Potência e energia elétrica em casa

Iniciante

Todo aparelho tem uma potência nominal, em watts (W). A potência indica a rapidez com que o aparelho usa energia: um watt é um joule a cada segundo. Uma lâmpada de LED usa cerca de 10 W, uma televisão cerca de 100 W e uma chaleira cerca de 2000 W, ou seja, 2 quilowatts (kW).

Passo 1: energia = potência × tempo. Essa energia é medida em quilowatt-hora (kWh): um kWh é o que um aparelho de 1 kW consome em uma hora, uma chaleira de 2 kW em meia hora, ou uma lâmpada de LED de 10 W em 100 horas.

Passo 2: a conta. O medidor soma os kWh, e você paga pela energia, não pela potência: a quantidade de kWh vezes o preço de um kWh. Um aquecedor de 2 kW ligado por 3 horas consome $2\times 3=6\mathrm{kWh}$; a €0,20 por kWh, isso custa €1,20.

Passo 3: corrente e segurança. Cada aparelho que você liga puxa mais corrente pelos mesmos fios da rede, e a corrente aquece os fios. Com aparelhos potentes demais em um mesmo circuito, os fios podem superaquecer; por isso um fusível (um fio fino que derrete) ou um disjuntor (uma chave que desarma) corta a energia antes.

Na animação, uma lâmpada, uma chaleira e um aquecedor são ligados um após o outro. A cada um, a barra vermelha de corrente sobe e o disco do medidor gira mais rápido. Quando o aquecedor se soma à chaleira, a barra ultrapassa a linha limite e o disjuntor desarma.

Passo 4: eficiência. Uma lâmpada incandescente antiga transforma a maior parte da energia em calor; um LED dá a mesma luz com cerca de um sexto da potência.

Teste-se: qual consome mais energia, uma lâmpada de 100 W ligada por 10 horas ou uma chaleira de 2000 W ligada por 15 minutos? (Resposta: a lâmpada, 1 kWh contra 0,5 kWh.)

Intermediário

Potência: energia por segundo

Potência é a taxa com que a energia é transferida, $P=E/t$, em watts: $1\mathrm{W}=1J/s$. Uma chaleira de 2000 W retira da rede 2000 joules a cada segundo; uma lâmpada de LED de 10 W, apenas 10.

A tensão $V$ sobre um aparelho é a energia que cada coulomb de carga cede ao atravessá-lo, $1\mathrm{V}=1J/C$, e a corrente $I$ é a carga que passa a cada segundo, $1\mathrm{A}=1C/s$. O produto dos dois é joules por segundo:
$P=VI$

A lei de Ohm, $V=IR$, de “Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm”, fornece mais duas formas:
$P=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$

Na rede a tensão é fixa, então, pela fórmula $V^2/R$, uma resistência menor consome mais potência: a resistência do aquecedor da chaleira tem apenas $230^2/2000\approx 26\Omega$, e o filamento quente de uma lâmpada de 100 W tem 529 Ω. Para uma corrente fixa, $I^{2}R$ diz que a resistência maior aquece mais, por isso os cabos de alimentação são grossos.

Aparelhos em paralelo na rede

Cada tomada fica entre os mesmos dois fios, fase e neutro, então os aparelhos domésticos estão em paralelo. Cada um recebe a tensão total da rede (230 V na Europa, 120 V na América do Norte), independentemente do que mais estiver ligado, e as correntes dos ramos se somam no cabo de alimentação:
$I=\frac{P_1+P_2+\dots }{V}$

Um circuito protegido em $I_{\max }$ pode, portanto, fornecer no máximo $V{I}_{\max }$: 2300 W para 10 A em 230 V, 3680 W para 16 A. Por isso uma cozinha tem vários circuitos.

Energia, o quilowatt-hora e a eficiência

A energia que um aparelho consome é sua potência multiplicada pelo tempo em que funciona:
$E=Pt$
Com $P$ em watts e $t$ em segundos, o resultado sai em joules; as distribuidoras contam com unidades maiores, os quilowatt-hora, a energia de 1 kW durante uma hora:
$1\mathrm{kWh}=3,6\mathrm{MJ}$
pois $1000\mathrm{W}\cdot 3600\mathrm{s}=3,6\times 10^6\mathrm{J}$. O medidor soma quilowatt-hora, e você paga por essa energia, não pela potência: uma chaleira de 2000 W usada por 6 minutos e uma lâmpada de LED de 10 W acesa por 20 horas consomem, ambas, 0,2 kWh.

A eficiência compara a potência útil com a potência de entrada:
$\eta =\frac{P_{\mathrm{useful}}}{P_{\mathrm{in}}}$
Uma chaleira transfere de 80 a 90 % de sua energia para a água; uma lâmpada incandescente, apenas cerca de 5 % para luz visível, e por isso um LED precisa de cerca de um sexto da potência para a mesma luz.

Exemplo resolvido: o circuito da animação

O circuito de 230 V da animação é protegido por um disjuntor de 10 A. A lâmpada de 100 W consome $100/230=0,43\mathrm{A}$ e a chaleira de 2000 W consome $2000/230=8,70\mathrm{A}$, então juntas
$I=\frac{100+2000}{230}=9,13\mathrm{A}$
logo abaixo do limite, com $2300-2100=200\mathrm{W}$ de folga. O aquecedor de 2000 W eleva então a corrente para
$I=\frac{100+2000+2000}{230}=17,83\mathrm{A}$
quase o dobro da capacidade nominal.

Esses são os valores do indicador de $I$; enquanto isso, o indicador de $P$ salta de 100 para 2100 e 4100 W, e a seta vermelha $I$ no fio de alimentação se alonga; os rótulos dos ramos mostram 0,43, 8,70 e 8,70 A. A coluna vermelha na barra de corrente fica logo abaixo da linha de 10 A com a chaleira e dispara acima dela com o aquecedor. 1,2 s depois o disjuntor desarma: $P$ e $I$ caem a zero, e $E$ para de subir.

Com 1 s valendo 1 minuto, até então a lâmpada funcionou 5,5 minutos, a chaleira 3,5 e o aquecedor 1,2; logo, em watt-hora
$E=\frac{100\cdot 5,5+2000\cdot 3,5+2000\cdot 1,2}{60}\mathrm{Wh}=165,8\mathrm{Wh}$
os 0,166 kWh do indicador de $E$ (166 Wh na janela do medidor). A €0,25 por kWh, isso custa cerca de 4 centavos.

Exemplo resolvido: um aquecedor em um carretel de extensão

Um aquecedor elétrico com ventilador de 1500 W funciona em um carretel de extensão de 25 m com condutores de cobre de 1,0 mm². Sua corrente $1500/230=6,52\mathrm{A}$ vai e volta por 50 m de cobre de resistividade $1,7\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$. Com $R=\rho L/A$ de “Corrente elétrica e resistência”,
$R_c=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 50}{1,0\times 10^{-6}}=0,85\Omega$
$P_c=I^2{R}_c=6,52^2\cdot 0,85\approx 36\mathrm{W}$

Espalhados ao longo do cabo desenrolado, 36 W são inofensivos; enrolados no carretel, o mesmo calor, mais ou menos o de um pequeno ferro de solda, fica preso e podem superaquecer o isolamento, por isso a potência nominal de um carretel enrolado é menor. O carretel também reduz a tensão em $I{R}_c\approx 5,5\mathrm{V}$: por $P=V^2/R$, 2,4 % menos tensão custa cerca de 5 % da potência, restando aproximadamente 1430 W.

Na potência plena, 4 horas por noite durante 30 dias consomem $E=1,5\cdot 4\cdot 30=180\mathrm{kWh}$, €45 a €0,25 por kWh; no carretel, o medidor mostra cerca de 176 kWh, sendo 4 kWh dissipados no carretel.

Fusíveis, disjuntores e a barra de corrente

Um cabo tem uma capacidade nominal para a maior corrente em que seu aquecimento Joule, $I^{2}R$, mantém o isolamento seguro, cerca de 70 °C no PVC. Um fusível (um fio fino que derrete) ou um disjuntor (uma chave que pode ser rearmada) no fio de fase corta a corrente acima dessa capacidade: ele protege o cabo, não o aparelho.

O aquecimento cresce com o quadrado da corrente, então uma sobrecarga moderada só é perigosa se durar, enquanto um curto-circuito é perigoso de imediato. A lâmina bimetálica do disjuntor, aquecida como o cabo, desarma após segundos a minutos; seu eletroímã desarma em cerca de 10 ms quando um curto-circuito leva centenas de ampères.

Na animação, a barra vermelha é a corrente pelo disjuntor e a linha é sua capacidade de 10 A: abaixo dela, a fiação poderia funcionar para sempre. Os 17,8 A com o aquecedor ligado são uma sobrecarga, então o disjuntor espera 1,2 s, ou seja 1,2 minuto, antes de abrir.

Erros comuns

• Os aparelhos não consomem corrente: os 8,70 A que entram na chaleira pelo fio de fase saem pelo neutro. O que se consome é energia, 2000 joules por segundo.
• Um quilowatt-hora não é “quilowatts por hora”, e sim uma potência multiplicada por um tempo, uma energia de 3,6 MJ: um aquecedor de 3 kW consome 1 kWh em 20 minutos.
• Ligar mais aparelhos em paralelo não aumenta a resistência total, e sim a reduz: 529 Ω só para a lâmpada, 25,2 Ω com a chaleira, 12,9 Ω com os três, e por isso a corrente cresce.
• Mais resistência nem sempre significa mais calor: com tensão fixa, $P=V^2/R$ dá à resistência de 26 Ω da chaleira 2000 W e ao filamento de 529 Ω 100 W. $I^{2}R$ favorece a resistência maior só para correntes iguais, como em série.
• Um fusível maior não é mais seguro: um cabo de 10 A protegido com 30 A poderia conduzir três vezes sua corrente nominal, aquecendo $3^2=9$ vezes mais rápido, sem que o fusível queime.

Onde você encontra isso

Toda conta de luz é esta lição. Uma geladeira com média de 40 W consome cerca de 350 kWh por ano, e um aparelho em standby de 1 W ainda consome 8,76 kWh; a bateria de 60 kWh de um carro elétrico precisa de cerca de 8 horas em um carregador doméstico de 7,4 kW; uma usina de 1 GW equivale a meio milhão de chaleiras fervendo ao mesmo tempo.

O campo magnético em torno de toda corrente, que faz um disjuntor abrir, é o tema de “Campos magnéticos de ímãs e correntes”. “Motores, geradores e transformadores” explica por que as linhas de transmissão operam com centenas de quilovolts para reduzir as perdas $I^{2}R$, e “Semicondutores, diodos e LEDs” explica por que um LED supera um filamento.

Avançado

Potência como trabalho realizado sobre carga em movimento

Todo aparelho traz uma potência nominal em watts, e a lição inteira se apoia em uma fórmula para ela, $P=VI$. Esta seção a deduz do trabalho que o campo elétrico realiza sobre a carga que atravessa um componente, o que mostra por que ela vale para qualquer tipo de dispositivo.

Legenda

$I$	Corrente que entra na extremidade de maior potencial.	$\mathrm{A}$
$dq$	Carga que atravessa uma seção do condutor em um intervalo curto $dt$: $dq=Idt$.	$\mathrm{C}$
$\vec{E}$	Campo elétrico no interior do condutor, ao longo da corrente; seu módulo é $V/L$.	$V/m$
$L$	Comprimento do condutor.	$\mathrm{m}$
$V_a$	Potencial na extremidade por onde a corrente entra.	$\mathrm{V}$
$V_b$	Potencial na extremidade por onde a corrente sai.	$\mathrm{V}$
$V$	Queda de potencial ao longo do condutor, $V=V_a-V_b$.	$\mathrm{V}$

A figura 1 mostra o componente mais simples, um condutor uniforme de comprimento $L$. A corrente $I$ entra na extremidade esquerda, onde o potencial é $V_a$, e sai na extremidade direita, onde é $V_b$. Abaixo do condutor, na mesma escala horizontal, o potencial é representado como uma altura. Observe a linha inclinada: o potencial cai uniformemente de $V_a$ até $V_b$, e a queda total é $V=V_a-V_b$. O campo elétrico $\vec{E}$ no interior aponta descendo essa inclinação, no sentido da corrente, e como a queda é uniforme, seu módulo é o mesmo em toda parte: $E=V/L$.

Agora observe a fatia sombreada $dq$. É a carga que atravessa uma seção transversal do condutor em um intervalo curto $dt$. Corrente é carga por unidade de tempo, então $dq=Idt$. Nesse tempo, uma carga $dq$ entra à esquerda e uma carga igual sai à direita, porque a carga não se acumula no interior. O efeito líquido é o mesmo que se a fatia $dq$ tivesse sido levada por todo o caminho do potencial $V_a$ até o potencial $V_b$.

Uma diferença de potencial é trabalho por unidade de carga: quando uma carga $q$ percorre uma queda $V$, o campo realiza sobre ela o trabalho $qV$. Assim, no tempo $dt$ o campo realiza o trabalho $dW=Vdq=VIdt$, e a potência, que é trabalho por unidade de tempo, é
$P=\frac{dW}{dt}=V\frac{dq}{dt}=VI$

Apenas os potenciais das duas extremidades entraram nesse argumento. Dentro de um componente que não é um fio reto, o potencial pode cair de forma irregular, ou até subir em alguns pontos, mas o trabalho sobre uma carga levada de um terminal ao outro ainda depende apenas dos valores nas extremidades. Tampouco o argumento se importa com o destino da energia: um motor a converte em trabalho mecânico, uma bateria em recarga a converte em energia química, um LED em parte em luz.

O sinal exige uma convenção. Tome $V$ como o potencial onde a corrente entra menos o potencial onde ela sai. Então $P=VI>0$ significa que o componente absorve energia do circuito. Uma fonte impulsiona corrente para fora do seu terminal positivo, então a corrente entra nela no potencial mais baixo, $V$ é negativo e $P<0$: a fonte entrega energia ao circuito.

Em um resistor, todo o trabalho vira calor. A corrente é a mesma nas duas extremidades, então as cargas saem tão rapidamente quanto entram e não ganham energia cinética no total. A energia que o campo lhes dá é repassada, em colisões, aos átomos vibrantes do metal.

O mesmo resultado pode ser obtido ponto a ponto dentro do metal. Sejam $n$ portadores de carga por unidade de volume, cada um com carga $q$ e velocidade de deriva $\vec{v}$. O campo empurra cada um com a força $q\vec{E}$, portanto realiza trabalho sobre ele à taxa $q\vec{E}\cdot \vec{v}$. Por unidade de volume, isso é $nq\vec{v}\cdot \vec{E}$, e $nq\vec{v}$ é a densidade de corrente $\vec{j}$, a corrente por unidade de área da seção transversal. A potência liberada por unidade de volume é, portanto, $\vec{j}\cdot \vec{E}$. A lei de Ohm em sua forma local, $\vec{j}=\sigma \vec{E}$, em que $\sigma$ é a condutividade do material, transforma isso em $j^2/\sigma$. Um fio de comprimento $L$ e seção $A$ tem densidade de corrente $j=I/A$, volume $AL$ e resistência $R=L/(\sigma A)$, logo
$P=\frac{j^2}{\sigma }AL=I^2\frac{L}{\sigma A}=I^{2}R$

Com $V=IR$, isso também dá $P=V^2/R$, a forma conveniente quando a tensão é fixa, como em uma tomada.

Por onde a energia realmente flui

A chaleira retira 2000 W da tomada. É natural imaginar essa energia viajando dentro do cobre do cabo, levada pelos elétrons. Não é o caso, e ver por onde ela de fato viaja torna concreta a ideia de campo. Os elétrons são lentos demais para transportá-la. O cobre tem cerca de $n=8,5\times 10^{28}$ elétrons livres por metro cúbico, cada um com carga $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{C}$, então os 8,70 A da chaleira em um fio de 1,5 mm² exigem uma velocidade de deriva de apenas $v=I/(neA)\approx 0,43mm/s$. Com corrente alternada, que inverte o sentido 100 vezes por segundo, eles apenas oscilam para frente e para trás cerca de 2 µm. No entanto, o elemento começa a aquecer no instante em que o interruptor é fechado. A energia viaja nos campos elétrico e magnético em torno dos fios.

Legenda

$I$	Corrente ao longo do eixo; na vista frontal, vem em sua direção (o ponto).	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Campo elétrico ao longo do eixo, de módulo $V/L$ no metal e logo fora dele.	$V/m$
$L$	Comprimento do cilindro.	$\mathrm{m}$
$a$	Raio do cilindro.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético da corrente, circulando o cilindro; na superfície seu módulo é $I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Fluxo de energia do campo, potência por unidade de área: aponta de fora para dentro do resistor.	$W/{\mathrm{m}}^2$

A figura 2 modela o elemento da chaleira como um resistor cilíndrico simples de raio $a$ e comprimento $L$, visto de lado à esquerda e de frente à direita. Três campos são desenhados. O primeiro é o campo elétrico $\vec{E}$, que corre ao longo do eixo no sentido da corrente $I$ que ele impulsiona. Seu módulo no interior é $V/L$. A parte de um campo elétrico que fica ao longo de uma superfície é a mesma dos dois lados dela, então logo fora do metal também há um campo $V/L$ ao longo do eixo.

O segundo é o campo magnético $\vec{B}$ da corrente, que circula o cilindro. Na vista frontal, a corrente vem em sua direção (o ponto), e $\vec{B}$ gira no sentido anti-horário: aponte o polegar direito no sentido da corrente, e seus dedos se curvam no sentido de $\vec{B}$. Seu módulo na superfície decorre da lei de Ampère, $B\cdot 2\pi a=I/({\epsilon }_0{c}^2)$, então $B=I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$. (Aqui ${\epsilon }_0{c}^2=1/{\mu }_0$, logo esta é a conhecida $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$.)

O terceiro é o fluxo de energia $\vec{S}$, a potência que atravessa uma unidade de área, em watts por metro quadrado. Onde quer que um campo elétrico e um magnético estejam presentes ao mesmo tempo, a energia flui à taxa dada pelo vetor de Poynting, nome dado em homenagem a John Henry Poynting:
$\vec{S}={\epsilon }_0{c}^2\vec{E}\times \vec{B}$

Sua direção se deduz da figura. $\vec{E}$ aponta ao longo do eixo e $\vec{B}$ gira em torno dele, então os dois são perpendiculares, e o produto vetorial deles, perpendicular a ambos, fica ao longo de um raio. A regra da mão direita decide entre entrada e saída. No topo da vista frontal, $\vec{E}$ aponta para você e $\vec{B}$ aponta para a esquerda, e “para você” vezes “para a esquerda” aponta para baixo, para dentro do cilindro. Vale o mesmo em todo o contorno, então em todo ponto da lateral $\vec{S}$ aponta para dentro do resistor, como mostram as setas $\vec{S}$ nas duas vistas. Nas faces planas das extremidades, um $\vec{S}$ radial corre ao longo da face, então nenhuma energia entra por ali.

Como $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares, o módulo de $\vec{S}$ é simplesmente o produto dos módulos:
$S={\epsilon }_0{c}^2\cdot \frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
Ele é o mesmo em todo ponto da lateral, cuja área é $2\pi aL$, então a potência total que entra é $S\cdot 2\pi aL=VI$: exatamente a taxa com que o resistor converte energia em calor.

Assim, a energia entra no resistor a partir do espaço ao redor, pela sua superfície. Ao longo do cabo de alimentação, o campo elétrico atravessa o espaço entre o fio de fase e o neutro, e o campo magnético circula cada fio; ali $\vec{S}$ corre sobretudo paralelo aos fios, pela isolação e pelo ar entre eles, da tomada em direção à chaleira. Apenas uma pequena parcela voltada para dentro entra no cobre, e essa é a própria perda $I^{2}R$ do cabo. Quando a corrente se inverte, $\vec{E}$ e $\vec{B}$ se invertem juntos e seu produto vetorial mantém a direção, então a energia sempre flui para a carga. Os fios guiam a energia em vez de transportá-la, e sua conservação é local: a energia em qualquer região só muda pelo que atravessa sua superfície.

Corrente alternada: valores eficazes

A rede elétrica fornece corrente alternada: a tensão e a corrente mudam o tempo todo. Esta seção esclarece o que os 230 V e os 2000 W de uma etiqueta significam.

A tensão é senoidal, $v=V_0\sin \omega t$, com amplitude $V_0$ e $\omega =2\pi \cdot 50{\mathrm{s}}^{-1}$ na Europa. Em um resistor, a corrente $i=v/R$ segue a tensão exatamente, $i=I_0\sin \omega t$ com $I_0=V_0/R$; as duas estão em fase. A potência instantânea é $p=vi$, e com ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$,
$p(t)=V_0{I}_0{\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(1-\cos 2\omega t)$

Leia termo a termo. A potência nunca fica negativa: ela pulsa com o dobro da frequência da rede, 100 Hz, entre 0 e $V_0{I}_0$. O termo cossenoidal tem média zero em cada ciclo, então a potência média é $P=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0$.

Uma corrente contínua $I$ aqueceria o mesmo resistor à taxa $I^{2}R$. Ela iguala a alternada quando $I^2$ é igual à média de $i^2$, que é $\frac{1}{2}{I}_0^2$, porque ${\sin }^2$ tem média igual a metade. Esse valor constante, a raiz quadrada da média do quadrado, é a corrente eficaz, $I_{\mathrm{rms}}=I_0/\sqrt{2}$; a tensão eficaz é, da mesma forma, $V_{\mathrm{rms}}=V_0/\sqrt{2}$. Então $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$, e todas as fórmulas de corrente contínua, $P=VI=I^{2}R=V^2/R$, valem para a potência média quando se usam valores eficazes. É por isso que as potências nominais são dadas em valores eficazes: uma corrente eficaz aquece um resistor exatamente como uma corrente contínua de mesmo valor.

Para a chaleira, os 230 V da etiqueta são eficazes, então a tensão atinge picos de $230\sqrt{2}\approx 325\mathrm{V}$. Sua corrente eficaz de 8,70 A atinge picos de $8,70\sqrt{2}\approx 12,3\mathrm{A}$, e sua potência oscila entre 0 e $V_0{I}_0=4000\mathrm{W}$, com média de 2000 W.

Fase e fator de potência

Em uma chaleira, a corrente sobe e desce junto com a tensão. Em aparelhos com bobinas ou capacitores, como motores e transformadores, a corrente fica deslocada no tempo em relação à tensão, e então $V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$ superestima a potência realmente consumida. A figura 3 mostra como encontrar a potência real.

Legenda

$V_0$	Amplitude da tensão; sua seta é a direção de referência.	$\mathrm{V}$
$I_0$	Amplitude da corrente.	$\mathrm{A}$
$\phi$	Ângulo de fase pelo qual a corrente atrasa em relação à tensão.	$\mathrm{rad}$
$I_0\cos \phi$	Parte da corrente em fase com a tensão: a única que entrega potência em média.	$\mathrm{A}$
$I_0\sin \phi$	Parte da corrente um quarto de ciclo atrás da tensão: sua potência tem média zero.	$\mathrm{A}$

Escreva a corrente como $i=I_0\sin (\omega t-\phi )$, em que $\phi$ é o ângulo de fase. Uma bobina faz a corrente atrasar em relação à tensão ($\phi >0$, como desenhado); um capacitor a faz adiantar ($\phi <0$); o resultado abaixo vale para os dois casos. A figura 3 desenha cada grandeza como uma seta cujo comprimento é a amplitude e cuja direção dá a fase. A seta da tensão $V_0$ é a referência, desenhada na horizontal. A seta da corrente $I_0$ é girada em relação a ela pelo ângulo $\phi$, no sentido horário, porque a corrente atrasa. Os dois comprimentos estão em unidades diferentes, volts e ampères, então apenas o ângulo entre as setas tem significado.

Agora divida a seta da corrente em duas partes, como faz a figura: sua parte ao longo da tensão, $I_0\cos \phi$, e sua parte perpendicular a ela, $I_0\sin \phi$. Em fórmulas, isso é a identidade para o seno de uma diferença:
$I_0\sin (\omega t-\phi )=I_0\cos \phi \sin \omega t-I_0\sin \phi \cos \omega t$

A primeira parte sobe e desce exatamente com a tensão. Ela se comporta como a corrente em um resistor, então, pela seção anterior, entrega a potência média $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\cos \phi$. A segunda parte varia como $-\cos \omega t$, que está um quarto de ciclo atrás da tensão. Seu produto com $v=V_0\sin \omega t$ é $-V_0{I}_0\sin \phi \sin \omega t\cos \omega t=-\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\sin \phi \sin 2\omega t$. Ele é positivo metade do tempo e negativo na outra metade, então sua média é zero. Ele apenas move energia para frente e para trás: durante um quarto de ciclo o aparelho armazena energia no campo magnético de sua bobina (ou no campo elétrico de seu capacitor), e no quarto seguinte a devolve à rede.

Somando os dois produtos, e usando $\cos \phi \cos 2\omega t+\sin \phi \sin 2\omega t=\cos (2\omega t-\phi )$, obtém-se
$p(t)=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi ))$
Em parte de cada ciclo isso é negativo, enquanto o aparelho devolve energia armazenada. Sua média é a parte constante:
$P=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \phi$

O fator $\cos \phi$ é chamado de fator de potência, e o produto $V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$, medido em volt-ampères (V·A), de potência aparente. Um motor que consome 5,0 A em 230 V com $\cos \phi =0,8$ tem potência aparente de 1150 V·A, mas consome apenas 920 W. Uma carga com fator de potência 1 precisaria de apenas 4,0 A para os mesmos 920 W, mas o cabo e o disjuntor ainda conduzem os 5,0 A completos do motor e aquecem em conformidade, como $I^{2}R$. É por isso que as distribuidoras cobram dos clientes industriais pelo fator de potência ruim, e por que as fábricas instalam capacitores para compensar o atraso de seus motores.

O gráfico de energia é uma integral

A conta é calculada pela energia, não pela potência. Quando a potência muda com o tempo, a energia é a área sob o gráfico da potência em função do tempo, ou seja, sua integral no tempo, e a potência é a inclinação da energia:
$E=\int Pdt$

Na animação no nível avançado, $P(t)$ é uma escada. A lâmpada a leva a 100 W em 0,5 s, a chaleira a 2100 W em 2,5 s e o aquecedor a 4100 W em 4,8 s. A linha tracejada marca $V{I}_{\max }=230\cdot 10=2300\mathrm{W}$, a potência máxima que o circuito pode fornecer na corrente nominal do disjuntor $I_{\max }=10\mathrm{A}$. O degrau do aquecedor cruza essa linha, o disjuntor desarma em 6,0 s e a potência cai a zero.

$E(t)$ é a área acumulada sob a escada, com 1 s de animação valendo 1 minuto. Cada degrau soma sua altura vezes sua largura: $100\mathrm{W}\cdot 2\min =200\mathrm{W}\min \approx 3,3\mathrm{Wh}$ até 2,5 s, depois $2100\mathrm{W}\cdot 2,3\min =80,5\mathrm{Wh}$, chegando a 83,8 Wh em 4,8 s, depois $4100\mathrm{W}\cdot 1,2\min =82\mathrm{Wh}$, chegando a 165,8 Wh no desarme. Depois disso o gráfico fica horizontal. Assim, os 1,2 minutos de sobrecarga acrescentam mais energia que os 2,3 minutos anteriores. Cada segmento reto de $E(t)$ sobe com inclinação igual à potência naquele instante, e cada ponto angular marca um degrau de $P(t)$; uma potência variando suavemente faria o gráfico curvar.

Um medidor calcula essa integral. O medidor de indução mais antigo gira um disco de alumínio com um torque proporcional à média de $vi$, isto é, a $P$, contra um freio magnético cuja força de arrasto é proporcional à velocidade do disco. Os dois se equilibram quando a velocidade é proporcional a $P$, de modo que o número de voltas conta $E$. Um medidor eletrônico amostra $v$ e $i$ milhares de vezes por segundo, multiplica cada par e soma os produtos. Ambos trabalham com o produto instantâneo $vi$, portanto o fator de potência está incluído automaticamente: eles contam a potência real, não $V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$.

Surtos de partida e correntes distorcidas

Até agora, toda carga foi uma resistência fixa. As cargas reais não são assim, e dois efeitos comuns fazem a corrente ser maior do que $P/V$ sugere, o que importa para fusíveis e cabos.

A resistência de um filamento de tungstênio cresce dez vezes ou mais quando ele se aquece da temperatura ambiente até cerca de 2700 K. Uma lâmpada de 100 W tem $R=V^2/P=230^2/100=529\Omega$ quente, mas apenas cerca de 50 Ω fria. Na partida ela, portanto, consome $230/50\approx 4,6\mathrm{A}$, mais de 1 kW, por uma fração de segundo até o filamento aquecer. Esse esforço súbito é o motivo pelo qual essas lâmpadas costumam queimar justamente no momento em que são ligadas.

Muitos carregadores de celular puxam corrente apenas em pulsos curtos perto dos picos da tensão, então sua corrente não é de forma alguma uma senoide. O aquecimento é proporcional a $i^2$, o que dá grande peso a pulsos altos e estreitos, então seu $I_{\mathrm{rms}}$ excede $P/V_{\mathrm{rms}}$ mesmo sem qualquer defasagem.

Aquecimento do cabo e o disjuntor

O disjuntor protege o cabo, cujo isolamento se danifica se ele ficar quente demais. Assim, a regra de quando ele deve desarmar decorre de como um cabo esquenta.

Modele o cabo como um corpo de capacidade térmica $C$ cuja temperatura está $\Delta T$ acima do ambiente. A corrente o aquece à taxa $I^{2}R$, e ele perde calor para o ambiente a uma taxa $k\Delta T$, proporcional a quanto ele está mais quente, sendo $k$ um coeficiente de perda térmica em watts por kelvin. A taxa de variação do calor armazenado, $Cd\Delta T/dt$, é a diferença:
$C\frac{d\Delta T}{dt}=I^{2}R-k\Delta T$

No início $\Delta T$ é pequeno, a perda é desprezível e a temperatura sobe à taxa $I^{2}R/C$. À medida que ela sobe, a perda alcança o ganho, até que ganho e perda se equilibrem na elevação final $\Delta T=I^{2}R/k$. A solução se aproxima desse valor como $1-e^{-t/\tau }$, com a constante de tempo $\tau =C/k$, e praticamente chega lá após algumas constantes de tempo, tipicamente minutos para a fiação residencial.

A elevação final cresce com $I^2$. Os cabos são dimensionados para que sua corrente nominal os mantenha abaixo do limite seguro de seu isolamento. A sobrecarga da animação, $17,83/10=1,78$ vez a nominal, dá $1,78^2\approx 3,2$ vezes a elevação de temperatura, muito além desse limite.

A lâmina bimetálica do disjuntor é aquecida pela mesma corrente e tem sua própria capacidade térmica e perda de calor, então é um pequeno modelo do cabo: ela se curva e desarma o disjuntor quando sua própria temperatura atinge um valor definido. Quanto maior a sobrecarga, maior seria sua temperatura final e mais cedo na subida ela passa do ponto de desarme; assim, seu atraso encurta bruscamente à medida que a sobrecarga cresce. Em um curto-circuito, a corrente pode chegar a 300 A, o que aquece $(300/10{)}^2=900$ vezes mais rápido que 10 A. É rápido demais para esperar uma lâmina esquentar, então uma bobina magnética, puxada pela própria corrente, abre os contatos em cerca de 10 ms, meio ciclo da rede.

Problema resolvido: a sobrecarga em um cabo real

A animação supõe a tensão plena de 230 V em cada tomada, como se o cabo não tivesse resistência. Suponha, em vez disso, que o cabo do circuito tenha 15 m de ida e 15 m de volta, em cobre de 1,5 mm². Com os três aparelhos ligados, que corrente circula, que potência o cabo consome e quanto ele poderia aquecer nos 1,2 minutos antes do desarme?

Legenda

$V$	Tensão da rede (eficaz).	$\mathrm{V}$
$I$	Corrente, a mesma em todo o circuito.	$\mathrm{A}$
$R_w$	Resistência de todo o cabo, ambos os condutores, desenhada em um só fio.	$\Omega$
$R_L$	Resistência combinada dos três aparelhos.	$\Omega$
$P_w$	Potência liberada como calor no cabo.	$\mathrm{W}$
$P_L$	Potência consumida pelos aparelhos.	$\mathrm{W}$

A figura 4 representa a situação como um circuito em série. A fonte $V$ impulsiona uma corrente $I$ pelo laço: pelo cabo, cujos dois condutores juntos têm resistência $R_w$ (desenhada em um único fio), e pelos três aparelhos, que atuam juntos como uma resistência $R_L$. Como a mesma $I$ passa por ambos, o calor que eles liberam, $P_w=I^2{R}_w$ e $P_L=I^2{R}_L$, está na razão de suas resistências. Trate cada aparelho como uma resistência fixa igual ao seu valor na tensão nominal de 230 V, o que é um bom modelo para elementos de aquecimento.

Primeiro, as duas resistências. O cobre tem resistividade $\rho =1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, e o cabo tem comprimento total de 30 m e seção $A=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, logo $R_w=\rho L/A=1,7\times 10^{-8}\cdot 30/(1,5\times 10^{-6})=0,34\Omega$. Os aparelhos consomem juntos 4100 W em 230 V, logo $R_L=V^2/P=230^2/4100=12,90\Omega$.

As duas estão em série, então suas resistências se somam, e a corrente e o aquecimento do cabo são
$I=\frac{V}{R_L+R_w}=\frac{230}{12,90+0,34}=17,37\mathrm{A}$
$P_w=I^2{R}_w=17,37^2\cdot 0,34\approx 103\mathrm{W}$

O cabo absorve parte da tensão, $17,37\cdot 0,34\approx 5,9\mathrm{V}$, então as tomadas recebem $230-5,9=224,1\mathrm{V}$ e os aparelhos $P_L=I^2{R}_L\approx 3890\mathrm{W}$, e não 4100 W. Os 103 W do cabo equivalem a 3,4 W por metro, três vezes os 34 W que ele libera na corrente nominal de 10 A, pois $(17,37/10{)}^2=3,0$.

Agora o aquecimento. Nos 72 s antes do desarme, o cabo libera $103\cdot 72\approx 7,4\mathrm{kJ}$. Seu cobre tem o volume $30\cdot 1,5\times 10^{-6}=4,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^3$; a 8960 kg/m³ isso é uma massa de 0,40 kg, e a 385 J/(kg·K), uma capacidade térmica de 155 J/K. Se nenhum calor escapasse, o cobre aqueceria em
$\Delta T=\frac{7400}{155}\approx 48\mathrm{K}$

Na realidade, a isolação e a parede absorvem parte do calor, então a elevação é menor. Em contrapartida, a resistência do cobre cresce cerca de 0,4 % por kelvin, portanto até cerca de 19 % em uma elevação de 48 K, o que aumenta um pouco o aquecimento. A ordem de grandeza é o que importa: dezenas de kelvin em cerca de um minuto, e ainda subindo, então uma sobrecarga desse tamanho precisa ser cortada em minutos.

Limites de validade

Tudo o que foi visto acima se apoia em simplificações. Esta seção diz onde elas valem.

A teoria de circuitos trata os fios como ligações ideais que conduzem a mesma corrente ao longo de todo o seu comprimento a cada instante. Isso exige que uma mudança em uma extremidade chegue à outra rapidamente em comparação com um ciclo. Em uma casa, essa mudança leva cerca de um décimo de microssegundo, contra um período de 20 ms em 50 Hz; dito de outro modo, o circuito precisa ser muito menor que o comprimento de onda $c/f$, que é de 6000 km em 50 Hz. Em frequências de rádio, com comprimentos de onda de metros, os fios irradiam e a imagem de campos passa a valer por completo.

Em 50 Hz, a corrente também ocupa o condutor de forma uniforme. Uma corrente alternada é empurrada para a superfície de um condutor, dentro de uma camada chamada profundidade pelicular, e no cobre em 50 Hz essa profundidade é de 9,2 mm, mais que o raio de 0,7 mm de um fio de 1,5 mm². Em 1 MHz ela encolhe para 65 µm, e a resistência do fio sobe.

A alimentação também não é ideal: a tensão da rede europeia pode variar 10 % em relação a 230 V, e, por $P=V^2/R$, uma chaleira em 207 V dá apenas $2000\cdot 0,9^2=1620\mathrm{W}$. A lei de Ohm falha para filamentos, cuja resistência depende da temperatura, e para LEDs e eletrônica. Mesmo a resistência do cobre sobe cerca de 0,4 % por kelvin, e só cabos supercondutores, resfriados com nitrogênio líquido a 77 K, conduzem corrente contínua sem nenhuma perda ôhmica.

Para onde isso leva

O campo magnético em torno de toda corrente é desenvolvido em “Campos magnéticos de ímãs e correntes”, e “Indução eletromagnética” mostra como a tensão de 50 Hz é gerada. “Motores, geradores e transformadores” explica por que a energia atravessa países em 400 kV: para a mesma potência, mil vezes a tensão significa um milésimo da corrente e, portanto, um milionésimo das perdas $I^{2}R$.

O vetor de Poynting reaparece em “Ondas eletromagnéticas”, transportando os cerca de 1 kW/m² da luz solar. “Radiação de corpo negro e o quantum” explica por que um filamento a 2700 K irradia sobretudo infravermelho, “Semicondutores, diodos e LEDs” por que um LED tem desempenho muito superior, e “Primeira lei da termodinâmica e máquinas térmicas” por que uma bomba de calor fornece três ou quatro vezes mais calor por quilowatt-hora do que um aquecedor.