Capacitores

Iniciante

Um capacitor é uma das peças elétricas mais simples: duas placas metálicas frente a frente, separadas por uma fina camada de ar ou plástico. Ele armazena carga elétrica separada e, com ela, energia, que pode devolver em um instante. Os flashes de câmeras, os desfibriladores cardíacos e os circuitos do seu celular dependem de capacitores.

Passo 1: elétrons em movimento. Os metais contêm elétrons livres para se mover. Ao ligar as placas a uma bateria, ela retira elétrons de uma placa e os empurra, pelos fios, para a outra. Uma placa fica positiva, a outra fica negativa. Nenhum elétron é criado ou destruído: cada um que chega a uma placa foi retirado da outra, por isso as duas cargas são sempre iguais e opostas.

Passo 2: nada atravessa o espaço. O espaço é um isolante, então a carga não pode saltar por ele. Em vez disso, a placa + e a placa − se atraem através dele, e um campo elétrico preenche o espaço entre elas.

Passo 3: enchendo. Quanto mais carga as placas já têm, mais elas empurram contra a bateria. Por isso o carregamento é rápido no início, depois desacelera e para quando a tensão do capacitor é igual à da bateria, assim como um reservatório abastecido por uma caixa d'água para de encher quando os dois níveis se igualam.

Passo 4: o tamanho importa. Placas maiores ou um espaço mais estreito permitem que a mesma bateria armazene mais carga.

Na animação, os elétrons azuis percorrem os fios depressa no início, depois desaceleram e param, enquanto a carga se acumula nas placas e o medidor enche cada vez mais devagar.

Teste você mesmo: uma placa de um capacitor carregado tem +5 unidades de carga. Qual é a carga da outra? (Resposta: −5 unidades; o total continua zero.)

Intermediário

Carga, tensão e capacitância

Um capacitor é qualquer par de condutores separados por um isolante, mais simplesmente duas placas metálicas com um fino espaço entre elas. Uma bateria move carga pelos fios de uma placa para a outra, deixando $+Q$ em uma e $-Q$ na outra, de modo que o capacitor como um todo permanece neutro e sua carga é $Q$. Sua tensão $V$ é a diferença de potencial entre as placas, o trabalho por coulomb para levar carga da placa negativa até a positiva.

Dobrando a carga, o campo entre as placas dobra em toda parte, e também o trabalho por coulomb. Carga e tensão são, portanto, proporcionais:
$Q=CV$

A constante $C$ é a capacitância, a carga armazenada por volt, medida em farads: $1\mathrm{F}=1C/V$. Um farad é enorme, então a maioria dos capacitores é especificada em picofarads ($10^{-12}\mathrm{F}$), nanofarads ou microfarads (µF, $10^{-6}\mathrm{F}$).

O que define a capacitância

Para duas placas planas paralelas de área $A$ a uma distância $d$ uma da outra, o campo entre elas é uniforme, $E=V/d$, e quase nulo do lado de fora. A capacitância depende apenas dessa geometria e do isolante:
$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$

Aqui ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ é a permissividade do vácuo, e ${\epsilon }_r$ é a permissividade relativa, ou constante dielétrica, do isolante: 1,0006 para o ar, cerca de 2,2 para o polipropileno, 80 para a água.

A carga por metro quadrado fixa o campo, $E=Q/({\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A)$. Placas maiores espalham a mesma carga mais finamente, então o campo e a tensão $V=Ed$ são menores. Um espaço mais estreito mantém o campo da mesma carga, mas encurta o caminho através dele. Em um dielétrico, as moléculas se polarizam, com suas extremidades negativas voltadas para a placa positiva, e cancelam parcialmente o campo. Assim, a tensão por coulomb cai, e a mesma bateria empurra mais carga.

Duas placas de 1 cm² com um espaço de ar de 0,5 mm têm $C=8,85\times 10^{-12}\cdot 10^{-4}/(5\times 10^{-4})\approx 1,77\mathrm{pF}$; pressionadas a 0,3 mm, como em uma tecla capacitiva, chegam a 2,95 pF. Um farad com espaço de ar de 1 mm exigiria 113 km² de placa.

Carregando por meio de um resistor

Na animação, uma bateria de tensão $V_0$ carrega o capacitor por meio de um resistor $R$. A tensão da bateria é dividida entre os dois, $V_0=RI+V_C$, de modo que somente a tensão restante no resistor impulsiona a corrente:
$I=\frac{V_0-V_C}{R}$

No início o capacitor está vazio, $V_C=0$, e a corrente é máxima, $V_0/R$, como se o capacitor fosse um simples fio. Cada porção de carga que chega eleva $V_C$, deixa menos tensão para o resistor e desacelera a corrente: quanto mais cheio o capacitor, mais suave o empurrão que o enche.

O ritmo é definido pela constante de tempo $\tau =RC$; ohms vezes farads dão segundos. Após uma constante de tempo, o capacitor tem 63 % de sua tensão final, e após $5\tau$, mais de 99 %. As leis exatas, deduzidas no nível avançado, são exponenciais:

• $\tau =RC$
• $V_C=V_0(1-e^{-t/RC})$
• $I=\left(\frac{V_0}{R}\right)e^{-t/RC}$

Energia armazenada e o gráfico tensão–carga

Carregar exige trabalho: cada porção de carga precisa ser levada através da tensão já construída, quase zero para a primeira porção e a tensão total $V$ para a última. Em um gráfico de tensão contra carga, $V=Q/C$ é uma reta a partir da origem, e o trabalho é a área sob ela, um triângulo de base $Q$ e altura $V$:
$W=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}QV$

O ½ aparece porque a tensão média durante a carga é metade da final. Traçada como carga em função da tensão, a mesma reta tem inclinação $C$, de modo que uma capacitância maior dá uma reta mais inclinada. Como $W$ cresce com o quadrado da tensão, dobrar a tensão armazena quatro vezes a energia, guardada no campo entre as placas.

Exemplo resolvido: o circuito da animação

Com a tensão da animação $V_0=12\mathrm{V}$, $R=10\mathrm{k\Omega }$ e $C=100\mu \mathrm{F}$, a corrente inicial, a constante de tempo, a carga final e a energia são
$I_0=\frac{V_0}{R}=\frac{12\mathrm{V}}{10^4\Omega }=1,2\mathrm{mA}$
$\tau =RC=10^4\Omega \cdot 10^{-4}\mathrm{F}=1\mathrm{s}$
$Q=C{V}_0=10^{-4}\mathrm{F}\cdot 12\mathrm{V}=1,2\mathrm{mC}$
$W=\frac{1}{2}C{V}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 12^2=7,2\mathrm{mJ}$

Estes são os valores finais dos visores: $I$ começa em 1,20 mA, e, ao terminar a carga, $V_C$ marca 12,0 V, $Q$ 1,20 mC e $I$ 0,00 mA. Em $t=\tau =1\mathrm{s}$ eles mostram $V_C=7,6\mathrm{V}$ (63 %), $Q=0,76\mathrm{mC}$ e $I=0,44\mathrm{mA}$, como confirma a regra das malhas: $(12-7,6)\mathrm{V}/10\mathrm{k\Omega }=0,44\mathrm{mA}$.

Os pontos azuis são elétrons. Eles deixam a placa superior em direção ao polo positivo da bateria, e a mesma quantidade é empurrada do polo negativo para a placa inferior, de modo que a placa superior fica com $+Q$ (pontos laranja-avermelhados) e a inferior com $-Q$ (pontos azuis). A seta dourada $I$, a corrente convencional, aponta contra a deriva dos elétrons e diminui à medida que a corrente se extingue. As setas roxas $E$ entre as placas crescem em proporção a $Q$, e nenhum ponto atravessa o espaço.

Exemplo resolvido: um flash de câmera

Um flash de câmera armazena sua energia em um capacitor de, digamos, 150 µF carregado a 300 V. Ele contém
$Q=CV=150\times 10^{-6}\cdot 300=0,045\mathrm{C}$
$W=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}\cdot 150\times 10^{-6}\cdot 300^2=6,75\mathrm{J}$

Suponha que o carregador se comporte como uma fonte de 300 V atrás de 8 kΩ. Então $\tau =8000\cdot 150\times 10^{-6}=1,2\mathrm{s}$ e a corrente começa em $300/8000=37,5\mathrm{mA}$. Após $2\tau =2,4\mathrm{s}$, a tensão é $300(1-e^{-2})\approx 259\mathrm{V}$, 86 %, mas a energia, que varia com $V^2$, é apenas $0,865^2\approx 0,75$ do máximo, cerca de 5,0 J.

O tubo então esvazia o capacitor totalmente carregado em cerca de um milissegundo, de modo que a potência média do flash é $6,75\mathrm{J}/10^{-3}\mathrm{s}\approx 7\mathrm{kW}$. Uma constante de tempo de descarga de 1 ms exige uma resistência de apenas $10^{-3}/(150\times 10^{-6})\approx 7\Omega$. O mesmo capacitor enche devagar e esvazia depressa: a resistência no caminho define o ritmo.

Erros comuns

• A corrente não atravessa o espaço: a carga flui para uma placa enquanto uma carga igual sai da outra, de modo que os dois fios conduzem a mesma corrente, 1,2 mA no início da animação e nenhuma quando o capacitor está cheio. Um capacitor bloqueia uma corrente contínua.
• Um capacitor carregado não tem carga líquida: as placas da animação terminam com $+1,2\mathrm{mC}$ e $-1,2\mathrm{mC}$.
• A energia armazenada é $\frac{1}{2}QV$, não $QV$: 7,2 mJ na animação, não 14,4 mJ, porque a tensão subiu desde zero enquanto a carga era deslocada.
• Uma constante de tempo não enche o capacitor: ela dá 63 % da tensão final e apenas 40 % da energia final. Considere cerca de $5\tau$.
• Quilo-ohms vezes microfarads dão milissegundos: 2,2 kΩ com 47 µF dão $\tau \approx 0,10\mathrm{s}$, não 103 s.

Onde ele aparece

Flashes de câmeras e desfibriladores acumulam energia lentamente e a liberam em milissegundos. Capacitores de filtragem em fontes de alimentação se carregam nos picos da tensão alternada e fornecem corrente entre eles. Telas sensíveis ao toque detectam a mudança de capacitância quando um dedo se aproxima, e cada bit da memória principal de um computador é um minúsculo capacitor, carregado ou vazio.

O resistor e a regra das malhas são estudados em Corrente elétrica e resistência e em Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm. Ligado a uma bobina (Indução eletromagnética), um capacitor forma um circuito cuja carga oscila, como em Movimento harmônico simples, e a resistência o transforma em um caso de Amortecimento e ressonância. O campo variável no espaço de um capacitor em carga atua como corrente de deslocamento, que completa as equações de campo e prevê as Ondas eletromagnéticas.

Avançado

Por que carga e tensão são proporcionais

Todos os resultados abaixo se apoiam em um fato: para qualquer par de condutores, a carga é proporcional à tensão. Vale a pena ver por que antes de usá-lo.

Coloque $+Q$ em um condutor e $-Q$ no outro, sem outras cargas por perto. O campo que elas produzem obedece a equações lineares: o campo de várias cargas é a soma de seus campos separados. Multiplique cada carga pelo mesmo fator e o campo é multiplicado por esse fator em cada ponto. A configuração ampliada ainda tem campo nulo dentro do metal e cada condutor continua em um único potencial, então ela é a configuração verdadeira para a carga maior. A tensão é a integral de linha do campo do condutor positivo até o negativo, $V=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$, e por isso ela cresce pelo mesmo fator.

Carga e tensão crescem, portanto, juntas em uma razão fixa, $Q=CV$. A capacitância $C$ é definida pela forma e pelo espaçamento dos condutores e pelo isolante entre eles, nunca por $Q$ ou $V$. A receita para encontrá-la segue diretamente: suponha uma carga $Q$, encontre o campo, integre-o para obter $V$ e divida.

Placas paralelas pela lei de Gauss

O caso mais simples são duas placas planas de área $A$ a uma pequena distância $d$ uma da outra. A lei de Gauss dá o campo entre elas em um único passo, e a Figura 1 mostra como.

Legenda

$Q$	Carga em cada placa: $+Q$ na placa da esquerda, $-Q$ na da direita.	$\mathrm{C}$
$\sigma$	Carga por metro quadrado na superfície interna da placa positiva, $\sigma =Q/A$ para placas de área $A$.	$C/{\mathrm{m}}^2$
$dA$	Área da face direita da caixa de Gauss, a única que o campo atravessa.	${\mathrm{m}}^2$
$E$	Campo elétrico no espaço: uniforme, da placa positiva para a negativa; nulo dentro do metal.	$N/C$
$d$	Largura do espaço entre as placas.	$\mathrm{m}$
$V$	Tensão entre as placas: a integral de linha do campo da placa positiva para a negativa, $V=Ed$.	$\mathrm{V}$

A Figura 1 mostra as placas de lado, com $+Q$ na placa da esquerda, $-Q$ na da direita e o espaço $d$ entre elas. A carga positiva fica na superfície interna de sua placa, o lado voltado para a placa negativa, com uma carga $\sigma$ em cada metro quadrado; para placas de área $A$, $\sigma =Q/A$. A pequena caixa desenhada atravessando essa superfície é uma caixa de Gauss: uma superfície fechada imaginária à qual se aplica a lei de Gauss.

Observe as duas faces grandes da caixa. A face da esquerda está dentro do metal, marcada $E=0$. Em um condutor em repouso o campo deve ser nulo, senão suas cargas livres continuariam se movendo. A face da direita, um pedaço de área $dA$, está no espaço, e o campo $E$ a atravessa em ângulo reto. As outras faces ou seguem ao longo do campo ou ficam dentro do metal, então nada passa por elas. O fluxo para fora da caixa é, portanto, $EdA$, e a carga dentro dela é $\sigma dA$.

A lei de Gauss faz o fluxo para fora de uma superfície fechada igual à carga interna dividida por ${\epsilon }_0$:
$EdA=\frac{\sigma dA}{{\epsilon }_0}$
A área $dA$ se cancela, então o tamanho da caixa não importa, e o campo no espaço é
$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}A}$

Como $\sigma$ é igual em toda uma placa grande, esse campo tem o mesmo valor em todo o espaço, como mostram as linhas de campo igualmente espaçadas da figura. Fora do par, os campos das duas placas se anulam.

Agora a tensão. A seta $V$ na figura vai pelo espaço, da placa positiva à negativa. Ao longo dela, o campo tem o mesmo valor $E$ a cada passo, então a integral de linha é simplesmente $E$ vezes o comprimento $d$:
$V=Ed=\frac{Qd}{{\epsilon }_{0}A},C=\frac{Q}{V}=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}$
Como prometido, $Q$ desapareceu. Uma área maior armazena mais carga por volt; um espaço mais largo, menos. Um isolante de permissividade relativa ${\epsilon }_r$ preenchendo o espaço torna $C$ maior pelo fator ${\epsilon }_r$, como explica a seção sobre dielétricos.

A mesma receita funciona para outras formas. Fora de uma esfera isolada de raio $a$, o campo é o de uma carga pontual, e integrá-lo da superfície até o infinito dá $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}a)$. Em um cabo coaxial com raio interno $a$ e raio externo $b$, o campo entre os condutores cai com $1/r$, então integrá-lo de $a$ a $b$ dá um logaritmo. Para a esfera, e para um cabo de comprimento $\ell$ com isolamento de permissividade relativa ${\epsilon }_r$:
$C=4\pi {\epsilon }_{0}a,\frac{C}{\ell }=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}{\ln (b/a)}$
Os números são reveladores. A Terra inteira, como esfera, tem apenas cerca de 0,71 mF, menos que um capacitor eletrolítico comum de 1000 µF. Um cabo com isolamento de polietileno (${\epsilon }_r=2,3$) e $b/a=3,5$ tem cerca de 100 pF por metro.

A equação de carga e sua solução

Um capacitor nunca é carregado instantaneamente: alguma resistência no circuito sempre limita a corrente. Esta seção calcula como a carga se acumula ao longo do tempo, a lei por trás de todo circuito de temporização construído com um resistor e um capacitor.

Legenda

$V_0$	Tensão da bateria: a elevação de potencial através da bateria.	$\mathrm{V}$
$R$	Resistência do resistor.	$\Omega$
$C$	Capacitância do capacitor.	$\mathrm{F}$
$I$	Corrente, igual em toda a malha: a taxa com que a carga chega à placa superior, $I=dq/dt$.	$\mathrm{A}$
$q$	Carga do capacitor no instante representado: $+q$ na placa superior, $-q$ na inferior.	$\mathrm{C}$
$V_R$	Queda de potencial no resistor, $V_R=RI$.	$\mathrm{V}$
$V_C$	Queda de potencial no capacitor, $V_C=q/C$.	$\mathrm{V}$

A Figura 2 mostra a malha: uma bateria de tensão $V_0$, um resistor $R$ e um capacitor $C$ em série. Há um único caminho, então a mesma corrente $I$ passa por todas as partes. No instante desenhado, o capacitor carrega $+q$ em sua placa superior e $-q$ na inferior; $q$ cresce a partir de zero à medida que a corrente traz carga.

Siga o potencial uma volta pela malha, no sentido de $I$. A bateria o eleva de $V_0$. O resistor o reduz de $V_R=RI$ (lei de Ohm), e o capacitor o reduz de $V_C=q/C$. De volta ao ponto de partida, o potencial deve ter seu valor original, então a elevação é igual às duas quedas juntas:
$V_0=V_R+V_C$

A corrente é a taxa com que a carga chega à placa superior, $I=dq/dt$. Escrevendo $V_R=Rdq/dt$ e $V_C=q/C$, a regra das malhas se torna uma equação só para a carga:
$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_0$
É de primeira ordem, porque só aparece a primeira derivada, e linear, porque $q$ aparece apenas na primeira potência.

Para resolver, multiplique por $C$ e rearranje: $RCdq/dt=C{V}_0-q$. O lado direito é a carga que ainda falta para o valor final $C{V}_0$. Dividindo ambos os lados por ela, tudo com $q$ fica de um lado e tudo com $t$ do outro:
$\frac{dq}{C{V}_0-q}=\frac{dt}{RC}$
Integre desde um capacitor vazio, $q=0$ quando a chave fecha em $t=0$, até a carga $q$ no instante $t$:
$-\ln \left(1-\frac{q}{C{V}_0}\right)=\frac{t}{RC}$

Desfazendo o logaritmo, obtemos $q=C{V}_0(1-e^{-t/RC})$. Dividindo por $C$ obtemos a tensão do capacitor, e derivando $q$ obtemos a corrente:
$V_C=V_0(1-e^{-t/RC})$
$I=\frac{V_0}{R}{e}^{-t/RC}$
O produto $\tau =RC$ tem unidade de tempo, pois $\Omega \cdot \mathrm{F}=\mathrm{s}$. Ele se chama constante de tempo e define o ritmo de tudo o que segue.

Uma equação de primeira ordem precisa de uma condição inicial, aqui $q(0)=0$. Observe o que pode e o que não pode dar um salto quando a chave fecha. A corrente salta de imediato de zero para $V_0/R$. A carga não pode saltar, porque mudá-la em tempo nulo exigiria uma corrente infinita; por isso a tensão de um capacitor é sempre contínua. Descarregar por $R$ a partir de uma tensão $V_1$ é a mesma equação com $V_0=0$, e dá $V_C=V_1{e}^{-t/RC}$.

Toda grandeza em um circuito desses, carga, tensões e corrente, segue um mesmo padrão. Uma grandeza $x$ parte de $x_0$ e tende ao valor final $x_{\infty }$:
$x(t)=x_{\infty }+(x_0-x_{\infty })e^{-t/\tau }$
A razão é que sua taxa de variação é proporcional à distância ainda a percorrer, $dx/dt=(x_{\infty }-x)/\tau$. Como resultado, tempos iguais reduzem essa distância por fatores iguais: por $e^{-1}\approx 0,37$ em cada constante de tempo, e pela metade em cada $\tau \ln 2\approx 0,69\tau$.

Lendo os gráficos exponenciais

As soluções são mais fáceis de compreender como gráficos. Eles são desenhados aqui para o circuito da animação: $V_0=12\mathrm{V}$, $R=10\mathrm{k\Omega }$ e $C=100\mu \mathrm{F}$, de modo que $\tau =RC=1\mathrm{s}$ e a corrente inicial é $I_0=V_0/R=1,2\mathrm{mA}$.

Legenda

$t$	Tempo desde o fechamento da chave.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Constante de tempo, $\tau =RC$: o tempo para percorrer 63 % da variação.	$\mathrm{s}$
$V_C$	Tensão do capacitor, subindo de zero em direção a $V_0$.	$\mathrm{V}$
$V_0$	Tensão da bateria, o valor final de $V_C$.	$\mathrm{V}$
$I$	Corrente na malha, caindo de $I_0$ em direção a zero; $I=Cd{V}_C/dt$.	$\mathrm{A}$
$I_0$	Corrente inicial, $I_0=V_0/R$.	$\mathrm{A}$
$Q$	Carga total entregue: a área sombreada sob $I(t)$, igual a $I_0\tau =C{V}_0$.	$\mathrm{C}$

A Figura 3 desenha as duas soluções em um eixo de tempo $t$ comum. O gráfico superior é a tensão do capacitor $V_C$, subindo de zero até a tensão da bateria $V_0$. O gráfico inferior é a corrente $I$, caindo de $I_0$ até zero. A linha vertical tracejada em cada um marca uma constante de tempo, $t=\tau$. O nível Avançado da animação traça as mesmas curvas, cada uma como fração de seu máximo, $V_C$ em azul e $I$ em dourado.

Observe primeiro os pontos em $t=\tau$. Na curva superior, a tensão atingiu 63 % de $V_0$; na inferior, a corrente caiu para 37 % de $I_0$. Somam 100 %, e precisam somar em todo instante, porque $V_C+RI=V_0$: a tensão que o capacitor ainda não absorveu, o resistor continua conduzindo. Como frações, as duas curvas são imagens espelhadas, e se cruzam em 50 % quando $t=\tau \ln 2\approx 0,69\mathrm{s}$.

Depois, a linha tracejada inclinada no gráfico superior. Ela é a tangente a $V_C$ em $t=0$, com inclinação $V_0/\tau =12V/s$, e mostra o que aconteceria se a corrente mantivesse seu valor inicial $I_0$: o capacitor estaria cheio após exatamente uma constante de tempo. A tangente de fato atinge o nível $V_0$ em $t=\tau$. Isso vale a partir de qualquer ponto da curva, não só do início: a tangente sempre atinge $V_0$ um $\tau$ depois. A curva real continua desacelerando, porque a lacuna a preencher é dividida por $e$ em cada constante de tempo, aqui a cada segundo: 12; 4,4; 1,6; 0,60; 0,22 e 0,08 V em $t$ = 0, 1, 2, 3, 4 e 5 s. Após cerca de $5\tau$ o capacitor está cheio, para todos os efeitos práticos.

As duas curvas estão ligadas por $I=Cd{V}_C/dt$: a curva inferior é a inclinação da superior, multiplicada por $C$. Onde a tensão sobe íngreme, no início, a corrente é grande; onde ela se nivela, a corrente se extingue.

Por fim, a área sombreada sob $I(t)$. Corrente é carga por segundo, então a área sob a curva de corrente é a carga total entregue:
$Q={\int }_0^{\infty }{I}_0{e}^{-t/\tau }dt=I_0\tau =1,2\mathrm{mA}\cdot 1\mathrm{s}=1,2\mathrm{mC}$
Este é o valor final de $Q$ da animação, e ele é igual a $C{V}_0$, como deve ser. É também a área do retângulo tracejado de altura $I_0$ e largura $\tau$: a longa cauda exponencial contém exatamente a carga que o retângulo deixa de fora.

A energia armazenada, $W=\frac{1}{2}C{V}_C^2$, fica atrás da tensão, pois depende do quadrado de $V_C$. Em $t=\tau$ a tensão está em 63 %, mas o visor de energia mostra 2,88 mJ, apenas 40 % (ou seja, $0,63^2$) dos 7,2 mJ finais.

Para onde vai a energia

Carregar um capacitor a partir de uma bateria sempre desperdiça energia, e sempre a mesma fração dela. Para ver por quê, compare o que o capacitor armazena com o que a bateria fornece.

Primeiro, a energia armazenada. Mover uma pequena carga $dq$ da placa negativa para a positiva, contra a tensão $q/C$ já presente, exige o trabalho $dW=(q/C)dq$. Somando tudo desde o vazio até a carga final $Q$, obtemos
$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{V}^2$
O ½ existe porque a carga inicial atravessa uma pequena tensão, e só a última carga atravessa a $V$ inteira.

A bateria, em contraste, empurra toda a $Q=C{V}_0$ através de sua tensão total $V_0$ desde o início, então fornece $Q{V}_0=C{V}_0^2$. Na animação, isso são 14,4 mJ, o dobro dos 7,2 mJ armazenados. A diferença vira calor no resistor, como confirma a integração de sua potência $I^{2}R$:
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{V_0^2}{R}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/RC}dt=\frac{1}{2}C{V}_0^2$

Exatamente metade é perdida, 7,2 mJ, qualquer que seja o valor de $R$. Uma resistência menor dá uma corrente maior por um tempo mais curto, e os dois efeitos se cancelam. A maior parte do calor é gerada cedo, enquanto a corrente é grande: até $t=\tau$ o resistor já transformou 6,2 mJ em calor. O problema resolvido abaixo mostra como perder menos.

Densidade de energia do campo

Onde no capacitor a energia armazenada fica guardada? As fórmulas das placas paralelas sugerem uma resposta. Coloque $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ e $V=Ed$ em $\frac{1}{2}C{V}^2$:
$\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2\cdot Ad$
O produto $Ad$ é o volume do espaço, exatamente a região que o campo preenche. Então a energia pode ser lida como distribuída pelo campo, com uma densidade de energia, ou energia por metro cúbico, de
$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2$
Isso vale para qualquer campo elétrico, não só entre placas, e levá-lo a sério leva a uma surpresa.

Como a energia entra no espaço

Se a energia está no campo entre as placas, ela precisa chegar até lá enquanto o capacitor carrega. O palpite óbvio, de que ela flui pelos fios, se revela errado.

Legenda

$I$	Corrente nos fios, fluindo para a placa superior.	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Campo elétrico no espaço, apontando para baixo e crescendo à medida que as placas carregam.	$N/C$
$\vec{B}$	Campo magnético produzido pelo $\vec{E}$ crescente, circulando o eixo no sentido horário visto de cima.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Fluxo de energia (vetor de Poynting), $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: energia por segundo e por metro quadrado, para dentro em toda a borda.	$W/{\mathrm{m}}^2$

A Figura 4 mostra um capacitor de ar com placas circulares durante a carga. A corrente $I$ nos fios flui para baixo, sobre a placa superior, então as placas ganham carga e o campo $\vec{E}$ no espaço, apontando para baixo, cresce.

Um campo elétrico variável produz um campo magnético, assim como uma corrente. Maxwell chamou o termo ${\epsilon }_{0}d{\Phi }_E/dt$ de corrente de deslocamento, em que ${\Phi }_E$ é o fluxo elétrico através do espaço. Entre as placas ela é exatamente igual à corrente $I$ nos fios, pois ${\epsilon }_{0}AdE/dt=dQ/dt$. Assim, um campo magnético $\vec{B}$ circunda o eixo dentro do espaço, no mesmo sentido em que circunda os fios: no sentido horário visto de cima, pela regra da mão direita para uma corrente descendente.

Agora observe a borda do espaço. Lá $\vec{E}$ aponta para baixo e $\vec{B}$ corre ao longo do círculo. O fluxo de energia, ou vetor de Poynting, $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$, é perpendicular a ambos, e a regra da mão direita faz com que ele aponte radialmente para dentro em cada ponto da borda. A energia do campo entra do espaço ao redor, pelos lados abertos do espaço, e não pelos fios. Somando $\vec{S}$ em toda a borda, obtemos exatamente a taxa com que a energia $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ por metro cúbico cresce no interior.

Forças a partir da energia

A energia também dá a força entre as placas, sem precisar saber como a carga se distribui sobre elas. O método, chamado trabalho virtual, imagina um pequeno movimento e pergunta como a energia muda.

Isole o capacitor carregado, de modo que $Q$ não possa mudar, e afaste uma placa por uma pequena distância $dz$. O trabalho que você realiza, $Fdz$, deve ser igual ao aumento da energia armazenada $Q^2/(2C)$. Para um espaço $z$, $1/C=z/({\epsilon }_{0}A)$, então a energia armazenada é $Q^{2}z/(2{\epsilon }_{0}A)$, que cresce em proporção a $z$. Sua taxa de variação em relação a $z$ é a força:
$F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}A}=\frac{1}{2}QE$
Por que ½ e não simplesmente $QE$? Cada placa produz metade do campo no espaço, e uma placa é empurrada apenas pela metade da outra placa. O método funciona para qualquer forma, desde que $C$ seja conhecida como função da posição.

Um número mostra quão fraca é essa força. Construído como capacitor de ar com espaço de 1 mm, os 100 µF da animação precisariam de uma área de placa $A=Cd/{\epsilon }_0\approx 1,1\times 10^4{\mathrm{m}}^2$, cerca de um campo e meio de futebol. A 12 V, as placas se atrairiam com $F=W/d=7,2\mathrm{N}$, uma pressão de apenas $6,4\times 10^{-4}\mathrm{Pa}$. Essa pressão é igual à densidade de energia $u$ do campo: força por metro quadrado e energia por metro cúbico têm as mesmas unidades, e aqui o mesmo valor.

Dielétricos

Um isolante no espaço eleva a capacitância pela sua permissividade relativa ${\epsilon }_r$. A causa é a polarização. No campo, as moléculas do isolante se esticam ou giram, de modo que suas cargas positivas e negativas se separam levemente. No interior do material esses deslocamentos se cancelam, mas deixam cargas ligadas em suas duas faces: negativas junto à placa positiva e positivas junto à negativa. As cargas ligadas produzem um campo oposto ao da carga livre das placas e cancelam parte dele.

Com carga fixa $Q$, o campo no espaço, e com ele a tensão, cai pelo fator ${\epsilon }_r$, então $C=Q/V$ aumenta por ${\epsilon }_r$. Com tensão fixa, ${\epsilon }_r$ vezes mais carga flui para as placas. De qualquer modo, $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$.

Problema resolvido: carregar em duas etapas

Perder metade da energia é o preço de carregar a partir de uma tensão fixa; não é uma lei da natureza. Pegue o capacitor e o resistor da animação, $C=100\mu \mathrm{F}$ e $R=10\mathrm{k\Omega }$, portanto $\tau =1\mathrm{s}$, e carregue até 12 V em duas etapas: primeiro a partir de uma fonte de 6 V até encher, depois a partir da bateria de 12 V. Quanto calor é produzido no total?

A primeira etapa é a animação com metade da tensão. A fonte move $C\cdot 6\mathrm{V}=0,6\mathrm{mC}$ através de 6 V e assim fornece 3,6 mJ. Destes, $\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 6^2=1,8\mathrm{mJ}$ são armazenados e os outros 1,8 mJ viram calor: metade, como antes.

A segunda etapa começa em $V_C=6\mathrm{V}$, então apenas a diferença, 6 V, impulsiona corrente pelo resistor. Com $x_0=6$ e $x_{\infty }=12$ na lei de relaxação, em volts e miliampères,
$V_C=12-6e^{-t/\tau },I=0,6e^{-t/\tau }$
A corrente começa em apenas 0,6 mA, e o calor é
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{(6\mathrm{V}{)}^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}=\frac{36}{10^4}\cdot 0,5\mathrm{J}=1,8\mathrm{mJ}$

O balanço de energia confere. Nesta etapa a bateria move mais 0,6 mC através de 12 V e fornece 7,2 mJ, enquanto a energia armazenada sobe de 1,8 para 7,2 mJ, um aumento de 5,4 mJ. A diferença é de novo 1,8 mJ de calor.

No total, 3,6 mJ são perdidos em vez de 7,2 mJ. A regra geral é que cada etapa de tamanho $\Delta V$ transforma $\frac{1}{2}C(\Delta V{)}^2$ em calor, qualquer que seja a tensão inicial, então $N$ etapas iguais perdem $\frac{1}{2}C{V}_0^2/N$: apenas 0,6 mJ para doze etapas de 1 V. Uma tensão de fonte elevada lentamente em comparação com $\tau$ perde quase nada, que é a ideia por trás da carga adiabática em eletrônica de baixa potência. O preço é o tempo, já que cada etapa precisa de cerca de $5\tau$ para terminar.

Limites do modelo simples

A fórmula $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ supõe um campo uniforme que termina abruptamente nas bordas das placas. Na realidade, o campo se curva para fora nas bordas, e esse campo de borda acrescenta capacitância: cerca de 4 % para discos de 10 cm de diâmetro separados por 1 mm, e 0,6 % a 0,1 mm.

Isolantes reais também deixam passar uma pequena corrente, e todos sofrem ruptura, passando subitamente a conduzir com faísca, acima de um campo chamado rigidez dielétrica. Para o ar seco isso é cerca de 3 MV/m, o que limita a densidade de energia de um espaço de ar a $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\approx 40J/{\mathrm{m}}^3$. Filmes poliméricos suportam centenas de megavolts por metro e armazenam alguns MJ/m³, ainda centenas de vezes menos que uma bateria de íon-lítio. Capacitores vencem em velocidade, não em armazenamento.

O modelo de circuito também supõe variação quase estática: lenta o bastante para que o campo em toda parte acompanhe a carga. Dois efeitos quebram isso em alta frequência. Primeiro, peças reais têm indutância: um pequeno capacitor cerâmico tem cerca de um nanohenry em seus terminais e placas, então uma peça de 100 nF entra em ressonância perto de 16 MHz e se comporta como um indutor acima disso. Segundo, até placas ideais falham, porque o campo magnético variável da Figura 4 induz um campo elétrico próprio, que altera $\vec{E}$ através do espaço. A 1 GHz, o campo na borda de placas de 1 cm de raio é cerca de 1 % mais fraco que no centro, e perto de 11 GHz tais placas se tornam uma cavidade ressonante.

Por fim, a carga não é infinitamente divisível. Um elétron extra eleva a tensão de um capacitor de 1 fF em apenas 0,16 mV. Mas a energia necessária para adicionar um elétron cresce à medida que a capacitância diminui, e abaixo de alguns attofarads ela supera a energia térmica à temperatura ambiente, cerca de 0,026 eV. Os elétrons então só podem entrar um de cada vez, um efeito chamado bloqueio de Coulomb, que os transistores de elétron único exploram.

Para onde isso leva

Corrente elétrica e resistência explica o resistor que define $\tau$, e Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm, a regra das malhas por trás da lei de carga. Em Potência e energia elétrica em casa, capacitores em uma tensão alternada armazenam e devolvem energia a cada ciclo. Indução eletromagnética acrescenta o indutor: junto com um capacitor ele obedece a $L\ddot{q}+q/C=0$, a equação de Movimento harmônico simples com $\omega =1/\sqrt{LC}$, e a resistência o transforma em um caso de Amortecimento e ressonância. A corrente de deslocamento no espaço é o termo que completa as equações de campo e prevê as Ondas eletromagnéticas, e a exponencial com sua constante de tempo reaparece em Radioatividade e meia-vida.