Condensateurs

Débutant

Un condensateur est l'un des composants électriques les plus simples : deux plaques de métal face à face, séparées par une mince couche d'air ou de plastique. Il stocke des charges électriques séparées, et donc de l'énergie, qu'il peut restituer en une fraction de seconde. Flashs d'appareil photo, défibrillateurs cardiaques et circuits de votre téléphone : tous reposent sur des condensateurs.

Étape 1 : des électrons qui se déplacent. Les métaux contiennent des électrons libres de bouger. Reliez les plaques à une pile : elle arrache des électrons à une plaque et les pousse, par les fils, sur l'autre. Une plaque devient positive, l'autre négative. Aucun électron n'est créé ni détruit : chacun de ceux qui arrivent sur une plaque a été pris à l'autre, si bien que les deux charges sont toujours égales et opposées.

Étape 2 : rien ne traverse l'intervalle. L'intervalle est isolant, la charge ne peut pas le franchir. En revanche, la plaque + et la plaque − s'attirent à travers lui, et un champ électrique remplit l'espace qui les sépare.

Étape 3 : le remplissage. Plus les plaques portent de charges, plus elles repoussent la pile. La charge est donc rapide au début, puis ralentit, et s'arrête quand la tension du condensateur égale celle de la pile, comme un réservoir alimenté par un château d'eau cesse de se remplir quand les deux niveaux sont égaux.

Étape 4 : la taille compte. Des plaques plus grandes ou un intervalle plus mince permettent à la même pile de stocker plus de charge.

Dans l'animation, les électrons bleus foncent d'abord dans les fils, puis ralentissent et s'arrêtent, tandis que les charges s'accumulent sur les plaques et que la jauge se remplit de plus en plus lentement.

Testez-vous : une plaque d'un condensateur chargé porte +5 unités de charge. Que porte l'autre ? (Réponse : −5 unités ; le total reste nul.)

Intermédiaire

Charge, tension et capacité

Un condensateur est un couple de conducteurs séparés par un isolant, le plus simplement deux plaques de métal face à face, séparées par un mince intervalle. Une pile déplace des charges, par les fils, d'une armature à l'autre ; elle laisse $+Q$ sur l'une et $-Q$ sur l'autre, de sorte que le condensateur reste neutre dans son ensemble, et l'on appelle sa charge la valeur $Q$ portée par l'armature positive. Sa tension $U$ est la différence de potentiel entre les armatures, le travail par coulomb pour amener une charge de l'armature négative à l'armature positive.

Doublez la charge : le champ entre les armatures double partout, et le travail par coulomb aussi. La charge et la tension sont donc proportionnelles :
$Q=CU$

La constante $C$ est la capacité, la charge stockée par volt, mesurée en farads : $1\mathrm{F}=1C/V$. Le farad est une unité énorme ; la plupart des condensateurs se chiffrent donc en picofarads ($10^{-12}\mathrm{F}$), en nanofarads ou en microfarads (µF, $10^{-6}\mathrm{F}$).

Ce dont dépend la capacité

Pour deux armatures planes et parallèles d'aire $A$, distantes de $d$, le champ entre elles est uniforme, $E=U/d$, et presque nul à l'extérieur. La capacité ne dépend que de cette géométrie et de l'isolant :
$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$

Ici, ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ est la permittivité du vide et ${\epsilon }_r$ la permittivité relative, ou constante diélectrique, de l'isolant : 1,0006 pour l'air, environ 2,2 pour le polypropylène, 80 pour l'eau.

La charge par mètre carré fixe le champ, $E=Q/({\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A)$ : des armatures plus grandes répartissent la même charge plus finement, si bien que le champ et la tension $U=Ed$ diminuent. Un intervalle plus étroit conserve le champ créé par la même charge, mais raccourcit le chemin à parcourir pour le traverser. Dans un diélectrique, les molécules se polarisent, leur côté négatif se tournant vers l'armature positive, et annulent en partie le champ. Dans chacun de ces cas, la tension par coulomb baisse, et la même pile peut donc pousser davantage de charge.

Deux armatures de 1 cm² séparées par 0,5 mm d'air ont $C=8,85\times 10^{-12}\cdot 10^{-4}/(5\times 10^{-4})\approx 1,77\mathrm{pF}$ ; rapprochées à 0,3 mm, comme dans une touche capacitive, elles atteignent 2,95 pF. Un farad avec un intervalle d'air de 1 mm exigerait 113 km² d'armature.

La charge à travers une résistance

Dans l'animation, une pile de tension $U_0$ charge le condensateur à travers une résistance $R$. La tension de la pile se partage entre les deux, $U_0=RI+U_C$ : seule la tension qui reste pour la résistance fait circuler le courant :
$I=\frac{U_0-U_C}{R}$

Au départ, le condensateur est vide, $U_C=0$, et le courant est à son maximum, $U_0/R$, comme si le condensateur était un simple fil. Chaque petite quantité de charge qui arrive fait monter $U_C$, laisse moins de tension à la résistance et ralentit le courant : plus le condensateur est plein, plus la poussée qui le remplit s'adoucit.

Le rythme est fixé par la constante de temps $\tau =RC$ ; des ohms multipliés par des farads donnent des secondes. Au bout d'une constante de temps, le condensateur a atteint 63 % de sa tension finale, et plus de 99 % au bout de $5\tau$. Les lois exactes, démontrées au niveau avancé, sont exponentielles ; dans la dernière, $i$ est le courant à l'instant $t$, le $I$ de l'animation :

• $\tau =RC$
• $U_C=U_0(1-e^{-t/RC})$
• $i=\left(\frac{U_0}{R}\right)e^{-t/RC}$

Énergie stockée et graphique tension–charge

Charger demande du travail : chaque petite quantité de charge doit être amenée à travers la tension déjà établie, presque nulle pour la première, égale à toute la tension $U$ pour la dernière. Sur un graphique de la tension en fonction de la charge, $U=Q/C$ est une droite issue de l'origine, et le travail est l'aire sous cette droite, un triangle de base $Q$ et de hauteur $U$ :
$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}QU$

Le ½ apparaît parce que la tension moyenne pendant la charge est la moitié de la tension finale. Si l'on porte la charge en fonction de la tension, la même droite a pour pente $C$ : une capacité plus grande donne une droite plus raide. Comme $W$ croît comme le carré de la tension, doubler la tension stocke quatre fois plus d'énergie, qui réside dans le champ entre les armatures.

Exemple résolu : le circuit de l'animation

Avec les valeurs de l'animation, $U_0=12\mathrm{V}$, $R=10\mathrm{k\Omega }$ et $C=100\mu \mathrm{F}$, le courant initial, la constante de temps, la charge finale et l'énergie valent
$I_0=\frac{U_0}{R}=\frac{12\mathrm{V}}{10^4\Omega }=1,2\mathrm{mA}$
$\tau =RC=10^4\Omega \cdot 10^{-4}\mathrm{F}=1\mathrm{s}$
$Q=C{U}_0=10^{-4}\mathrm{F}\cdot 12\mathrm{V}=1,2\mathrm{mC}$
$W=\frac{1}{2}C{U}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 12^2=7,2\mathrm{mJ}$

Ce sont les valeurs extrêmes des affichages (l'animation y écrit $V_C$ pour la tension $U_C$) : $I$ part de 1,20 mA et, la charge terminée, $U_C$ indique 12,0 V, $Q$ 1,20 mC et $I$ 0,00 mA. À $t=\tau =1\mathrm{s}$, ils montrent $U_C=7,6\mathrm{V}$ (63 %), $Q=0,76\mathrm{mC}$ et $I=0,44\mathrm{mA}$, ce que confirme la loi des mailles : $(12-7,6)\mathrm{V}/10\mathrm{k\Omega }=0,44\mathrm{mA}$.

Les points bleus sont des électrons. Ils quittent l'armature du haut pour la borne positive de la pile, et autant sont poussés de la borne négative sur l'armature du bas : l'armature du haut devient $+Q$ (points rouge orangé) et celle du bas $-Q$ (points bleus). La flèche dorée $I$, le courant conventionnel, est opposée à la dérive des électrons et rétrécit à mesure que le courant s'éteint. Les flèches violettes $E$ entre les armatures grandissent proportionnellement à $Q$, et aucun point ne traverse l'intervalle.

Exemple résolu : un flash d'appareil photo

Le flash d'un appareil photo stocke son énergie dans un condensateur de, disons, 150 µF chargé sous 300 V. Il contient
$Q=CU=150\times 10^{-6}\cdot 300=0,045\mathrm{C}$
$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}\cdot 150\times 10^{-6}\cdot 300^2=6,75\mathrm{J}$

Supposons que le chargeur se comporte comme une source de 300 V en série avec 8 kΩ. Alors $\tau =8000\cdot 150\times 10^{-6}=1,2\mathrm{s}$ et le courant démarre à $300/8000=37,5\mathrm{mA}$. Au bout de $2\tau =2,4\mathrm{s}$, la tension vaut $300(1-e^{-2})\approx 259\mathrm{V}$, soit 86 %, mais l'énergie, qui varie comme $U^2$, n'atteint que $0,865^2\approx 0,75$ du maximum, environ 5,0 J.

Le tube du flash décharge ensuite le condensateur entièrement chargé en environ une milliseconde : la puissance moyenne de l'éclair vaut donc $6,75\mathrm{J}/10^{-3}\mathrm{s}\approx 7\mathrm{kW}$. Une constante de temps de décharge de 1 ms n'exige qu'une résistance de $10^{-3}/(150\times 10^{-6})\approx 7\Omega$. Le même condensateur se remplit lentement et se vide vite : c'est la résistance placée sur son trajet qui fixe le rythme.

Erreurs fréquentes

• Le courant ne traverse pas l'intervalle : une charge arrive sur une armature pendant qu'une charge égale quitte l'autre, si bien que les deux fils portent le même courant, 1,2 mA au départ dans l'animation, et plus rien une fois le condensateur plein. Un condensateur bloque un courant continu.
• Un condensateur chargé ne porte aucune charge nette : les armatures de l'animation finissent à $+1,2\mathrm{mC}$ et $-1,2\mathrm{mC}$.
• L'énergie stockée vaut $\frac{1}{2}QU$, et non $QU$ : 7,2 mJ dans l'animation, et non 14,4 mJ, car la tension est montée depuis zéro pendant le déplacement de la charge.
• Une constante de temps ne remplit pas le condensateur : elle donne 63 % de la tension finale et seulement 40 % de l'énergie finale. Comptez environ $5\tau$.
• Des kilohms multipliés par des microfarads donnent des millisecondes : 2,2 kΩ avec 47 µF donnent $\tau \approx 0,10\mathrm{s}$, et non 103 s.

Où on le rencontre

Les flashs d'appareil photo et les défibrillateurs accumulent de l'énergie lentement et la libèrent en quelques millisecondes. Les condensateurs de lissage des alimentations se remplissent aux crêtes de la tension alternative et fournissent le courant entre deux crêtes. Les écrans tactiles détectent la variation de capacité quand un doigt s'approche, et chaque bit de la mémoire vive d'un ordinateur est un minuscule condensateur, chargé ou vide.

La résistance et la loi des mailles sont développées dans Courant électrique et résistance et dans Circuits en courant continu et loi d'Ohm. Associé à une bobine (Induction électromagnétique), un condensateur forme un circuit dont la charge oscille comme dans Oscillations harmoniques ; avec de la résistance, on arrive à Amortissement et résonance. Le champ variable dans l'intervalle d'un condensateur en charge joue le rôle d'un courant de déplacement, qui complète les équations du champ et prédit les Ondes électromagnétiques.

Avancé

Pourquoi charge et tension sont proportionnelles

Tous les résultats qui suivent reposent sur un seul fait : pour tout couple de conducteurs, la charge est proportionnelle à la tension. Il vaut la peine de voir pourquoi avant de l'utiliser.

Placez $+Q$ sur un conducteur et $-Q$ sur l'autre, sans autre charge à proximité. Le champ qu'ils créent obéit à des équations linéaires : le champ de plusieurs charges est la somme de leurs champs séparés. Multipliez toutes les charges par un même facteur et le champ est multiplié par ce facteur en chaque point. La configuration ainsi modifiée a toujours un champ nul dans le métal et chaque conducteur est toujours à un seul potentiel : c'est donc bien la configuration réelle pour la charge plus grande. La tension est l'intégrale curviligne du champ du conducteur positif au conducteur négatif, $U=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$ ; elle est donc multipliée, elle aussi, par le même facteur.

La charge et la tension augmentent donc ensemble dans un rapport fixe, $Q=CU$. La capacité $C$ est fixée par la forme et l'écartement des conducteurs et par l'isolant qui les sépare, jamais par $Q$ ni par $U$. La recette pour la trouver en découle directement : supposer une charge $Q$, trouver le champ, l'intégrer pour obtenir $U$, puis diviser.

Armatures planes et théorème de Gauss

Le cas le plus simple est celui de deux armatures planes d'aire $A$, séparées par une petite distance $d$. Le théorème de Gauss donne le champ entre elles en une seule étape, et la figure 1 montre comment.

Légende

$Q$	Charge de chaque armature : $+Q$ sur celle de gauche, $-Q$ sur celle de droite.	$\mathrm{C}$
$\sigma$	Charge par mètre carré sur la face interne de l'armature positive, $\sigma =Q/A$ pour des armatures d'aire $A$.	$C/{\mathrm{m}}^2$
$dA$	Aire de la face de droite de la boîte de Gauss, la seule que le champ traverse.	${\mathrm{m}}^2$
$E$	Champ électrique dans l'intervalle : uniforme, de l'armature positive vers la négative ; nul dans le métal.	$N/C$
$d$	Largeur de l'intervalle entre les armatures.	$\mathrm{m}$
$V$	Tension entre les armatures (notée $U$ dans le texte) : intégrale curviligne du champ de l'armature positive à la négative, $U=Ed$.	$\mathrm{V}$

La figure 1 montre les armatures de profil, avec $+Q$ sur l'armature de gauche, $-Q$ sur celle de droite et l'intervalle $d$ entre elles. La charge positive se place sur la face interne de son armature, celle qui regarde l'armature négative, avec une charge $\sigma$ sur chaque mètre carré ; pour des armatures d'aire $A$, $\sigma =Q/A$. La petite boîte tracée à travers cette surface est une boîte de Gauss : une surface fermée imaginaire à laquelle on applique le théorème de Gauss.

Regardez les deux grandes faces de la boîte. La face de gauche est dans le métal, marquée $E=0$. Dans un conducteur à l'équilibre, le champ doit s'annuler, sinon ses charges libres continueraient à se déplacer. La face de droite, un élément d'aire $dA$, est dans l'intervalle, et le champ $E$ la traverse à angle droit. Les autres faces longent le champ ou sont dans le métal : rien ne les traverse. Le flux sortant de la boîte vaut donc $EdA$, et la charge qu'elle contient vaut $\sigma dA$.

Le théorème de Gauss égale le flux sortant d'une surface fermée à la charge intérieure divisée par ${\epsilon }_0$ :
$EdA=\frac{\sigma dA}{{\epsilon }_0}$
L'aire $dA$ se simplifie, donc la taille de la boîte n'a aucune importance, et le champ dans l'intervalle vaut
$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}A}$

Comme $\sigma$ est la même sur toute une grande armature, ce champ a la même valeur en tout point de l'intervalle, ce que montrent les lignes de champ régulièrement espacées de la figure. À l'extérieur du couple, les champs des deux armatures s'annulent.

Passons à la tension. La flèche de la figure étiquetée $V$ (c'est la tension $U$ du texte) traverse l'intervalle de l'armature positive à l'armature négative. Le long de cette flèche, le champ a la même valeur $E$ à chaque pas, donc l'intégrale curviligne vaut simplement $E$ fois la longueur $d$ :
$U=Ed=\frac{Qd}{{\epsilon }_{0}A},C=\frac{Q}{U}=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}$
Comme promis, $Q$ a disparu. Une aire plus grande retient plus de charge par volt ; un intervalle plus large en retient moins. Un isolant de permittivité relative ${\epsilon }_r$ qui remplit l'intervalle multiplie $C$ par ${\epsilon }_r$, comme l'explique la section sur les diélectriques.

La même recette vaut pour d'autres formes. À l'extérieur d'une sphère isolée de rayon $a$, le champ est celui d'une charge ponctuelle, et l'intégrer de la surface jusqu'à l'infini donne $U=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}a)$. Dans un câble coaxial de rayon intérieur $a$ et de rayon extérieur $b$, le champ entre les conducteurs décroît comme $1/r$ ; l'intégrer de $a$ à $b$ donne un logarithme. Pour la sphère, et pour un câble de longueur $\ell$ dont l'isolant a une permittivité relative ${\epsilon }_r$ :
$C=4\pi {\epsilon }_{0}a,\frac{C}{\ell }=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}{\ln (b/a)}$
Les ordres de grandeur sont éloquents. La Terre entière, vue comme une sphère, n'a qu'environ 0,71 mF, moins qu'un condensateur électrolytique ordinaire de 1000 µF. Un câble isolé au polyéthylène (${\epsilon }_r=2,3$) avec $b/a=3,5$ a environ 100 pF par mètre.

L'équation de charge et sa solution

Un condensateur ne se charge jamais instantanément : une résistance du circuit limite toujours le courant. Cette section calcule comment la charge s'accumule au cours du temps, la loi qui se cache derrière tous les circuits de temporisation faits d'une résistance et d'un condensateur.

Légende

$V_0$	Tension de la pile (notée $U_0$ dans le texte) : hausse de potentiel aux bornes de la pile.	$\mathrm{V}$
$R$	Résistance du résistor.	$\Omega$
$C$	Capacité du condensateur.	$\mathrm{F}$
$I$	Courant, le même tout autour de la maille : taux auquel la charge arrive sur l'armature supérieure, $I=dq/dt$.	$\mathrm{A}$
$q$	Charge du condensateur à l'instant dessiné : $+q$ sur l'armature supérieure, $-q$ sur l'inférieure.	$\mathrm{C}$
$V_R$	Chute de potentiel aux bornes de la résistance (notée $U_R$ dans le texte), $U_R=RI$.	$\mathrm{V}$
$V_C$	Chute de potentiel aux bornes du condensateur (notée $U_C$ dans le texte), $U_C=q/C$.	$\mathrm{V}$

La figure 2 montre la maille : une pile de tension $U_0$ (étiquetée $V_0$ sur la figure), une résistance $R$ et un condensateur $C$ en série. Il n'y a qu'un seul chemin, donc le même courant $I$ traverse tous les éléments. À l'instant dessiné, le condensateur porte $+q$ sur son armature supérieure et $-q$ sur l'inférieure ; $q$ croît à partir de zéro à mesure que le courant apporte de la charge.

Parcourez une fois la maille dans le sens de $I$ en suivant le potentiel. La pile l'élève de $U_0$. La résistance l'abaisse de $U_R=RI$ (loi d'Ohm), et le condensateur de $U_C=q/C$. De retour au point de départ, le potentiel doit retrouver sa valeur initiale : la hausse égale donc la somme des deux chutes :
$U_0=U_R+U_C$

Le courant est le taux auquel la charge arrive sur l'armature supérieure, $I=dq/dt$. En écrivant $U_R=Rdq/dt$ et $U_C=q/C$, la loi des mailles devient une équation pour la seule charge :
$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=U_0$
Elle est du premier ordre, car seule la dérivée première y apparaît, et linéaire, car $q$ n'y figure qu'à la puissance un.

Pour la résoudre, multipliez par $C$ et réarrangez : $RCdq/dt=C{U}_0-q$. Le membre de droite est la charge qui manque encore pour atteindre la valeur finale $C{U}_0$. En divisant les deux membres par cette quantité, on met d'un côté tout ce qui contient $q$ et de l'autre tout ce qui contient $t$ :
$\frac{dq}{C{U}_0-q}=\frac{dt}{RC}$
Intégrez à partir d'un condensateur vide, $q=0$ à la fermeture de l'interrupteur en $t=0$, jusqu'à la charge $q$ à l'instant $t$ :
$-\ln \left(1-\frac{q}{C{U}_0}\right)=\frac{t}{RC}$

En inversant le logarithme, on obtient $q=C{U}_0(1-e^{-t/RC})$. Diviser par $C$ donne la tension du condensateur, et dériver $q$ donne le courant :
$U_C=U_0(1-e^{-t/RC})$
$I=\frac{U_0}{R}{e}^{-t/RC}$
Le produit $\tau =RC$ a la dimension d'un temps, puisque $\Omega \cdot \mathrm{F}=\mathrm{s}$. On l'appelle la constante de temps, et c'est elle qui fixe le rythme de tout ce qui suit.

Une équation du premier ordre demande une seule condition initiale, ici $q(0)=0$. Voyez ce qui peut et ne peut pas faire un saut à la fermeture de l'interrupteur. Le courant passe aussitôt de zéro à $U_0/R$. La charge, elle, ne le peut pas : la changer en un temps nul exigerait un courant infini ; la tension d'un condensateur est donc toujours continue. La décharge à travers $R$ depuis une tension $U_1$ est la même équation avec $U_0=0$ et donne $U_C=U_1{e}^{-t/RC}$.

Toutes les grandeurs d'un tel circuit, charge, tensions et courant, suivent un même schéma. Une grandeur $x$ part de $x_0$ et tend vers sa valeur finale $x_{\infty }$ :
$x(t)=x_{\infty }+(x_0-x_{\infty })e^{-t/\tau }$
La raison en est que son taux de variation est proportionnel à la distance qui reste à parcourir, $dx/dt=(x_{\infty }-x)/\tau$. Des durées égales réduisent donc cette distance par des facteurs égaux : par $e^{-1}\approx 0,37$ à chaque constante de temps, et de moitié à chaque $\tau \ln 2\approx 0,69\tau$.

Lecture des graphiques exponentiels

Les solutions se saisissent mieux sous forme de graphiques. Ils sont tracés ici pour le circuit de l'animation : $U_0=12\mathrm{V}$, $R=10\mathrm{k\Omega }$ et $C=100\mu \mathrm{F}$, de sorte que $\tau =RC=1\mathrm{s}$ et que le courant initial vaut $I_0=U_0/R=1,2\mathrm{mA}$.

Légende

$t$	Temps écoulé depuis la fermeture de l'interrupteur.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Constante de temps, $\tau =RC$ : la durée qu'il faut pour parcourir 63 % de la variation.	$\mathrm{s}$
$V_C$	Tension du condensateur (notée $U_C$ dans le texte), qui monte de zéro vers $U_0$.	$\mathrm{V}$
$V_0$	Tension de la pile (notée $U_0$ dans le texte), valeur finale de $U_C$.	$\mathrm{V}$
$I$	Courant dans la maille, qui tombe de $I_0$ vers zéro ; $I=Cd{U}_C/dt$.	$\mathrm{A}$
$I_0$	Courant initial, $I_0=U_0/R$.	$\mathrm{A}$
$Q$	Charge totale transportée : l'aire ombrée sous $I(t)$, égale à $I_0\tau =C{U}_0$.	$\mathrm{C}$

La figure 3 trace les deux solutions sur un axe des temps $t$ commun (la figure étiquette $V_C$ et $V_0$ ce que le texte note $U_C$ et $U_0$). Le graphe du haut est la tension du condensateur $U_C$, qui monte de zéro vers la tension de la pile $U_0$. Le graphe du bas est le courant $I$, qui tombe de $I_0$ vers zéro. Le trait vertical en pointillés de chaque graphe marque une constante de temps, $t=\tau$. La couche experte de l'animation trace les mêmes courbes, chacune en fraction de son maximum, $U_C$ en bleu et $I$ en doré.

Regardez d'abord les points à $t=\tau$. Sur la courbe du haut, la tension a atteint 63 % de $U_0$ ; sur celle du bas, le courant est tombé à 37 % de $I_0$. Ces deux nombres font 100 %, et ils doivent le faire à chaque instant, car $U_C+RI=U_0$ : la tension que le condensateur n'a pas encore prise, la résistance la porte encore. En fractions, les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre, et elles se croisent à 50 % en $t=\tau \ln 2\approx 0,69\mathrm{s}$.

Ensuite, la droite inclinée en pointillés du graphe du haut. C'est la tangente à $U_C$ en $t=0$, de pente $U_0/\tau =12V/s$, et elle montre ce qui se passerait si le courant gardait sa valeur initiale $I_0$ : le condensateur serait plein au bout d'exactement une constante de temps. La tangente atteint bien le niveau $U_0$ en $t=\tau$. Cela vaut à partir de n'importe quel point de la courbe, pas seulement du départ : la tangente atteint toujours $U_0$ une constante $\tau$ plus tard. La vraie courbe ne cesse de ralentir, car l'écart qui reste à combler est divisé par $e$ à chaque constante de temps, ici chaque seconde : 12 ; 4,4 ; 1,6 ; 0,60 ; 0,22 et 0,08 V aux instants $t=0$, 1, 2, 3, 4 et 5 s. Au bout d'environ $5\tau$, le condensateur est plein à toutes fins pratiques.

Les deux graphes sont liés par $I=Cd{U}_C/dt$ : la courbe du bas est la pente de celle du haut, multipliée par $C$. Là où la tension monte raide, au début, le courant est fort ; là où elle s'aplatit, le courant s'éteint.

Enfin, l'aire ombrée sous $I(t)$. Le courant est une charge par seconde : l'aire sous la courbe du courant est donc la charge totale transportée :
$Q={\int }_0^{\infty }{I}_0{e}^{-t/\tau }dt=I_0\tau =1,2\mathrm{mA}\cdot 1\mathrm{s}=1,2\mathrm{mC}$
C'est la valeur finale de l'affichage de $Q$ dans l'animation, et elle égale $C{U}_0$, comme il se doit. C'est aussi l'aire du rectangle en pointillés de hauteur $I_0$ et de largeur $\tau$ : la longue queue exponentielle contient exactement la charge que le rectangle ne couvre pas.

L'énergie stockée, $W=\frac{1}{2}C{U}_C^2$, est à la traîne de la tension, car elle varie comme le carré de $U_C$. À $t=\tau$, la tension est à 63 %, mais l'affichage de l'énergie indique 2,88 mJ, soit seulement 40 % (c'est-à-dire $0,63^2$) des 7,2 mJ finaux.

Où va l'énergie

Charger un condensateur avec une pile gaspille toujours de l'énergie, et toujours la même fraction. Pour comprendre pourquoi, comparons ce que le condensateur stocke et ce que la pile fournit.

D'abord, l'énergie stockée. Déplacer une petite charge $dq$ de l'armature négative à l'armature positive, contre la tension $q/C$ déjà présente, demande le travail $dW=(q/C)dq$. En additionnant de zéro jusqu'à la charge finale $Q$, on obtient
$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{U}^2$
Le ½ est là parce que les premières charges traversent une petite tension, et que seules les dernières traversent la tension $U$ entière.

La pile, elle, pousse toute la charge $Q=C{U}_0$ à travers sa tension entière $U_0$ dès le début ; elle fournit donc $Q{U}_0=C{U}_0^2$. Dans l'animation, cela fait 14,4 mJ, le double des 7,2 mJ stockés. La différence devient de la chaleur dans la résistance, comme le confirme l'intégrale de sa puissance $I^{2}R$ :
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{U_0^2}{R}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/RC}dt=\frac{1}{2}C{U}_0^2$

Exactement la moitié est perdue, 7,2 mJ, quelle que soit la valeur de $R$. Une résistance plus faible donne un courant plus fort pendant moins longtemps, et les deux effets se compensent. L'essentiel de la chaleur est produit tôt, tant que le courant est fort : à $t=\tau$, la résistance a déjà converti 6,2 mJ en chaleur. Le problème résolu plus bas montre comment perdre moins.

Densité d'énergie du champ

Où l'énergie stockée se trouve-t-elle dans le condensateur ? Les formules du condensateur plan suggèrent une réponse. Remplacez $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ et $U=Ed$ dans $\frac{1}{2}C{U}^2$ :
$\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2\cdot Ad$
Le produit $Ad$ est le volume de l'intervalle, exactement la région que le champ remplit. On peut donc lire l'énergie comme répartie dans le champ, avec une densité d'énergie, c'est-à-dire une énergie par mètre cube, de
$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2$
Cela vaut pour tout champ électrique, pas seulement entre des armatures, et le prendre au sérieux mène à une surprise.

Comment l'énergie entre dans l'intervalle

Si l'énergie se trouve dans le champ entre les armatures, elle doit y arriver pendant la charge. L'idée la plus naturelle, qu'elle circule dans les fils, se révèle fausse.

Légende

$I$	Courant dans les fils, qui descend vers l'armature supérieure.	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Champ électrique dans l'intervalle, dirigé vers le bas et qui croît pendant la charge des armatures.	$N/C$
$\vec{B}$	Champ magnétique créé par le champ $\vec{E}$ croissant, qui tourne autour de l'axe dans le sens horaire vu d'en haut.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flux d'énergie (vecteur de Poynting), $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$ : énergie par seconde et par mètre carré, dirigé vers l'intérieur tout autour du bord.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figure 4 montre un condensateur à air à armatures circulaires pendant sa charge. Le courant $I$ dans les fils descend vers l'armature supérieure : les armatures gagnent de la charge et le champ $\vec{E}$ de l'intervalle, dirigé vers le bas, grandit.

Un champ électrique variable crée un champ magnétique, tout comme un courant. Maxwell a appelé courant de déplacement le terme ${\epsilon }_{0}d{\Phi }_E/dt$, où ${\Phi }_E$ est le flux électrique à travers l'intervalle. Entre les armatures, il est exactement égal au courant $I$ des fils, puisque ${\epsilon }_{0}AdE/dt=dQ/dt$. Un champ magnétique $\vec{B}$ tourne donc autour de l'axe dans l'intervalle, dans le même sens qu'autour des fils : dans le sens horaire vu d'en haut, d'après la règle de la main droite pour un courant descendant.

Regardez maintenant le bord de l'intervalle. Là, $\vec{E}$ pointe vers le bas et $\vec{B}$ suit le cercle. Le flux d'énergie, ou vecteur de Poynting, $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$, est perpendiculaire aux deux, et la règle de la main droite le fait pointer radialement vers l'intérieur en chaque point du bord. L'énergie du champ arrive de l'espace environnant, par les côtés ouverts de l'intervalle, et non le long des fils. Additionner $\vec{S}$ sur tout le bord donne exactement le rythme auquel l'énergie, $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ par mètre cube, augmente à l'intérieur.

Forces déduites de l'énergie

L'énergie donne aussi la force entre les armatures, sans qu'il faille savoir comment la charge s'y répartit. La méthode, dite des travaux virtuels, imagine un petit déplacement et se demande comment l'énergie change.

Isolez le condensateur chargé, de sorte que $Q$ ne puisse pas changer, et éloignez une armature d'une petite distance $dz$. Le travail que vous fournissez, $Fdz$, doit égaler l'augmentation de l'énergie stockée $Q^2/(2C)$. Pour un intervalle $z$, $1/C=z/({\epsilon }_{0}A)$, donc l'énergie stockée est $Q^{2}z/(2{\epsilon }_{0}A)$, qui croît proportionnellement à $z$. Son taux de variation par rapport à $z$ est la force :
$F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}A}=\frac{1}{2}QE$
Pourquoi ½ et non simplement $QE$ ? Chaque armature crée la moitié du champ de l'intervalle, et une armature ne subit que la moitié due à l'autre. La méthode vaut pour toute forme dès que $C$ est connue en fonction de la position.

Un chiffre montre combien cette force est faible. Réalisé en condensateur à air avec un intervalle de 1 mm, le condensateur de 100 µF de l'animation exigerait une aire d'armature $A=Cd/{\epsilon }_0\approx 1,1\times 10^4{\mathrm{m}}^2$, soit environ un terrain et demi de football. À 12 V, les armatures s'attireraient avec $F=W/d=7,2\mathrm{N}$, ce qui fait une pression de seulement $6,4\times 10^{-4}\mathrm{Pa}$. Cette pression égale la densité d'énergie $u$ du champ : une force par mètre carré et une énergie par mètre cube ont la même unité, et ici la même valeur.

Diélectriques

Un isolant dans l'intervalle augmente la capacité en la multipliant par sa permittivité relative ${\epsilon }_r$. La cause en est la polarisation. Dans le champ, les molécules de l'isolant s'étirent ou s'orientent de sorte que leurs charges positives et négatives se séparent légèrement. À l'intérieur du matériau, ces déplacements s'annulent, mais ils laissent des charges liées sur ses deux faces : négatives près de l'armature positive, positives près de l'armature négative. Les charges liées créent un champ opposé à celui de la charge libre des armatures et en annulent une partie.

À charge $Q$ fixe, le champ de l'intervalle, et avec lui la tension, est divisé par ${\epsilon }_r$, donc $C=Q/U$ est multipliée par ${\epsilon }_r$. À tension fixe, ${\epsilon }_r$ fois plus de charge afflue sur les armatures. Dans les deux cas, $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$.

Problème résolu : une charge en deux étapes

Perdre la moitié de l'énergie est le prix d'une charge sous tension fixe ; ce n'est pas une loi de la nature. Reprenez le condensateur et la résistance de l'animation, $C=100\mu \mathrm{F}$ et $R=10\mathrm{k\Omega }$, donc $\tau =1\mathrm{s}$, et chargez-le à 12 V en deux étapes : d'abord avec une alimentation de 6 V jusqu'à ce qu'il soit plein, puis avec la pile de 12 V. Quelle chaleur est produite en tout ?

La première étape est l'animation à demi-tension. L'alimentation déplace $C\cdot 6\mathrm{V}=0,6\mathrm{mC}$ à travers 6 V et fournit donc 3,6 mJ. Sur ce total, $\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 6^2=1,8\mathrm{mJ}$ sont stockés et les 1,8 mJ restants deviennent de la chaleur : la moitié, comme avant.

La seconde étape part de $U_C=6\mathrm{V}$ : seule la différence, 6 V, fait circuler le courant dans la résistance. Avec $x_0=6$ et $x_{\infty }=12$ dans la loi de relaxation, en volts et en milliampères,
$U_C=12-6e^{-t/\tau },I=0,6e^{-t/\tau }$
Le courant ne démarre qu'à 0,6 mA, et la chaleur vaut
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{(6\mathrm{V}{)}^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}=\frac{36}{10^4}\cdot 0,5\mathrm{J}=1,8\mathrm{mJ}$

Le bilan d'énergie concorde. Dans cette étape, la pile déplace encore 0,6 mC à travers 12 V et fournit 7,2 mJ, tandis que l'énergie stockée passe de 1,8 à 7,2 mJ, soit un gain de 5,4 mJ. La différence est de nouveau 1,8 mJ de chaleur.

En tout, on perd 3,6 mJ au lieu de 7,2 mJ. La règle générale est que chaque marche de hauteur $\Delta U$ transforme $\frac{1}{2}C(\Delta U{)}^2$ en chaleur, quelle que soit la tension de départ, de sorte que $N$ marches égales font perdre $\frac{1}{2}C{U}_0^2/N$ : seulement 0,6 mJ pour douze marches de 1 V. Une alimentation dont la tension monte lentement devant $\tau$ ne perd presque rien, ce qui est l'idée de la charge adiabatique en électronique basse consommation. Le prix à payer est le temps, car chaque marche demande environ $5\tau$ pour s'achever.

Limites du modèle simple

La formule $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ suppose un champ uniforme qui s'arrête net aux bords des armatures. En réalité, le champ déborde vers l'extérieur sur les bords, et ce champ de bord ajoute de la capacité : environ 4 % pour des disques de 10 cm de diamètre distants de 1 mm, et 0,6 % à 0,1 mm.

Les isolants réels laissent aussi passer un faible courant de fuite, et tous claquent, devenant soudain conducteurs avec une étincelle, au-delà d'un champ appelé rigidité diélectrique. Pour l'air sec, elle vaut environ 3 MV/m, ce qui plafonne la densité d'énergie d'un intervalle d'air à $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\approx 40J/{\mathrm{m}}^3$. Les films de polymère supportent des centaines de mégavolts par mètre et stockent quelques MJ/m³, soit encore des centaines de fois moins qu'une batterie lithium-ion. Les condensateurs l'emportent par la vitesse, non par le stockage.

Le modèle de circuit suppose aussi un changement quasi statique : assez lent pour que le champ, partout, suive la charge. Deux effets le mettent en défaut à haute fréquence. D'abord, les composants réels ont une inductance : un petit condensateur céramique a environ un nanohenry dans ses connexions et ses armatures, de sorte qu'un composant de 100 nF entre en résonance près de 16 MHz et se comporte comme une bobine au-delà. Ensuite, même des armatures idéales sortent du modèle, car le champ magnétique variable de la figure 4 induit un champ électrique propre, qui modifie $\vec{E}$ dans l'intervalle. À 1 GHz, le champ au bord d'armatures de 1 cm de rayon est inférieur d'environ 1 % à celui du centre, et vers 11 GHz de telles armatures deviennent une cavité résonante.

Enfin, la charge n'est pas divisible à l'infini. Un électron supplémentaire ne fait monter la tension d'un condensateur de 1 fF que de 0,16 mV. Mais l'énergie nécessaire pour ajouter un électron croît quand la capacité diminue, et en dessous de quelques attofarads elle dépasse l'énergie thermique à température ambiante, environ 0,026 eV. Les électrons n'entrent alors qu'un par un : c'est le blocage de Coulomb, qu'exploitent les transistors à un électron.

Où cela mène

Courant électrique et résistance explique la résistance qui fixe $\tau$, et Circuits en courant continu et loi d'Ohm la loi des mailles qui sous-tend la loi de charge. Dans Puissance et énergie électriques à la maison, des condensateurs soumis à une tension alternative stockent et restituent de l'énergie à chaque période. Induction électromagnétique ajoute la bobine : avec un condensateur, le circuit obéit à $L\ddot{q}+q/C=0$, l'équation des Oscillations harmoniques avec $\omega =1/\sqrt{LC}$, et, avec de la résistance, on arrive à Amortissement et résonance. Le courant de déplacement dans l'intervalle est le terme qui complète les équations du champ et prédit les Ondes électromagnétiques, et l'exponentielle et sa constante de temps reviennent dans Radioactivité et demi-vie.