परमाणु मॉडल: बोर परमाणु

इलेक्ट्रॉन निश्चित ऊर्जा स्तरों पर रहते हैं; हाइड्रोजन में $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ । दो स्तरों के बीच हर छलांग में एक फोटॉन उत्सर्जित या अवशोषित होता है, जिसकी ऊर्जा $h f$ उन दोनों स्तरों के अंतर के बराबर होती है। इसलिए हर परमाणु अपने विशिष्ट तीखे रंगों में चमकता है, जो उसके स्पेक्ट्रम की पहचान है।

n = 1 से 4 तक बोर कक्षाओं वाला एक हाइड्रोजन परमाणु: इलेक्ट्रॉन n = 3 से n = 2 पर गिरता है और एक लाल फोटॉन उत्सर्जित करता है, फिर एक समान फोटॉन अवशोषित कर वापस ऊपर चढ़ जाता है।

इस विषय से पहले: प्रकाश-विद्युत प्रभाव

शुरुआती

मुख्य विचार

एक छोटा सौर-मंडल जैसा परमाणु अपनी ऊर्जा विकिरित करके एक क्षण में ढह जाता, फिर भी असली परमाणु स्थिर हैं।
इलेक्ट्रॉन केवल कुछ निश्चित ऊर्जा स्तरों पर रह सकता है, सीढ़ी के डंडों की तरह; बीच में कभी नहीं।
ऊष्मा, लपट या तेज़ इलेक्ट्रॉनों से टकराव इलेक्ट्रॉनों को ऊँचे स्तरों पर उठा देते हैं।
निचले स्तर पर गिरते समय परमाणु एक फोटॉन छोड़ता है, जिसकी ऊर्जा ठीक उतनी होती है जितनी खोई गई; हाइड्रोजन का 3 से 2 पर गिरना लाल प्रकाश देता है।
हर तत्व के अपने स्तर होते हैं, इसलिए उसके रंग उँगलियों की छाप जैसी पहचान हैं, जिससे खगोलविद जानते हैं कि तारे किस चीज़ से बने हैं।

परमाणु में एक छोटा, भारी, धनावेशित नाभिक होता है, और उसके चारों ओर हल्के, ऋणावेशित इलेक्ट्रॉन घूमते हैं। इसे एक सूक्ष्म सौर-मंडल की तरह सोचिए, जैसा लोग 1911 के आसपास सोचते थे, तो एक समस्या सामने आती है: नाभिक के चारों ओर घूमता इलेक्ट्रॉन लगातार प्रकाश देता रहता, ऊर्जा खोता और एक क्षण में अंदर की ओर सर्पिल गति करके गिर जाता। फिर भी परमाणु ढहते नहीं।

चरण 1। 1913 में नील्स बोर ने प्रस्ताव रखा कि इलेक्ट्रॉन केवल कुछ अनुमत कक्षाओं में रह सकता है, जैसे सीढ़ी के डंडे, और जब तक वह किसी एक डंडे पर है, तब तक प्रकाश नहीं देता। हर डंडे की अपनी ऊर्जा होती है: सबसे निचले डंडे की, जो नाभिक के सबसे पास है, ऊर्जा सबसे कम होती है।

चरण 2। जब कोई चीज़ परमाणु को ऊर्जा देती है, तब परमाणु ऊँचे डंडों पर चढ़ता है: जैसे लपट की ऊष्मा, या नियॉन बत्ती की चमकती गैस में तेज़ इलेक्ट्रॉनों की टक्कर।

चरण 3। उत्तेजित इलेक्ट्रॉन जल्दी ही वापस गिर जाता है। जो ऊर्जा वह खोता है, वह प्रकाश के एक पैकेट, यानी एक फोटॉन, के रूप में निकलती है। एनिमेशन में तीसरे छल्ले पर का इलेक्ट्रॉन दूसरे छल्ले पर गिरता है और एक लाल फोटॉन उड़ जाता है। फिर एक समान लाल फोटॉन आता है, इलेक्ट्रॉन उसे निगल लेता है और वापस ऊपर चढ़ जाता है; थोड़े अलग रंग का प्रकाश बिना प्रभाव के आगे निकल जाता।

चरण 4। डंडों के बीच का अंतर स्थिर है, इसलिए हर गिरावट हमेशा एक ही रंग देती है। हाइड्रोजन इंद्रधनुष की जगह कुछ तीखी रेखाओं में चमकती है, और हर तत्व के अपने डंडे होते हैं, इसलिए उसकी रेखाएँ एक पहचान-चिह्न हैं। किसी तारे के प्रकाश को प्रिज़्म से फैलाकर आप पढ़ सकते हैं कि वह किस चीज़ से बना है।

छल्ले केवल एक चित्र हैं: इलेक्ट्रॉन असल में एक धुंधला बादल है, छोटा ग्रह नहीं, लेकिन स्थिर ऊर्जा-स्तर वास्तविक हैं।

खुद जाँचिए: इलेक्ट्रॉन डंडे 4 पर बैठा है। कौन-सी एक अकेली गिरावट सबसे ज़्यादा ऊर्जा वाला फोटॉन देगी? (सीधे डंडे 1 पर।)

मध्यम

मुख्य विचार

बोर का नियम $m v r = n ℏ$ केवल ऐसी कक्षाओं की अनुमति देता है जिनकी त्रिज्या $r_{n} = n^{2} a_{0}$ ( $a_{0} \approx 0.0529 nm$ ) और ऊर्जा $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ हो।
स्तर $i$ से नीचे स्तर $f$ तक की छलांग में एक फोटॉन निकलता है: $h f = E_{i} - E_{f}$ , इसलिए $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ , जहाँ $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ ।
उदाहरण: $3 \to 2$ में 1.89 eV मुक्त होता है, $λ \approx 656 nm$ (लाल Hα); केवल 1.89 eV का फोटॉन ही इलेक्ट्रॉन को 2 से वापस 3 पर उठा सकता है।
फोटॉन दो स्तरों का अंतर ले जाता है, किसी एक स्तर का मान नहीं; 13.6 eV इलेक्ट्रॉन को $n = 1$ से मुक्त कर देता है।

परमाणु, प्रकाश और इलेक्ट्रॉनवोल्ट

1911 में α-कण प्रकीर्णन से पता चला कि परमाणु अधिकतर खाली है: एक नाभिक, जिसका व्यास केवल $1 0^{- 15}$ से $1 0^{- 14} m$ है, पूरा धनावेश और लगभग सारा द्रव्यमान रखता है, जबकि इलेक्ट्रॉन लगभग $1 0^{- 10} m$ व्यास वाले क्षेत्र में फैले रहते हैं। हाइड्रोजन, जिसमें एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन है, के लिए दो बातें समझानी होती हैं: उसके परमाणु स्थिर हैं, और गर्म हाइड्रोजन केवल कुछ तीखी तरंगदैर्घ्यों पर चमकती है, जैसे 656 nm की लाल रेखा, और उन्हीं तरंगदैर्घ्यों पर प्रकाश अवशोषित भी करती है।

परमाणु ऊर्जाएँ इलेक्ट्रॉनवोल्ट में मापी जाती हैं, $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ , यानी वह ऊर्जा जो एक इलेक्ट्रॉन एक वोल्ट के विभवांतर से प्राप्त करता है। शून्य उस बिंदु पर है जहाँ इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन से बहुत दूर और स्थिर हो, इसलिए बद्ध इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा ऋणात्मक होती है। फोटॉन की ऊर्जा और तरंगदैर्घ्य $E = h c / λ$ से जुड़े हैं, जहाँ $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ ।

बोर के तीन नियम

सूक्ष्म सौर-मंडल काम नहीं कर सकता: कक्षा में घूमता इलेक्ट्रॉन त्वरित होता है, इसलिए उसे विकिरण करना चाहिए, लगभग $1 0^{- 11} s$ में नाभिक की ओर सर्पिल गति करके गिर जाना चाहिए, और तीखी रेखाओं के बजाय रंगों का एक धुंधला फैलाव उत्सर्जित करना चाहिए। 1913 में नील्स बोर ने कक्षा को बनाए रखा, पर ऐसे नियम जोड़े जो शास्त्रीय भौतिकी में नहीं हैं।

पहला नियम शास्त्रीय है: इलेक्ट्रॉन कूलॉम बल से बँधा हुआ प्रोटॉन के चारों ओर घूमता है। दूसरा नियम अनुमत कक्षाएँ चुनता है: कोणीय संवेग $m v r$ , न्यूनीकृत प्लैंक नियतांक $ℏ = h /2 π \approx 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ का पूर्ण गुणज होना चाहिए,
$m v r = n ℏ$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ मुख्य क्वांटम संख्या है।

तीसरा नियम सबसे साहसी है: अनुमत कक्षा पर परमाणु स्थायी अवस्था में होता है, और इलेक्ट्रॉन बिल्कुल विकिरण नहीं करता। प्रकाश तभी उत्सर्जित या अवशोषित होता है जब अनुमत कक्षाओं के बीच छलांग लगती है, और वह एक फोटॉन के रूप में होता है जो ऊर्जा-अंतर ले जाता है।

त्रिज्याएँ, ऊर्जाएँ और फोटॉन

बल-संतुलन के साथ मिलकर कोणीय संवेग का नियम हर कक्षा की त्रिज्या और ऊर्जा तय करता है, और स्तर $i$ से नीचे स्तर $f$ तक की छलांग एक फोटॉन देती है:

$r_{n} = n^{2} a_{0}$
$E_{n} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}$
$h f = E_{i} - E_{f}$
$λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}$

यहाँ $a_{0} \approx 0.0529 nm$ बोर त्रिज्या है। त्रिज्याएँ $n^{2}$ के अनुपात में बढ़ती हैं, 1 : 4 : 9 : 16, जबकि चाल $v_{n} = v_{1} / n$ के अनुसार घटती है, जहाँ $v_{1} \approx 2.19 \times 1 0^{6} m/s$ । पादांक $f$ अंतिम स्तर को दर्शाता है; अकेला $f$ फोटॉन की आवृत्ति है।

ऊर्जाएँ ऋणात्मक हैं, क्योंकि इलेक्ट्रॉन बद्ध है: मूल अवस्था से उसे मुक्त करने में 13.6 eV लगते हैं, जो हाइड्रोजन की आयनन ऊर्जा है। स्तर $- 13.6$ , $- 3.40$ , $- 1.51$ और $- 0.85 eV$ पास-पास सिमटते जाते हैं और $n \to \infty$ पर शून्य की ओर जाते हैं। बल-संतुलन $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ यह भी दिखाता है कि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ स्थितिज ऊर्जा $U = - k e^{2} / r$ के आधे परिमाण की है, इसलिए $E = K + U = - K$ ।

उदाहरण: एनिमेशन की लाल रेखा

इलेक्ट्रॉन $n = 3$ से $n = 2$ पर गिरता है:
$E_{3} = - \frac{13.6}{9} = - 1.51 eV, E_{2} = - \frac{13.6}{4} = - 3.40 eV$
$h f = E_{3} - E_{2} = - 1.51 - (- 3.40) = 1.89 eV$
$λ = \frac{h c}{E _{3} - E _{2}} = \frac{1240 eV \cdot nm}{1.89 eV} \approx 656 nm$
यह लाल प्रकाश है, Hα रेखा, जिसकी आवृत्ति $f = 1.89 eV / (4.14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4.57 \times 1 0^{14} Hz$ है।

ये एनिमेशन के मान हैं। जैसे ही $h f$ नामक लाल फोटॉन निकलता है, $n$ रीडआउट 3 से 2 होता है और $E$ रीडआउट $- 1.51$ से $- 3.40 eV$ होता है; नीचे की पंक्ति $h f = 1.89 eV$ और $λ = 656 nm$ दिखाती है। जब एक समान फोटॉन आता है, तो इलेक्ट्रॉन उसे अवशोषित करता है और रीडआउट फिर 3 और $- 1.51 eV$ पर लौट आते हैं।

छल्ला $r_{3} = 9 a_{0} = 0.476 nm$ से घटकर $r_{2} = 4 a_{0} = 0.212 nm$ रह जाता है, और इलेक्ट्रॉन की चाल 3/2 गुना बढ़ जाती है। उसकी गतिज ऊर्जा 1.89 eV बढ़ती है, जबकि स्थितिज ऊर्जा उसकी दोगुनी, 3.78 eV, घटती है; शुद्ध हानि ही फोटॉन है। एक चक्कर का समय $n^{3}$ के अनुपात में होता है: स्क्रीन पर $n = 3$ पर 3.0 s और $n = 2$ पर 0.9 s, जबकि वास्तव में $n = 2$ पर $1.2 \times 1 0^{- 15} s$ ।

उदाहरण: हाइड्रोजन लैंप जलाना

एक विसर्जन नली में तेज़ इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था वाले हाइड्रोजन परमाणुओं से टकराते हैं। टक्कर में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का कोई भी भाग दिया जा सकता है, पर परमाणु केवल ठीक-ठीक अंतर स्वीकार करता है। नली को लाल चमकाने के लिए न्यूनतम ऊर्जा कितनी चाहिए, और तब कौन-सी रेखाएँ दिखेंगी?

लाल रेखा $n = 3$ से शुरू होती है, इसलिए परमाणु को पहले वहाँ उठाना होगा:
$E_{3} - E_{1} = - 1.51 - (- 13.6) = 12.09 eV$
11 eV का इलेक्ट्रॉन परमाणु को केवल $n = 2$ (10.2 eV) तक उठा सकता है, और परमाणु सीधा वापस गिर जाता है, पराबैंगनी उत्सर्जित करते हुए $1240/10.2 \approx 122 nm$ : दिखाई नहीं देता।

$n = 3$ से नीचे उतरने के दो रास्ते हैं: सीधे $n = 1$ तक (12.09 eV, 103 nm), या $3 \to 2$ (1.89 eV, 656 nm) और फिर $2 \to 1$ (10.20 eV, 122 nm)। दोनों रास्ते $1.89 + 10.20 = 12.09 eV$ मुक्त करते हैं, और तीन रेखाओं में से केवल लाल दिखाई देती है। तेज़ इलेक्ट्रॉन परमाणु को और ऊँचे स्तर तक ले जाते हैं: स्तर $n$ तक उठा परमाणु $n (n - 1) /2$ अलग-अलग रेखाएँ उत्सर्जित कर सकता है, $n = 4$ से छह, जिनमें 486 nm की नीली-हरी रेखा भी है।

ऊर्जा-स्तर आरेख पढ़ना

ऊर्जा-स्तर आरेख हर स्तर को उसकी ऊर्जा पर एक क्षैतिज रेखा के रूप में दिखाता है, $n = 1$ से लेकर आयनन सीमा $E = 0$ तक; एनिमेशन की विशेषज्ञ परत इसे पैमाने पर दिखाती है। नीचे की ओर तीर उत्सर्जन है, ऊपर की ओर तीर अवशोषण, और तीर की लंबाई फोटॉन की ऊर्जा है: तीर जितना लंबा, तरंगदैर्घ्य उतना छोटा। परमाणु के छल्ले विपरीत प्रवृत्ति दिखाते हैं: कक्षाएँ एक-दूसरे से दूर होती जाती हैं, जबकि स्तर पास-पास सिमटते जाते हैं।

जो छलांगें एक ही निचले स्तर पर समाप्त होती हैं, वे एक श्रेणी बनाती हैं: लाइमन ( $n = 1$ पर, पराबैंगनी, 122 से 91 nm), बामर ( $n = 2$ पर, दृश्य रेखाएँ 656, 486, 434 और 410 nm, जो 365 nm की ओर सिमटती हैं) और पाशेन ( $n = 3$ पर, अवरक्त)। एक नियम, जो बोर के समझाने से पहले मापों से मिला था, इन सबको एक साथ समेटता है:
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})$
जहाँ $R_{H} \approx 1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ । Hα के लिए, $R_{H} (1/4 - 1/9) = 1.52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ , जो फिर से 656 nm देता है।

आम गलतियाँ

फोटॉन दो स्तरों का अंतर ले जाता है: $3 \to 2$ 1.89 eV देता है, 1.51 या 3.40 eV नहीं, और न ही उनका योग, 4.91 eV।
ऊर्जा $1/ n^{2}$ के अनुसार घटती है, $1/ n$ के अनुसार नहीं: $n = 2$ स्तर $- 3.40 eV$ पर है, $- 6.8 eV$ पर नहीं।
त्रिज्या $n^{2}$ के अनुसार बढ़ती है: $n = 3$ कक्षा $n = 1$ कक्षा से 9 गुना चौड़ी है, 3 गुना नहीं; 27 उनके आवर्तकालों का अनुपात है।
ऊँची कक्षा धीमी है फिर भी उसकी ऊर्जा अधिक है: $n = 3$ पर गतिज ऊर्जा $n = 2$ से 1.89 eV कम है, पर स्थितिज ऊर्जा 3.78 eV अधिक है।
फोटॉन आंशिक रूप से अवशोषित नहीं होता: 2.00 eV का फोटॉन $n = 2$ वाले परमाणु के पास से बिना असर के गुजर जाता है, क्योंकि कोई स्तर ठीक 2.00 eV ऊपर नहीं है। केवल 3.40 eV से ऊपर, जब इलेक्ट्रॉन मुक्त हो जाता है, अतिरिक्त ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा में जा सकती है; टकराने वाला इलेक्ट्रॉन केवल अपनी ऊर्जा का कुछ भाग दे सकता है।

यह कहाँ दिखता है

हर तत्व के अपने स्तर होते हैं, इसलिए उसकी रेखाएँ एक पहचान-चिह्न हैं। सूर्य की बाहरी परतों में ठंडी गैस अपनी ही तरंगदैर्घ्य अवशोषित करती है: हाइड्रोजन की Hα वह काली रेखा है जिसे फ्राउनहोफ़र ने C नाम दिया था, 656 nm पर; और हीलियम की खोज 1868 में सूर्य के प्रकाश में हुई थी, इससे पहले कि पृथ्वी पर कोई उसे खोज पाता। नीहारिकाएँ Hα के कारण लाल चमकती हैं, सोडियम लैंप 589 nm पर पीले चमकते हैं, और लेज़र स्तरों के बीच छलांगों से काम करते हैं।

फोटॉन का नियम “प्रकाश-विद्युत प्रभाव” से आता है; “तरंग-कण द्वैतता” बताती है कि केवल कुछ कक्षाएँ क्यों अनुमत हैं; और “श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन” इन ऊर्जाओं को बनाए रखते हुए कक्षाओं की जगह तरंग-फलन रखता है। “अर्धचालक, डायोड और एलईडी” में अनेक परमाणुओं के स्तर मिलकर ऊर्जा-पट्टियाँ बनाते हैं, और “रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु” नाभिक की ओर मुड़ता है, जिसके स्तर हज़ारों से लाखों गुना अधिक दूर होते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

शास्त्रीय रूप से कोई परमाणु स्थिर नहीं: आवेशों का स्थिर स्थैतिक संतुलन नहीं होता, और घूमता इलेक्ट्रॉन विकिरण करके अंदर की ओर सर्पिल होता है।
$ℏ^{2} / (2 m a^{2}) - k e^{2} / a$ का न्यूनतमीकरण $a_{0} = ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 0.053 nm$ और $E = - 13.6 eV$ देता है: अनिश्चितता परमाणुओं का आकार तय करती है।
बोर और श्रोडिंगर, दोनों सिद्धांतों में $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ है; क्वांटम यांत्रिकी हर स्तर में $n^{2}$ अवस्थाएँ जोड़ती है और मूल अवस्था में $L = 0$ ।
लाइमन रेखाएँ ( $n = 1$ पर समाप्त) पराबैंगनी में हैं; बामर रेखाएँ ( $n = 2$ पर समाप्त) में 656 nm की Hα शामिल है; ये सभी $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ का पालन करती हैं।
बोर मॉडल बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं, रेखा-तीव्रता और सूक्ष्म संरचना में विफल है; कक्षाएँ प्रायिकता-मेघ बनती हैं, जिन्हें भरकर आवर्त सारणी बनती है।

शास्त्रीय परमाणु क्यों संभव नहीं है

क्वांटम विचारों से पहले, भौतिकविदों ने हाइड्रोजन परमाणु को उन हिस्सों से बनाने की कोशिश की जिन्हें वे समझते थे: एक हल्का इलेक्ट्रॉन, आवेश $- e$ और द्रव्यमान $m$ के साथ; एक भारी प्रोटॉन, आवेश $+ e$ के साथ; और दूरी $r$ पर उनके बीच कूलॉम आकर्षण, जिसका परिमाण $k e^{2} / r^{2}$ है, जहाँ $k = 1/ (4 π ε_{0})$ । यह खंड दिखाता है कि शास्त्रीय भौतिकी इन हिस्सों से स्थिर परमाणु नहीं बना सकती, और इसके तीन अलग-अलग कारण हैं। हर विफलता उस चीज़ की ओर इशारा करती है जिसे नई भौतिकी को देना होगा।

पहला, आवेश स्थिर नहीं रह सकते। जहाँ कोई आवेश नहीं है, वहाँ स्थिरवैद्युत विभव $ϕ$ लाप्लास समीकरण $\nabla^{2} ϕ = 0$ का पालन करता है। ऐसे क्षेत्र में इस समीकरण का पालन करने वाले फलन का कोई न्यूनतम या अधिकतम नहीं होता: जहाँ वह एक दिशा में ऊपर मुड़ता है, वहीं दूसरी दिशा में नीचे मुड़ता है। इसलिए स्थिर आवेशों के बीच विराम में रखा इलेक्ट्रॉन कभी विभव-कूप के तल पर नहीं होता, और हमेशा कोई ऐसी दिशा होती है जिसमें वह खिसक सकता है। यह ऐरनशॉ का प्रमेय है, और इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन को गतिमान होना ही पड़ेगा।

दूसरा, गतिमान इलेक्ट्रॉन अपनी कक्षा बनाए नहीं रख सकता। वृत्तीय गति त्वरित गति है, और त्वरित आवेश विकिरण करता है। अभिकेंद्रीय त्वरण $v^{2} / r$ के साथ, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा इस दर से खोता है (लार्मर सूत्र)
$P = \frac{2}{3} \frac{k e ^{2} ( v ^{2} / r ) ^{2}}{c ^{3}}$
जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है। परमाणु के देखे गए आकार 0.053 nm पर त्वरण $v^{2} / r$ लगभग $9 \times 1 0^{22} m/ s^{2}$ है। इस दर से ऊर्जा खोते हुए इलेक्ट्रॉन लगभग $1.6 \times 1 0^{- 11} s$ में प्रोटॉन की ओर सर्पिल होकर गिर जाएगा। अंदर जाते समय इसकी कक्षीय आवृत्ति लगातार बढ़ेगी, इसलिए परमाणु प्रकाश का एक बढ़ती आवृत्ति वाला स्वर (चर्प) उत्सर्जित करेगा, न कि प्रेक्षित तीखी वर्णक्रम रेखाएँ।

तीसरा, शास्त्रीय भौतिकी यह भी नहीं बता सकती कि परमाणु कितना बड़ा होना चाहिए। लंबाई समस्या के स्थिरांकों से बननी चाहिए। $k e^{2}$ (इकाई J m) और $m$ (इकाई kg) से कोई लंबाई नहीं बनाई जा सकती। $c$ लाने पर एक लंबाई मिलती है, $k e^{2} / (m c^{2}) \approx 2.8 \times 1 0^{- 15} m$ , परंतु यह परमाणु से लगभग 19 000 गुना छोटी है। एक नए स्थिरांक की ज़रूरत है, और प्लैंक का न्यूनीकृत स्थिरांक $ℏ = h / (2 π)$ यही देता है।

अनिश्चितता परमाणु का आकार तय करती है

अकेला एक क्वांटम नियम, अनिश्चितता सिद्धांत, पहले ही बता देता है कि परमाणु का एक निश्चित आकार क्यों है और वह लगभग कितना है। यहाँ विचार दो ऊर्जाओं के बीच प्रतिस्पर्धा का है, और चित्र 1 इसे दिखाता है।

मान लीजिए इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन से दूरी $a$ के भीतर सीमित है; $a$ चित्र 1 की क्षैतिज अक्ष के अनुदिश है। अनिश्चितता सिद्धांत कहता है कि आकार $a$ के क्षेत्र में सीमित कण के संवेग का विस्तार कम से कम लगभग $ℏ/ a$ होता है। अतः उसका संवेग शून्य नहीं हो सकता, और उसकी गतिज ऊर्जा $K$ कम से कम लगभग $(ℏ/ a)^{2} / (2 m) = ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ होती है। यह नीला वक्र है: जब $a$ घटता है, तो यह $1/ a^{2}$ के अनुसार ऊपर उठता है।

आकर्षण की स्थितिज ऊर्जा $U$ लगभग $- k e^{2} / a$ है: यह लाल वक्र है। इसका परिमाण भी $a$ घटने पर बढ़ता है, पर केवल $1/ a$ के अनुसार, जो $K$ से धीमा है।

अब बैंगनी वक्र, यानी कुल $K + U$ , को दाईं से बाईं ओर देखिए। बड़े $a$ पर दोनों पद छोटे हैं और कुल लगभग शून्य है। जैसे-जैसे $a$ घटता है, आकर्षण पहले हावी होता है, इसलिए कुल घटता है। छोटे $a$ पर $K$ का $1/ a^{2}$ के अनुसार उठना $U$ के $1/ a$ के अनुसार गिरने से आगे निकल जाता है, और कुल तेज़ी से ऊपर चढ़ता है। इन दोनों के बीच एक न्यूनतम बिंदु है, $a = a_{0}$ पर, जहाँ कुल ऊर्जा $E (a_{0})$ है। इलेक्ट्रॉन इसी न्यूनतम पर बैठता है: यही मूल अवस्था है।

उसे खोजने के लिए कुल ऊर्जा को इस रूप में लिखें
$E (a) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} - \frac{k e ^{2}}{a}$
न्यूनतम बिंदु पर ढलान शून्य होती है:
$\frac{d E}{d a} = - \frac{ℏ ^{2}}{m a ^{3}} + \frac{k e ^{2}}{a ^{2}} = 0$
इसे $a^{3}$ से गुणा करके हल करने पर आकार मिलता है; उसे $E (a)$ में रखने पर ऊर्जा:
$a_{0} = \frac{ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} \approx 0.0529 nm, E (a_{0}) = - \frac{k e ^{2}}{2 a _{0}} \approx - 13.6 eV$
$a_{0}$ पर गतिज पद $ℏ^{2} / (2 m a_{0}^{2})$ का मान $k e^{2} / (2 a_{0})$ के बराबर होता है, जो स्थितिज पद के परिमाण का आधा है; इसीलिए कुल $- k e^{2} / (2 a_{0})$ है।

ऐसा तर्क जो $ℏ/ a$ को केवल कोटि-मान की तरह उपयोग करता है, ठीक-ठीक नहीं हो सकता, और सही आकार व सही बंधन-ऊर्जा दोनों एक साथ मिल जाना कुछ हद तक संयोग है। फिर भी भौतिक बात सही है। परमाणु उतना ही बड़ा है क्योंकि इलेक्ट्रॉन को और कम स्थान में दबाने में जितनी गतिज ऊर्जा लगेगी, वह अतिरिक्त आकर्षण से मिलने वाली ऊर्जा से अधिक होगी। ठोस और द्रव इसी कारण संपीड़न का विरोध करते हैं: परमाणुओं को पास लाने से उनके इलेक्ट्रॉन और कसकर सीमित हो जाएँगे।

बोर की कक्षाएँ और उनकी ऊर्जाएँ

1913 में नील्स बोर ने दूसरे मार्ग से वही संख्याएँ प्राप्त कीं: उन्होंने शास्त्रीय वृत्तीय कक्षाएँ रखीं, पर उनमें से केवल कुछ की अनुमति दी। यह खंड उनकी त्रिज्याएँ, चालें और ऊर्जाएँ निकालता है, जो हाइड्रोजन के वर्णक्रम को पुनः उत्पन्न करती हैं। चित्र 2 एक अनुमत कक्षा और इलेक्ट्रॉन के बल व वेग को दिखाता है।

चित्र 2 कक्षा $n = 3$ दिखाता है। इलेक्ट्रॉन, आवेश $- e$ , त्रिज्या $r_{n}$ पर धनावेशित नाभिक, आवेश $+ e$ , के चारों ओर घूमता है, और इसका वेग $v$ वृत्त की स्पर्श-रेखा पर है। इस पर लगने वाला एकमात्र बल कूलॉम आकर्षण $F$ है, जो त्रिज्या के अनुदिश नाभिक की ओर इंगित है। केंद्र की ओर का बल ठीक वही है जो वृत्तीय गति के लिए चाहिए, इसलिए अकेला $F$ अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है। लहरदार रेखा और $λ$ आगे नीचे की ओर आते हैं।

बोर ने एक नियम जोड़ा: कोणीय संवेग $m v r$ केवल $ℏ$ का पूर्ण गुणज हो सकता है। दोनों शर्तें ये हैं
$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}, m v r = n ℏ, n = 1, 2, 3, \dots$
पहली न्यूटन का दूसरा नियम है: द्रव्यमान गुणा अभिकेंद्रीय त्वरण बराबर कूलॉम बल। इसे $r$ से गुणा करने पर $m v^{2} r = k e^{2}$ मिलता है। इसे दूसरी शर्त से भाग देने पर चाल मिलती है, और दूसरी शर्त $r = n ℏ/ (m v)$ से त्रिज्या:
$v_{n} = \frac{k e ^{2}}{n ℏ} = \frac{α c}{n}, r_{n} = \frac{n ^{2} ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} = n^{2} a_{0}$
यहाँ $α = k e^{2} / (ℏ c) \approx 1/137$ एक शुद्ध संख्या है, जिसे सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक कहते हैं। त्रिज्याएँ $n^{2}$ के अनुसार बढ़ती हैं, और सबसे छोटी $r_{1}$ ठीक वही $a_{0}$ है जो अनिश्चितता तर्क से मिला था। $n = 1$ पर इलेक्ट्रॉन $c /137 \approx 2.19 \times 1 0^{6} m/s$ से चलता है: तेज़, पर प्रकाश की चाल से काफी कम।

बोर का कोणीय संवेग नियम 1924 में डी ब्रॉग्ली द्वारा उसका अर्थ दिए जाने तक मनमाना लगता था, और यही चित्र 2 की लहरदार रेखा है। संवेग $m v$ वाला इलेक्ट्रॉन तरंगदैर्घ्य $λ = h / (m v)$ की तरंग की तरह व्यवहार करता है। $m v = h / λ$ को $m v r = n ℏ = nh / (2 π)$ में रखने पर $h$ कट जाता है और बचता है
$2 π r = nλ$
परिधि में तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या समाती है। तभी एक चक्कर के बाद तरंग अपने आप से सुचारु रूप से जुड़ती है, जैसे बंद लूप पर एक अप्रगामी तरंग। चित्र 2 में $n = 3$ है: लहरदार रेखा के वृत्त पर ठीक तीन शिखर हैं, और $λ$ चिह्नित चाप एक तरंगदैर्घ्य फैलाता है। संख्याओं में, $r_{3} = 9 a_{0} = 0.476 nm$ , इसलिए परिधि $2 π \cdot 0.476 nm \approx 2.99 nm$ है, और इस कक्षा पर इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्घ्य लगभग 1.00 nm है: तीन तरंगदैर्घ्य इसे ठीक भर देते हैं।

अब ऊर्जा। बल-संतुलन को $m v^{2} = k e^{2} / r$ के रूप में लिखने पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k e^{2} / r$ आती है। स्थितिज ऊर्जा $U = - k e^{2} / r$ है, इसलिए $K = - \frac{1}{2} U$ ; यह $1/ r$ विभव के लिए विरियल प्रमेय है। कुल ऊर्जा $E = K + U = - \frac{1}{2} k e^{2} / r$ है, और $r_{n}$ रखने पर
$E_{n} = - \frac{m ( k e ^{2} ) ^{2}}{2 ℏ ^{2} n ^{2}} = - \frac{α ^{2} m c ^{2}}{2 n ^{2}} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}$
ऊर्जा ऋणात्मक है क्योंकि इलेक्ट्रॉन बद्ध है: स्तर $n$ से उसे मुक्त करने के लिए $13.6 eV / n^{2}$ देना होगा। बीच का रूप इसकी तुलना इलेक्ट्रॉन की विराम ऊर्जा $m c^{2} = 511 keV$ से करता है: बंधन-ऊर्जा उसका केवल एक छोटा भाग है, यानी $α^{2} /2 \approx 2.7 \times 1 0^{- 5}$ । यही कारण है कि यहाँ गैर-सापेक्षिक यांत्रिकी इतनी अच्छी तरह काम करती है।

जब इलेक्ट्रॉन स्तर $n_{i}$ से नीचे के स्तर $n_{f}$ पर कूदता है, तो वह एक फोटॉन उत्सर्जित करता है जो ऊर्जा-अंतर $h c / λ = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}$ ले जाता है। $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ रखने पर यह बनता है
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}}), R_{H} = \frac{13.6 eV}{h c} \approx 1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$
यह रिडबर्ग सूत्र है। बामर (1885) और रिडबर्ग ने मापी गई रेखाओं को फिट करके इसे खोजा था, और $R_{H}$ को आँकड़ों से पढ़ी गई संख्या के रूप में लिया था। बोर ने $m$ , $e$ , $h$ और $c$ से $R_{H}$ की गणना की, और वह उन स्थिरांकों की यथार्थता के भीतर मापे गए मान से मेल खाया। इस मेल ने उनके नियमों को ठुकराना असंभव बना दिया।

ऊर्जा-स्तर आरेख और वर्णक्रम पट्टी पढ़ना

ऊर्जाएँ $E_{n}$ को स्तरों की एक सीढ़ी के रूप में समझना सबसे आसान है, जहाँ हर वर्णक्रम रेखा दो डंडों के बीच की छलांग है। चित्र 3 इस सीढ़ी को पैमाने पर खींचता है और दिखाता है कि कौन-सी छलांगें रेखाओं की कौन-सी श्रृंखला बनाती हैं; एनिमेशन की विशेषज्ञ परत भी यही लेआउट उपयोग करती है।

चित्र 3 में ऊर्जा $E$ ऊपर की ओर बढ़ती है, और हर क्षैतिज रेखा एक स्तर है, जिसे $n$ से पहचाना गया है। सबसे ऊपर की बिंदुकित रेखा $E = 0$ है, यानी आयनन सीमा: इससे अधिक ऊर्जा वाला इलेक्ट्रॉन मुक्त है। मूल अवस्था से गिनें तो स्तर $n$ $E_{n} + 13.6 eV = 13.6 eV (1 - 1/ n^{2})$ ऊपर है, यानी सीमा तक जाने के रास्ते का $1 - 1/ n^{2}$ भाग: $n = 1$ से 4 के लिए 0, 3/4, 8/9 और 15/16। अतः $n = 2$ पर बंधन-ऊर्जा का तीन-चौथाई पहले ही निकल चुका होता है, और ऊँचे स्तर $E = 0$ के ठीक नीचे सिमट जाते हैं।

हर ऊर्ध्वाधर तीर एक नीचे की छलांग में उत्सर्जित एक फोटॉन है, जिसे उन दो स्तरों से पहचाना गया है जिन्हें वह जोड़ता है, जैसे $3 \to 2$ । चूँकि स्तर पैमाने पर हैं, तीर की लंबाई फोटॉन की ऊर्जा $E_{i} - E_{f}$ है, जहाँ $E_{i}$ और $E_{f}$ आरंभिक व अंतिम स्तरों की ऊर्जाएँ हैं। जो छलांगें $n = 1$ पर समाप्त होती हैं, वे लाइमन श्रृंखला (बैंगनी) बनाती हैं: $2, 3, 4 \to 1$ क्रमशः 10.2, 12.09 और 12.75 eV, यानी 122, 103 और 97 nm देती हैं, सभी पराबैंगनी में। जो छलांगें $n = 2$ पर समाप्त होती हैं, वे बामर श्रृंखला बनाती हैं: $3 \to 2$ देता है 1.89 eV (लाल, 656 nm), और $4 \to 2$ देता है 2.55 eV (नीला-हरा, 486 nm)।

तीरों की तुलना कीजिए: हर लाइमन तीर किसी भी बामर तीर से कहीं अधिक लंबा है। सबसे बड़ी बामर ऊर्जा, यानी आयनन सीमा से $n = 2$ तक की छलांग, केवल 3.40 eV है, जो सबसे छोटी लाइमन ऊर्जा 10.2 eV से बहुत कम है, इसलिए ये दोनों श्रृंखलाएँ कभी नहीं मिलतीं।

एनिमेशन के आरेख में एक नीला चिह्न इलेक्ट्रॉन को $n = 3$ से $n = 2$ और फिर वापस जाते हुए अनुसरण करता है। उसके ऊपर की वर्णक्रम पट्टी दृश्य परास 380 से 700 nm को ढकती है और 410, 434, 486 और 656 nm पर बामर रेखाएँ दिखाती है। ये बैंगनी छोर की ओर सिमटती हैं, क्योंकि आरंभिक स्तर ऊपर होने पर $1/ λ$ श्रृंखला-सीमा $R_{H} /4$ की ओर पहुँचता है, जो 365 nm है और पट्टी के ठीक बाहर है। लाल रेखा Hα, यानी $3 \to 2$ छलांग, उस क्षण जलती है जब परमाणु उसे उत्सर्जित करता है।

क्वांटम यांत्रिकी क्या बनाए रखती है और क्या बदलती है

बोर का मॉडल ऊर्जाएँ सही देता है, पर इलेक्ट्रॉन की उसकी तस्वीर, यानी एक तीखी वृत्ताकार कक्षा पर चलता कण, गलत है। क्वांटम यांत्रिकी ऊर्जाएँ बनाए रखती है और कक्षा की जगह संभावना का एक बादल रखती है। चित्र 4 मूल अवस्था के लिए यह बादल दिखाता है, जो नाभिक से दूरी के अनुसार क्रमबद्ध है।

चित्र 4 का वक्र $P$ वह प्रायिकता-घनत्व है जिससे मूल अवस्था का इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूरी $r$ पर मिलता है: $r$ और $r + d r$ के बीच इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता $P d r$ है। तीन बातें उभरकर दिखती हैं। $r = 0$ पर $P$ शून्य है, क्योंकि त्रिज्या $r$ की पतली गोलीय परत का आयतन $r \to 0$ होते-होते शून्य हो जाता है। यह ठीक $a_{0}$ पर शिखर पर है, वही त्रिज्या जो बोर ने दी थी। और यह दाहिनी ओर गिरता है पर कभी शून्य तक नहीं पहुँचता, इसलिए इस बादल की कोई सीमा नहीं है।

औसत दूरी $\overset{r}{ˉ} = 1.5 a_{0}$ शिखर के दाईं ओर है, क्योंकि दाहिनी पूँछ लंबी है और बाईं ओर उठान छोटा है। बोर की त्रिज्या बची रहती है, पर केवल सर्वाधिक संभावित दूरी के रूप में, किसी पथ के रूप में नहीं।

कूलॉम विभव के लिए श्रोडिंगर समीकरण (1926) ठीक बोर की ऊर्जाएँ $E_{n}$ देता है। बदलता है अवस्थाओं का वर्णन। इलेक्ट्रॉन एक त्रि-आयामी अप्रगामी तरंग है, और स्तर $n$ में एक ही ऊर्जा वाली $n^{2}$ भिन्न अवस्थाएँ होती हैं। उन्हें कक्षीय कोणीय-संवेग क्वांटम संख्या $l = 0, 1, \dots, n - 1$ से पहचाना जाता है, और हर $l$ के $2 l + 1$ अभिविन्यास होते हैं; इन्हें जोड़ने पर $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ । मूल अवस्था में $l = 0$ है: इसमें कोई कक्षीय कोणीय संवेग नहीं है, जबकि बोर ने इसे $ℏ$ दिया था।

इलेक्ट्रॉन के स्पिन के दो संभावित अभिविन्यास हैं, जो अवस्थाओं की संख्या को दोगुना करके $2 n^{2}$ कर देते हैं: $n = 1$ , 2 और 3 के लिए 2, 8 और 18 अवस्थाएँ। ये संख्याएँ पाउली अपवर्जन सिद्धांत के साथ, जो हर अवस्था में अधिकतम एक इलेक्ट्रॉन की अनुमति देता है, आवर्त सारणी को आकार देती हैं। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में अलग-अलग $l$ वाली अवस्थाएँ एक ही ऊर्जा नहीं रखतीं; एक बार वे अलग हो जाएँ, तो सारणी की पंक्तियों में क्रमशः 2, 8, 8, 18, 18, 32 और 32 तत्व आते हैं।

नाभिकीय आवेश $Z e$ वाले किसी भी एकल-इलेक्ट्रॉन आयन पर भी यही परिणाम लागू होते हैं। ऊपर के सूत्रों में $k e^{2}$ को $Z k e^{2}$ से बदलने पर $E_{n} = - 13.6 eV Z^{2} / n^{2}$ और $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ मिलते हैं। $He^{+}$ के लिए, $Z = 2$ , मूल अवस्था $- 54.4 eV$ पर है।

एक और सुधार: नाभिक अनंत भारी नहीं है। इलेक्ट्रॉन और नाभिक दोनों अपने उभयनिष्ठ द्रव्यमान-केंद्र के चारों ओर घूमते हैं, और यदि इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m$ को न्यूनीकृत द्रव्यमान $μ = m M / (m + M)$ से बदल दिया जाए, तो सूत्र वही रहते हैं, जहाँ $M$ नाभिक का द्रव्यमान है। हाइड्रोजन के लिए इससे बंधन-ऊर्जाएँ 0.054% घटती हैं; ड्यूटेरियम के लिए, जिसका नाभिक दोगुना भारी है, केवल 0.027%। इसलिए ड्यूटेरियम की रेखाएँ थोड़ी अधिक ऊर्जा ले जाती हैं, और उसकी Hα रेखा हाइड्रोजन की तुलना में 0.18 nm छोटी होती है: यही सूक्ष्म विस्थापन 1930 के दशक की शुरुआत में ड्यूटेरियम का पता लगाने वाला सुराग था।

उदाहरण: लाल रेखा से रेडियो तरंगों तक

बोर ने माँग की कि उनके क्वांटम नियम वहाँ शास्त्रीय भौतिकी से मेल खाएँ जहाँ क्वांटम प्रभाव छोटे हो जाते हैं: इसे पत्राचार सिद्धांत कहते हैं। शास्त्रीय रूप से एक घूमता आवेश अपनी कक्षीय आवृत्ति $f_{orb} = v / (2 π r)$ पर विकिरण करता है, यानी प्रति सेकंड चक्करों की संख्या। यह प्रश्न इस आवृत्ति की तुलना फोटॉन की आवृत्ति से करता है, पहले सीढ़ी के निचले भाग में और फिर ऊपरी भाग में।

चरण 1, स्तर $n$ की कक्षीय आवृत्ति। $v_{n} = α c / n$ और $r_{n} = n^{2} a_{0}$ लेने पर,
$f_{orb} = \frac{v _{n}}{2 π r _{n}} = \frac{α c}{2 π a _{0} n ^{3}} = \frac{6.58 \times 1 0 ^{15} Hz}{n ^{3}}$

चरण 2, लाल रेखा। इलेक्ट्रॉन $n = 3$ पर प्रति सेकंड $2.44 \times 1 0^{14}$ बार और $n = 2$ पर $8.22 \times 1 0^{14}$ बार चक्कर लगाता है। छलांग $3 \to 2$ के Hα फोटॉन की आवृत्ति $f = c / λ = 4.57 \times 1 0^{14} Hz$ है: यह दोनों कक्षीय आवृत्तियों के बीच है, और दोनों में से किसी के बराबर नहीं। सीढ़ी के निचले भाग में क्वांटम छलांग का कोई शास्त्रीय समकक्ष नहीं है।

चरण 3, ऊपर की एक छलांग, $n = 110$ से $n = 109$ । फोटॉन की ऊर्जा है
$h f = 13.6 eV (\frac{1}{10 9 ^{2}} - \frac{1}{11 0 ^{2}}) = 2.07 \times 1 0^{- 5} eV$
इसे $h = 4.14 \times 1 0^{- 15} eV s$ से भाग देने पर $f = 5.01 \times 1 0^{9} Hz$ , और $λ = c / f \approx 6.0 cm$ आता है: यह एक रेडियो तरंग है। अब कक्षीय आवृत्तियाँ $n = 109$ पर 5.08 GHz और $n = 110$ पर 4.94 GHz हैं, दोनों फोटॉन की आवृत्ति के 1.5% के भीतर।

चरण 4, वे क्यों मिल जाती हैं। बड़े $n$ पर $Δ n = 1$ की एक छलांग के लिए ऊर्जा-अंतर लगभग $E_{n}$ की $n$ के सापेक्ष ढलान के बराबर है:
$h f \approx \frac{d E _{n}}{d n} = \frac{2 \cdot 13.6 eV}{n ^{3}} = \frac{27.2 eV}{n ^{3}}$
और $h f_{orb} = ℏ α c / (a_{0} n^{3})$ बिल्कुल वही है, क्योंकि $ℏ/ a_{0} = α m c$ , इसलिए $ℏ α c / a_{0} = α^{2} m c^{2} = 27.2 eV$ । बड़े $n$ पर क्वांटम और शास्त्रीय आवृत्तियाँ एक हो जाती हैं, जैसा पत्राचार सिद्धांत माँगता है। $Δ n = 2$ या 3 वाली छलांगें भी क्रमशः $2 f_{orb}$ और $3 f_{orb}$ देती हैं, वे उच्च-आवृत्ति उपस्वर जो एक शास्त्रीय दीर्घवृत्तीय कक्षा विकिरित करती है।

ऐसे विशाल परमाणु वास्तव में मौजूद हैं। $n = 110$ कक्षा की त्रिज्या $11 0^{2} a_{0} \approx 0.64 μ m$ है, जो एक छोटे जीवाणु के आकार की है, इसलिए ऐसा परमाणु केवल बहुत विरल गैस में जीवित रहता है, जहाँ टक्करें दुर्लभ हैं। गर्म युवा तारों के चारों ओर के आयनित बादलों में प्रोटॉन इलेक्ट्रॉनों को फिर से पकड़ लेते हैं, और वे फिर सीढ़ी पर एक-एक पायदान नीचे उतरते हैं। रेडियो दूरबीनें इससे उत्पन्न 5.01 GHz रेखा देखती हैं, जिसका नाम H109α है, उन बादलों से जो Hα में भी लाल चमकते हैं।

वैधता की सीमाएँ

बोर मॉडल हाइड्रोजन के लिए भी केवल प्रथम सन्निकटन है, और एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं के लिए यह विफल हो जाता है। यह जानना कि यह कहाँ रुकता है, बताता है कि पूर्ण सिद्धांत कब आवश्यक है।

हाइड्रोजन के लिए, आपेक्षिकता और इलेक्ट्रॉन का स्पिन स्तरों को $α^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 5}$ की कोटि के सापेक्ष अंशों से विस्थापित करते हैं; यह अपेक्षित है, क्योंकि इलेक्ट्रॉन $v = α c$ वेग से चलता है और आपेक्षिक संशोधन $(v / c)^{2}$ के अनुसार बढ़ते हैं। यह सूक्ष्म संरचना $n = 2$ स्तर को $4.5 \times 1 0^{- 5} eV$ से विभाजित करती है और Hα को लगभग 0.016 nm दूर के घटकों में तोड़ देती है। इससे भी छोटे हैं लैम्ब विस्थापन ( $4.4 \times 1 0^{- 6} eV$ , क्वांटम विद्युतगतिकी से) और मूल अवस्था का अतिसूक्ष्म विभाजन ( $5.9 \times 1 0^{- 6} eV$ , इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के स्पिनों की चुंबकीय अन्योन्यक्रिया से), जिसकी 21 cm रेखा आकाशगंगा भर में हाइड्रोजन का मानचित्र बनाती है।

भारी एकल-इलेक्ट्रॉन आयनों में निम्नतम कक्षा पर इलेक्ट्रॉन की चाल $Z α c$ होती है, जो $c$ के निकट पहुँचती है, और वहाँ आपेक्षिकता हावी हो जाती है। $U^{91 +}$ में $Z α \approx 0.67$ है, और उसकी मूल अवस्था लगभग 132 keV से बंधी है, जबकि बोर का अनुमान $13.6 eV \cdot 9 2^{2} \approx 115 keV$ था।

दो या अधिक इलेक्ट्रॉनों के साथ मॉडल पूरी तरह विफल हो जाता है, जैसा एनिमेशन की टिप्पणी चेतावनी देती है, क्योंकि हर इलेक्ट्रॉन दूसरों को भी प्रतिकर्षित करता है। हीलियम के लिए, इस प्रतिकर्षण को अनदेखा करने पर कुल ऊर्जा $2 \cdot (- 54.4) = - 108.8 eV$ आती है, जबकि मापी गई कुल ऊर्जा $- 79.0 eV$ है।

बोर के नियम यह भी नहीं बताते कि कोई रेखा कितनी तीव्र है, या कोई स्तर उत्सर्जन से पहले कितनी देर टिकता है (हाइड्रोजन की 2p अवस्था, जिसका $n = 2$ और $l = 1$ है, 1.6 ns में क्षय होती है)। और कक्षाएँ वास्तविक पथ नहीं हो सकतीं: इलेक्ट्रॉन को त्रिज्या $a_{0}$ के वृत्त पर रखने का अर्थ है उसकी स्थिति को लगभग $a_{0}$ के भीतर जानना, जिससे उसका संवेग लगभग $ℏ/ a_{0} = m v_{1}$ अनिश्चित हो जाता है, यानी उसका पूरा संवेग। एक प्रभाव जिसे मॉडल सुरक्षित रूप से अनदेखा कर सकता है, वह है प्रतिक्षेप: Hα उत्सर्जित करने वाला परमाणु केवल 0.60 m/s से पीछे हटता है, और इसके लिए फोटॉन से केवल $2 \times 1 0^{- 9} eV$ ऊर्जा लगती है।

यह कहाँ ले जाता है

बोर परमाणु कई पाठों का संगम है। इसका फोटॉन नियम परमाणुओं पर वही प्रकाश-क्वांटा लागू करता है जो “प्रकाश-विद्युत प्रभाव” और “कृष्णिका विकिरण और क्वांटम” में आए थे। इसका बल-संतुलन “वृत्तीय गति” के भीतर “कूलॉम का नियम” है। इसका क्वांटीकृत कोणीय संवेग “कोणीय संवेग और उसका संरक्षण” को परमाणु पैमाने पर ले आता है। “तरंग-कण द्वैतता” अनुमत कक्षाओं को अप्रगामी इलेक्ट्रॉन तरंगों के रूप में समझाती है, और “श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन” कक्षाओं की जगह तरंग-फलन रखते हुए $E_{n}$ को बनाए रखता है।

“अर्धचालक, डायोड और एलईडी” में अनेक क्रिस्टल-परमाणुओं के स्तर मिलकर ऊर्जा-पट्टियाँ बनाते हैं, और एलईडी का रंग बैंड-गैप से तय होता है, जैसे Hα का रंग $E_{3} - E_{2}$ से तय होता है। “रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु” नाभिक की ओर मुड़ता है, जिसके स्तर हज़ारों से लाखों गुना अधिक दूर हैं। “कण और बल: मानक मॉडल” में $α \approx 1/137$ स्वयं विद्युतचुंबकीय अन्योन्यक्रिया की प्रबलता के रूप में फिर लौटता है।

मुख्य सूत्र

बोर का कोणीय संवेग-क्वांटीकरण

m v r = n ℏ

शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा अनुमत सभी वृत्तीय कक्षाओं में से बोर ने केवल वे रखीं जिनका कोणीय संवेग $L = m v r$ का मान $ℏ$ का पूर्ण गुणज है। इसी एक नियम से हाइड्रोजन की त्रिज्याएँ और ऊर्जाएँ निकलती हैं। इसे इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्घ्य $λ = h / (m v)$ के साथ पढ़ें तो यह $2 π r = nλ$ कहता है: कक्षा के परिपथ में तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या समाती है।

चिह्न
$m$	इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान	$kg$
$v$	इलेक्ट्रॉन की कक्षीय चाल	$m/s$
$r$	कक्षा की त्रिज्या	$m$
$n$	मुख्य क्वांटम संख्या, $1, 2, 3, \dots$
$ℏ$	न्यूनीकृत प्लैंक नियतांक, $h /2 π$	$J \cdot s$

कब लागू होता है: 1913 के मॉडल की एक धारणा है, और हाइड्रोजन की ऊर्जाओं के लिए इसके परिणाम सही हैं। क्वांटम यांत्रिकी इसकी जगह लेती है: कक्षीय कोणीय संवेग $l (l + 1) ℏ$ है, जहाँ $l \leq n - 1$ , इसलिए मूल अवस्था में यह बिल्कुल नहीं है।

उदाहरण: $n = 3$ पर, $r = 0.476 nm$ और $v \approx 7.3 \times 1 0^{5} m/s$ : $m v r = 3ℏ \approx 3.16 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ।

n-वीं बोर कक्षा की त्रिज्या

r_{n} = n^{2} a_{0}

अभिकेंद्रीय बल के रूप में कूलॉम बल $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ को $m v r = n ℏ$ के साथ मिलाने पर $r = n^{2} ℏ^{2} / (mk e^{2})$ मिलता है। इसलिए त्रिज्याएँ $n$ के वर्ग के अनुसार बढ़ती हैं, 1 : 4 : 9 : 16 के अनुपात में, और बोर त्रिज्या $a_{0}$ से शुरू होती हैं।

चिह्न
$r_{n}$	कक्षा $n$ की त्रिज्या	$m$
$n$	मुख्य क्वांटम संख्या
$a_{0}$	बोर त्रिज्या, लगभग $0.0529 nm$	$m$

कब लागू होता है: बोर मॉडल में हाइड्रोजन के लिए; $Z e$ आवेश वाले एकल-इलेक्ट्रॉन आयन के लिए $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ । क्वांटम यांत्रिकी में $n^{2} a_{0}$ केवल $l = n - 1$ वाली अवस्थाओं की सर्वाधिक संभावित दूरी है, कोई तीखी कक्षा नहीं।

उदाहरण: एनिमेशन का इलेक्ट्रॉन $r_{3} = 9 a_{0} = 0.476 nm$ से $r_{2} = 4 a_{0} = 0.212 nm$ पर गिरता है।

हाइड्रोजन के ऊर्जा-स्तर

E_{n} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}

कक्षा $n$ पर ऊर्जा गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है; गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के आधे परिमाण की है, इसलिए $E_{n} = - K$ । यह ऋणात्मक है क्योंकि शून्य बिंदु विराम में स्थित मुक्त इलेक्ट्रॉन है, और 13.6 eV वह ऊर्जा है जो परमाणु को $n = 1$ से आयनित करने के लिए चाहिए। स्तर $n$ बढ़ने पर शून्य की ओर सिमटते हैं।

चिह्न
$E_{n}$	स्तर $n$ की ऊर्जा	$eV$
$n$	मुख्य क्वांटम संख्या

कब लागू होता है: हाइड्रोजन और, $Z^{2}$ गुणक के साथ, एकल-इलेक्ट्रॉन आयनों के लिए; श्रोडिंगर समीकरण वही मान देता है। सूक्ष्म संरचना इन्हें $1 0^{5}$ में कुछ भागों से विस्थापित करती है, और कई-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए अन्य विधियाँ चाहिए।

उदाहरण: $E_{2} = - 13.6/4 = - 3.40 eV$ और $E_{3} = - 13.6/9 = - 1.51 eV$ , एनिमेशन के रीडआउट के दो मान।

क्वांटम छलांग में फोटॉन की ऊर्जा

h f = E_{i} - E_{f}

यह एक छलांग के लिए ऊर्जा-संरक्षण है: जब इलेक्ट्रॉन स्तर $i$ से नीचे स्तर $f$ पर गिरता है, तो परमाणु $E_{i} - E_{f}$ खोता है, और ऊर्जा $h f$ का एक फोटॉन उसे ले जाता है। इसे उल्टी दिशा में पढ़ें तो यह अवशोषण की शर्त है: फोटॉन तभी अवशोषित होता है जब $h f$ किसी अंतराल से ठीक मेल खाए। फोटॉन दो स्तरों का अंतर ले जाता है, किसी एक स्तर का मान नहीं; इलेक्ट्रॉनवोल्ट में $h = 4.14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ लीजिए।

चिह्न
$h$	प्लैंक नियतांक	$J \cdot s$
$f$	फोटॉन की आवृत्ति	$Hz$
$E_{i}$	आरंभिक (ऊपरी) स्तर की ऊर्जा	$J$
$E_{f}$	अंतिम (निचले) स्तर की ऊर्जा	$J$

कब लागू होता है: हर परमाणु, अणु और नाभिक पर लागू होता है, केवल परमाणु के प्रतिक्षेप द्वारा लिए गए बहुत छोटे भाग को छोड़कर (Hα के लिए $2 \times 1 0^{- 9} eV$ )। बोर मॉडल केवल एक-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए स्वयं स्तर देता है।

उदाहरण: $3 \to 2$ : $h f = - 1.51 - (- 3.40) = 1.89 eV$ , इसलिए $f = 1.89 eV / (4.14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4.57 \times 1 0^{14} Hz$ ।

उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य

λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}

आवृत्ति $f$ वाले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $λ = c / f$ होती है, इसलिए फोटॉन नियम $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ बन जाता है। बड़ा ऊर्जा-अंतर छोटी तरंगदैर्घ्य देता है: $n = 1$ तक की छलांगें कम से कम 10.2 eV मुक्त करती हैं और पराबैंगनी हैं, जबकि $n = 2$ तक की छोटी छलांगें दृश्य प्रकाश देती हैं। ऊर्जा इलेक्ट्रॉनवोल्ट में हो तो $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ से $λ$ सीधे नैनोमीटर में मिल जाता है।

चिह्न
$λ$	फोटॉन की तरंगदैर्घ्य	$m$
$h$	प्लैंक नियतांक	$J \cdot s$
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$
$E_{i}$	आरंभिक (ऊपरी) स्तर की ऊर्जा	$J$
$E_{f}$	अंतिम (निचले) स्तर की ऊर्जा	$J$

कब लागू होता है: निर्वात में तरंगदैर्घ्य देता है; हवा में यह लगभग 0.03% छोटी होती है (Hα: निर्वात में 656.5 nm, हवा में 656.3 nm)।

उदाहरण: Hα: $λ = 1240 eV \cdot nm /1.89 eV \approx 656 nm$ ; लाइमन α: $1240/10.2 \approx 122 nm$ ।

हाइड्रोजन रेखाओं के लिए रिडबर्ग सूत्र

\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})

ऊर्जा-स्तर के अंतर को $h c$ से भाग देने पर सीधे व्युत्क्रम तरंगदैर्घ्य मिलती है, जहाँ $R_{H} = 13.6 eV / (h c) \approx 1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ । यह सूत्र बोर मॉडल से पहले मापी गई रेखाओं से निकला था, और यह हर हाइड्रोजन रेखा को उसके अंतिम स्तर $n_{f}$ के अनुसार एक श्रेणी में रखता है; $n_{i} \to \infty$ देने पर श्रेणी-सीमा मिलती है, $1/ λ = R_{H} / n_{f}^{2}$ ।

चिह्न
$λ$	रेखा की तरंगदैर्घ्य	$m$
$R_{H}$	हाइड्रोजन के लिए रिडबर्ग नियतांक	$m^{- 1}$
$n_{f}$	अंतिम (निचले) स्तर की क्वांटम संख्या
$n_{i}$	आरंभिक (ऊपरी) स्तर की क्वांटम संख्या

कब लागू होता है: हाइड्रोजन के लिए, उत्सर्जन में $n_{i} > n_{f}$ (अवशोषण में परमाणु $n_{f}$ से $n_{i}$ तक चढ़ता है)। एकल-इलेक्ट्रॉन आयनों के लिए $Z^{2}$ से गुणा करें; न्यूनीकृत द्रव्यमान के कारण ड्यूटेरियम के लिए नियतांक थोड़ा बड़ा होता है, जिससे उसकी रेखाएँ लगभग 0.03% छोटी होती हैं।

उदाहरण: Hα: $1/ λ = R_{H} (1/4 - 1/9) = 1.52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ , इसलिए $λ \approx 656 nm$ ; बामर सीमा $4/ R_{H} \approx 365 nm$ है।

शब्दावली

नाभिकीय परमाणु: 1911 में α-कण प्रकीर्णन से स्थापित चित्र: सारा धनावेश और लगभग सारा द्रव्यमान एक ऐसे नाभिक में है जिसका व्यास केवल $1 0^{- 15}$ से $1 0^{- 14} m$ है, और इलेक्ट्रॉन लगभग $1 0^{- 10} m$ व्यास वाले क्षेत्र में फैले हैं। शास्त्रीय रूप से ऐसा परमाणु ढह जाना चाहिए।
बोर मॉडल: नील्स बोर का 1913 का हाइड्रोजन मॉडल: कूलॉम बल से बँधी वृत्तीय कक्षाएँ, जिनका कोणीय संवेग $m v r = n ℏ$ तक सीमित है, और प्रकाश केवल कक्षाओं के बीच की छलांगों में उत्सर्जित या अवशोषित होता है। यह हाइड्रोजन के ऊर्जा-स्तर सही देता है, पर एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं के लिए विफल है।
स्थायी अवस्था: परमाणु की एक ऐसी अवस्था जिसकी निश्चित ऊर्जा है, जो समय के साथ नहीं बदलती, और जिसमें परमाणु विकिरण नहीं करता। बोर की अनुमत कक्षाएँ इसका पहला उदाहरण थीं; क्वांटम यांत्रिकी में वे अप्रगामी तरंगें बन जाती हैं।
ऊर्जा-स्तर: बद्ध तंत्र की एक अनुमत ऊर्जा, हाइड्रोजन के लिए $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ । स्तर ऋणात्मक हैं क्योंकि इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए ऊर्जा देनी होती है, और $n$ बढ़ने पर वे शून्य की ओर सिमटते हैं।
मूल और उत्तेजित अवस्थाएँ: मूल अवस्था सबसे निचला स्तर है ( $n = 1$ , $- 13.6 eV$ ), जहाँ परमाणु अनिश्चित काल तक रह सकता है। कोई भी ऊँचा स्तर उत्तेजित अवस्था है, जो फोटॉन अवशोषित करने या टक्कर से पहुँचती है, और फोटॉन उत्सर्जित करके वापस क्षय होती है, आमतौर पर लगभग $1 0^{- 8} s$ के भीतर।
आयनन ऊर्जा: मूल अवस्था में परमाणु से इलेक्ट्रॉन निकालने के लिए न्यूनतम ऊर्जा: हाइड्रोजन के लिए 13.6 eV, जो $- E_{1}$ के बराबर है। इससे अधिक ऊर्जा मुक्त इलेक्ट्रॉन के साथ गतिज ऊर्जा के रूप में चली जाती है।
क्वांटम छलांग: दो स्तरों के बीच का संक्रमण। नीचे जाते समय परमाणु $h f = E_{i} - E_{f}$ का एक फोटॉन उत्सर्जित करता है; ऊपर जाते समय वह ठीक उतनी ऊर्जा का फोटॉन अवशोषित करता है या टक्कर से ऊर्जा लेता है। बोर का सिद्धांत दो कक्षाओं के बीच किसी पथ का वर्णन नहीं करता।
उत्सर्जन स्पेक्ट्रम: गर्म या विद्युत-उत्तेजित गैस द्वारा छोड़ी गई तरंगदैर्घ्य: परमाणुओं के लिए सतत इंद्रधनुष के बजाय तीखी चमकीली रेखाएँ, हर संभव छलांग के लिए एक रेखा। हाइड्रोजन की दृश्य रेखाएँ 656, 486, 434 और 410 nm पर हैं।
अवशोषण रेखाएँ: सतत स्पेक्ट्रम में काली रेखाएँ, जहाँ स्रोत के सामने की ठंडी गैस ने ठीक अपने संक्रमण-तरंगदैर्घ्य अवशोषित कर लिए हैं। सूर्य के प्रकाश में हाइड्रोजन की Hα 656 nm पर काली रेखा के रूप में दिखती है।
स्पेक्ट्रमी श्रेणी: वे सभी रेखाएँ जो एक ही निचले स्तर पर समाप्त होती हैं: लाइमन ( $n_{f} = 1$ , पराबैंगनी), बामर ( $n_{f} = 2$ , दृश्य) और पाशेन ( $n_{f} = 3$ , अवरक्त)। किसी श्रेणी के भीतर रेखाएँ एक श्रेणी-सीमा की ओर सिमटती हैं, बामर के लिए 365 nm।
हाइड्रोजन-सदृश आयन: कोई भी आयन जिसमें एक ही इलेक्ट्रॉन हो, जैसे $He^{+}$ या $Li^{2 +}$ । बोर के सूत्र नाभिकीय आवेश $Z e$ के साथ लागू होते हैं: $E_{n} = - 13.6 eV Z^{2} / n^{2}$ और $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ ।
पत्राचार सिद्धांत: यह अपेक्षा कि जब क्वांटम संख्याएँ बड़ी हों तब क्वांटम परिणाम शास्त्रीय परिणामों से मिल जाएँ। हाइड्रोजन के लिए, संक्रमण $n \to n - 1$ के फोटॉन की आवृत्ति $n$ बढ़ने पर इलेक्ट्रॉन की शास्त्रीय कक्षीय आवृत्ति की ओर पहुँचती है।

राशियाँ
$n$	मुख्य क्वांटम संख्या		पूर्ण संख्या $1, 2, 3, \dots$ जो अनुमत कक्षाओं और ऊर्जा-स्तरों को नाम देती है; $n = 1$ मूल अवस्था है।
$ℏ$	न्यूनीकृत प्लैंक नियतांक	$J \cdot s$	$h /2 π \approx 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ : बोर के नियम $m v r = n ℏ$ में कोणीय संवेग का क्वांटम।
$a_{0}$	बोर त्रिज्या	$m$	मूल-अवस्था कक्षा की त्रिज्या, $ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 5.29 \times 1 0^{- 11} m = 0.0529 nm$ : परमाणुओं का प्राकृतिक लंबाई-पैमाना।
$r_{n}$	कक्षा त्रिज्या	$m$	बोर की $n$ -वीं कक्षा की त्रिज्या, $n^{2} a_{0}$ ; क्वांटम यांत्रिकी में यह केवल सर्वाधिक संभावित दूरी के रूप में बचती है, पथ के रूप में नहीं।
$v$	कक्षीय चाल	$m/s$	द्रव्यमान $m = 9.109 \times 1 0^{- 31} kg$ वाले इलेक्ट्रॉन की कक्षा $n$ पर चाल, $v_{n} = α c / n$ : $n = 1$ पर लगभग $2.19 \times 1 0^{6} m/s$ और ऊँची कक्षाओं पर धीमी।
$E_{n}$	स्तर n की ऊर्जा	$eV$	स्तर $n$ पर इलेक्ट्रॉन की गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग, विराम में स्थित मुक्त इलेक्ट्रॉन से मापा गया, इसलिए बद्ध अवस्था के लिए ऋणात्मक; $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ ।
$h$	प्लैंक नियतांक	$J \cdot s$	$6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s = 4.136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ : यह फोटॉन की ऊर्जा को उसकी आवृत्ति से जोड़ता है, $E = h f$ ।
$f$	फोटॉन आवृत्ति	$Hz$	उत्सर्जित या अवशोषित प्रकाश के प्रति सेकंड दोलनों की संख्या; Hα के लिए $4.57 \times 1 0^{14} Hz$ ।
$λ$	तरंगदैर्घ्य	$m$	फोटॉन की तरंगदैर्घ्य, $c / f$ , जहाँ $c = 2.998 \times 1 0^{8} m/s$ प्रकाश की चाल है; परमाणु रेखाएँ आम तौर पर नैनोमीटर में दी जाती हैं: Hα के लिए 656 nm, लाइमन α के लिए 122 nm।
$R_{H}$	हाइड्रोजन के लिए रिडबर्ग नियतांक	$m^{- 1}$	$1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ में नियतांक, लगभग $1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ ; यह $13.6 eV / (h c)$ के बराबर है।

क्विज़

शुरुआती बोर मॉडल में जब इलेक्ट्रॉन निचले ऊर्जा-स्तर पर गिरता है, तो क्या होता है?
1. वह ऊर्जा-अंतर ले जाने वाला एक फोटॉन उत्सर्जित करता है
2. वह एक फोटॉन अवशोषित करता है
3. वह नाभिक में गिर जाता है
4. वह अपने आवेश का कुछ भाग खो देता है
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उत्तर: A. वह ऊर्जा-अंतर ले जाने वाला एक फोटॉन उत्सर्जित करता है
इलेक्ट्रॉन द्वारा खोई गई ऊर्जा एक फोटॉन के रूप में परमाणु से बाहर निकलती है, जिसकी ऊर्जा दोनों स्तरों के अंतर के बराबर होती है।
शुरुआती गर्म हाइड्रोजन गैस केवल कुछ तीखे रंगों में ही क्यों चमकती है?
1. काँच की नली अन्य रंगों को रोक देती है
2. उसके इलेक्ट्रॉन की केवल कुछ निश्चित ऊर्जाएँ हो सकती हैं, इसलिए केवल कुछ ऊर्जा-छलांगें संभव हैं
3. हाइड्रोजन परमाणु अन्य रंग बनाने के लिए बहुत छोटे हैं
4. गर्म गैसें हमेशा लाल चमकती हैं
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उत्तर: B. उसके इलेक्ट्रॉन की केवल कुछ निश्चित ऊर्जाएँ हो सकती हैं, इसलिए केवल कुछ ऊर्जा-छलांगें संभव हैं
निश्चित ऊर्जा-स्तर केवल निश्चित ऊर्जा-अंतर देते हैं, और हर अंतर एक फोटॉन ऊर्जा, यानी एक रंग, से मेल खाता है।
शुरुआती बोर मॉडल में इलेक्ट्रॉन सबसे तेज़ किस वृत्त पर चलता है?
1. सबसे बाहरी वृत्त पर
2. हर वृत्त पर एक समान चाल से
3. केवल वृत्तों के बीच छलांग लगाते समय
4. एक भीतरी वृत्त पर, नाभिक के पास
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उत्तर: D. एक भीतरी वृत्त पर, नाभिक के पास
बोर मॉडल में चाल n के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन सबसे भीतरी वृत्त पर सबसे तेज़ होता है, जैसे भीतरी ग्रह सूर्य की परिक्रमा अधिक तेज़ी से करते हैं। छलांग किसी पथ पर तेज़ यात्रा नहीं है: बोर का इलेक्ट्रॉन सीधे नए वृत्त पर प्रकट होता है (एनिमेशन छलांग को धीमा दिखाता है ताकि आप उसे देख सकें)।
मध्यम हाइड्रोजन के n = 2 स्तर की ऊर्जा कितनी है?
1. −6.8 eV
2. −3.4 eV
3. −13.6 eV
4. +3.4 eV
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उत्तर: B. −3.4 eV
Eₙ = −13.6 eV / n² = −13.6/4 = −3.4 eV। n² की जगह n से भाग देने पर −6.8 eV आता है, और बद्ध स्तर ऋणात्मक होते हैं।
मध्यम एक हाइड्रोजन इलेक्ट्रॉन n = 3 से n = 2 पर गिरता है। उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा कितनी है?
1. 1.89 eV
2. 3.40 eV
3. 1.51 eV
4. 4.91 eV
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उत्तर: A. 1.89 eV
h·f = E₃ − E₂ = −1.51 eV − (−3.40 eV) = 1.89 eV, यानी 656 nm की लाल Hα रेखा। 3.40 eV और 1.51 eV स्वयं स्तरों के परिमाण हैं; 4.91 eV उनका योग है।
मध्यम n = 3 कक्षा की त्रिज्या n = 1 कक्षा की तुलना में कैसी है?
1. 3 गुना बड़ी
2. 27 गुना बड़ी
3. 9 गुना बड़ी
4. समान
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उत्तर: C. 9 गुना बड़ी
rₙ = n²·a₀, इसलिए r₃/r₁ = 3² = 9। गुणक 27 = 3³ कक्षीय आवर्तकाल पर लागू होता है, त्रिज्या पर नहीं।
उन्नत हाइड्रोजन रेखाओं की कौन-सी श्रेणी पूरी तरह पराबैंगनी में है?
1. बामर (n = 2 पर समाप्त)
2. लाइमन (n = 1 पर समाप्त)
3. पाशेन (n = 3 पर समाप्त)
4. इनमें से कोई नहीं
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उत्तर: B. लाइमन (n = 1 पर समाप्त)
हर लाइमन फोटॉन कम से कम E₂ − E₁ = 10.2 eV ले जाता है, यानी λ ≤ 121.6 nm। बामर श्रेणी में दृश्य रेखाएँ हैं; पाशेन अवरक्त में है।
उन्नत इनमें से कौन-सी बोर मॉडल की वास्तविक विफलता है?
1. यह हाइड्रोजन के लिए सतत स्पेक्ट्रम की भविष्यवाणी करता है
2. यह हाइड्रोजन की आयनन ऊर्जा गलत देता है
3. यह दो या अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं, जैसे हीलियम, को नहीं संभाल सकता
4. यह बामर श्रेणी की व्याख्या नहीं कर सकता
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उत्तर: C. यह दो या अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं, जैसे हीलियम, को नहीं संभाल सकता
बोर मॉडल हाइड्रोजन के स्तर, आयनन ऊर्जा और बामर रेखाएँ सही दोहराता है, पर जैसे ही इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे पर प्रभाव डालते हैं, जैसे हीलियम में, वह टूट जाता है।

$E$	परमाणु की ऊर्जा, आयनन सीमा $E = 0$ (बिंदुकित रेखा) से मापी गई।	$J$
$n$	स्तर की संख्या: $n = 1$ मूल अवस्था है।
$\to$	दो स्तरों के बीच की छलांग, जैसे $3 \to 2$ : इलेक्ट्रॉन पहले स्तर से दूसरे पर गिरता है और एक फोटॉन निकलता है।

$a$	उस क्षेत्र का आकार जिसमें इलेक्ट्रॉन सीमित है: इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन के कितने पास रखा गया है।	$m$
$E$	इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा।	$J$
$K$	सीमित किए जाने के कारण इलेक्ट्रॉन पर थोपी गई गतिज ऊर्जा, कम से कम लगभग $ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ ।	$J$
$U$	आकर्षण की स्थितिज ऊर्जा, लगभग $- k e^{2} / a$ ।	$J$
$K + U$	इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E (a)$ : गतिज और स्थितिज का योग।	$J$
$a_{0}$	वह आकार जिस पर कुल ऊर्जा न्यूनतम है: बोर त्रिज्या, लगभग $0.053 nm$ ।	$m$
$E (a_{0})$	कुल ऊर्जा का न्यूनतम मान, $- k e^{2} / (2 a_{0}) \approx - 13.6 eV$ ।	$J$

$e$	प्राथमिक आवेश का परिमाण: नाभिक पर $+ e$ , इलेक्ट्रॉन पर $- e$ ।	$C$
$F$	इलेक्ट्रॉन पर कूलॉम बल, नाभिक की ओर इंगित।	$N$
$v$	इलेक्ट्रॉन का वेग, वृत्त के अनुदिश।	$m/s$
$r_{n}$	कक्षा की त्रिज्या: नाभिक से इलेक्ट्रॉन तक की दूरी।	$m$
$λ$	इलेक्ट्रॉन की तरंग की तरंगदैर्घ्य; एक तरंगदैर्घ्य एक शिखर से अगले शिखर तक का चाप है।	$m$
$n$	कक्षा की संख्या; उसके चारों ओर $n$ तरंगदैर्घ्य समाते हैं, यहाँ $n = 3$ ।

$r$	नाभिक से दूरी।	$m$
$P$	प्रायिकता-घनत्व: दूरी $r$ पर इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रति इकाई दूरी प्रायिकता, $P = 4 r^{2} e^{- 2 r / a_{0}} / a_{0}^{3}$ ।	$m^{- 1}$
$a_{0}$	बोर त्रिज्या: वह दूरी जिस पर $P$ सबसे बड़ा है।	$m$
$\overset{r}{ˉ}$	नाभिक से इलेक्ट्रॉन की औसत दूरी, $1.5 a_{0}$ ।	$m$