Amortecimento e ressonância

Iniciante

Tudo que pode balançar ou quicar tem uma frequência natural: seu ritmo próprio, o número de idas e vindas que ele faz a cada segundo quando é deixado sozinho. Um pêndulo curto balança mais rápido que um longo, e um bloco numa mola rígida quica mais rápido que numa mola mole.

Passo 1: amortecimento. Dê um impulso num balanço e afaste-se: cada ida e volta é um pouco menor que a anterior. A resistência do ar e o atrito tiram um pouco de energia a cada ida e volta e a transformam em calor, e empurram com mais força quanto mais rápido o objeto se move. Esse desaparecimento gradual se chama amortecimento.

Passo 2: quanto amortecimento? Na animação, três blocos idênticos estão pendurados em molas idênticas, e os três são puxados para baixo e soltos juntos. O da esquerda se move no ar (amortecimento fraco) e quica muitas vezes, cada salto menor. O da direita está em xarope grosso (amortecimento forte): nunca ultrapassa a posição de equilíbrio, mas volta muito devagar. O do meio, em um líquido mais fino, tem exatamente o amortecimento necessário para o quicar parar. Esse é o amortecimento crítico, e o rótulo “em repouso” aparece primeiro. Os amortecedores de carro e os fechadores de porta são ajustados perto dele.

Passo 3: ressonância. Pequenos empurrões dados no ritmo da frequência natural somam energia no momento certo, então o movimento cresce. À direita, a ponta de uma mola é sacudida suavemente no ritmo do próprio bloco, e logo o bloco quica muito mais do que o sacolejo. O amortecimento é o que impede esse crescimento.

Teste-se: uma máquina de lavar roupa costuma tremer forte por alguns segundos enquanto o tambor acelera e depois se acalma na velocidade máxima. Por quê?
Resposta: na subida, a velocidade de rotação do tambor passa pela frequência natural da máquina, então ela é sacudida no ritmo certo por um instante: ressonância.

Intermediário

Duas forças: a mola e o amortecedor

Um bloco preso a uma mola que é puxada e solta sente duas forças: a força restauradora da mola $-kx$, apontando de volta para o equilíbrio, e uma força de amortecimento que se opõe ao movimento, como o arrasto de um líquido ou do óleo de um amortecedor. Para movimentos lentos em um líquido, a força de amortecimento é quase proporcional à velocidade, então a força resultante é
$F=-kx-bv$

A constante de amortecimento $b$ é dada em quilogramas por segundo (kg/s, o mesmo que N·s/m). As duas forças atingem seus valores máximos em momentos diferentes: a força da mola nos pontos de inversão, onde o bloco para por um instante, e a força de amortecimento quando o bloco se move mais depressa, que, com amortecimento fraco, fica perto do equilíbrio.

Na animação, as setas douradas mostram $-bv$; elas invertem o sentido toda vez que um bloco inverte o movimento. O bloco da direita, em xarope grosso com $b=30kg/s$, tem a seta mais longa, embora seja o mais lento: na sua velocidade máxima, 0,077 m/s, a força de amortecimento $30\cdot 0,077\approx 2,3\mathrm{N}$ equilibra exatamente a força puxada pela mola.

Amortecimento fraco: um decaimento exponencial

Com amortecimento fraco, o bloco mantém quase o seu ritmo natural, mas cada balanço é menor que o anterior pela mesma fração, porque uma força de amortecimento que cresce com a velocidade retira, a cada ciclo, uma fração fixa da energia que restou. Isso é um decaimento exponencial, $A=A_0{e}^{-\beta t}$, com
$\beta =\frac{b}{2m},{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
A taxa de amortecimento $\beta$ é dada em s⁻¹: depois de um tempo $1/\beta$ a amplitude caiu para $1/e$, cerca de 37%, e ela cai à metade a cada $\ln 2/\beta$. Aqui ${\omega }_0$ é a frequência angular natural. O movimento completo é um cosseno dentro do envelope decrescente:
$x=A_0{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi ),{\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$

O amortecedor segura um pouco o bloco, então a frequência angular amortecida ${\omega }_d$ fica logo abaixo de ${\omega }_0$. O fator de qualidade mede quão fraco é o amortecimento:
$Q=\frac{{\omega }_0}{2\beta }=\frac{m{\omega }_0}{b}$
A cada ciclo a amplitude é multiplicada por cerca de $e^{-\pi /Q}$, então depois de $Q$ ciclos resta apenas $e^{-\pi }$, cerca de 4%. Um diapasão, com $Q$ na casa dos milhares, soa por segundos depois de uma única batida.

Amortecimento fraco, crítico e forte

Conforme $b$ aumenta, o decaimento fica mais rápido, até que, num valor crítico, o bloco não ultrapassa mais a posição de equilíbrio:
$b_c=2\sqrt{km}=2m{\omega }_0$
Ali $\beta ={\omega }_0$ e ${\omega }_d$ cai para zero. Comparando $b$ com $b_c$ obtemos três tipos de movimento:

• $b<b_c$, amortecimento fraco: o bloco ultrapassa o equilíbrio repetidas vezes, com oscilações que se extinguem exponencialmente.
• $b=b_c$, amortecimento crítico: o retorno mais rápido possível ao equilíbrio, sem nenhuma ultrapassagem.
• $b>b_c$, amortecimento forte: também não ultrapassa, mas o amortecedor resiste tanto que o bloco apenas se arrasta de volta.

Amortecimento demais é lento pelo mesmo motivo que uma colher é lenta no mel: a força de amortecimento logo se iguala à força da mola, o que limita a velocidade a cerca de $kx/b$. Triplique $b$ e o bloco volta três vezes mais devagar.

Exemplo resolvido: os três blocos da animação

Os três blocos têm $m=1\mathrm{kg}$ e $k=25N/m$, e cada um é puxado 10 cm para baixo e solto do repouso:
${\omega }_0=\sqrt{25/1}=5rad/s,b_c=2\sqrt{25\cdot 1}=10kg/s$
Logo $f_0\approx 0,80\mathrm{Hz}$, uma oscilação a cada 1,26 s. O bloco do meio está exatamente no crítico; o da direita tem três vezes $b_c$, o da esquerda um décimo dele. Para o bloco da esquerda,
$\beta =\frac{1}{2\cdot 1}=0,5{\mathrm{s}}^{-1},Q=\frac{5}{2\cdot 0,5}=5$

Depois de 3 s, sua amplitude é $10\mathrm{cm}\cdot e^{-0,5\cdot 3}\approx 2,2\mathrm{cm}$, o valor do indicador azul $A$ quando o indicador $t$, que começa no momento da soltura, mostra 3 s. A amplitude cai à metade a cada $\ln 2/0,5\approx 1,4\mathrm{s}$, cada ciclo a multiplica por $e^{-\pi /5}\approx 0,53$, e depois de 5 ciclos, cerca de 6,3 s, resta só 4%. Cada bloco fica a menos de 4 mm da sua linha tracejada de equilíbrio após cerca de 1,0 s (crítico), 3,8 s (forte) e 6,4 s (fraco).

Ressonância: empurrões no ritmo do movimento

Agora empurre o oscilador com uma força periódica $F_0\cos \omega t$. Depois do início, ele oscila de forma estável na frequência da força, com amplitude
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
Longe de ${\omega }_0$ a resposta é pequena; perto dela a amplitude sobe rapidamente: isso é ressonância. Em ${\omega }_0$, a força da mola e a inércia se cancelam, e a força externa só precisa compensar o amortecimento:
$A({\omega }_0)=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{Q{F}_0}{k}$
Uma força constante esticaria a mola de $F_0/k$; aplicada no ritmo certo, ela move o bloco $Q$ vezes mais. Na ressonância, o bloco fica um quarto de ciclo atrasado em relação ao empurrão, então se move mais depressa quando o empurrão é mais forte, e cada empurrão realiza trabalho positivo.

À direita da animação, a ponta de uma mola idêntica, com amortecimento fraco, é sacudida com $Y=2\mathrm{cm}$ exatamente em $f_0=0,80\mathrm{Hz}$. Mover a ponta da mola em $y$ muda a força de tração em $ky$; logo o sacolejo age como uma força $F_0=kY=25\cdot 0,02=0,5\mathrm{N}$, e
$A=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{0,5}{1\cdot 5}=0,10\mathrm{m}$
isto é $QY=10\mathrm{cm}$. O indicador $A$ do bloco forçado sobe ali devagar, aproximadamente como $QY(1-e^{-\beta t})$: cerca de 6 cm após 2 s de sacolejo, 9 cm após 4,6 s e 9,9 cm no fim do ciclo.

Exemplo: um carro com amortecedor gasto

Um dos cantos de um carro sustenta cerca de 400 kg sobre uma mola de suspensão com $k=40000N/m$:
${\omega }_0=\sqrt{40000/400}=10rad/s,b_c=2\sqrt{40000\cdot 400}=8000kg/s$
Assim, a carroceria oscila a cerca de 1,6 Hz. Um amortecedor bom, ajustado um pouco abaixo de $b_c$, deixa a carroceria ultrapassar a posição de equilíbrio uma vez depois de uma lombada. Um amortecedor gasto, com $b=800kg/s$, dá $\beta =800/(2\cdot 400)=1,0{\mathrm{s}}^{-1}$ e $Q=10/(2\cdot 1,0)=5$, como o bloco da esquerda na animação. Um salto de 4 cm então cai à metade a cada 0,7 s e ainda mede $4\cdot e^{-2}\approx 0,5\mathrm{cm}$ após 2 s, três saltos depois.

A estrada também pode empurrar o carro. Ondulações espaçadas de $d=10\mathrm{m}$ sacodem a roda $v/d$ vezes por segundo, o que coincide com a frequência natural de 1,59 Hz quando $v\approx 16m/s$, cerca de 57 km/h. Nessa velocidade, o carro com amortecedor gasto sobe e desce cerca de $Q=5$ vezes mais alto que as ondulações e parece flutuar.

Erros comuns

• Mais amortecimento nem sempre é mais rápido: o bloco da direita, com três vezes $b_c$, leva cerca de 3,8 s para se acomodar; o crítico, só 1,0 s.
• Amortecimento fraco muda a amplitude, não o ritmo: com $Q=5$, o período cresce apenas de 1,257 s para 1,263 s.
• O tempo $1/\beta$ não é meia-vida: com $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, a amplitude cai para 37% em 2 s e cai à metade em 1,4 s; a energia, que varia com $A^2$, cai à metade em 0,7 s.
• A ressonância não é infinita: o amortecimento limita a amplitude a $Q{F}_0/k$, 10 cm para a mola sacudida, onde os 0,125 W da força externa se igualam às perdas do amortecedor.
• O valor crítico é $2\sqrt{km}$, e não $\sqrt{km}$: esquecer o 2 dá 5 kg/s em vez de 10 kg/s para os blocos.

Onde isso aparece

Amortecimento quase crítico está nos fechadores de porta, nos ponteiros de instrumentos e nas suspensões de carros; perto do topo da torre Taipei 101, um pêndulo de aço de cerca de 660 toneladas oscila contra o balanço do prédio. A ressonância é aproveitada em relógios de quartzo, cujo cristal vibra a 32 768 Hz, em instrumentos musicais e na sintonia do rádio. Ela deve ser evitada em estruturas: a Millennium Bridge, em Londres, balançou lateralmente nos dias de inauguração, em 2000, enquanto os pedestres passaram a andar no mesmo ritmo dela. A mesma equação rege circuitos feitos com as peças de Capacitores e Indução eletromagnética, e cada modo de Ondas estacionárias.

Avançado

A equação do movimento livre

Amortecimento é qualquer força que drena a energia de uma vibração: ar, óleo, um ímã que freia uma placa metálica. Esta seção encontra todos os movimentos livres possíveis de uma mola com bloco amortecida. Ela importa por dois motivos: esses movimentos são como um sistema perturbado se acomoda, e são também o transitório que todo oscilador forçado precisa dissipar antes de atingir seu regime permanente.

Considere um bloco de massa $m$ preso a uma mola de rigidez $k$, com um amortecedor que empurra contra a velocidade com a força $-b\dot{x}$. Aqui $x$ é o deslocamento a partir do equilíbrio e $b$ é o coeficiente de amortecimento. A segunda lei de Newton dá $m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$. Divida por $m$ e defina duas razões, a taxa de amortecimento $\beta =b/(2m)$ e a frequência angular natural ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$. A equação assume sua forma padrão
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$
O fator 2 é uma convenção que mantém as raízes abaixo livres de frações.

A equação é linear, e seus coeficientes não mudam com o tempo. Uma exponencial é a única função cuja derivada é um múltiplo de si mesma, então tente $x=e^{st}$ com $s$ constante, que pode ser complexo. Cada derivada no tempo então apenas multiplica por $s$. Todo termo carrega o mesmo fator $e^{st}$, e dividindo por ele obtemos a equação característica $s^2+2\beta s+{\omega }_0^2=0$. A fórmula de Bhaskara dá suas duas raízes:
$s_1=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2},s_2=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$
Como a equação é linear, qualquer soma $c_1{e}^{s_{1}t}+c_2{e}^{s_{2}t}$ também é solução, e as duas constantes são fixadas pela posição e pela velocidade iniciais. Tudo sobre o movimento livre é decidido, portanto, pelo lugar onde as duas raízes estão.

A animação usa $m=1\mathrm{kg}$ e $k=25N/m$, logo ${\omega }_0=5rad/s$ (0,80 Hz), com três amortecedores, $b=1$, 10 e $30kg/s$, isto é, $\beta =0,5$, 5 e $15{\mathrm{s}}^{-1}$.

Três tipos de movimento livre

Se um bloco solto oscila para lá e para cá ou apenas se arrasta de volta depende só do sinal de ${\beta }^2-{\omega }_0^2$ sob a raiz quadrada. Um mapa das raízes mostra os três casos de uma vez, e também qual amortecimento devolve o bloco mais rápido.

Legenda

$s_1$	Raiz com o sinal de mais: o ponto azul superior, depois sobre o eixo real, voltando em direção a 0.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$s_2$	Raiz com o sinal de menos: o ponto azul inferior, depois sobre o eixo real, afastando-se de 0.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$\beta$	Taxa de amortecimento $b/(2m)$: menos a parte real do par, sua distância à esquerda do eixo vertical.	${\mathrm{s}}^{-1}$
${\omega }_d$	Frequência angular amortecida $\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$: a parte imaginária de $s_1$, a altura do ponto superior.	$rad/s$
${\omega }_0$	Frequência angular natural $\sqrt{k/m}$: o raio do arco, e $-{\omega }_0$ é onde as duas raízes se encontram.	$rad/s$

A figura 1 é o plano complexo de $s$: parte real na horizontal, parte imaginária na vertical. Um único número separa os casos, a razão de amortecimento $\zeta =\beta /{\omega }_0$. Ela é igual a $b/b_c$, onde $b_c=2\sqrt{km}$ é o coeficiente de amortecimento crítico, o valor de $b$ que faz $\beta ={\omega }_0$. Na animação $b_c=10kg/s$, então os três blocos têm $\zeta =0,1$, 1 e 3.

Amortecimento fraco, $\zeta <1$. O número sob a raiz é negativo, então as raízes formam o par complexo $-\beta \pm i{\omega }_d$, os dois pontos azuis, com a frequência angular amortecida ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$. Como $e^{(-\beta \pm i{\omega }_d)t}=e^{-\beta t}{e}^{\pm i{\omega }_{d}t}$, a parte real $-\beta$ define o decaimento e a parte imaginária $\pm {\omega }_d$ define a oscilação. Combinando as duas exponenciais de modo que $x$ seja real, obtemos
$x=C{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi )$
uma oscilação dentro de um envelope que encolhe como $e^{-\beta t}$; as constantes $C$ e $\phi$ vêm da posição e da velocidade iniciais. Agora observe o triângulo retângulo, desenhado para $\zeta =0,6$. Seu cateto horizontal é $\beta$, seu cateto vertical é ${\omega }_d$, e sua hipotenusa é $\sqrt{{\beta }^2+{\omega }_d^2}={\omega }_0$. Assim, uma raiz complexa está sempre à distância ${\omega }_0$ da origem. Conforme $b$ cresce, o par se desloca ao longo do arco azul de raio ${\omega }_0$, a raiz superior descendo e a inferior subindo, em direção ao eixo real.

Amortecimento crítico, $\zeta =1$. As duas raízes se encontram em $-{\omega }_0$. Uma raiz dupla fornece apenas uma exponencial, $e^{-{\omega }_{0}t}$; a segunda solução independente é $t{e}^{-{\omega }_{0}t}$, como confirma a substituição na equação.

Amortecimento forte, $\zeta >1$. A raiz quadrada agora é real e menor que $\beta$, então as duas raízes são reais e negativas. Conforme $b$ cresce, $s_1$ volta em direção a 0, e $s_2$ se afasta para a esquerda. Nada oscila: o bloco apenas se arrasta de volta.

O gráfico $x(t)$ da animação no nível avançado usa o azul, o verde e o roxo da figura 1 e mostra os três blocos soltos do repouso em $-10\mathrm{cm}$; chame essa distância inicial de $A_0=10\mathrm{cm}$. O azul ($\zeta =0,1$, $s=-0,5\pm 4,97i{\mathrm{s}}^{-1}$) ultrapassa até $+7,3\mathrm{cm}$ meio período depois da soltura, em 0,63 s. O verde ($\zeta =1$) segue $x=-A_0(1+{\omega }_{0}t)e^{-{\omega }_{0}t}$ e fica a 4 mm de zero após cerca de 1,0 s. O roxo ($\zeta =3$) tem as raízes $-0,86$ e $-29,1{\mathrm{s}}^{-1}$. Seu termo rápido, $e^{-29,1t}$, desaparece em menos de um décimo de segundo. A raiz lenta, perto de $-{\omega }_0^2/(2\beta )$ quando o amortecimento é forte, deixa um retorno lento com constante de tempo de 1,2 s.

Qual amortecimento traz o bloco de volta mais depressa? Uma soma de exponenciais só decai tão rápido quanto seu termo mais lento, aquele cuja raiz está mais perto do eixo vertical na figura 1. Abaixo do amortecimento crítico essa distância é $\beta$, que cresce com $b$ à medida que o par se desloca para a esquerda ao longo do arco. Acima do crítico, é $|s_1|$, que diminui quando $b$ cresce, porque $s_1$ se desloca de volta para 0. As duas tendências se encontram em $\zeta =1$: ali a raiz mais próxima está o mais à esquerda possível, e a taxa de decaimento atinge seu maior valor, ${\omega }_0$. Se um pequeno sobressinal for aceitável, um pouco menos de amortecimento é ainda mais rápido. Em $\zeta =0,75$, o bloco fica a 4 mm de zero após 0,64 s, por isso os ponteiros de instrumentos costumam ser ajustados um pouco abaixo do crítico.

Energia e o significado de Q

As raízes dizem quão depressa o movimento decai; a energia diz por quê. Ela também fornece o único número que engenheiros citam para qualquer oscilador, o fator de qualidade $Q$.

Legenda

$x$	Deslocamento do bloco a partir do equilíbrio.	$\mathrm{m}$
$t$	Tempo desde a soltura.	$\mathrm{s}$
$E$	Energia armazenada, cinética mais da mola: $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$.	$\mathrm{J}$
$E_0$	Energia na soltura, toda na mola: $\frac{1}{2}k{A}_0^2$.	$\mathrm{J}$
$e^{-2\beta t}$	Fator de decaimento da curva tracejada $E_0{e}^{-2\beta t}$, que a energia toca em cada ponto de inversão.
$dE/dt$	Taxa de variação da energia, $-b{\dot{x}}^2$: maior em módulo onde o bloco se move mais depressa, e zero em um ponto de inversão.	$\mathrm{W}$
$T_d$	Período amortecido $2\pi /{\omega }_d$: um ciclo completo, o intervalo verde.	$\mathrm{s}$

A figura 2 acompanha o bloco de amortecimento fraco da animação ($\zeta =0,1$), solto do repouso em $x=-A_0$: sua posição $x(t)$ em cima e sua energia armazenada $E$ embaixo, num mesmo eixo de tempo. Para ler o painel inferior, primeiro descubra a rapidez com que $E$ varia. Multiplique a equação do movimento, $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$, por $\dot{x}$. O produto $m\ddot{x}\dot{x}$ é a derivada no tempo de $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$, e $kx\dot{x}$ é a de $\frac{1}{2}k{x}^2$. Assim, os termos de inércia e de mola juntos formam a derivada de $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, e o que sobra é
$\frac{dE}{dt}=-b{\dot{x}}^2$
O amortecedor retira energia à taxa $b{\dot{x}}^2$. Essa taxa nunca é negativa, e é zero sempre que o bloco para por um instante.

Agora observe o painel inferior. A energia só se perde enquanto o bloco se move, então $E$ cai em degraus. Cada ponto marca um ponto de inversão, onde $\dot{x}=0$ e toda a energia está na mola; ali a inclinação de $E$ é zero e a curva fica plana. A tangente marcada com $dE/dt$ toca a parte mais íngreme da primeira queda, onde o bloco se move mais rápido, pouco antes de passar pelo equilíbrio. Em um ponto de inversão, $|x|=A_0{e}^{-\beta t}$, então a energia ali é $\frac{1}{2}k{A}_0^2{e}^{-2\beta t}$. Os trechos planos caem exatamente sobre a curva tracejada $E_0{e}^{-2\beta t}$, com $E_0=\frac{1}{2}k{A}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,10^2=0,125\mathrm{J}$. Entre os pontos de inversão, $E$ oscila cerca de 10% acima e abaixo dessa curva. De um ponto de inversão ao seguinte, meio período amortecido $T_d/2$, a energia é multiplicada por $e^{-\beta T_d}\approx 0,53$.

Suavizando os degraus, surge uma lei simples. Ao longo de um ciclo de amortecimento fraco, o movimento é quase $A\cos {\omega }_{0}t$, com uma amplitude $A$ que diminui lentamente. A média de ${\dot{x}}^2$ sobre o ciclo é então $\frac{1}{2}{\omega }_0^2{A}^2$, enquanto $E=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2$. Assim, a média de $b{\dot{x}}^2$ é $(b/m)E=2\beta E$, e
$\frac{dE}{dt}=-2\beta E$
A energia decai como $e^{-2\beta t}$. A energia varia com o quadrado da amplitude, então a amplitude decai com metade da rapidez, como $e^{-\beta t}$, exatamente como as raízes previram.

O fator de qualidade é definido como $Q={\omega }_0/(2\beta )$. Com ele, a lei fica $dE/dt=-{\omega }_{0}E/Q$. O bloco percorre um radiano de fase no tempo $1/{\omega }_0$, e nesse tempo perde a fração $1/Q$ de sua energia: $Q$ é a energia armazenada dividida pela energia perdida por radiano. Um oscilador de $Q$ alto soa por muitos ciclos; o bloco de amortecimento fraco tem apenas $Q=5$. Uma regra conhecida diz que a fração perdida por ciclo é $2\pi /Q$. Aqui isso daria 126%, o que é impossível: a regra é apenas o primeiro termo do exato $1-e^{-2\pi /Q}$, boa só para $Q$ grande. A lei exponencial em si vale exatamente de um ciclo para o próximo. Ao longo de um período amortecido $T_d=2\pi /{\omega }_d=1,263\mathrm{s}$, o intervalo verde da figura 2, a energia mantém a fração $e^{-2\beta T_d}\approx 0,28$, então 72% se perdem no primeiro ciclo.

O oscilador forçado

Agora empurre o bloco com uma força periódica $F_0\cos \omega t$. Essa é a situação de um cone de alto-falante, de uma ponte com vento forte ou de um elétron em uma onda de luz, e as perguntas são quão grande é a resposta e quanto ela se atrasa. A equação do movimento ganha um termo do lado direito:
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=(F_0/m)\cos \omega t$
Como a equação é linear, sua solução geral é qualquer solução particular somada ao movimento livre encontrado acima. A parte livre se extingue, como $e^{-\beta t}$ no amortecimento fraco; ela é chamada de transitório. O que resta é o regime permanente, que oscila na frequência da força $\omega$, não em ${\omega }_0$.

Números complexos encontram o regime permanente rapidamente. Escreva a força como a parte real de $F_0{e}^{i\omega t}$ e procure $x$ como a parte real de $\hat{x}{e}^{i\omega t}$, em que a amplitude complexa $\hat{x}$ é uma constante a ser determinada. Tomar a parte real comuta com somar, com derivar e com multiplicar por reais, então podemos resolver a equação complexa e tomar a parte real no fim. Cada $d/dt$ atuando sobre $e^{i\omega t}$ vira um fator $i\omega$. Multiplicar por $i$ é uma rotação de um quarto de volta no plano complexo, então a velocidade está adiantada 90° em relação ao deslocamento. A equação diferencial vira álgebra:
$({\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega )\hat{x}=F_0/m$
O truque exige linearidade: um termo em $x^2$ misturaria as partes real e imaginária, e a parte real da resposta complexa não resolveria mais a equação real. A linearidade também dá a superposição, de modo que uma força formada por muitas frequências produz a soma das respostas separadas.

O triângulo de fasores: amplitude e atraso

A equação complexa diz que duas setas somadas dão uma terceira. Desenhá-las transforma a amplitude e o atraso de fase em geometria simples.

Legenda

$F_0/m$	A excitação, força por unidade de massa, sobre o eixo real.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\hat{x}$	Amplitude complexa do deslocamento, no ângulo $-\delta$ em relação à excitação; desenhada na sua própria escala.	$\mathrm{m}$
$({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$	Termos da mola e da inércia juntos: um múltiplo real de $\hat{x}$, portanto aponta ao longo de $\hat{x}$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$(2\beta \omega )i\hat{x}$	Termo de amortecimento: $\hat{x}$ girado um quarto de volta adiante pelo fator $i$ e escalado por $2\beta \omega$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\delta$	Atraso do deslocamento em relação à excitação: o ângulo entre $\hat{x}$ e $F_0/m$.	$\mathrm{rad}$

A figura 3 desenha a equação no plano complexo, para $\omega =0,75{\omega }_0$ e $\beta =0,25{\omega }_0$. A força $F_0/m$ está sobre o eixo real. A seta dourada é $\hat{x}$, desenhada na sua própria escala. O termo da mola ${\omega }_0^2\hat{x}$ e o termo de inércia $-{\omega }^2\hat{x}$ são ambos múltiplos reais de $\hat{x}$, então juntos formam a seta verde $({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$, que aponta ao longo de $\hat{x}$. O termo de amortecimento $2\beta \omega i\hat{x}$ carrega o fator extra $i$, então a seta laranja fica em ângulo reto com a verde. Verde mais laranja deve somar a força. A força é, portanto, a hipotenusa de um triângulo retângulo, e $\hat{x}$, sobre o cateto verde, fica atrasado em relação à força pelo ângulo $\delta$ entre esse cateto e a hipotenusa.

Resolvendo a equação para $\hat{x}$ obtemos
$\hat{x}=\frac{F_0/m}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega }$
Seu módulo é a amplitude $A$, e seu argumento é $-\delta$, em que $\delta$ é o atraso do deslocamento em relação à força. O triângulo fornece ambos sem mais álgebra. Seus catetos medem $({\omega }_0^2-{\omega }^2)A$ e $2\beta \omega A$, e sua hipotenusa é $F_0/m$, então o teorema de Pitágoras dá a amplitude e a razão entre os catetos dá o atraso:
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
$\tan \delta =\frac{2\beta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$
Conforme $\omega$ cresce passando por ${\omega }_0$, $\delta$ sobe de 0 a $180^{\circ }$. A figura 3 está desenhada abaixo da ressonância, onde o cateto verde é positivo e $\delta$ fica abaixo de $90^{\circ }$. Acima de ${\omega }_0$, o fator ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ fica negativo, a seta verde aponta contra $\hat{x}$, e $\delta$ ultrapassa $90^{\circ }$.

Lendo a curva de ressonância

As duas fórmulas acima contêm toda a resposta em regime permanente. Plotá-las contra a frequência de excitação mostra onde o oscilador responde fortemente, quão aguda é essa resposta e o que a fase faz no caminho.

Legenda

$A$	Amplitude em regime permanente do deslocamento.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Atraso do deslocamento em relação à excitação.	$\mathrm{rad}$
$\omega$	Frequência angular da excitação.	$rad/s$
${\omega }_0$	Frequência angular natural: logo à direita do pico de amplitude, onde $\delta =\pi /2$.	$rad/s$
${\omega }_1$	Frequência de meia potência inferior, onde $\delta =\pi /4$.	$rad/s$
${\omega }_2$	Frequência de meia potência superior, onde $\delta =3\pi /4$.	$rad/s$
$\Delta \omega$	Largura total à meia potência: ${\omega }_2-{\omega }_1=2\beta ={\omega }_0/Q$.	$rad/s$
$F_0/k$	Deformação estática: a amplitude para uma excitação que muda muito lentamente.	$\mathrm{m}$
$Q{F}_0/k$	Amplitude em ${\omega }_0$: $Q$ vezes a deformação estática.	$\mathrm{m}$
$\pi /2$	Um quarto de volta: o atraso em ${\omega }_0$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Meia volta: o atraso bem acima de ${\omega }_0$, onde o bloco se move contra a excitação.	$\mathrm{rad}$

A figura 4 esboça a resposta em regime permanente de um bloco com $Q=3$: a amplitude $A(\omega )$ em cima e o atraso $\delta (\omega )$ embaixo, no mesmo eixo de frequência. O painel de ressonância da animação plota $A(\omega )$ para a mola sacudida, com $Q=5$ e $Q=1$. Ali a ponta da mola é movida de $Y=2\mathrm{cm}$, o que age sobre o bloco como uma força com $F_0/m={\omega }_0^{2}Y$, logo $F_0/k=Y$.

Leia as curvas da esquerda para a direita. Bem abaixo de ${\omega }_0$ domina o termo da mola: $A\approx F_0/k$, a deformação estática (2 cm na animação), $\delta \approx 0$, e o bloco acompanha o sacudidor. Bem acima de ${\omega }_0$ domina a inércia: $A\approx F_0/(m{\omega }^2)$ cai abaixo do nível tracejado $F_0/k$, $\delta$ se aproxima de $\pi$, e o bloco se move contra a excitação. Em ${\omega }_0$, logo à direita do pico, a mola e a inércia se cancelam, e só o amortecimento equilibra a excitação: $A=Q{F}_0/k$ e $\delta =\pi /2$. A velocidade fica então em fase com a força, de modo que a excitação realiza trabalho positivo durante todo o ciclo. Na animação, a curva alta de $Q=5$ chega a 10 cm, enquanto a curva cinza baixa de $Q=1$ dá apenas 2 cm em ${\omega }_0$.

A largura do pico é medida com a potência. No regime permanente, a potência média retirada da excitação é igual à potência média dissipada pelo amortecedor, $P=\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$, que é 0,125 W na ressonância para $Q=5$. Escrevendo ${\omega }^2{A}^2=(F_0/m{)}^2/[({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2/{\omega }^2+4{\beta }^2]$, vê-se que $P$ atinge o máximo exatamente em ${\omega }_0$ e cai à metade onde $|{\omega }_0^2-{\omega }^2|=2\beta \omega$. Essas são as frequências ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ da figura; para $Q=5$ valem 4,52 e 5,52 rad/s (0,72 e 0,88 Hz). Ali os dois catetos do triângulo da figura 3 são iguais, então $\tan \delta =\pm 1$: a curva de atraso passa por $\pi /4$ em ${\omega }_1$ e por $3\pi /4$ em ${\omega }_2$. A largura total é
$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=2\beta =\frac{{\omega }_0}{Q}$
então $Q$ também mede a agudeza do pico, ${\omega }_0/\Delta \omega$. O próprio pico de amplitude fica um pouco abaixo de ${\omega }_0$, em $\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}\approx 4,95rad/s$, onde chega a 10,05 cm em vez de 10 cm.

O ponto na curva da animação mostra o início do movimento. O sacudidor começa do centro e se move como $Y\sin {\omega }_{0}t$, enquanto o bloco parte do repouso. O deslocamento em regime permanente fica um quarto de volta atrasado em relação à excitação, ou seja, $-QY\cos {\omega }_{0}t$, e no começo o transitório o cancela, de modo que $x\approx -QY(1-e^{-\beta t})\cos {\omega }_{0}t$. A amplitude sobe na escala de tempo $1/\beta =2\mathrm{s}$ e só atinge 90% do pico após $\ln 10/\beta \approx 4,6\mathrm{s}$. Um pico estreito e um longo decaimento são um mesmo fato visto duas vezes: a largura $2\beta$ vezes o tempo de decaimento $1/\beta$ é sempre 2, então um oscilador muito sintonizado responde devagar.

Problema resolvido: sacudir no ritmo errado

Sacuda a mesma mola ($F_0/m=0,5m/{\mathrm{s}}^2$, $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, ${\omega }_0^2=25{\mathrm{s}}^{-2}$, $b=1kg/s$) a 0,50 Hz e a 1,00 Hz, de cada lado de sua frequência natural de 0,80 Hz. Determine a amplitude em regime permanente, o atraso e a potência média em cada caso.

Abaixo da ressonância, a 0,50 Hz: $\omega =2\pi f=\pi \approx 3,14rad/s$, logo ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-9,87=15,13{\mathrm{s}}^{-2}$ e $2\beta \omega =3,14{\mathrm{s}}^{-2}$. Então
$A=\frac{0,5}{\sqrt{15,13^2+3,14^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{3,14}{15,13},\delta \approx 12^{\circ }$
Acima da ressonância, a 1,00 Hz: $\omega =2\pi \approx 6,28rad/s$, logo ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-39,48=-14,48{\mathrm{s}}^{-2}$ e $2\beta \omega =6,28{\mathrm{s}}^{-2}$. O denominador negativo coloca $\delta$ entre $90^{\circ }$ e $180^{\circ }$:
$A=\frac{0,5}{\sqrt{14,48^2+6,28^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{6,28}{-14,48},\delta \approx 157^{\circ }$

As duas amplitudes são cerca de 3,2 cm, um terço da amplitude de ressonância de 10 cm. A diferença está na fase: a 0,50 Hz o bloco acompanha o sacudidor, enquanto a 1,00 Hz ele se move quase contra ele. A potência média $\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$ também difere: cerca de 5 mW a 0,50 Hz e 20 mW a 1,00 Hz, contra 125 mW na ressonância. As amplitudes são iguais, mas a frequência dobrou, então a amplitude de velocidade $\omega A$ a 1,00 Hz é o dobro e a potência, quatro vezes maior.

O início também importa. Partindo do repouso, a oscilação livre em ${\omega }_d=4,97rad/s$ se soma ao movimento em regime permanente e produz batimentos com o período $2\pi /|\omega -{\omega }_d|$, aqui 3,4 s e 4,8 s. Com o sacudidor partindo do centro, como na animação, as primeiras oscilações chegam a 4,1 e 4,5 cm, mais que os 3,2 cm do regime permanente. Depois de $3/\beta =6\mathrm{s}$, o transitório está reduzido a $e^{-3}$, cerca de 5%.

Além do amortecimento linear

Tudo até aqui supôs uma força de amortecimento proporcional à velocidade. O atrito real muitas vezes não é assim, e a forma do decaimento revela qual lei está atuando.

O atrito seco é uma força constante $\mu N$ contra o movimento, com $\mu$ o coeficiente de atrito e $N$ a força normal. Ele mantém o período em $2\pi /{\omega }_0$, mas reduz a amplitude da mesma quantidade $2\mu N/k$ a cada meia oscilação. A razão: numa meia oscilação de $A_1$ a $A_2$, a energia da mola perdida, $\frac{1}{2}k(A_1^2-A_2^2)$, é igual ao trabalho $\mu N(A_1+A_2)$ realizado contra o atrito. O envelope é uma reta, e o bloco para de vez após um tempo finito, quando a força da mola não consegue mais vencer o atrito. Com 0,1 N de atrito, o bloco da animação perderia 8 mm a cada meia oscilação e pararia após 12 delas, cerca de 7,5 s. Um arrasto que cresce com $v^2$ elimina rapidamente as oscilações grandes e deixa as pequenas durarem mais, de modo que a amplitude cai aproximadamente como $1/(1+t/t_1)$, com um tempo $t_1$ determinado pela amplitude inicial. Um teste prático: faça o gráfico do logaritmo da amplitude em função do tempo. Só o amortecimento linear dá uma reta.

A mola também pode ser não linear. Uma mola que enrijece oscila mais depressa em grande amplitude, então sua curva de ressonância se inclina para altas frequências, e, ao varrer a frequência de excitação, a amplitude pode saltar entre dois valores de regime permanente. A energia também pode entrar sem uma força periódica. Empurrar um balanço ficando em pé e agachando duas vezes por ciclo muda uma propriedade do oscilador, seu comprimento efetivo, em vez de empurrá-lo: isso é ressonância paramétrica. Uma corda tocada com arco ou o escape de um relógio fornecem energia em sincronia com o próprio movimento. Isso atua como amortecimento negativo, que faz o balanço crescer até que a não linearidade o limite. A ponte de Tacoma Narrows, destruída em 1940, falhou por esse tipo de flutuação autoexcitada com vento constante, não por ressonância simples com uma força periódica.

Limites de validade

O amortecedor linear é exato para um resistor elétrico, quase exato para um freio de correntes parasitas e bom para movimentos lentos num líquido viscoso (Arrasto e velocidade terminal). Uma mola real é linear apenas para pequenas deformações (Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação). A amplitude de ressonância também leva tempo para se formar: a excitação precisa durar muitas vezes $1/\beta =2Q/{\omega }_0$, o que dá 1,4 s para um diapasão com $Q\approx 2000$ em 440 Hz.

O amortecimento nunca vem sozinho. As colisões moleculares que drenam a energia também empurram o bloco ao acaso, então um oscilador em equilíbrio à temperatura $T$ mantém uma energia média $k_{B}T$, em que $k_B$ é a constante de Boltzmann. Metade disso fica na mola, logo a média de $\frac{1}{2}k{x}^2$ é $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, e o bloco oscila ao acaso em torno de $\sqrt{k_{B}T/k}$ (valor quadrático médio). Para a mola de 25 N/m a 300 K, isso dá $1,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$, muito abaixo de qualquer coisa visível. Para a haste (cantilever) de um microscópio de força atômica com $k=0,1N/m$, são 0,2 nm, um piso para o que o instrumento consegue sentir. Essa ligação entre dissipação e força aleatória é o teorema de flutuação-dissipação. Efeitos quânticos vêm em degraus de $\hslash {\omega }_0\approx 5\times 10^{-34}\mathrm{J}$; diante dos 0,125 J do bloco, são totalmente desprezíveis, e só importam para moléculas, átomos e micro-ressonadores muito frios.

Para onde isso leva

Com a carga $q$ no lugar de $x$, a mesma equação descreve um circuito RLC em série, $L\ddot{q}+R\dot{q}+q/C=V_0\cos \omega t$. A indutância $L$, a resistência $R$ e $1/C$ fazem os papéis de $m$, $b$ e $k$, então ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ e $Q={\omega }_{0}L/R$. Um rádio que separa estações de ondas médias distantes 10 kHz perto de 1 MHz precisa de uma largura ${\omega }_0/Q$ não maior que o espaçamento, então um $Q$ da ordem de 100; veja Capacitores, Indução eletromagnética e Ondas eletromagnéticas.

A luz excita os elétrons ligados aos átomos da mesma forma. Abaixo de suas ressonâncias ultravioleta, a resposta cresce com a frequência, por isso o vidro desvia o violeta mais que o vermelho (Prismas, dispersão e cor); numa ressonância, há absorção de energia, como pelos íons de um cristal de sal no infravermelho. A mesma curva, cada vez com seu próprio ${\omega }_0$ e $Q$, descreve marés atmosféricas, os modos de Ondas estacionárias e os núcleos num aparelho de ressonância magnética. Na física quântica, a largura vezes o tempo de decaimento reaparece como a ligação entre a largura de uma linha espectral e o tempo de vida do estado que a emite.