k$ et $\delta =\pi /2$. La vitesse est alors en phase avec la force, et l'excitation fournit un travail positif pendant tout le cycle. Dans l'animation, la haute courbe $Q=5$ atteint 10 cm, tandis que la courbe grise et basse $Q=1$ ne donne que 2 cm en ${\omega }_0$.

La largeur du pic se mesure avec la puissance. En régime permanent, la puissance moyenne prise à l'excitation est égale à la puissance moyenne dissipée par l'amortisseur, $P=\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$, qui vaut 0,125 W à la résonance pour $Q=5$. En écrivant ${\omega }^2{A}^2=(F_0/m{)}^2/[({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2/{\omega }^2+4{\beta }^2]$, on voit que $P$ est maximale exactement en ${\omega }_0$ et tombe à la moitié là où $|{\omega }_0^2-{\omega }^2|=2\beta \omega$. Ce sont les pulsations ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$ de la figure ; pour $Q=5$, elles valent 4,52 et 5,52 rad/s (0,72 et 0,88 Hz). Les deux côtés de l'angle droit du triangle de la figure 3 y sont égaux, donc $\tan \delta =\pm 1$ : la courbe du retard passe par $\pi /4$ en ${\omega }_1$ et par $3\pi /4$ en ${\omega }_2$. La largeur totale vaut
$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=2\beta =\frac{{\omega }_0}{Q}$
de sorte que $Q$ mesure aussi l'acuité du pic, ${\omega }_0/\Delta \omega$. Le pic d'amplitude lui-même se situe un peu en dessous de ${\omega }_0$, en $\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}\approx 4,95rad/s$, où il atteint 10,05 cm au lieu de 10 cm.

Le point sur la courbe de l'animation montre la montée en régime. L'excitateur part de sa position centrale et se déplace selon $Y\sin {\omega }_{0}t$, tandis que le bloc part du repos. Le déplacement permanent est en retard d'un quart de tour sur le mouvement de l'excitateur, ce qui le rend égal à $-QY\cos {\omega }_{0}t$, et au début le régime transitoire l'annule, de sorte que $x\approx -QY(1-e^{-\beta t})\cos {\omega }_{0}t$. L'amplitude croît sur l'échelle de temps $1/\beta =2\mathrm{s}$ et n'atteint 90 % du pic qu'au bout de $\ln 10/\beta \approx 4,6\mathrm{s}$. Un pic étroit et une longue extinction sont un seul et même fait vu deux fois : la largeur $2\beta$ multipliée par le temps de décroissance $1/\beta$ vaut toujours 2, de sorte qu'un oscillateur très sélectif répond lentement.

Problème résolu : secouer au mauvais rythme

Secouez le même ressort ($F_0/m=0,5m/{\mathrm{s}}^2$, $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, ${\omega }_0^2=25{\mathrm{s}}^{-2}$, $b=1kg/s$) à 0,50 Hz puis à 1,00 Hz, de part et d'autre de sa fréquence propre de 0,80 Hz. Calculez dans chaque cas l'amplitude permanente, le retard et la puissance moyenne.

En dessous de la résonance, à 0,50 Hz : $\omega =2\pi f=\pi \approx 3,14rad/s$, donc ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-9,87=15,13{\mathrm{s}}^{-2}$ et $2\beta \omega =3,14{\mathrm{s}}^{-2}$. Alors
$A=\frac{0,5}{\sqrt{15,13^2+3,14^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{3,14}{15,13},\delta \approx 12^{\circ }$
Au-dessus de la résonance, à 1,00 Hz : $\omega =2\pi \approx 6,28rad/s$, donc ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-39,48=-14,48{\mathrm{s}}^{-2}$ et $2\beta \omega =6,28{\mathrm{s}}^{-2}$. Le dénominateur négatif place $\delta$ entre $90^{\circ }$ et $180^{\circ }$ :
$A=\frac{0,5}{\sqrt{14,48^2+6,28^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{6,28}{-14,48},\delta \approx 157^{\circ }$

Les deux amplitudes valent environ 3,2 cm, le tiers des 10 cm de la résonance. La différence est dans la phase : à 0,50 Hz, le bloc accompagne l'excitateur, alors qu'à 1,00 Hz il se déplace presque à l'opposé. La puissance moyenne $\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$ diffère aussi : environ 5 mW à 0,50 Hz et 20 mW à 1,00 Hz, contre 125 mW à la résonance. Les amplitudes sont égales mais la fréquence a doublé : l'amplitude de la vitesse $\omega A$ à 1,00 Hz est donc deux fois plus grande, et la puissance quatre fois plus grande.

Le démarrage compte aussi. Partant du repos, l'oscillation libre à ${\omega }_d=4,97rad/s$ s'ajoute au mouvement permanent et produit avec lui des battements de période $2\pi /|\omega -{\omega }_d|$, ici 3,4 s et 4,8 s. Avec un excitateur qui part de sa position centrale, comme dans l'animation, les premières oscillations atteignent donc 4,1 et 4,5 cm, plus que les 3,2 cm du régime permanent. Au bout de $3/\beta =6\mathrm{s}$, le régime transitoire est retombé à $e^{-3}$, environ 5 %.

Au-delà de l'amortissement linéaire

Tout ce qui précède supposait une force d'amortissement proportionnelle à la vitesse. Le frottement réel ne l'est souvent pas, et la forme de la décroissance révèle quelle loi est à l'œuvre.

Le frottement sec est une force constante $\mu N$ opposée au mouvement, où $\mu$ est le coefficient de frottement et $N$ la force normale. Il laisse la période à $2\pi /{\omega }_0$, mais retranche la même quantité $2\mu N/k$ à l'amplitude à chaque demi-oscillation. En voici la raison : sur une demi-oscillation de $A_1$ à $A_2$, l'énergie perdue par le ressort, $\frac{1}{2}k(A_1^2-A_2^2)$, est égale au travail $\mu N(A_1+A_2)$ fourni contre le frottement. L'enveloppe est une droite, et le bloc s'arrête net au bout d'un temps fini, dès que la force du ressort ne peut plus vaincre le frottement. Avec 0,1 N de frottement, le bloc de l'animation perdrait 8 mm par demi-oscillation et s'arrêterait après 12 d'entre elles, soit environ 7,5 s. Une traînée qui croît comme $v^2$ éteint vite les grandes oscillations et laisse durer les petites : l'amplitude décroît à peu près comme $1/(1+t/t_1)$, avec un temps $t_1$ fixé par l'amplitude de départ. Un test pratique : tracez le logarithme de l'amplitude en fonction du temps. Seul l'amortissement linéaire donne une droite.

Le ressort peut lui aussi être non linéaire. Un ressort durcissant oscille plus vite aux grandes amplitudes : sa courbe de résonance penche donc vers les hautes fréquences, et quand on balaie la fréquence excitatrice, l'amplitude peut sauter entre deux valeurs permanentes. De l'énergie peut aussi entrer sans force périodique. Pomper une balançoire en se redressant et en s'accroupissant deux fois par cycle modifie une propriété de l'oscillateur, sa longueur effective, au lieu de le pousser : c'est la résonance paramétrique. Une corde frottée par un archet ou l'échappement d'une horloge apporte de l'énergie au rythme même du mouvement. Cela agit comme un amortissement négatif, qui fait grandir l'oscillation jusqu'à ce que la non-linéarité la limite. Le pont de Tacoma Narrows, détruit en 1940, a cédé sous un tel flottement auto-excité dans un vent régulier, et non sous une simple résonance avec une force périodique.

Limites de validité

L'amortisseur linéaire est exact pour une résistance électrique, presque exact pour un frein à courants de Foucault, et bon pour un mouvement lent dans un liquide visqueux (Traînée et vitesse limite). Un vrai ressort n'est linéaire que pour de petits allongements (Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation). L'amplitude de résonance met aussi du temps à s'établir : l'excitation doit durer de nombreuses fois $1/\beta =2Q/{\omega }_0$, soit 1,4 s pour un diapason de $Q\approx 2000$ à 440 Hz.

L'amortissement n'arrive jamais seul. Les chocs moléculaires qui dissipent l'énergie donnent aussi au bloc des coups au hasard : un oscillateur en équilibre à la température $T$ garde une énergie moyenne $k_{B}T$, où $k_B$ est la constante de Boltzmann. La moitié de cette énergie est dans le ressort : la moyenne de $\frac{1}{2}k{x}^2$ vaut $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, et le bloc tremble de $\sqrt{k_{B}T/k}$ (en valeur quadratique moyenne). Pour le ressort de 25 N/m à 300 K, cela fait $1,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$, bien en dessous de tout ce qui est visible. Pour le levier d'un microscope à force atomique de raideur $k=0,1N/m$, cela fait 0,2 nm, un plancher pour ce que l'instrument peut détecter. Ce lien entre dissipation et force aléatoire est le théorème de fluctuation-dissipation. Les effets quantiques viennent par marches de $\hslash {\omega }_0\approx 5\times 10^{-34}\mathrm{J}$ ; face aux 0,125 J du bloc, ils sont tout à fait négligeables, et ne comptent que pour les molécules, les atomes et les micro-résonateurs très froids.

Ce qui vient ensuite

Avec la charge $q$ à la place de $x$, la même équation décrit un circuit série, $L\ddot{q}+R\dot{q}+q/C=V_0\cos \omega t$. L'inductance $L$, la résistance $R$ et $1/C$ jouent les rôles de $m$, $b$ et $k$, d'où ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ et $Q={\omega }_{0}L/R$. Une radio qui sépare des stations en ondes moyennes espacées de 10 kHz vers 1 MHz a besoin d'une largeur ${\omega }_0/Q$ qui ne dépasse pas cet écart, donc d'un $Q$ de l'ordre de 100 ; voir Condensateurs, Induction électromagnétique et Ondes électromagnétiques.

La lumière excite de la même façon les électrons liés dans les atomes. En dessous de leurs résonances ultraviolettes, la réponse croît avec la fréquence, ce qui explique que le verre dévie davantage le violet que le rouge (Prismes, dispersion et couleurs) ; à une résonance, l'énergie est absorbée, comme par les ions d'un cristal de sel dans l'infrarouge. La même courbe, chaque fois avec son propre ${\omega }_0$ et son propre $Q$, convient aux marées atmosphériques, aux modes décrits dans Ondes stationnaires et aux noyaux d'un appareil d'IRM. En physique quantique, le produit de la largeur par le temps de décroissance revient comme lien entre la largeur d'une raie spectrale et la durée de vie de l'état qui l'émet.