Movimento retilíneo

Iniciante

A cinemática é a parte da física que descreve o movimento sem perguntar o que o causa. Para descrever como algo se move ao longo de uma linha reta, precisamos de três ideias.

A posição diz onde o objeto está, medida a partir de um ponto de partida, em metros. A velocidade diz quão rápido a posição muda e em que direção, em metros por segundo. Rapidez é apenas o quão rápido, sem direção; velocidade é rapidez mais uma direção. Aceleração diz quão rápido a velocidade muda, em metros por segundo por segundo (m/s²).

Se um ciclista percorre 100 metros em 20 segundos, sua rapidez média é $100÷20=5m/s$. Se um carro sai do repouso e chega a 20 m/s em 4 segundos, ganha 5 m/s a cada segundo, então sua aceleração é 5 m/s².

Um engano comum é achar que um objeto rápido precisa estar acelerando. Um carro que segue a 30 m/s constantes numa rodovia tem aceleração zero, porque sua velocidade não muda. Um ciclista que freia tem, sim, aceleração: desacelerar também é uma mudança de velocidade, e a aceleração dela aponta para trás.

Na animação, o carro ganha 6 m/s a cada segundo, e os pontos cinza marcam onde ele está após cada segundo. Os intervalos ficam maiores: é esse o aspecto da aceleração.

Observe os intervalos dourados: 3 m, 9 m, 15 m, 21 m. Eles crescem como os números ímpares 1, 3, 5, 7 (vezes 3 m). Galileu descobriu esse padrão no início dos anos 1600, cronometrando bolas rolando por um plano inclinado, e ele é a marca de uma aceleração constante partindo do repouso.

Intermediário

O que medimos, e de onde

Para descrever um movimento, primeiro precisamos de um referencial: uma origem, um sentido positivo ao longo da reta e um relógio. A posição $x$ é então um número com sinal, em metros: $x=30\mathrm{m}$ é 30 metros do lado positivo da origem, $x=-5\mathrm{m}$ é 5 metros do outro lado. Outro referencial dá outros números para o mesmo movimento.

A variação de posição é o deslocamento, $\Delta x=x-x_0$, onde $x_0$ é a posição inicial. Ele tem sinal e depende apenas de onde o objeto começou e onde terminou. A distância percorrida é o comprimento de todo o trajeto, e nunca é negativa. Ande 10 m para a frente e 10 m para trás: você percorreu 20 m, mas seu deslocamento é zero.

Velocidade e aceleração são taxas

A velocidade mede quão rápido a posição muda. Em um intervalo de tempo $\Delta t$, a velocidade média é
$v_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Seu sinal dá o sentido do movimento. A rapidez é o módulo da velocidade, sem o sinal. A rapidez média é a distância percorrida dividida pelo tempo; ela só é igual ao módulo de $v_{\mathrm{avg}}$ se o objeto nunca retornar. A velocidade em um instante, o número no velocímetro, é a velocidade média em um intervalo muito curto.

A aceleração mede quão rápido a velocidade muda: $a=\Delta v/\Delta t$, em metros por segundo por segundo (m/s²). Uma aceleração de 6 m/s² acrescenta 6 m/s à velocidade a cada segundo. Quando $v$ e $a$ têm o mesmo sinal, o objeto acelera; quando têm sinais opostos, ele desacelera. Quando $a=0$, o movimento é uniforme: $x=x_0+vt$, distâncias iguais em tempos iguais.

As equações de aceleração constante

Se $a$ é constante, a velocidade muda pela mesma quantidade a cada segundo, então sua média em qualquer intervalo fica exatamente no meio entre os valores inicial e final, $\frac{1}{2}(v_0+v)$. Multiplicando essa média pelo tempo, obtemos o deslocamento. Esses dois fatos levam a quatro equações:

• $v=v_0+at$
• $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v^2=v_0^2+2a\Delta x$
• $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Cada equação relaciona quatro das cinco grandezas $\Delta x$, $v_0$, $v$, $a$ e $t$, então quaisquer três valores conhecidos determinam as outras duas. Escolha a equação que deixa de fora a grandeza que você não conhece nem precisa: se o tempo não entra, use a terceira; se a aceleração é desconhecida, use a quarta.

Exemplo resolvido: o carro da animação

O carro parte do repouso na origem, então $v_0=0$ e $x_0=0$, e acelera com $a=6m/{\mathrm{s}}^2$. Após $t=4\mathrm{s}$:
$v=v_0+at=0+6\cdot 4=24m/s$
$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4^2=48\mathrm{m}$

Esses são os valores finais nos marcadores de $v$ e $x$. A terceira equação os confere sem usar o tempo: $v^2=2\cdot 6\cdot 48=576{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, logo $v=24m/s$. Em 1, 2 e 3 s o carro está em 3 m, 12 m e 27 m, então os intervalos entre os pontos cinza são 3, 9, 15 e 21 m, cada um 6 m maior que o anterior. A velocidade média é $48/4=12m/s$, metade do valor final, como a quarta equação prevê para uma partida do repouso.

Enquanto isso, a seta azul $v$ cresce o mesmo passo a cada segundo, e a seta verde $a$ mantém seu comprimento: aceleração constante significa ganhos iguais de velocidade em tempos iguais, não distâncias iguais.

Exemplo resolvido: distância de frenagem

Uma motorista a 14 m/s (cerca de 50 km/h) vê uma bola rolar para a rua. Ela precisa de cerca de 1,0 s para reagir e então freia com 7 m/s² constantes. Quanto o carro percorre antes de parar?

Durante o tempo de reação, o carro percorre $14\cdot 1,0=14\mathrm{m}$ em velocidade constante. Na frenagem, $v_0=14m/s$, $v=0$ e $a=-7m/{\mathrm{s}}^2$, negativa porque aponta contra o movimento. O tempo não é pedido, então use a terceira equação:
$\Delta x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{0-14^2}{2\cdot (-7)}=14\mathrm{m}$

O carro para 28 m depois que a bola aparece. A 28 m/s (cerca de 100 km/h), a distância de reação dobra para 28 m, mas a distância de frenagem passa a ser $28^2/(2\cdot 7)=56\mathrm{m}$, quatro vezes maior: 84 m no total. A distância de frenagem cresce com o quadrado da velocidade, e por isso os limites de velocidade perto de escolas são tão baixos.

Lendo gráficos de posição–tempo e velocidade–tempo

No gráfico posição–tempo, a inclinação é a velocidade: uma reta significa movimento uniforme, uma linha horizontal significa repouso, uma inclinação para baixo significa movimento no sentido negativo, e uma curva que fica cada vez mais íngreme significa que o objeto está acelerando.

No gráfico velocidade–tempo, a inclinação é a aceleração, e a área sob a reta é o deslocamento (a área abaixo do eixo do tempo conta como negativa). Para o carro, $v$ sobe em linha reta de 0 a 24 m/s em 4 s: a inclinação é $24/4=6m/{\mathrm{s}}^2$, e o triângulo sob a reta tem área $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 24=48\mathrm{m}$. Quando $v_0$ não é zero, a área é um trapézio, $\frac{1}{2}(v_0+v)t$, que é a quarta equação.

Erros comuns

• Rapidez não é velocidade: dois carros a 20 m/s em sentidos opostos têm a mesma rapidez, mas velocidades de $+20$ e $-20m/s$.
• Velocidade zero não é aceleração zero. Uma bola lançada para cima a 15 m/s para após $15/9,81\approx 1,5\mathrm{s}$, a cerca de 11,5 m de altura, e então cai de volta; no topo, sua aceleração continua sendo $-g$.
• Aceleração negativa nem sempre significa frenagem: um carro que acelera no sentido negativo tem $v<0$ e $a<0$. Compare os sinais de $v$ e $a$.
• As quatro equações exigem $a$ constante: divida um movimento que muda, como andar em velocidade constante e depois frear, em etapas.
• Converta km/h para m/s primeiro (divida por 3,6), e mantenha o ½ e o quadrado em $\frac{1}{2}a{t}^2$: se eles forem esquecidos, os 48 m do carro viram 96 m ou 12 m.

Onde isso aparece

Distâncias de frenagem, um velocista com média de 10 m/s nos 100 m, elevadores e trens que aceleram cerca de 1 m/s² para manter os passageiros confortáveis: tudo isso é cinemática em linha reta. É também o vocabulário do resto da mecânica. A queda livre é esta aula com $a=-g$, o lançamento de projéteis combina dois movimentos retilíneos simultâneos, e a segunda lei de Newton fornece a aceleração que essas equações transformam em trajetória.

Avançado

Da média ao instantâneo

As leis do movimento falam de instantes, mas qualquer velocidade medida abrange um intervalo de tempo. Esta seção mostra como obter a velocidade em um único instante: tome a média em um intervalo curto e veja para o que ela tende quando o intervalo encolhe.

Legenda

$x$	Posição do carro ao longo de sua trajetória; a curva é $x(t)$.	$\mathrm{m}$
$t$	O instante em que se quer a velocidade.	$\mathrm{s}$
$t+h$	Um instante um pouco posterior, um tempo $h$ depois de $t$.	$\mathrm{s}$
$h$	Duração do intervalo de tempo de $t$ a $t+h$.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Variação de posição de $t$ a $t+h$: a subida da secante.	$\mathrm{m}$
$\bar{v}$	Velocidade média no intervalo: a inclinação da secante, $\Delta x/h$.	$m/s$
$v$	Velocidade no instante $t$: a inclinação da tangente, para a qual as secantes tendem quando $h\to 0$.	$m/s$

A figura 1 representa a posição do carro da animação, $x(t)=3t^2$, com $x$ em metros e $t$ em segundos. Escolha um instante $t$ e um instante um pouco posterior $t+h$, onde $h$ é um tempo curto. A reta que une os dois pontos da curva chama-se secante. Ao longo dela, a posição sobe $\Delta x$ enquanto o tempo avança $h$, então sua inclinação $\Delta x/h$ é a velocidade média $\bar{v}$ no intervalo. Expandindo $(t+h{)}^2=t^2+2th+h^2$, obtemos
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{h}=\frac{3(t+h{)}^2-3t^2}{h}=\frac{6th+3h^2}{h}=6t+3h$

Agora observe a secante tracejada: sua extremidade distante escorregou pela curva em direção ao ponto em $t$. À medida que $h$ diminui, a secante gira e se aproxima da reta marcada com $v$, a tangente que apenas toca a curva em $t$. Na fórmula, o termo $3h$ tende a zero, então a inclinação da secante tende a $6t$, a inclinação da tangente. Em $t=2\mathrm{s}$, o carro está, portanto, exatamente a 12 m/s, embora cada intervalo finito que começa nesse instante forneça um pouco mais, $12+3h$.

Esse limite do quociente é a derivada de $x$ em relação a $t$, e ele define a velocidade instantânea. O mesmo passo aplicado à velocidade define a aceleração:
$v={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt},a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

Duas consequências seguem. Primeiro, nenhuma foto de um único instante pode mostrar uma velocidade, porque uma velocidade compara posições em instantes vizinhos. Isso responde ao paradoxo da flecha de Zenão, em que a flecha parece imóvel em cada instante de seu voo: em cada instante ela tem uma posição, e sua velocidade está em como essa posição muda nas vizinhanças. Segundo, posição, velocidade e aceleração formam uma cadeia de derivadas, $x\to v\to a$. A notação de pontos de Newton escreve os dois passos de forma compacta como $\dot{x}$ e $\ddot{x}$.

Integrando de volta: aceleração constante

Descendo a cadeia, tomamos derivadas; subindo, tomamos integrais. Conhecendo a aceleração, uma integração dá a velocidade e uma segunda dá a posição. Esta seção faz isso para o caso mais comum, uma aceleração constante $a$, e lê cada passo em um gráfico.

Legenda

$v_0$	Velocidade no início.	$m/s$
$v$	Velocidade após o tempo $t$: $v=v_0+at$.	$m/s$
$\bar{v}$	Velocidade média $\frac{1}{2}(v_0+v)$: o nível tracejado no meio do caminho entre $v_0$ e $v$.	$m/s$
$at$	Velocidade ganha durante $t$: a aceleração constante $a$ vezes o tempo.	$m/s$
$t$	Tempo decorrido desde o início.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Deslocamento durante $t$: a área sombreada sob a reta.	$\mathrm{m}$

A figura 2 representa a velocidade em função do tempo. A velocidade começa em $v_0$. Como a aceleração é constante, a velocidade cresce a mesma quantidade a cada segundo, então o gráfico é uma reta de inclinação $a$. Após um tempo $t$, ela subiu $at$ (o colchete à direita), até $v=v_0+at$. Como integral, com a variável de integração escrita $t^{\prime }$ para separá-la do limite superior $t$:
$v(t)=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }=v_0+at$

Em um intervalo de tempo muito curto, a velocidade é quase constante, então o deslocamento é velocidade vezes esse tempo: uma faixa estreita de área sob o gráfico. Somando as faixas, o deslocamento $\Delta x=x-x_0$ durante todo o tempo $t$ é a área sombreada sob a reta. Divida-a em um retângulo de altura $v_0$ e largura $t$, de área $v_{0}t$, e um triângulo de base $t$ e altura $at$, de área $\frac{1}{2}a{t}^2$:
$x(t)=x_0+{\int }_0^{t}v(t^{\prime })d{t}^{\prime }=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

A mesma área também pode ser contada de uma vez. O nível tracejado $\bar{v}$ fica no meio do caminho entre $v_0$ e $v$. Como o gráfico é uma reta, ela cruza esse nível exatamente no meio do intervalo, em $t/2$. Na metade esquerda, a reta fica abaixo do nível, deixando uma lacuna triangular; na metade direita, fica acima, acrescentando um triângulo. Esses são os dois triângulos mais escuros, e são iguais, cada um com base $t/2$ e altura $at/2$. Corte o triângulo da direita e encaixe-o na lacuna da esquerda, e a área sob a reta se torna um retângulo de altura $\bar{v}$ e largura $t$:
$\Delta x=\bar{v}t=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Cada integração trouxe uma constante: $v_0$ na primeira vez, $x_0$ na segunda. Elas não são enfeites. A aceleração fixa a forma do movimento; a posição e a velocidade iniciais determinam qual movimento daquela forma efetivamente acontece. É por isso que a segunda lei de Newton, que fornece a aceleração, sempre precisa de exatamente duas informações iniciais.

Uma relação adicional elimina o tempo, o que ajuda quando o tempo não é dado nem pedido. Ela vem da regra da cadeia: como $dx/dt=v$,
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},\text{so}adx=vdv$
Com $a$ constante, integre o lado esquerdo de $x_0$ a $x$ e o lado direito de $v_0$ a $v$. Isso dá $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$, ou seja
$v^2=v_0^2+2a\Delta x$

Multiplicando ambos os lados de $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$ pela massa $m$, lê-se $ma\Delta x=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Como $ma$ é a força, isso diz que força vezes deslocamento é igual à variação da energia cinética: o teorema trabalho–energia, já escondido na cinemática.

Das quatro equações de aceleração constante, $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$ é a mais antiga. Estudiosos do Merton College, em Oxford, a enunciaram por volta de 1335 como o teorema da velocidade média, e Nicole Oresme logo a demonstrou comparando áreas, como faz a figura 2, cerca de dois séculos e meio antes de Galileu testá-la com bolas rolando por um plano inclinado. A regra dos números ímpares de Galileu também decorre dela. Partindo do repouso, a distância percorrida durante o $n$-ésimo segundo é $x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}a[n^2-(n-1{)}^2]=\frac{1}{2}a(2n-1)$, então as distâncias em segundos sucessivos crescem como 1, 3, 5, 7. Para o carro, com $a=6m/{\mathrm{s}}^2$, são 3, 9, 15 e 21 m.

Inclinações e áreas

Gráficos de posição, velocidade e aceleração são a forma mais rápida de ler um movimento, e cada regra para lê-los é uma afirmação sobre derivadas (inclinações) ou integrais (áreas). A figura 3 mostra todas as regras em um único exemplo.

Legenda

$x$	Posição; seu gráfico (no topo) é uma parábola.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidade: a reta do gráfico do meio, e a inclinação da tangente a $x(t)$ em $t_1$.	$m/s$
$a$	Aceleração: aqui constante, então seu gráfico (embaixo) é uma linha horizontal.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$t$	Tempo, o eixo horizontal compartilhado pelos três gráficos.	$\mathrm{s}$
$t_1$	O instante em que a tangente é traçada e as áreas terminam.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Variação de posição de 0 a $t_1$: a subida de $x(t)$, igual à área sob $v(t)$.	$\mathrm{m}$
$\Delta v$	Variação de velocidade de 0 a $t_1$: a subida de $v(t)$, igual à área sob $a(t)$.	$m/s$

A figura 3 empilha os três gráficos do carro da animação em um mesmo eixo de tempo: $x(t)=3t^2$ no topo, $v(t)=6t$ no meio e a constante $a=6m/{\mathrm{s}}^2$ embaixo. Leia primeiro de cima para baixo, pelas inclinações. No instante $t_1=4\mathrm{s}$, a tangente à parábola $x(t)$ tem inclinação igual à velocidade ali, $v=6\cdot 4=24m/s$: ela sobe 24 m a cada segundo. O gráfico do meio, $v(t)$, é uma reta porque sua inclinação, a aceleração, é a mesma em todo instante.

A curvatura de $x(t)$ mostra o sinal da aceleração, pois $a$ é a taxa com que a inclinação $v$ muda. Um gráfico que se curva para cima tem inclinação crescente, logo $a>0$; um que se curva para baixo tem $a<0$; um trecho reto tem $a=0$.

Agora leia de baixo para cima, pelas áreas. A área sob $v(t)$ de 0 a $t_1$ é um triângulo, $\frac{1}{2}\cdot 4\mathrm{s}\cdot 24m/s=48\mathrm{m}$, e é igual à variação $\Delta x$ de $x(t)$ no mesmo tempo: de fato, $x(4)=3\cdot 16=48\mathrm{m}$. A área sob $a(t)$ é um retângulo, $6m/{\mathrm{s}}^2\cdot 4\mathrm{s}=24m/s$, e é igual à variação $\Delta v$ de $v(t)$. Na figura, cada área tem o mesmo rótulo da variação que ela produz.

Duas advertências. Primeiro, a área sob $v(t)$ conta como negativa onde $v<0$, então fornece o deslocamento, não a distância percorrida; a distância é $\int |v|dt$. Segundo, os gráficos de $v$ e $a$ nada dizem sobre onde o movimento começou: deslocar $x(t)$ para cima ou para baixo não altera nenhum dos dois, então $x_0$ deve sempre ser dado separadamente.

Quando a aceleração não é constante

As acelerações reais mudam: a força do motor diminui, o ar oferece mais resistência em velocidades maiores, uma mola puxa com mais força quanto mais é esticada. O método depende de qual grandeza a aceleração é função, e três casos cobrem a maioria dos problemas.

• Aceleração dada como função do tempo, $a(t)$: integre duas vezes, primeiro $v=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }$, depois $x=x_0+{\int }_0^{t}vd{t}^{\prime }$. O problema resolvido abaixo é desse tipo.
• Aceleração que depende da velocidade, $a(v)$, como no arrasto: como $a=dv/dt$, separe as variáveis como $dt=dv/a(v)$ e integre. Para o arrasto linear $a=-kv$, com $k$ uma constante, isso dá $v=v_0{e}^{-kt}$ e $x=x_0+(v_0/k)(1-e^{-kt})$. O corpo nunca para por completo, mas percorre apenas uma distância finita, $v_0/k$. Se o carro da animação, a 24 m/s, fosse freado apenas por um arrasto assim com $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, ele deslizaria no máximo $24/0,5=48\mathrm{m}$. Para um corpo caindo sob arrasto quadrático, $a=g-b{v}^2$, com o sentido para baixo tomado como positivo, a aceleração se extingue à medida que $v$ se aproxima da velocidade terminal $\sqrt{g/b}$, na qual $a=0$.
• Aceleração que depende da posição, $a(x)$, como nas molas: integre $adx=vdv$ como acima. Para $a=-{\omega }^{2}x$, resulta $v^2=v_0^2-{\omega }^2(x^2-x_0^2)$. Multiplicada por $\frac{1}{2}m$, isso é a conservação da energia de um oscilador, obtida antes mesmo de a energia ter sido introduzida.

Avançando numericamente

A maioria das acelerações encontradas na prática leva a equações que nenhuma fórmula resolve. O movimento é então construído em pequenos passos de tempo, cada um usando a aceleração conhecida no início do passo. A figura 4 mostra o esquema mais simples desse tipo, o método de Euler, em um caso cuja resposta exata é conhecida, de modo que seu erro pode ser visto.

Legenda

$v$	Velocidade do carro em roda livre; a curva azul é o $v(t)$ exato, a linha poligonal são os passos numéricos.	$m/s$
$t$	Tempo.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Duração de um passo de tempo.	$\mathrm{s}$
$a$	Aceleração $a=-kv$ encontrada no início de um passo e mantida durante todo o passo: a inclinação do passo (negativa, pois $v$ diminui).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a\Delta t$	Variação de velocidade em um passo: aqui negativa, uma diminuição.	$m/s$

A figura 4 acompanha o carro em roda livre com arrasto, $a=-kv$, com os números do exemplo acima: $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$ e $v_0=24m/s$. A curva azul é a solução exata $v(t)=v_0{e}^{-kt}$. A linha poligonal preta é a estimativa numérica, com um passo deliberadamente grosseiro $\Delta t=1\mathrm{s}$ para que o erro seja fácil de ver.

Cada passo segue a mesma regra. No início do passo, calcule a aceleração a partir da velocidade atual, $a=-kv$. Suponha que ela mantém esse valor durante todo o passo, de modo que a velocidade muda em $a\Delta t$: substitua $v$ por $v+a\Delta t$. Avance a posição do mesmo modo, substituindo $x$ por $x+v\Delta t$, e repita a partir dos novos valores. O passo destacado mostra uma passagem: sua inclinação é o $a$ encontrado no início, de modo que, ao longo do tempo $\Delta t$, a velocidade cai $a\Delta t$ e nada mais.

Aqui, cada passo multiplica a velocidade por $1-k\Delta t=0,5$. Após 1, 2, 3 e 4 s, os passos dão 12; 6; 3 e 1,5 m/s, contra valores exatos de 14,6; 8,8; 5,4 e 3,2 m/s. Os passos ficam abaixo da curva porque a desaceleração verdadeira enfraquece à medida que $v$ cai durante um passo, enquanto o passo numérico mantém o valor mais forte com que começou. O erro é proporcional a $\Delta t$: quando o passo é pequeno, reduzi-lo à metade reduz o erro aproximadamente à metade, de modo que os passos convergem para o movimento exato quando $\Delta t\to 0$. Órbitas, previsões do tempo e a física dos videogames são calculadas com versões refinadas dessa ideia.

Problema resolvido: uma força motora que se extingue

Eis uma aceleração que muda no tempo, resolvida integrando duas vezes. Suponha que a força motora do carro diminua de forma constante, $a(t)=a_0(1-t/\tau )$, com $a_0=6m/{\mathrm{s}}^2$ e $\tau =8\mathrm{s}$, partindo do repouso em $x=0$. A aceleração cai em linha reta de $a_0$ até zero em $t=\tau$. Qual é a velocidade do carro, e quanto ele percorreu, quando a força motora se extingue?

Integre uma vez, com $v_0=0$:
$v(t)={\int }_0^t{a}_0\left(1-\frac{t^{\prime }}{\tau }\right)d{t}^{\prime }=a_0\left(t-\frac{t^2}{2\tau }\right)$
logo $v(\tau )=a_0(\tau -\tau /2)=a_0\tau /2=24m/s$, a mesma velocidade final do carro na animação. Integre de novo, com $x_0=0$:
$x(t)=a_0\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6\tau }\right),x(\tau )=\frac{a_0{\tau }^2}{3}=\frac{6\cdot 64}{3}=128\mathrm{m}$

Compare com o carro da animação, que atingiu 24 m/s após 4 s e 48 m: este precisa de 8 s e 128 m. Seu $v(t)$ é agora uma parábola que se achata em $t=\tau$, onde $a=0$, e a área sob ela é dois terços do retângulo de 8 s por 24 m/s, $\frac{2}{3}\cdot 192=128\mathrm{m}$.

Um atalho tentador falha. A aceleração média é $24/8=3m/{\mathrm{s}}^2$, mas tratá-la como constante dá $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8^2=96\mathrm{m}$, que fica 32 m aquém. Este carro ganha a maior parte da velocidade logo no início, então passa mais tempo rápido: sua rapidez média é $128/8=16m/s$, não os 12 m/s de um aumento gradual e constante. As fórmulas de aceleração constante não se salvam substituindo a aceleração por sua média.

Limites de validade

Tudo o que foi visto acima repousa sobre três idealizações, e cada uma falha em algum caso. Primeiro, o corpo é tratado como um ponto com uma única posição. Para um carro ou um planeta, isso significa acompanhar seu centro de massa; rotação e deformação precisam de uma descrição própria.

Segundo, supõe-se que $x(t)$ seja suave o bastante para ser derivada duas vezes. Uma colisão que parece inverter uma velocidade de imediato é, na realidade, uma aceleração muito grande em um intervalo muito curto. Na escala dos átomos, a ideia de uma trajetória nítida $x(t)$ falha por completo, porque a mecânica quântica não permite a uma partícula ter ao mesmo tempo uma posição e uma velocidade precisas.

Terceiro, a cinemática galileana supõe que todos os observadores compartilham um mesmo relógio. As velocidades então simplesmente se somam: em um referencial que se move com velocidade constante $u$, a velocidade de um corpo é $v^{\prime }=v-u$, enquanto sua aceleração é a mesma em todos esses referenciais. É por isso que as leis de Newton valem em todo referencial inercial.

A relatividade restrita mostra que o relógio compartilhado é uma aproximação, válida para velocidades muito abaixo da velocidade da luz, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$. Para o carro a 24 m/s, as correções são da ordem de $v^2/c^2\approx 6\times 10^{-15}$, muito abaixo de qualquer valor mensurável. Os satélites GPS, a cerca de 3,9 km/s, são outro caso: somente esse efeito faz seus relógios atrasarem cerca de 7 microssegundos por dia, e sem correção suas posições se desviariam em quilômetros em um único dia. (A gravidade, pela relatividade geral, produz um efeito maior no sentido oposto.)

Para onde isso leva

A cinemática descreve o movimento; a dinâmica o explica. A segunda lei de Newton fornece a aceleração, $a=F/m$, e a cinemática transforma essa aceleração em uma trajetória: esse é todo o programa da mecânica clássica. Os casos vistos aqui reaparecem em toda parte. A queda livre é uma aceleração constante de módulo $g$, apontando para baixo. O lançamento de projéteis combina dois movimentos retilíneos independentes, um uniforme e outro uniformemente acelerado. No movimento circular, o módulo da velocidade pode permanecer constante enquanto a velocidade gira, o que exige uma aceleração $v^2/r$ em direção ao centro. O movimento harmônico simples é $a=-{\omega }^{2}x$, o arrasto fornece um $a(v)$, e $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ reaparece como o teorema trabalho–energia. Velocidades relativas e referenciais em movimento vêm a seguir, em Vetores e movimento relativo.