Modelos atômicos: o átomo de Bohr

Elétrons em níveis de energia fixos, $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ no hidrogênio: cada salto entre dois níveis emite ou absorve um fóton cuja energia $h f$ é igual à diferença entre eles, então cada átomo brilha em cores próprias e nítidas, a impressão digital do seu espectro.

Um átomo de hidrogênio com órbitas de Bohr n = 1 a 4: o elétron desce de n = 3 para n = 2 e emite um fóton vermelho; depois absorve um fóton idêntico e volta a subir.

Antes deste tema: Efeito fotoelétrico

Iniciante

Ideias principais

Um átomo minúsculo, como um sistema solar, perderia sua energia brilhando e colapsaria em uma fração de segundo, mas os átomos reais são estáveis.
Um elétron só pode ficar em certos níveis de energia, como os degraus de uma escada, nunca entre eles.
Calor, chamas ou colisões com elétrons rápidos elevam os elétrons a níveis mais altos.
Ao descer para um nível inferior, o átomo emite um fóton com exatamente a energia perdida: a descida do hidrogênio de 3 para 2 dá luz vermelha.
Cada elemento tem seus próprios níveis, então suas cores são uma impressão digital que revela aos astrônomos do que são feitas as estrelas.

Um átomo tem um núcleo minúsculo, pesado e positivo, com elétrons leves e negativos ao redor. Imagine-o como um sistema solar em miniatura, como as pessoas faziam por volta de 1911, e surge um problema: um elétron girando em torno do núcleo deveria continuar emitindo luz, perder energia e espiralar para dentro em uma fração de segundo. Mesmo assim, os átomos não colapsam.

Passo 1. Em 1913, Niels Bohr propôs que um elétron só pode usar certas órbitas permitidas, como os degraus de uma escada, e não emite luz enquanto permanece em uma delas. Cada degrau tem sua própria energia: o mais baixo, mais próximo do núcleo, tem a menor.

Passo 2. Os átomos sobem para degraus mais altos quando recebem energia: o calor de uma chama, ou colisões com elétrons rápidos no gás brilhante de um letreiro de neon.

Passo 3. Um elétron excitado logo volta a descer. A energia perdida sai como um pacote de luz, um fóton. Na animação, o elétron do terceiro anel desce para o segundo e um fóton vermelho é emitido. Depois chega um fóton vermelho idêntico; o elétron o absorve e sobe de novo. Luz de cor um pouco diferente passaria sem efeito.

Passo 4. Os intervalos entre os degraus são fixos, por isso cada descida sempre produz a mesma cor. O hidrogênio brilha em poucas linhas nítidas, e não em um arco-íris, e cada elemento tem seus próprios degraus, então suas linhas são uma impressão digital. Se você espalhar a luz de uma estrela com um prisma, poderá descobrir do que ela é feita.

Os anéis são apenas uma imagem: o elétron é, na verdade, uma nuvem difusa, não um planeta minúsculo, mas os níveis de energia fixos são reais.

Teste seus conhecimentos: um elétron está no degrau 4. Qual descida isolada gera o fóton com mais energia? (Direto para o degrau 1.)

Intermediário

Ideias principais

A regra de Bohr $m v r = n ℏ$ permite apenas órbitas $r_{n} = n^{2} a_{0}$ ( $a_{0} \approx 0, 0529 nm$ ) com energias $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ .
Um salto do nível $i$ para o nível $f$ emite um fóton: $h f = E_{i} - E_{f}$ , logo $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ , com $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ .
Exemplo: $3 \to 2$ libera 1,89 eV, $λ \approx 656 nm$ (Hα vermelho); só um fóton de 1,89 eV eleva o elétron de 2 de volta a 3.
O fóton carrega a diferença entre dois níveis, não o valor de nenhum deles; 13,6 eV liberam o elétron de $n = 1$ .

Átomos, luz e o elétron-volt

Experimentos de espalhamento de partículas alfa mostraram em 1911 que o átomo é quase todo vazio: um núcleo com apenas $1 0^{- 15}$ a $1 0^{- 14} m$ de diâmetro concentra toda a carga positiva e quase toda a massa, enquanto os elétrons ocupam uma região de cerca de $1 0^{- 10} m$ de diâmetro. Para o hidrogênio, um próton e um elétron, dois fatos precisam de explicação: seus átomos são estáveis, e o hidrogênio quente brilha apenas em alguns comprimentos de onda nítidos, como uma linha vermelha em 656 nm, e absorve luz exatamente nesses mesmos comprimentos de onda.

Energias atômicas são medidas em elétron-volts, $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ , a energia que um elétron ganha ao atravessar um volt. O zero é um elétron em repouso longe do próton, então um elétron ligado tem energia negativa. A energia e o comprimento de onda de um fóton se relacionam por $E = h c / λ$ , com $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ .

As três regras de Bohr

Um sistema solar em miniatura não pode funcionar: um elétron em órbita acelera, então deveria irradiar, espiralar até o núcleo em cerca de $1 0^{- 11} s$ e emitir um borrão de cores em vez de linhas nítidas. Em 1913, Niels Bohr manteve a órbita, mas acrescentou regras que a física clássica não contém.

A primeira regra é clássica: o elétron gira em torno do próton, mantido pela força de Coulomb. A segunda seleciona as órbitas: o momento angular $m v r$ deve ser um múltiplo inteiro da constante de Planck reduzida $ℏ = h /2 π \approx 1, 055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ,
$m v r = n ℏ$
onde $n = 1, 2, 3, \dots$ é o número quântico principal.

A terceira regra é a mais ousada: em uma órbita permitida o átomo está em um estado estacionário, e o elétron não irradia nada. A luz é emitida ou absorvida apenas em um salto entre órbitas permitidas, como um único fóton que carrega a diferença de energia.

Raios, energias e fótons

Com o equilíbrio de forças, a regra do momento angular fixa o raio e a energia de cada órbita, e um salto de um nível $i$ para um nível inferior $f$ gera um fóton:

$r_{n} = n^{2} a_{0}$
$E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$
$h f = E_{i} - E_{f}$
$λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}$

Aqui $a_{0} \approx 0, 0529 nm$ é o raio de Bohr. Os raios crescem com $n^{2}$ , na razão 1 : 4 : 9 : 16, enquanto a velocidade cai como $v_{n} = v_{1} / n$ , com $v_{1} \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ . O índice $f$ marca o nível final; $f$ sem índice é a frequência do fóton.

As energias são negativas porque o elétron está ligado: liberá-lo do estado fundamental exige 13,6 eV, a energia de ionização do hidrogênio. Os níveis $- 13, 6$ , $- 3, 40$ , $- 1, 51$ e $- 0, 85 eV$ se acumulam e se aproximam de zero quando $n \to \infty$ . O equilíbrio de forças $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ também faz a energia cinética $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ter metade do módulo da energia potencial $U = - k e^{2} / r$ , de modo que $E = K + U = - K$ .

Exemplo resolvido: a linha vermelha da animação

O elétron desce de $n = 3$ para $n = 2$ :
$E_{3} = - \frac{13 , 6}{9} = - 1, 51 eV, E_{2} = - \frac{13 , 6}{4} = - 3, 40 eV$
$h f = E_{3} - E_{2} = - 1, 51 - (- 3, 40) = 1, 89 eV$
$λ = \frac{h c}{E _{3} - E _{2}} = \frac{1240 eV \cdot nm}{1 , 89 eV} \approx 656 nm$
Esta é a luz vermelha, a linha Hα, de frequência $f = 1, 89 eV / (4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ .

Estes são os números da animação. O indicador $n$ passa de 3 para 2 e o indicador $E$ de $- 1, 51$ para $- 3, 40 eV$ exatamente quando o fóton vermelho marcado com $h f$ deixa o átomo; a linha abaixo deles mostra $h f = 1, 89 eV$ e $λ = 656 nm$ . Quando chega um fóton idêntico, o elétron o absorve e os indicadores voltam para 3 e $- 1, 51 eV$ .

O anel encolhe de $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ para $r_{2} = 4 a_{0} = 0, 212 nm$ , e o elétron acelera por um fator 3/2. Sua energia cinética sobe 1,89 eV, enquanto sua energia potencial cai o dobro, 3,78 eV; a perda líquida é o fóton. Uma volta leva um tempo proporcional a $n^{3}$ : na tela, 3,0 s em $n = 3$ contra 0,9 s em $n = 2$ ; na realidade, $1, 2 \times 1 0^{- 15} s$ em $n = 2$ .

Exemplo resolvido: acendendo uma lâmpada de hidrogênio

Em um tubo de descarga, elétrons rápidos atingem átomos de hidrogênio no estado fundamental. Uma colisão pode transferir qualquer parte da energia do elétron, mas o átomo aceita apenas diferenças exatas. Qual é a menor energia que faz o tubo brilhar em vermelho, e quais linhas aparecem então?

A linha vermelha começa em $n = 3$ , então o átomo precisa primeiro ser levado até lá:
$E_{3} - E_{1} = - 1, 51 - (- 13, 6) = 12, 09 eV$
Um elétron com 11 eV só consegue elevar o átomo a $n = 2$ (10,2 eV), e o átomo cai direto de volta, emitindo ultravioleta em $1240/10, 2 \approx 122 nm$ : nada visível.

De $n = 3$ há dois caminhos para baixo: direto para $n = 1$ (12,09 eV, 103 nm), ou $3 \to 2$ (1,89 eV, 656 nm) seguido de $2 \to 1$ (10,20 eV, 122 nm). Os dois caminhos liberam $1, 89 + 10, 20 = 12, 09 eV$ , e das três linhas só a vermelha é visível. Elétrons mais rápidos alcançam níveis mais altos: um átomo elevado ao nível $n$ pode emitir $n (n - 1) /2$ linhas diferentes, seis a partir de $n = 4$ , incluindo a azul-esverdeada em 486 nm.

Lendo um diagrama de níveis de energia

Um diagrama de níveis de energia desenha cada nível como uma linha horizontal em sua energia, de $n = 1$ até o limite de ionização $E = 0$ ; a camada avançada da animação mostra um deles em escala. Uma seta para baixo é uma emissão, uma seta para cima é uma absorção, e o comprimento da seta é a energia do fóton: quanto maior a seta, menor o comprimento de onda. Os anéis do átomo mostram a tendência oposta: as órbitas se afastam enquanto os níveis se aproximam.

Saltos que terminam no mesmo nível formam uma série: Lyman (até $n = 1$ , ultravioleta, 122 a 91 nm), Balmer (até $n = 2$ , linhas visíveis em 656, 486, 434 e 410 nm, convergindo para 365 nm) e Paschen (até $n = 3$ , infravermelho). Uma regra, encontrada a partir de medições antes de Bohr explicá-la, abrange todas:
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})$
com $R_{H} \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ . Para Hα, $R_{H} (1/4 - 1/9) = 1, 52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ dá novamente 656 nm.

Erros comuns

O fóton carrega a diferença entre dois níveis: $3 \to 2$ dá 1,89 eV, não 1,51 nem 3,40 eV, nem a soma deles, 4,91 eV.
A energia varia com $1/ n^{2}$ , não com $1/ n$ : o nível $n = 2$ fica em $- 3, 40 eV$ , não em $- 6, 8 eV$ .
O raio cresce com $n^{2}$ : a órbita $n = 3$ é 9 vezes mais larga que a órbita $n = 1$ , não 3 vezes; 27 é a razão entre seus períodos.
Uma órbita mais alta é mais lenta e mesmo assim tem mais energia: em $n = 3$ a energia cinética é 1,89 eV menor que em $n = 2$ , mas a energia potencial é 3,78 eV maior.
Um fóton não pode ser absorvido em parte: um fóton de 2,00 eV passa por um átomo em $n = 2$ sem ser afetado, porque nenhum nível fica 2,00 eV acima. Só acima de 3,40 eV, quando o elétron é liberado, o excesso pode ir para a energia cinética dele; um elétron colidente pode ceder apenas parte de sua energia.

Onde ele aparece

Cada elemento tem seus próprios níveis, então suas linhas são uma impressão digital. O gás mais frio nas camadas externas do Sol absorve seus próprios comprimentos de onda: o Hα do hidrogênio é a linha escura que Fraunhofer chamou de C, em 656 nm, e o hélio foi descoberto na luz solar em 1868, antes de alguém encontrá-lo na Terra. Nebulosas brilham em vermelho com Hα, lâmpadas de sódio brilham em amarelo a 589 nm, e lasers funcionam por saltos entre níveis.

A regra do fóton vem de “Efeito fotoelétrico”; “Dualidade onda-partícula” explica por que apenas algumas órbitas são permitidas, e “Equação de Schrödinger e tunelamento” substitui as órbitas por ondas, mantendo essas energias. Em “Semicondutores, diodos e LEDs”, os níveis de muitos átomos se fundem em bandas, e “Radioatividade e meia-vida” passa ao núcleo, cujos níveis ficam milhares a milhões de vezes mais afastados.

Avançado

Ideias principais

Classicamente nenhum átomo é estável: cargas não têm equilíbrio estático estável, e um elétron em órbita irradia e espirala para dentro.
Minimizar $ℏ^{2} / (2 m a^{2}) - k e^{2} / a$ dá $a_{0} = ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 0, 053 nm$ e $E = - 13, 6 eV$ : a incerteza define o tamanho dos átomos.
$E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ tanto na teoria de Bohr quanto na de Schrödinger; a mecânica quântica acrescenta $n^{2}$ estados por nível e $L = 0$ no estado fundamental.
Lyman (até $n = 1$ ) é ultravioleta; Balmer (até $n = 2$ ) inclui Hα de 656 nm; todas obedecem a $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ .
Bohr falha com muitos elétrons, intensidades e estrutura fina; órbitas viram nuvens de probabilidade, cujo preenchimento forma a tabela periódica.

Por que um átomo clássico não pode existir

Antes das ideias quânticas, os físicos tentaram construir o átomo de hidrogênio a partir de partes que compreendiam: um elétron leve, de carga $- e$ e massa $m$ , um próton pesado, de carga $+ e$ , e a atração de Coulomb entre eles, de módulo $k e^{2} / r^{2}$ à distância $r$ , com $k = 1/ (4 π ε_{0})$ . Esta seção mostra que a física clássica não consegue formar um átomo estável com essas partes, por três razões separadas. Cada falha aponta para algo que a nova física precisa fornecer.

Primeiro, as cargas não conseguem ficar paradas. Onde não há carga, o potencial eletrostático $ϕ$ obedece à equação de Laplace $\nabla^{2} ϕ = 0$ . Uma função que obedece a essa equação não tem mínimo nem máximo nessa região: onde ela se curva para cima em uma direção, se curva para baixo em outra. Assim, um elétron em repouso entre cargas fixas nunca está no fundo de um poço de potencial, e sempre há uma direção em que ele pode escapar. Este é o teorema de Earnshaw, e significa que o elétron precisa estar em movimento.

Segundo, um elétron em movimento não consegue manter sua órbita. O movimento circular é um movimento acelerado, e uma carga acelerada irradia. Com aceleração centrípeta $v^{2} / r$ , o elétron perde energia à taxa (fórmula de Larmor)
$P = \frac{2}{3} \frac{k e ^{2} ( v ^{2} / r ) ^{2}}{c ^{3}}$
onde $c$ é a velocidade da luz. No tamanho observado do átomo, 0,053 nm, a aceleração $v^{2} / r$ é de cerca de $9 \times 1 0^{22} m/ s^{2}$ . Perdendo energia a essa taxa, o elétron espiralaria até o próton em cerca de $1, 6 \times 1 0^{- 11} s$ . No caminho, sua frequência orbital subiria continuamente, de modo que o átomo emitiria uma varredura crescente de luz, um chirp, em vez das linhas espectrais nítidas que são observadas.

Terceiro, a física clássica nem consegue dizer qual deveria ser o tamanho de um átomo. Um tamanho tem de ser um comprimento construído com as constantes do problema. Com $k e^{2}$ (em J m) e $m$ (em kg) não se forma nenhum comprimento. Incluindo $c$ , obtém-se um, $k e^{2} / (m c^{2}) \approx 2, 8 \times 1 0^{- 15} m$ , mas ele é cerca de 19 000 vezes menor que um átomo. É preciso uma nova constante, e a constante de Planck reduzida $ℏ = h / (2 π)$ a fornece.

A incerteza define o tamanho do átomo

Uma única regra quântica, o princípio da incerteza, já explica por que um átomo tem um tamanho definido e qual é aproximadamente esse tamanho. A ideia é uma competição entre duas energias, e a Figura 1 a mostra.

Suponha que o elétron seja mantido a uma distância $a$ do próton; $a$ corre ao longo do eixo horizontal da Figura 1. O princípio da incerteza afirma que uma partícula confinada a uma região de tamanho $a$ tem uma dispersão da quantidade de movimento de pelo menos cerca de $ℏ/ a$ . Sua quantidade de movimento, portanto, não pode ser zero, e sua energia cinética $K$ é pelo menos cerca de $(ℏ/ a)^{2} / (2 m) = ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ . Esta é a curva azul: ela sobe como $1/ a^{2}$ quando $a$ diminui.

A energia potencial da atração, $U$ , é cerca de $- k e^{2} / a$ : a curva vermelha. Ela também cresce em módulo quando $a$ diminui, mas apenas como $1/ a$ , mais lentamente que $K$ .

Agora acompanhe a curva roxa, o total $K + U$ , da direita para a esquerda. Para $a$ grande, ambos os termos são pequenos e o total fica perto de zero. Quando $a$ diminui, a atração vence no início, então o total cai. Para $a$ pequeno, a subida de $K$ com $1/ a^{2}$ ultrapassa a queda de $U$ com $1/ a$ , e o total sobe abruptamente. Entre esses extremos há um ponto mais baixo, em $a = a_{0}$ , onde o total é $E (a_{0})$ . É ali que o elétron se estabiliza: esse ponto mais baixo é o estado fundamental.

Para localizá-lo, escreva o total como
$E (a) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} - \frac{k e ^{2}}{a}$
No ponto mais baixo a inclinação é zero:
$\frac{d E}{d a} = - \frac{ℏ ^{2}}{m a ^{3}} + \frac{k e ^{2}}{a ^{2}} = 0$
Multiplicando por $a^{3}$ e resolvendo, obtém-se o tamanho; substituindo em $E (a)$ , obtém-se a energia:
$a_{0} = \frac{ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} \approx 0, 0529 nm, E (a_{0}) = - \frac{k e ^{2}}{2 a _{0}} \approx - 13, 6 eV$
Em $a_{0}$ , o termo cinético $ℏ^{2} / (2 m a_{0}^{2})$ é igual a $k e^{2} / (2 a_{0})$ , metade do módulo do termo potencial, e por isso o total é $- k e^{2} / (2 a_{0})$ .

Um argumento que usa $ℏ/ a$ apenas como ordem de grandeza não pode ser exato, e acertar tanto o tamanho verdadeiro quanto a energia de ligação verdadeira é em parte sorte. O ponto físico, porém, é sólido. Um átomo tem o tamanho que tem porque espremer o elétron em menos espaço custaria mais energia cinética do que a atração extra devolveria. É pelo mesmo motivo que sólidos e líquidos resistem à compressão: aproximar os átomos confinaria mais firmemente seus elétrons.

As órbitas de Bohr e suas energias

Em 1913, Niels Bohr chegou aos mesmos números por outro caminho: manteve órbitas circulares clássicas, mas permitiu apenas algumas delas. Esta seção deriva seus raios, velocidades e energias, que reproduzem o espectro do hidrogênio. A Figura 2 mostra uma órbita permitida com a força e a velocidade do elétron.

A Figura 2 mostra a órbita $n = 3$ . O elétron, de carga $- e$ , gira em torno do núcleo, de carga $+ e$ , no raio $r_{n}$ , e sua velocidade $v$ é tangente ao círculo. A única força sobre ele é a atração de Coulomb $F$ , que aponta ao longo do raio em direção ao núcleo. Uma força voltada para o centro é exatamente o que o movimento circular exige, então $F$ sozinha fornece a força centrípeta. A linha ondulada e $λ$ aparecem mais adiante.

Bohr acrescentou uma regra: o momento angular $m v r$ só pode ser um múltiplo inteiro de $ℏ$ . As duas condições são
$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}, m v r = n ℏ, n = 1, 2, 3, \dots$
A primeira é a segunda lei de Newton: massa vezes aceleração centrípeta é igual à força de Coulomb. Multiplicando por $r$ , obtém-se $m v^{2} r = k e^{2}$ . Dividindo isso pela segunda condição, resta a velocidade, e a segunda condição, $r = n ℏ/ (m v)$ , então fornece o raio:
$v_{n} = \frac{k e ^{2}}{n ℏ} = \frac{α c}{n}, r_{n} = \frac{n ^{2} ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} = n^{2} a_{0}$
Aqui $α = k e^{2} / (ℏ c) \approx 1/137$ é um número puro, a constante de estrutura fina. Os raios crescem com $n^{2}$ , e o menor, $r_{1}$ , é exatamente o $a_{0}$ encontrado pelo argumento da incerteza. Em $n = 1$ , o elétron se move a $c /137 \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ : rápido, mas bem abaixo da velocidade da luz.

A regra do momento angular de Bohr parecia arbitrária até que de Broglie lhe deu um sentido em 1924, e esta é a linha ondulada da Figura 2. Um elétron de quantidade de movimento $m v$ se comporta como uma onda de comprimento de onda $λ = h / (m v)$ . Substituindo $m v = h / λ$ em $m v r = n ℏ = nh / (2 π)$ , o $h$ se cancela e resta
$2 π r = nλ$
A circunferência contém um número inteiro de comprimentos de onda. Só assim a onda se fecha suavemente sobre si mesma depois de uma volta, como uma onda estacionária em um laço fechado. Na Figura 2, $n = 3$ : a linha ondulada tem exatamente três cristas ao redor do círculo, e o arco marcado com $λ$ abrange um comprimento de onda. Em números, $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ , então a circunferência é $2 π \cdot 0, 476 nm \approx 2, 99 nm$ , e o comprimento de onda do elétron nessa órbita é cerca de 1,00 nm: três comprimentos de onda preenchem exatamente a órbita.

Depois, a energia. O equilíbrio de forças, escrito como $m v^{2} = k e^{2} / r$ , dá a energia cinética $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k e^{2} / r$ . A energia potencial é $U = - k e^{2} / r$ , logo $K = - \frac{1}{2} U$ ; este é o teorema do virial para um potencial $1/ r$ . O total é portanto $E = K + U = - \frac{1}{2} k e^{2} / r$ , e substituindo $r_{n}$ obtém-se
$E_{n} = - \frac{m ( k e ^{2} ) ^{2}}{2 ℏ ^{2} n ^{2}} = - \frac{α ^{2} m c ^{2}}{2 n ^{2}} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$
A energia é negativa porque o elétron está ligado: é preciso fornecer $13, 6 eV / n^{2}$ para liberá-lo do nível $n$ . A forma intermediária compara-a com a energia de repouso do elétron, $m c^{2} = 511 keV$ : a energia de ligação é apenas uma fração $α^{2} /2 \approx 2, 7 \times 1 0^{- 5}$ dela. É por isso que a mecânica não relativística funciona tão bem aqui.

Quando o elétron salta de um nível $n_{i}$ para um nível inferior $n_{f}$ , emite um fóton que leva a diferença de energia, $h c / λ = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}$ . Com $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ , isso se torna
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}}), R_{H} = \frac{13 , 6 eV}{h c} \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$
Esta é a fórmula de Rydberg. Balmer (1885) e Rydberg a haviam encontrado ajustando linhas medidas, com $R_{H}$ como um número lido dos dados. Bohr calculou $R_{H}$ a partir de $m$ , $e$ , $h$ e $c$ , e ele concordou com o valor medido dentro da precisão dessas constantes. Essa concordância tornou impossível descartar suas regras.

Lendo o diagrama de níveis e a faixa do espectro

As energias $E_{n}$ são mais fáceis de entender como uma escada de níveis, com cada linha espectral sendo um salto entre dois degraus. A Figura 3 desenha essa escada em escala e mostra quais saltos produzem cada série de linhas; a camada avançada da animação usa o mesmo layout.

Na Figura 3, a energia $E$ aumenta para cima, e cada linha horizontal é um nível, rotulado por $n$ . A linha tracejada no topo é $E = 0$ , o limite de ionização: um elétron com mais energia que isso está livre. Medido a partir do estado fundamental, o nível $n$ fica $E_{n} + 13, 6 eV = 13, 6 eV (1 - 1/ n^{2})$ acima, uma fração $1 - 1/ n^{2}$ do caminho até o limite: 0, 3/4, 8/9 e 15/16 para $n = 1$ a 4. Assim, três quartos da energia de ligação já se foram em $n = 2$ , e os níveis mais altos se aglomeram logo abaixo de $E = 0$ .

Cada seta vertical é um fóton emitido em um salto para baixo, rotulada pelos dois níveis que ela une, como em $3 \to 2$ . Como os níveis estão em escala, o comprimento de uma seta é a energia do fóton $E_{i} - E_{f}$ , onde $E_{i}$ e $E_{f}$ são as energias do nível inicial e do nível final. Os saltos que terminam em $n = 1$ formam a série de Lyman (roxa): $2, 3, 4 \to 1$ dão 10,2, 12,09 e 12,75 eV, ou 122, 103 e 97 nm, todos no ultravioleta. Os saltos que terminam em $n = 2$ formam a série de Balmer: $3 \to 2$ dá 1,89 eV (vermelho, 656 nm) e $4 \to 2$ dá 2,55 eV (azul-esverdeado, 486 nm).

Compare as setas: cada seta de Lyman é muito mais longa que qualquer seta de Balmer. Mesmo a maior energia de Balmer, uma queda do limite de ionização até $n = 2$ , é de apenas 3,40 eV, bem abaixo da menor energia de Lyman, 10,2 eV, de modo que as duas séries nunca se sobrepõem.

No diagrama da animação, uma marca azul acompanha o elétron de $n = 3$ para $n = 2$ e de volta. A faixa do espectro acima dele cobre o visível, de 380 a 700 nm, e mostra as linhas de Balmer em 410, 434, 486 e 656 nm. Elas se concentram na extremidade violeta porque, à medida que o nível de partida sobe, $1/ λ$ se aproxima do limite da série, $R_{H} /4$ , em 365 nm, logo fora da faixa. A linha vermelha, chamada Hα (o salto $3 \to 2$ ), acende no instante em que o átomo a emite.

O que a mecânica quântica mantém e o que muda

O modelo de Bohr acerta as energias, mas sua imagem de um elétron em uma trilha circular bem definida está errada. A mecânica quântica mantém as energias e substitui a trilha por uma nuvem de probabilidade. A Figura 4 mostra essa nuvem para o estado fundamental, ordenada pela distância ao núcleo.

A curva $P$ da Figura 4 é a probabilidade por unidade de distância de encontrar o elétron do estado fundamental à distância $r$ do núcleo: a chance de encontrá-lo entre $r$ e $r + d r$ é $P d r$ . Três características se destacam. $P$ é zero em $r = 0$ , porque uma casca fina de raio $r$ tem um volume que se anula quando $r \to 0$ . Ele atinge o pico exatamente em $a_{0}$ , o raio que Bohr indicou. E cai para a direita sem nunca chegar a zero, de modo que a nuvem não tem borda.

A distância média, $\overset{r}{ˉ} = 1, 5 a_{0}$ , fica à direita do pico, porque a cauda da direita é longa enquanto a subida da esquerda é curta. O raio de Bohr sobrevive, mas apenas como a distância mais provável, não como um caminho.

A equação de Schrödinger para o potencial de Coulomb (1926) fornece exatamente as energias $E_{n}$ de Bohr. O que muda é a descrição dos estados. O elétron é uma onda estacionária tridimensional, e o nível $n$ contém $n^{2}$ estados diferentes com a mesma energia. Eles são rotulados pelo número quântico do momento angular orbital $l = 0, 1, \dots, n - 1$ , e cada $l$ tem $2 l + 1$ orientações; somando, $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ . O estado fundamental tem $l = 0$ : nenhum momento angular orbital, enquanto Bohr lhe atribuía $ℏ$ .

O spin do elétron tem duas orientações possíveis, o que dobra a contagem para $2 n^{2}$ : 2, 8 e 18 estados para $n = 1$ , 2 e 3. Junto com o princípio de exclusão, que permite no máximo um elétron em cada estado, essas contagens moldam a tabela periódica. Em átomos com muitos elétrons, estados com $l$ diferentes deixam de compartilhar uma energia; quando se separam, as linhas da tabela contêm 2, 8, 8, 18, 18, 32 e 32 elementos.

Os mesmos resultados valem para qualquer íon com um único elétron e carga nuclear $Z e$ . Substituindo $k e^{2}$ por $Z k e^{2}$ nas fórmulas acima, obtém-se $E_{n} = - 13, 6 eV Z^{2} / n^{2}$ e $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ . Para $He^{+}$ , com $Z = 2$ , o estado fundamental fica em $- 54, 4 eV$ .

Mais uma correção: o núcleo não é infinitamente pesado. O elétron e o núcleo giram ambos em torno do centro de massa comum, e as fórmulas permanecem as mesmas se a massa do elétron $m$ for substituída pela massa reduzida $μ = m M / (m + M)$ , onde $M$ é a massa do núcleo. Para o hidrogênio, isso reduz as energias de ligação em 0,054 %; para o deutério, cujo núcleo é duas vezes mais pesado, em apenas 0,027 %. As linhas do deutério carregam, portanto, um pouco mais de energia, e sua linha Hα fica 0,18 nm mais curta que a do hidrogênio: o pequeno deslocamento que revelou o deutério no início da década de 1930.

Exemplo resolvido: da linha vermelha às ondas de rádio

Bohr exigia que suas regras quânticas concordassem com a física clássica onde os efeitos quânticos se tornam pequenos: o princípio da correspondência. Classicamente, uma carga em órbita irradia na sua frequência orbital $f_{orb} = v / (2 π r)$ , o número de voltas por segundo. Este problema compara essa frequência com a do fóton, primeiro lá embaixo na escada e depois bem no alto.

Passo 1, a frequência orbital do nível $n$ . Com $v_{n} = α c / n$ e $r_{n} = n^{2} a_{0}$ ,
$f_{orb} = \frac{v _{n}}{2 π r _{n}} = \frac{α c}{2 π a _{0} n ^{3}} = \frac{6 , 58 \times 1 0 ^{15} Hz}{n ^{3}}$

Passo 2, a linha vermelha. O elétron dá $2, 44 \times 1 0^{14}$ voltas por segundo em $n = 3$ e $8, 22 \times 1 0^{14}$ em $n = 2$ . O fóton Hα do salto $3 \to 2$ tem $f = c / λ = 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ : entre as duas frequências orbitais, e igual a nenhuma delas. Lá embaixo na escada, um salto quântico não tem equivalente clássico.

Passo 3, um salto lá em cima, de $n = 110$ para $n = 109$ . A energia do fóton é
$h f = 13, 6 eV (\frac{1}{10 9 ^{2}} - \frac{1}{11 0 ^{2}}) = 2, 07 \times 1 0^{- 5} eV$
Dividindo por $h = 4, 14 \times 1 0^{- 15} eV s$ , obtém-se $f = 5, 01 \times 1 0^{9} Hz$ e $λ = c / f \approx 6, 0 cm$ : uma onda de rádio. As frequências orbitais agora são 5,08 GHz em $n = 109$ e 4,94 GHz em $n = 110$ , ambas a menos de 1,5 % da frequência do fóton.

Passo 4, por que elas se fundem. Para um passo $Δ n = 1$ em $n$ grande, a diferença de energia fica próxima da inclinação de $E_{n}$ em relação a $n$ :
$h f \approx \frac{d E _{n}}{d n} = \frac{2 \cdot 13 , 6 eV}{n ^{3}} = \frac{27 , 2 eV}{n ^{3}}$
E $h f_{orb} = ℏ α c / (a_{0} n^{3})$ é exatamente o mesmo, porque $ℏ/ a_{0} = α m c$ , logo $ℏ α c / a_{0} = α^{2} m c^{2} = 27, 2 eV$ . Para $n$ grande, as frequências quântica e clássica se fundem, como exige o princípio da correspondência. Saltos com $Δ n = 2$ ou 3 dão, do mesmo modo, $2 f_{orb}$ e $3 f_{orb}$ , os harmônicos que uma órbita elíptica clássica irradia.

Esses átomos gigantes são reais. A órbita $n = 110$ tem raio de $11 0^{2} a_{0} \approx 0, 64 μ m$ , o tamanho de uma pequena bactéria, então o átomo só sobrevive em gás muito rarefeito, onde as colisões são raras. Nas nuvens ionizadas em torno de estrelas jovens e quentes, prótons recapturam elétrons, que então descem a escada degrau por degrau. Radiotelescópios observam a linha de 5,01 GHz resultante, chamada H109α, de nuvens que também brilham em vermelho com Hα.

Limites de validade

O modelo de Bohr é apenas uma primeira aproximação até para o hidrogênio, e para átomos com mais de um elétron ele falha. Saber onde ele deixa de funcionar indica quando a teoria completa é necessária.

Para o hidrogênio, a relatividade e o spin do elétron deslocam os níveis por frações relativas da ordem de $α^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 5}$ ; isso é esperado, já que o elétron se move com $v = α c$ e as correções relativísticas crescem como $(v / c)^{2}$ . Essa estrutura fina divide o nível $n = 2$ em $4, 5 \times 1 0^{- 5} eV$ e transforma Hα em componentes separadas por cerca de 0,016 nm. Menores ainda são o deslocamento de Lamb ( $4, 4 \times 1 0^{- 6} eV$ , da eletrodinâmica quântica) e a separação hiperfina do estado fundamental ( $5, 9 \times 1 0^{- 6} eV$ , da interação magnética entre os spins do elétron e do próton), cuja linha de 21 cm mapeia o hidrogênio em toda a Galáxia.

Em íons pesados com um elétron, a velocidade do elétron, $Z α c$ na órbita mais baixa, se aproxima de $c$ , e a relatividade domina. Em $U^{91 +}$ , $Z α \approx 0, 67$ , e o estado fundamental é ligado por cerca de 132 keV, contra os $13, 6 eV \cdot 9 2^{2} \approx 115 keV$ de Bohr.

Com dois ou mais elétrons, o modelo falha por completo, como alerta a nota na animação, porque cada elétron também repele os outros. Para o hélio, ignorar essa repulsão dá $2 \cdot (- 54, 4) = - 108, 8 eV$ para a energia total, enquanto o total medido é $- 79, 0 eV$ .

As regras de Bohr também não dizem nada sobre o brilho de uma linha ou sobre quanto tempo um nível dura antes de emitir (o estado 2p do hidrogênio, com $n = 2$ e $l = 1$ , decai em 1,6 ns). E as órbitas não podem ser caminhos reais: colocar o elétron em um círculo de raio $a_{0}$ significa conhecer sua posição com precisão de cerca de $a_{0}$ , o que deixa sua quantidade de movimento incerta em cerca de $ℏ/ a_{0} = m v_{1}$ , toda a sua quantidade de movimento. Um efeito que o modelo pode ignorar com segurança é o recuo: um átomo que emite Hα recua a apenas 0,60 m/s, o que retira do fóton apenas $2 \times 1 0^{- 9} eV$ .

Para onde isso leva

O átomo de Bohr é o ponto de encontro de várias lições. Sua regra do fóton se aplica aos quanta de luz de “Efeito fotoelétrico” e de “Radiação de corpo negro e o quantum”. Seu equilíbrio de forças é a Lei de Coulomb dentro de “Movimento circular”. Sua regra quantizada do momento angular leva “Momento angular e sua conservação” à escala atômica. “Dualidade onda-partícula” explica as órbitas permitidas como ondas estacionárias de elétrons, e “Equação de Schrödinger e tunelamento” substitui as órbitas por funções de onda, mantendo $E_{n}$ .

Em “Semicondutores, diodos e LEDs”, os níveis dos átomos de um cristal se fundem em bandas, e a cor de um LED é definida por um intervalo de banda, assim como a cor do Hα é definida por $E_{3} - E_{2}$ . “Radioatividade e meia-vida” passa ao núcleo, cujos níveis ficam milhares a milhões de vezes mais afastados. Em “Partículas e forças: o Modelo Padrão”, $α \approx 1/137$ reaparece como a intensidade da própria interação eletromagnética.

Fórmulas principais

Quantização do momento angular de Bohr

m v r = n ℏ

Entre todas as órbitas circulares que a mecânica clássica permite, Bohr manteve apenas aquelas cujo momento angular $L = m v r$ é um múltiplo inteiro de $ℏ$ . Essa regra única fixa os raios e as energias do hidrogênio. Lida junto com o comprimento de onda do elétron $λ = h / (m v)$ , ela diz $2 π r = nλ$ : um número inteiro de comprimentos de onda cabe em volta da órbita.

Símbolos
$m$	massa do elétron	$kg$
$v$	velocidade orbital do elétron	$m/s$
$r$	raio da órbita	$m$
$n$	número quântico principal, $1, 2, 3, \dots$
$ℏ$	constante de Planck reduzida, $h /2 π$	$J \cdot s$

Quando vale: Um postulado do modelo de 1913, correto em suas consequências para as energias do hidrogênio. A mecânica quântica o substitui: o momento angular orbital é $l (l + 1) ℏ$ com $l \leq n - 1$ , então o estado fundamental não tem nenhum.

Exemplo: Em $n = 3$ , com $r = 0, 476 nm$ e $v \approx 7, 3 \times 1 0^{5} m/s$ : $m v r = 3ℏ \approx 3, 16 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ .

Raio da n-ésima órbita de Bohr

r_{n} = n^{2} a_{0}

Combinando a força de Coulomb como força centrípeta, $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ , com $m v r = n ℏ$ , obtém-se $r = n^{2} ℏ^{2} / (mk e^{2})$ . Os raios crescem, portanto, com o quadrado de $n$ , na razão 1 : 4 : 9 : 16, a partir do raio de Bohr $a_{0}$ .

Símbolos
$r_{n}$	raio da órbita $n$	$m$
$n$	número quântico principal
$a_{0}$	raio de Bohr, cerca de $0, 0529 nm$	$m$

Quando vale: Hidrogênio no modelo de Bohr; para um íon de um elétron com carga $Z e$ , $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ . Na mecânica quântica, $n^{2} a_{0}$ é apenas a distância mais provável para os estados com $l = n - 1$ , não uma órbita nítida.

Exemplo: O elétron da animação desce de $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ para $r_{2} = 4 a_{0} = 0, 212 nm$ .

Níveis de energia do hidrogênio

E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}

A energia na órbita $n$ é a soma das energias cinética e potencial; a energia cinética tem metade do módulo da potencial, então $E_{n} = - K$ . Ela é negativa porque o zero é um elétron livre em repouso, e 13,6 eV é a energia necessária para ionizar o átomo a partir de $n = 1$ . Os níveis se aglomeram em direção a zero à medida que $n$ cresce.

Símbolos
$E_{n}$	energia do nível $n$	$eV$
$n$	número quântico principal

Quando vale: Hidrogênio e, com o fator $Z^{2}$ , íons de um elétron; a equação de Schrödinger dá os mesmos valores. A estrutura fina os desloca em partes de $1 0^{5}$ , e átomos com vários elétrons precisam de outros métodos.

Exemplo: $E_{2} = - 13, 6/4 = - 3, 40 eV$ e $E_{3} = - 13, 6/9 = - 1, 51 eV$ , os dois valores do indicador da animação.

Energia do fóton em um salto quântico

h f = E_{i} - E_{f}

Esta é a conservação de energia de um salto: quando o elétron cai do nível $i$ para um nível inferior $f$ , o átomo perde $E_{i} - E_{f}$ , e um único fóton de energia $h f$ leva essa energia embora. Lida ao contrário, é a condição para absorção: um fóton só é absorvido se $h f$ coincidir exatamente com um intervalo. O fóton carrega a diferença entre dois níveis, nunca o valor de um só; em elétron-volts usa-se $h = 4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ .

Símbolos
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$f$	frequência do fóton	$Hz$
$E_{i}$	energia do nível inicial (superior)	$J$
$E_{f}$	energia do nível final (inferior)	$J$

Quando vale: Vale para todo átomo, molécula e núcleo, exceto por uma pequena parcela levada pelo recuo do átomo ( $2 \times 1 0^{- 9} eV$ para Hα). O modelo de Bohr fornece os próprios níveis apenas para átomos de um elétron.

Exemplo: $3 \to 2$ : $h f = - 1, 51 - (- 3, 40) = 1, 89 eV$ , logo $f = 1, 89 eV / (4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ .

Comprimento de onda da luz emitida

λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}

A luz de frequência $f$ tem comprimento de onda $λ = c / f$ , então a regra do fóton se torna $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ . Um grande intervalo de energia significa um comprimento de onda curto: saltos para $n = 1$ liberam pelo menos 10,2 eV e são ultravioleta, enquanto os saltos menores para $n = 2$ dão luz visível. Com energias em elétron-volts, $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ fornece $λ$ diretamente em nanômetros.

Símbolos
$λ$	comprimento de onda do fóton	$m$
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$c$	velocidade da luz	$m/s$
$E_{i}$	energia do nível inicial (superior)	$J$
$E_{f}$	energia do nível final (inferior)	$J$

Quando vale: Fornece o comprimento de onda no vácuo; no ar ele é cerca de 0,03 % menor (Hα: 656,5 nm no vácuo, 656,3 nm no ar).

Exemplo: Linha Hα: $λ = 1240 eV \cdot nm /1, 89 eV \approx 656 nm$ ; linha Lyman α: $1240/10, 2 \approx 122 nm$ .

Fórmula de Rydberg para as linhas do hidrogênio

\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})

Dividindo a diferença de níveis por $h c$ , obtém-se diretamente o inverso do comprimento de onda, com $R_{H} = 13, 6 eV / (h c) \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ . Encontrada a partir de linhas medidas antes de existir o modelo de Bohr, a fórmula classifica cada linha do hidrogênio em uma série pelo nível final $n_{f}$ ; fazendo $n_{i} \to \infty$ , obtém-se o limite da série, $1/ λ = R_{H} / n_{f}^{2}$ .

Símbolos
$λ$	comprimento de onda da linha	$m$
$R_{H}$	constante de Rydberg para o hidrogênio	$m^{- 1}$
$n_{f}$	número quântico do nível final (inferior)
$n_{i}$	número quântico do nível inicial (superior)

Quando vale: Hidrogênio, com $n_{i} > n_{f}$ na emissão (na absorção o átomo sobe de $n_{f}$ para $n_{i}$ ). Para íons de um elétron multiplique por $Z^{2}$ ; a massa reduzida torna a constante um pouco maior para o deutério, encurtando suas linhas em cerca de 0,03 %.

Exemplo: Hα: $1/ λ = R_{H} (1/4 - 1/9) = 1, 52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ , logo $λ \approx 656 nm$ ; o limite de Balmer é $4/ R_{H} \approx 365 nm$ .

Glossário

Átomo nuclear: A imagem estabelecida pelo espalhamento de partículas alfa em 1911: toda a carga positiva e quase toda a massa estão em um núcleo com apenas $1 0^{- 15}$ a $1 0^{- 14} m$ de diâmetro, com os elétrons espalhados por uma região de cerca de $1 0^{- 10} m$ . Classicamente, tal átomo deveria colapsar.
Modelo de Bohr: O modelo do hidrogênio de Niels Bohr, de 1913: órbitas circulares mantidas pela força de Coulomb, com momento angular restrito a $m v r = n ℏ$ , e luz emitida ou absorvida apenas em saltos entre órbitas. Fornece corretamente os níveis de energia do hidrogênio, mas falha para átomos com mais de um elétron.
Estado estacionário: Um estado do átomo com energia definida, que não muda no tempo e no qual o átomo não irradia. As órbitas permitidas de Bohr foram o primeiro exemplo; na mecânica quântica elas se tornam ondas estacionárias.
Nível de energia: Uma das energias permitidas de um sistema ligado, $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ para o hidrogênio. Os níveis são negativos porque é preciso fornecer energia para liberar o elétron, e se aglomeram em direção a zero à medida que $n$ cresce.
Estados fundamental e excitados: O estado fundamental é o nível mais baixo ( $n = 1$ , $- 13, 6 eV$ ), onde um átomo pode permanecer indefinidamente. Qualquer nível mais alto é um estado excitado, alcançado pela absorção de um fóton ou por uma colisão; ele decai de volta emitindo fótons, tipicamente em cerca de $1 0^{- 8} s$ .
Energia de ionização: A menor energia que remove o elétron de um átomo em seu estado fundamental: 13,6 eV para o hidrogênio, igual a $- E_{1}$ . Qualquer energia além disso sai com o elétron liberado como energia cinética.
Salto quântico: Uma transição entre dois níveis. Descendo, o átomo emite um fóton com $h f = E_{i} - E_{f}$ ; subindo, absorve um fóton de exatamente essa energia ou recebe a energia de uma colisão. A teoria de Bohr não descreve nenhum caminho entre as duas órbitas.
Espectro de emissão: Os comprimentos de onda emitidos por um gás quente ou excitado eletricamente: para átomos, linhas brilhantes e nítidas em vez de um arco-íris contínuo, uma para cada salto possível. As linhas visíveis do hidrogênio estão em 656, 486, 434 e 410 nm.
Linhas de absorção: Linhas escuras em um espectro contínuo, onde um gás mais frio à frente da fonte absorveu exatamente os comprimentos de onda de suas próprias transições. Na luz solar, a linha Hα do hidrogênio aparece como uma linha escura em 656 nm.
Série espectral: Todas as linhas que terminam no mesmo nível inferior: Lyman ( $n_{f} = 1$ , ultravioleta), Balmer ( $n_{f} = 2$ , visível) e Paschen ( $n_{f} = 3$ , infravermelho). Dentro de uma série, as linhas se aglomeram em direção a um limite da série, 365 nm para Balmer.
Íon tipo hidrogênio: Qualquer íon com um único elétron, como $He^{+}$ ou $Li^{2 +}$ . As fórmulas de Bohr valem com a carga nuclear $Z e$ : $E_{n} = - 13, 6 eV Z^{2} / n^{2}$ e $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ .
Princípio da correspondência: A exigência de que os resultados quânticos se fundam com os clássicos quando os números quânticos são grandes. Para o hidrogênio, a frequência do fóton de um salto $n \to n - 1$ se aproxima da frequência orbital clássica do elétron conforme $n$ cresce.

Grandezas
$n$	Número quântico principal		O inteiro $1, 2, 3, \dots$ que rotula as órbitas permitidas e os níveis de energia; $n = 1$ é o estado fundamental.
$ℏ$	Constante de Planck reduzida	$J \cdot s$	$h /2 π \approx 1, 055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ : o quantum de momento angular na regra de Bohr $m v r = n ℏ$ .
$a_{0}$	Raio de Bohr	$m$	O raio da órbita do estado fundamental, $ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 5, 29 \times 1 0^{- 11} m = 0, 0529 nm$ : a escala natural de comprimento dos átomos.
$r_{n}$	Raio orbital	$m$	O raio da $n$ -ésima órbita de Bohr, $n^{2} a_{0}$ ; na mecânica quântica ele sobrevive apenas como distância mais provável, não como trajetória.
$v$	Velocidade orbital	$m/s$	A velocidade do elétron, de massa $m = 9, 109 \times 1 0^{- 31} kg$ , na órbita $n$ , $v_{n} = α c / n$ : cerca de $2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ em $n = 1$ e mais lenta nas órbitas superiores.
$E_{n}$	Energia do nível n	$eV$	Energia cinética mais potencial do elétron no nível $n$ , medida a partir de um elétron livre em repouso, por isso negativa para um estado ligado; $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ .
$h$	Constante de Planck	$J \cdot s$	$6, 626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s = 4, 136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ : relaciona a energia de um fóton à sua frequência, $E = h f$ .
$f$	Frequência do fóton	$Hz$	O número de oscilações por segundo da luz emitida ou absorvida; $4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ para Hα.
$λ$	Comprimento de onda	$m$	O comprimento de onda do fóton, $c / f$ , onde $c = 2, 998 \times 1 0^{8} m/s$ é a velocidade da luz; costuma ser dado em nanômetros para linhas atômicas: 656 nm para Hα, 122 nm para Lyman α.
$R_{H}$	Constante de Rydberg para o hidrogênio	$m^{- 1}$	A constante em $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ , cerca de $1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ ; ela é igual a $13, 6 eV / (h c)$ .

Quiz

Iniciante No modelo de Bohr, o que acontece quando um elétron desce para um nível de energia mais baixo?
1. Ele emite um fóton que carrega a diferença de energia
2. Ele absorve um fóton
3. Ele cai no núcleo
4. Ele perde parte de sua carga
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Resposta: A. Ele emite um fóton que carrega a diferença de energia
A energia perdida pelo elétron deixa o átomo como um único fóton, cuja energia é igual à diferença entre os dois níveis.
Iniciante Por que o hidrogênio quente emite apenas certas cores nítidas?
1. O tubo de vidro filtra as outras cores
2. Seu elétron só pode ter certas energias, então só são possíveis certos saltos de energia
3. Os átomos de hidrogênio são pequenos demais para produzir outras cores
4. Gases quentes sempre brilham em vermelho
Mostrar resposta
Resposta: B. Seu elétron só pode ter certas energias, então só são possíveis certos saltos de energia
Níveis de energia fixos permitem apenas diferenças de energia fixas, e cada diferença corresponde a uma energia de fóton, ou seja, a uma cor.
Iniciante No modelo de Bohr, em qual anel o elétron se move mais rápido?
1. No anel mais externo
2. Na mesma velocidade em todos os anéis
3. Apenas durante um salto entre anéis
4. Em um anel interno, perto do núcleo
Mostrar resposta
Resposta: D. Em um anel interno, perto do núcleo
No modelo de Bohr a velocidade é inversamente proporcional a n, por isso o elétron é mais rápido no anel interno, assim como os planetas internos orbitam o Sol mais depressa. Um salto não é uma viagem rápida por um caminho: o elétron de Bohr simplesmente aparece no novo anel (a animação desacelera o salto para que você possa vê-lo).
Intermediário Qual é a energia do nível n = 2 do hidrogênio?
1. −6,8 eV
2. −3,4 eV
3. −13,6 eV
4. +3,4 eV
Mostrar resposta
Resposta: B. −3,4 eV
Eₙ = −13,6 eV / n² = −13,6/4 = −3,4 eV. Dividir por n em vez de n² dá −6,8 eV, e os níveis ligados são negativos.
Intermediário Um elétron do hidrogênio desce de n = 3 para n = 2. Qual é a energia do fóton emitido?
1. 1,89 eV
2. 3,40 eV
3. 1,51 eV
4. 4,91 eV
Mostrar resposta
Resposta: A. 1,89 eV
h·f = E₃ − E₂ = −1,51 eV − (−3,40 eV) = 1,89 eV, a linha vermelha Hα de 656 nm. 3,40 eV e 1,51 eV são os módulos dos próprios níveis; 4,91 eV os soma.
Intermediário Como o raio da órbita n = 3 se compara ao da órbita n = 1?
1. 3 vezes maior
2. 27 vezes maior
3. 9 vezes maior
4. O mesmo
Mostrar resposta
Resposta: C. 9 vezes maior
rₙ = n²·a₀, logo r₃/r₁ = 3² = 9. O fator 27 = 3³ se aplica ao período orbital, não ao raio.
Avançado Qual série de linhas do hidrogênio está inteiramente no ultravioleta?
1. Balmer (terminando em n = 2)
2. Lyman (terminando em n = 1)
3. Paschen (terminando em n = 3)
4. Nenhuma delas
Mostrar resposta
Resposta: B. Lyman (terminando em n = 1)
Todo fóton de Lyman carrega pelo menos E₂ − E₁ = 10,2 eV, ou seja, λ ≤ 121,6 nm. Balmer tem linhas visíveis; Paschen fica no infravermelho.
Avançado Qual destes é uma falha genuína do modelo de Bohr?
1. Ele prevê um espectro contínuo para o hidrogênio
2. Ele fornece a energia de ionização errada para o hidrogênio
3. Ele não consegue tratar átomos com dois ou mais elétrons, como o hélio
4. Ele não consegue explicar a série de Balmer
Mostrar resposta
Resposta: C. Ele não consegue tratar átomos com dois ou mais elétrons, como o hélio
O modelo de Bohr reproduz os níveis, a energia de ionização e as linhas de Balmer do hidrogênio, mas falha assim que os elétrons interagem entre si, como no hélio.

$E$	Energia do átomo, medida a partir do limite de ionização $E = 0$ (linha tracejada).	$J$
$n$	Número do nível: $n = 1$ é o estado fundamental.
$\to$	Um salto entre dois níveis, como $3 \to 2$ : o elétron cai do primeiro para o segundo, e um fóton sai.

$a$	Tamanho da região que contém o elétron: quão perto do próton ele é mantido.	$m$
$E$	Energia do elétron.	$J$
$K$	Energia cinética imposta ao elétron pelo confinamento, de pelo menos cerca de $ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ .	$J$
$U$	Energia potencial da atração, cerca de $- k e^{2} / a$ .	$J$
$K + U$	Energia total $E (a)$ do elétron: cinética mais potencial.	$J$
$a_{0}$	Tamanho em que a energia total é mínima: o raio de Bohr, cerca de $0, 053 nm$ .	$m$
$E (a_{0})$	Valor mínimo da energia total, $- k e^{2} / (2 a_{0}) \approx - 13, 6 eV$ .	$J$

$e$	Carga elementar: o núcleo tem $+ e$ , o elétron $- e$ .	$C$
$F$	Força de Coulomb sobre o elétron, apontando para o núcleo.	$N$
$v$	Velocidade do elétron, ao longo do círculo.	$m/s$
$r_{n}$	Raio da órbita: a distância do núcleo ao elétron.	$m$
$λ$	Comprimento de onda da onda do elétron; um comprimento de onda é o arco de uma crista à seguinte.	$m$
$n$	Número da órbita; $n$ comprimentos de onda cabem nela, aqui $n = 3$ .

$r$	Distância ao núcleo.	$m$
$P$	Densidade de probabilidade: a chance por unidade de distância de encontrar o elétron à distância $r$ , $P = 4 r^{2} e^{- 2 r / a_{0}} / a_{0}^{3}$ .	$m^{- 1}$
$a_{0}$	Raio de Bohr: a distância em que $P$ é máxima.	$m$
$\overset{r}{ˉ}$	Distância média do elétron ao núcleo, $1, 5 a_{0}$ .	$m$