Condensadores

Principiante

Un condensador es una de las piezas eléctricas más sencillas: dos placas de metal enfrentadas, separadas por una fina capa de aire o de plástico. Almacena cargas eléctricas separadas, y con ellas energía, que puede devolver en una fracción de segundo. Los flashes de las cámaras, los desfibriladores y los circuitos de tu móvil dependen de condensadores.

Paso 1: electrones que se mueven. Los metales contienen electrones libres para moverse. Conecta las placas a una pila: arranca electrones de una placa y los empuja, por los cables, hasta la otra. Una placa queda positiva y la otra se vuelve negativa. Ningún electrón se crea ni se destruye: cada uno que llega a una placa ha salido de la otra, así que las dos cargas son siempre iguales y opuestas.

Paso 2: nada cruza el hueco. El hueco es aislante, y la carga no puede saltarlo. En cambio, la placa + y la placa − se atraen a través de él, y un campo eléctrico llena el espacio entre ellas.

Paso 3: el llenado. Cuanta más carga tienen ya las placas, más se oponen a la pila. Por eso la carga es rápida al principio, luego se frena y se detiene cuando el voltaje del condensador iguala al de la pila, igual que un depósito alimentado desde una torre de agua deja de llenarse cuando los dos niveles coinciden.

Paso 4: el tamaño importa. Placas más grandes o un hueco más estrecho permiten que la misma pila almacene más carga.

En la animación, los electrones azules corren al principio por los cables, luego se frenan y se detienen, mientras la carga se acumula en las placas y el indicador se llena cada vez más despacio.

Ponte a prueba: una placa de un condensador cargado tiene +5 unidades de carga. ¿Cuánta tiene la otra? (Respuesta: −5 unidades; el total sigue siendo cero.)

Intermedio

Carga, tensión y capacidad

Un condensador es cualquier par de conductores separados por un aislante; el caso más sencillo son dos placas metálicas con un hueco fino entre ellas. Una pila mueve carga por los cables de una placa a la otra y deja $+Q$ en una y $-Q$ en la otra, así que el condensador en conjunto sigue siendo neutro y, cuando se habla de su carga, se entiende $Q$. Su tensión $V$ es la diferencia de potencial entre las placas: el trabajo por culombio para llevar carga de la placa negativa a la positiva.

Si duplicas la carga, el campo entre las placas se duplica en todos los puntos, y también el trabajo por culombio. Carga y tensión son, por tanto, proporcionales:
$Q=CV$

La constante $C$ es la capacidad, la carga almacenada por voltio, y se mide en faradios: $1\mathrm{F}=1C/V$. Un faradio es enorme, así que la mayoría de los condensadores se dan en picofaradios ($10^{-12}\mathrm{F}$), nanofaradios o microfaradios (µF, $10^{-6}\mathrm{F}$).

De qué depende la capacidad

Para dos placas planas y paralelas de área $A$ separadas una distancia $d$, el campo entre ellas es uniforme, $E=V/d$, y casi nulo fuera. La capacidad depende solo de esta geometría y del aislante:
$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$

Aquí ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ es la permitividad del vacío y ${\epsilon }_r$ es la permitividad relativa, o constante dieléctrica, del aislante: 1,0006 para el aire, unos 2,2 para el polipropileno, 80 para el agua.

La carga por metro cuadrado fija el campo, $E=Q/({\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A)$, así que unas placas mayores reparten la misma carga sobre más superficie, y tanto el campo como la tensión $V=Ed$ son menores. Un hueco más estrecho conserva el campo de la misma carga, pero acorta el camino que hay que recorrer para cruzarlo. En un dieléctrico, las moléculas se polarizan, con sus extremos negativos girando hacia la placa positiva, y anulan en parte el campo. En los tres casos baja la tensión por culombio, y por eso la misma pila empuja más carga.

Dos placas de 1 cm² con un hueco de aire de 0,5 mm tienen $C=8,85\times 10^{-12}\cdot 10^{-4}/(5\times 10^{-4})\approx 1,77\mathrm{pF}$; si se acercan hasta 0,3 mm, como en una tecla capacitiva, llegan a 2,95 pF. Un faradio con un hueco de aire de 1 mm necesitaría 113 km² de placa.

Carga a través de una resistencia

En la animación, una pila de tensión $V_0$ carga el condensador a través de una resistencia $R$. La tensión de la pila se reparte entre ambos, $V_0=RI+V_C$, de modo que solo la tensión que le queda a la resistencia impulsa la corriente:
$I=\frac{V_0-V_C}{R}$

Al principio el condensador está vacío, $V_C=0$, y la corriente es máxima, $V_0/R$, como si el condensador fuera un simple cable. Cada porción de carga que llega eleva $V_C$, deja menos tensión para la resistencia y frena la corriente: cuanto más lleno está el condensador, más suave es el empuje que lo llena.

El ritmo lo marca la constante de tiempo $\tau =RC$; ohmios por faradios dan segundos. Tras una constante de tiempo el condensador tiene el 63 % de su tensión final, y tras $5\tau$, más del 99 %. Las leyes exactas, que se deducen en el nivel avanzado, son exponenciales:

• $\tau =RC$
• $V_C=V_0(1-e^{-t/RC})$
• $I=\left(\frac{V_0}{R}\right)e^{-t/RC}$

Energía almacenada y la gráfica tensión–carga

Cargar cuesta trabajo: cada porción de carga debe atravesar la tensión ya acumulada, casi cero para la primera y la $V$ entera para la última. En una gráfica de la tensión frente a la carga, $V=Q/C$ es una recta que parte del origen, y el trabajo es el área bajo ella, un triángulo de base $Q$ y altura $V$:
$W=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}QV$

El ½ aparece porque la tensión media durante la carga es la mitad de la final. Si se dibuja la carga frente a la tensión, la misma recta tiene pendiente $C$, de modo que una capacidad mayor da una recta más empinada. Como $W$ crece con el cuadrado de la tensión, duplicar la tensión almacena cuatro veces más energía, que está en el campo entre las placas.

Ejemplo resuelto: el circuito de la animación

Con los valores de la animación, $V_0=12\mathrm{V}$, $R=10\mathrm{k\Omega }$ y $C=100\mu \mathrm{F}$, la corriente inicial, la constante de tiempo, la carga final y la energía son
$I_0=\frac{V_0}{R}=\frac{12\mathrm{V}}{10^4\Omega }=1,2\mathrm{mA}$
$\tau =RC=10^4\Omega \cdot 10^{-4}\mathrm{F}=1\mathrm{s}$
$Q=C{V}_0=10^{-4}\mathrm{F}\cdot 12\mathrm{V}=1,2\mathrm{mC}$
$W=\frac{1}{2}C{V}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 12^2=7,2\mathrm{mJ}$

Son los valores extremos de las lecturas: al empezar, $I$ vale 1,20 mA; cuando la carga termina, $V_C$ marca 12,0 V, $Q$ marca 1,20 mC y la corriente $I$ marca 0,00 mA. En $t=\tau =1\mathrm{s}$ muestran $I=0,44\mathrm{mA}$, $V_C=7,6\mathrm{V}$ (63 %) y $Q=0,76\mathrm{mC}$, como confirma la regla de las mallas: $(12-7,6)\mathrm{V}/10\mathrm{k\Omega }=0,44\mathrm{mA}$.

Los puntos azules son electrones. Salen de la placa superior hacia el borne positivo de la pila, y otros tantos son empujados desde el borne negativo hasta la placa inferior, así que la superior pasa a tener $+Q$ (puntos rojo anaranjado) y la inferior, $-Q$ (puntos azules). La flecha dorada $I$, la corriente convencional, apunta en contra de la deriva de los electrones y se acorta a medida que la corriente se apaga. Las flechas moradas $E$ entre las placas crecen en proporción a $Q$, y ningún punto cruza jamás el hueco.

Ejemplo resuelto: el flash de una cámara

El flash de una cámara almacena su energía en un condensador de, por ejemplo, 150 µF cargado a 300 V. Contiene
$Q=CV=150\times 10^{-6}\cdot 300=0,045\mathrm{C}$
$W=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}\cdot 150\times 10^{-6}\cdot 300^2=6,75\mathrm{J}$

Supón que el cargador se comporta como una fuente de 300 V con 8 kΩ en serie. Entonces $\tau =8000\cdot 150\times 10^{-6}=1,2\mathrm{s}$ y la corriente arranca en $300/8000=37,5\mathrm{mA}$. Tras $2\tau =2,4\mathrm{s}$ la tensión es $300(1-e^{-2})\approx 259\mathrm{V}$, el 86 %, pero la energía, que va con $V^2$, es solo $0,865^2\approx 0,75$ del máximo, unos 5,0 J.

Después, el tubo del flash vacía el condensador completamente cargado en cerca de un milisegundo, de modo que la potencia media del destello es $6,75\mathrm{J}/10^{-3}\mathrm{s}\approx 7\mathrm{kW}$. Una constante de tiempo de descarga de 1 ms requiere una resistencia de solo $10^{-3}/(150\times 10^{-6})\approx 7\Omega$. El mismo condensador se llena despacio y se vacía deprisa: la resistencia que hay en su camino marca el ritmo.

Errores frecuentes

• La corriente no atraviesa el hueco: la carga fluye hacia una placa mientras una carga igual sale de la otra, así que los dos cables llevan la misma corriente, 1,2 mA al principio en la animación, y ninguna cuando el condensador está lleno. Un condensador bloquea una corriente constante.
• Un condensador cargado no tiene carga neta: las placas de la animación terminan con $+1,2\mathrm{mC}$ y $-1,2\mathrm{mC}$.
• La energía almacenada es $\frac{1}{2}QV$, no $QV$: 7,2 mJ en la animación, no 14,4 mJ, porque la tensión subió desde cero mientras se movía la carga.
• Una constante de tiempo no llena el condensador: da el 63 % de la tensión final y solo el 40 % de la energía final. Cuenta con unas $5\tau$.
• Kiloohmios por microfaradios dan milisegundos: 2,2 kΩ con 47 µF dan $\tau \approx 0,10\mathrm{s}$, no 103 s.

Dónde aparece

Los flashes de las cámaras y los desfibriladores acumulan energía despacio y la liberan en milisegundos. Los condensadores de filtrado de las fuentes de alimentación se cargan en los picos de la tensión alterna y suministran la corriente entre un pico y el siguiente. Las pantallas táctiles detectan el cambio de capacidad cuando se acerca un dedo, y cada bit de la memoria principal de un ordenador es un diminuto condensador, cargado o vacío.

La resistencia se explica en Corriente eléctrica y resistencia, y la regla de las mallas, en Circuitos de corriente continua y ley de Ohm. Unido a una bobina (Inducción electromagnética), un condensador forma un circuito cuya carga oscila como en la lección Movimiento armónico simple, y con resistencia pasa a ser un caso de Amortiguamiento y resonancia. El campo variable en el hueco de un condensador que se carga actúa como corriente de desplazamiento, que completa las ecuaciones del campo y lleva a Ondas electromagnéticas.

Avanzado

Por qué la carga y la tensión son proporcionales

Todos los resultados que siguen se apoyan en un solo hecho: para cualquier par de conductores, la carga es proporcional a la tensión. Merece la pena ver por qué antes de usarlo.

Pon $+Q$ en un conductor y $-Q$ en el otro, sin otras cargas cerca. El campo que crean obedece a ecuaciones lineales: el campo de varias cargas es la suma de sus campos por separado. Si multiplicas todas las cargas por un mismo factor, el campo queda multiplicado por ese factor en cada punto. La disposición así escalada sigue teniendo campo nulo dentro del metal y cada conductor sigue a un único potencial, de modo que es la disposición real para la carga mayor. La tensión es la integral de línea del campo desde el conductor positivo hasta el negativo, $V=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$, así que también queda multiplicada por el mismo factor.

La carga y la tensión crecen, pues, juntas en una proporción fija, $Q=CV$. La capacidad $C$ depende de la forma y la separación de los conductores y del aislante que hay entre ellos, nunca de $Q$ ni de $V$. La receta para hallarla se deduce directamente: supón una carga $Q$, halla el campo, intégralo para obtener $V$ y divide.

Placas paralelas con la ley de Gauss

El caso más sencillo son dos placas planas de área $A$ separadas una distancia pequeña $d$. La ley de Gauss da el campo entre ellas en un solo paso, y la figura 1 muestra cómo.

Leyenda

$Q$	Carga de cada placa: $+Q$ en la placa de la izquierda, $-Q$ en la de la derecha.	$\mathrm{C}$
$\sigma$	Carga por metro cuadrado en la cara interior de la placa positiva, $\sigma =Q/A$ para placas de área $A$.	$C/{\mathrm{m}}^2$
$dA$	Área de la cara derecha de la caja de Gauss, la única que atraviesa el campo.	${\mathrm{m}}^2$
$E$	Campo eléctrico en el hueco: uniforme, de la placa positiva a la negativa; nulo dentro del metal.	$N/C$
$d$	Anchura del hueco entre las placas.	$\mathrm{m}$
$V$	Tensión entre las placas: la integral de línea del campo desde la placa positiva hasta la negativa, $V=Ed$.	$\mathrm{V}$

La figura 1 muestra las placas de perfil, con $+Q$ en la placa de la izquierda, $-Q$ en la de la derecha y el hueco $d$ entre ambas. La carga positiva se sitúa en la cara interior de su placa, la que mira a la placa negativa, con una carga $\sigma$ en cada metro cuadrado; para placas de área $A$, $\sigma =Q/A$. La pequeña caja dibujada a través de esa superficie es una caja de Gauss: una superficie cerrada imaginaria a la que se aplica la ley de Gauss.

Fíjate en las dos caras grandes de la caja. La cara izquierda está dentro del metal, marcada con $E=0$. En un conductor en reposo el campo debe anularse, o sus cargas libres seguirían moviéndose. La cara derecha, un trozo de área $dA$, está en el hueco, y el campo $E$ la atraviesa en ángulo recto. Las demás caras van a lo largo del campo o están en el metal, así que no las cruza nada. El flujo que sale de la caja es, por tanto, $EdA$, y la carga que contiene es $\sigma dA$.

La ley de Gauss iguala el flujo que sale de una superficie cerrada a la carga interior dividida entre ${\epsilon }_0$:
$EdA=\frac{\sigma dA}{{\epsilon }_0}$
El área $dA$ se simplifica, de modo que el tamaño de la caja no importa, y el campo en el hueco es
$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}A}$

Como $\sigma$ es la misma en toda una placa grande, este campo tiene el mismo valor en todo el hueco, como muestran las líneas de campo igualmente espaciadas de la figura. Fuera del par, los campos de las dos placas se anulan.

Pasemos a la tensión. La flecha $V$ de la figura cruza el hueco desde la placa positiva hasta la negativa. A lo largo de ella el campo tiene el mismo valor $E$ en cada paso, así que la integral de línea es simplemente $E$ por la longitud $d$:
$V=Ed=\frac{Qd}{{\epsilon }_{0}A},C=\frac{Q}{V}=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}$
Como prometimos, $Q$ ha desaparecido. Un área mayor retiene más carga por voltio; un hueco más ancho retiene menos. Un aislante de permitividad relativa ${\epsilon }_r$ que llene el hueco multiplica $C$ por ${\epsilon }_r$, como explica la sección sobre dieléctricos.

La misma receta sirve para otras formas. Fuera de una esfera aislada de radio $a$, el campo es el de una carga puntual, e integrarlo desde la superficie hasta el infinito da $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}a)$. En un cable coaxial de radio interior $a$ y radio exterior $b$, el campo entre los conductores decrece como $1/r$, así que integrarlo de $a$ a $b$ da un logaritmo. Para la esfera, y para un cable de longitud $\ell$ con un aislante de permitividad relativa ${\epsilon }_r$:
$C=4\pi {\epsilon }_{0}a,\frac{C}{\ell }=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}{\ln (b/a)}$
Las cifras son reveladoras. La Tierra entera, vista como una esfera, tiene solo unos 0,71 mF, menos que un condensador electrolítico corriente de 1000 µF. Un cable con aislante de polietileno (${\epsilon }_r=2,3$) y $b/a=3,5$ tiene unos 100 pF por metro.

La ecuación de carga y su solución

Un condensador nunca se carga al instante: alguna resistencia del circuito limita siempre la corriente. Esta sección calcula cómo se acumula la carga con el tiempo, la ley que hay detrás de todos los circuitos temporizadores hechos con una resistencia y un condensador.

Leyenda

$V_0$	Tensión de la pila: la subida de potencial a través de la pila.	$\mathrm{V}$
$R$	Resistencia del resistor.	$\Omega$
$C$	Capacidad del condensador.	$\mathrm{F}$
$I$	Corriente, la misma en toda la malla: el ritmo al que llega carga a la placa superior, $I=dq/dt$.	$\mathrm{A}$
$q$	Carga del condensador en el instante dibujado: $+q$ en la placa superior, $-q$ en la inferior.	$\mathrm{C}$
$V_R$	Caída de potencial en la resistencia, $V_R=RI$.	$\mathrm{V}$
$V_C$	Caída de potencial en el condensador, $V_C=q/C$.	$\mathrm{V}$

La figura 2 muestra la malla: una pila de tensión $V_0$, una resistencia $R$ y un condensador $C$ en serie. Solo hay un camino, así que por todas las partes pasa la misma corriente $I$. En el instante dibujado, el condensador tiene $+q$ en su placa superior y $-q$ en la inferior; $q$ crece desde cero a medida que la corriente trae carga.

Recorre una vez la malla en el sentido de $I$ siguiendo el potencial. La pila lo eleva en $V_0$. La resistencia lo baja en $V_R=RI$ (ley de Ohm), y el condensador lo baja en $V_C=q/C$. De vuelta en el punto de partida, el potencial debe recuperar su valor inicial, así que la subida es igual a las dos caídas juntas:
$V_0=V_R+V_C$

La corriente es el ritmo al que llega carga a la placa superior, $I=dq/dt$. Al escribir $V_R=Rdq/dt$ y $V_C=q/C$, la regla de la malla se convierte en una ecuación para la carga sola:
$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_0$
Es de primer orden, porque solo aparece la primera derivada, y lineal, porque $q$ aparece solo elevada a la primera potencia.

Para resolverla, multiplica por $C$ y reordena: $RCdq/dt=C{V}_0-q$. El miembro de la derecha es la carga que aún falta para llegar al valor final $C{V}_0$. Al dividir ambos miembros entre ella, todo lo que lleva $q$ queda en un lado y todo lo que lleva $t$ en el otro:
$\frac{dq}{C{V}_0-q}=\frac{dt}{RC}$
Integra desde un condensador vacío, $q=0$ cuando se cierra el interruptor en $t=0$, hasta la carga $q$ en el instante $t$:
$-\ln \left(1-\frac{q}{C{V}_0}\right)=\frac{t}{RC}$

Al deshacer el logaritmo se obtiene $q=C{V}_0(1-e^{-t/RC})$. Dividir entre $C$ da la tensión del condensador, y derivar $q$ da la corriente:
$V_C=V_0(1-e^{-t/RC})$
$I=\frac{V_0}{R}{e}^{-t/RC}$
El producto $\tau =RC$ tiene unidades de tiempo, pues $\Omega \cdot \mathrm{F}=\mathrm{s}$. Se llama constante de tiempo y marca el ritmo de todo lo que sigue.

Una ecuación de primer orden necesita una sola condición inicial, aquí $q(0)=0$. Fíjate en lo que puede y no puede dar un salto al cerrar el interruptor. La corriente salta de golpe de cero a $V_0/R$. La carga no puede: cambiarla en un tiempo nulo exigiría una corriente infinita; por eso la tensión de un condensador es siempre continua. La descarga a través de $R$ desde una tensión $V_1$ es la misma ecuación con $V_0=0$ y da $V_C=V_1{e}^{-t/RC}$.

Toda magnitud de un circuito así, carga, tensiones y corriente por igual, sigue un mismo patrón. Una magnitud $x$ parte de $x_0$ y se dirige a su valor final $x_{\infty }$:
$x(t)=x_{\infty }+(x_0-x_{\infty })e^{-t/\tau }$
La razón es que su ritmo de cambio es proporcional a la distancia que le falta por recorrer, $dx/dt=(x_{\infty }-x)/\tau$. Como consecuencia, tiempos iguales reducen esa distancia por factores iguales: por $e^{-1}\approx 0,37$ en cada constante de tiempo, y a la mitad en cada $\tau \ln 2\approx 0,69\tau$.

Cómo leer las gráficas exponenciales

Las soluciones se entienden mejor como gráficas. Aquí se dibujan para el circuito de la animación: $V_0=12\mathrm{V}$, $R=10\mathrm{k\Omega }$ y $C=100\mu \mathrm{F}$, de modo que $\tau =RC=1\mathrm{s}$ y la corriente inicial es $I_0=V_0/R=1,2\mathrm{mA}$.

Leyenda

$t$	Tiempo transcurrido desde que se cerró el interruptor.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Constante de tiempo, $\tau =RC$: lo que tarda en recorrerse el 63 % del cambio.	$\mathrm{s}$
$V_C$	Tensión del condensador, que sube desde cero hacia $V_0$.	$\mathrm{V}$
$V_0$	Tensión de la pila, el valor final de $V_C$.	$\mathrm{V}$
$I$	Corriente en la malla, que baja desde $I_0$ hacia cero; $I=Cd{V}_C/dt$.	$\mathrm{A}$
$I_0$	Corriente inicial, $I_0=V_0/R$.	$\mathrm{A}$
$Q$	Carga total entregada: el área sombreada bajo $I(t)$, igual a $I_0\tau =C{V}_0$.	$\mathrm{C}$

La figura 3 dibuja las dos soluciones sobre un eje de tiempos $t$ común. La gráfica superior es la tensión del condensador $V_C$, que sube desde cero hacia la tensión de la pila $V_0$. La inferior es la corriente $I$, que baja desde $I_0$ hacia cero. La línea vertical discontinua de cada una marca una constante de tiempo, $t=\tau$. La capa experta de la animación dibuja las mismas curvas, cada una como fracción de su máximo, $V_C$ en azul e $I$ en dorado.

Fíjate primero en los puntos en $t=\tau$. En la curva superior la tensión ha llegado al 63 % de $V_0$; en la inferior la corriente ha caído al 37 % de $I_0$. Estos dos números suman el 100 %, y deben hacerlo en todo instante, porque $V_C+RI=V_0$: la tensión que el condensador aún no ha tomado la sigue soportando la resistencia. Como fracciones, las dos curvas son imágenes especulares, y se cruzan en el 50 % cuando $t=\tau \ln 2\approx 0,69\mathrm{s}$.

Después, la recta inclinada discontinua de la gráfica superior. Es la tangente a $V_C$ en $t=0$, con pendiente $V_0/\tau =12V/s$, y muestra lo que ocurriría si la corriente conservara su valor inicial $I_0$: el condensador se llenaría en exactamente una constante de tiempo. En efecto, la tangente alcanza el nivel $V_0$ en $t=\tau$. Esto vale desde cualquier punto de la curva, no solo desde el inicio: la tangente siempre llega a $V_0$ una $\tau$ más tarde. La curva real no deja de frenarse, porque lo que queda por llenar se reduce en un factor $e$ en cada constante de tiempo, aquí cada segundo: 12; 4,4; 1,6; 0,60; 0,22 y 0,08 V en $t=0$, 1, 2, 3, 4 y 5 s. Al cabo de unas $5\tau$ el condensador está lleno a efectos prácticos.

Las dos gráficas están unidas por $I=Cd{V}_C/dt$: la curva inferior es la pendiente de la superior multiplicada por $C$. Donde la tensión sube con fuerza, al principio, la corriente es grande; donde se aplana, la corriente se apaga.

Por último, el área sombreada bajo $I(t)$. La corriente es carga por segundo, así que el área bajo la curva de la corriente es la carga total entregada:
$Q={\int }_0^{\infty }{I}_0{e}^{-t/\tau }dt=I_0\tau =1,2\mathrm{mA}\cdot 1\mathrm{s}=1,2\mathrm{mC}$
Es la lectura final de $Q$ en la animación, y es igual a $C{V}_0$, como debe ser. También es el área del rectángulo discontinuo de altura $I_0$ y anchura $\tau$: la larga cola exponencial contiene exactamente la carga que le falta al rectángulo.

La energía almacenada, $W=\frac{1}{2}C{V}_C^2$, va rezagada respecto de la tensión porque depende del cuadrado de $V_C$. En $t=\tau$ la tensión está al 63 %, pero la lectura de la energía marca 2,88 mJ, solo el 40 % (es decir, $0,63^2$) de los 7,2 mJ finales.

Adónde va la energía

Cargar un condensador con una pila siempre desperdicia energía, y siempre la misma fracción. Para ver por qué, compara lo que almacena el condensador con lo que suministra la pila.

Primero, la energía almacenada. Llevar una pequeña carga $dq$ de la placa negativa a la positiva, contra la tensión $q/C$ que ya hay, cuesta el trabajo $dW=(q/C)dq$. Sumando desde vacío hasta la carga final $Q$ se obtiene
$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{V}^2$
El ½ está ahí porque las primeras cargas cruzan una tensión pequeña, y solo las últimas cruzan la tensión $V$ completa.

La pila, en cambio, empuja toda la carga $Q=C{V}_0$ a través de su tensión completa $V_0$ desde el principio, así que suministra $Q{V}_0=C{V}_0^2$. En la animación son 14,4 mJ, el doble de los 7,2 mJ almacenados. La diferencia se convierte en calor en la resistencia, como confirma la integral de su potencia $I^{2}R$:
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{V_0^2}{R}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/RC}dt=\frac{1}{2}C{V}_0^2$

Se pierde exactamente la mitad, 7,2 mJ, sea cual sea el valor de $R$. Una resistencia menor da una corriente mayor durante menos tiempo, y los dos efectos se compensan. La mayor parte del calor se produce pronto, mientras la corriente es grande: en $t=\tau$ la resistencia ya ha convertido 6,2 mJ en calor. El problema resuelto de más abajo muestra cómo perder menos.

Densidad de energía del campo

¿En qué lugar del condensador se guarda la energía almacenada? Las fórmulas de las placas paralelas sugieren una respuesta. Sustituye $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ y $V=Ed$ en $\frac{1}{2}C{V}^2$:
$\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2\cdot Ad$
El producto $Ad$ es el volumen del hueco, justo la región que llena el campo. Así que la energía puede leerse como repartida por el campo, con una densidad de energía, o energía por metro cúbico, de
$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2$
Esto vale para cualquier campo eléctrico, no solo entre placas, y tomárselo en serio lleva a una sorpresa.

Cómo entra la energía en el hueco

Si la energía está en el campo entre las placas, debe llegar hasta allí mientras el condensador se carga. La suposición más obvia, que viaja por los cables, resulta ser falsa.

Leyenda

$I$	Corriente en los cables, que baja hacia la placa superior.	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Campo eléctrico en el hueco, dirigido hacia abajo y creciente a medida que se cargan las placas.	$N/C$
$\vec{B}$	Campo magnético creado por el $\vec{E}$ creciente, que rodea el eje en sentido horario visto desde arriba.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flujo de energía (vector de Poynting), $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: energía por segundo y por metro cuadrado, hacia dentro en todo el borde.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figura 4 muestra un condensador de aire con placas circulares mientras se carga. La corriente $I$ de los cables baja hacia la placa superior, de modo que las placas ganan carga y el campo $\vec{E}$ del hueco, dirigido hacia abajo, crece.

Un campo eléctrico variable crea un campo magnético, igual que una corriente. Maxwell llamó corriente de desplazamiento al término ${\epsilon }_{0}d{\Phi }_E/dt$, donde ${\Phi }_E$ es el flujo eléctrico a través del hueco. Entre las placas es exactamente igual a la corriente $I$ de los cables, ya que ${\epsilon }_{0}AdE/dt=dQ/dt$. Así, un campo magnético $\vec{B}$ rodea el eje dentro del hueco, en el mismo sentido en que rodea los cables: en sentido horario visto desde arriba, por la regla de la mano derecha para una corriente descendente.

Mira ahora el borde del hueco. Allí $\vec{E}$ apunta hacia abajo y $\vec{B}$ sigue la circunferencia. El flujo de energía, o vector de Poynting, $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$, es perpendicular a ambos, y la regla de la mano derecha lo hace apuntar radialmente hacia dentro en cada punto del borde. La energía del campo entra desde el espacio circundante, por los lados abiertos del hueco, y no a lo largo de los cables. Sumar $\vec{S}$ sobre todo el borde da exactamente el ritmo al que crece en el interior la energía de $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ por metro cúbico.

Fuerzas a partir de la energía

La energía también da la fuerza entre las placas, sin necesidad de saber cómo se reparte la carga sobre ellas. El método, llamado trabajo virtual, imagina un movimiento diminuto y pregunta cómo cambia la energía.

Aísla el condensador cargado, de modo que $Q$ no pueda cambiar, y separa una placa una pequeña distancia $dz$. El trabajo que haces, $Fdz$, debe ser igual al aumento de la energía almacenada $Q^2/(2C)$. Para un hueco $z$, $1/C=z/({\epsilon }_{0}A)$, así que la energía almacenada es $Q^{2}z/(2{\epsilon }_{0}A)$, que crece en proporción a $z$. Su ritmo de cambio con $z$ es la fuerza:
$F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}A}=\frac{1}{2}QE$
¿Por qué ½ y no simplemente $QE$? Cada placa crea la mitad del campo del hueco, y una placa solo siente la mitad debida a la otra. El método sirve para cualquier forma en cuanto se conoce $C$ en función de la posición.

Un número muestra lo débil que es esta fuerza. Construido como condensador de aire con un hueco de 1 mm, el de 100 µF de la animación necesitaría un área de placa $A=Cd/{\epsilon }_0\approx 1,1\times 10^4{\mathrm{m}}^2$, aproximadamente un campo y medio de fútbol. A 12 V las placas se atraerían con $F=W/d=7,2\mathrm{N}$, una presión de solo $6,4\times 10^{-4}\mathrm{Pa}$. Esa presión es igual a la densidad de energía $u$ del campo: fuerza por metro cuadrado y energía por metro cúbico tienen las mismas unidades, y aquí también el mismo valor.

Dieléctricos

Un aislante en el hueco aumenta la capacidad multiplicándola por su permitividad relativa ${\epsilon }_r$. La causa es la polarización. En el campo, las moléculas del aislante se estiran o giran de modo que sus cargas positivas y negativas se separan un poco. Dentro del material estos desplazamientos se compensan, pero dejan cargas ligadas en sus dos caras: negativas junto a la placa positiva y positivas junto a la negativa. Las cargas ligadas crean un campo opuesto al de la carga libre de las placas y anulan una parte de él.

Con la carga $Q$ fija, el campo del hueco, y con él la tensión, baja en un factor ${\epsilon }_r$, así que $C=Q/V$ sube en ${\epsilon }_r$. Con la tensión fija, fluye a las placas ${\epsilon }_r$ veces más carga. En ambos casos, $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$.

Problema resuelto: carga en dos etapas

Perder la mitad de la energía es el precio de cargar desde una tensión fija; no es una ley de la naturaleza. Toma el condensador y la resistencia de la animación, $C=100\mu \mathrm{F}$ y $R=10\mathrm{k\Omega }$, de modo que $\tau =1\mathrm{s}$, y cárgalo hasta 12 V en dos etapas: primero con una fuente de 6 V hasta que se llene, y después con la pila de 12 V. ¿Cuánto calor se produce en total?

La primera etapa es la animación a media tensión. La fuente mueve $C\cdot 6\mathrm{V}=0,6\mathrm{mC}$ a través de 6 V y suministra así 3,6 mJ. De ellos, $\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 6^2=1,8\mathrm{mJ}$ quedan almacenados y los otros 1,8 mJ se convierten en calor: la mitad, como antes.

La segunda etapa empieza con $V_C=6\mathrm{V}$, así que solo la diferencia, 6 V, impulsa corriente por la resistencia. Con $x_0=6$ y $x_{\infty }=12$ en la ley de relajación, en voltios y miliamperios,
$V_C=12-6e^{-t/\tau },I=0,6e^{-t/\tau }$
La corriente arranca con solo 0,6 mA, y el calor es
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{(6\mathrm{V}{)}^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}=\frac{36}{10^4}\cdot 0,5\mathrm{J}=1,8\mathrm{mJ}$

El balance de energía concuerda. En esta etapa la pila mueve otros 0,6 mC a través de 12 V y suministra 7,2 mJ, mientras que la energía almacenada sube de 1,8 a 7,2 mJ, es decir, 5,4 mJ. La diferencia vuelve a ser 1,8 mJ de calor.

En total se pierden 3,6 mJ en lugar de 7,2 mJ. La regla general es que cada escalón de tamaño $\Delta V$ convierte $\frac{1}{2}C(\Delta V{)}^2$ en calor, sea cual sea la tensión de partida, de modo que $N$ escalones iguales pierden $\frac{1}{2}C{V}_0^2/N$: solo 0,6 mJ con doce escalones de 1 V. Una fuente cuya tensión sube despacio en comparación con $\tau$ casi no pierde nada, que es la idea de la carga adiabática en la electrónica de bajo consumo. El precio es el tiempo, pues cada escalón necesita unas $5\tau$ para completarse.

Límites del modelo sencillo

La fórmula $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ supone un campo uniforme que se corta en seco en los bordes de las placas. En la realidad el campo se abomba hacia fuera en los bordes, y este campo de borde añade capacidad: alrededor del 4 % para discos de 10 cm de diámetro separados 1 mm, y el 0,6 % con 0,1 mm.

Los aislantes reales también dejan pasar una pequeña corriente de fuga, y todos se rompen, pasando de repente a conducir con una chispa, por encima de un campo llamado rigidez dieléctrica. En aire seco es de unos 3 MV/m, lo que limita la densidad de energía de un hueco de aire a $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\approx 40J/{\mathrm{m}}^3$. Las películas de polímero soportan cientos de megavoltios por metro y almacenan unos pocos MJ/m³, aún cientos de veces menos que una batería de iones de litio. Los condensadores ganan en rapidez, no en almacenamiento.

El modelo de circuito supone además un cambio cuasiestático: tan lento que el campo, en todas partes, sigue el ritmo de la carga. Dos efectos lo rompen a alta frecuencia. Primero, las piezas reales tienen inductancia: un pequeño condensador cerámico tiene del orden de un nanohenrio en sus terminales y placas, de modo que una pieza de 100 nF resuena cerca de 16 MHz y por encima se comporta como una bobina. Segundo, el modelo falla incluso con placas ideales, porque el campo magnético variable de la figura 4 induce un campo eléctrico propio, que modifica $\vec{E}$ a través del hueco. A 1 GHz, el campo en el borde de unas placas de 1 cm de radio es alrededor de un 1 % más débil que en el centro, y cerca de 11 GHz esas placas se convierten en una cavidad resonante.

Por último, la carga no es infinitamente divisible. Un electrón de más eleva la tensión de un condensador de 1 fF en solo 0,16 mV. Pero la energía necesaria para añadir un electrón crece a medida que la capacidad disminuye, y por debajo de unos pocos attofaradios supera la energía térmica a temperatura ambiente, unos 0,026 eV. Entonces los electrones solo pueden entrar de uno en uno, un efecto llamado bloqueo de Coulomb, que aprovechan los transistores de un solo electrón.

Lo que viene después

Corriente eléctrica y resistencia explica la resistencia que fija $\tau$, y Circuitos de corriente continua y ley de Ohm, la regla de las mallas que hay detrás de la ley de carga. En Potencia y energía eléctricas en casa, los condensadores con tensión alterna almacenan y devuelven energía en cada ciclo. Inducción electromagnética añade la bobina: junto con un condensador obedece $L\ddot{q}+q/C=0$, la ecuación del Movimiento armónico simple con $\omega =1/\sqrt{LC}$, y la resistencia lo convierte en un caso de Amortiguamiento y resonancia. La corriente de desplazamiento del hueco es el término que completa las ecuaciones del campo y lleva a Ondas electromagnéticas, y la exponencial con su constante de tiempo reaparece en Radiactividad y semivida.