Modelos atómicos: el átomo de Bohr

Electrones en niveles de energía fijos, $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ en el hidrógeno: cada salto entre dos niveles emite o absorbe un fotón cuya energía $h f$ es igual a su diferencia, así que cada átomo brilla con sus propios colores nítidos, la huella dactilar de su espectro.

Un átomo de hidrógeno con las órbitas de Bohr n = 1 a 4: el electrón baja de n = 3 a n = 2 y emite un fotón rojo; después absorbe un fotón idéntico y vuelve a subir.

Antes de este tema: Efecto fotoeléctrico

Principiante

Ideas clave

Un átomo como sistema solar en miniatura radiaría su energía y se derrumbaría en un instante, pero los átomos reales son estables.
Un electrón solo puede estar en ciertos niveles de energía, como los peldaños de una escalera, nunca entre ellos.
El calor, las llamas o los choques con electrones rápidos suben los electrones a niveles más altos.
Al bajar de nivel, el átomo emite un fotón con exactamente la energía perdida: la bajada de 3 a 2 en el hidrógeno da luz roja.
Cada elemento tiene sus propios niveles, así que sus colores son una huella que revela a los astrónomos de qué están hechas las estrellas.

Un átomo tiene un núcleo diminuto, pesado y positivo, rodeado de electrones ligeros y negativos. Imagínalo como un sistema solar en miniatura, como se hacía hacia 1911, y surge un problema: un electrón que gira alrededor del núcleo debería emitir luz sin parar, perder energía y caer en espiral en una fracción de segundo. Sin embargo, los átomos no se derrumban.

Paso 1. En 1913 Niels Bohr propuso que un electrón solo puede usar ciertas órbitas permitidas, como los peldaños de una escalera, y que no emite luz mientras permanece en una de ellas. Cada peldaño tiene su propia energía: el más bajo, el más cercano al núcleo, tiene la menor.

Paso 2. Los átomos suben a peldaños más altos cuando algo les entrega energía: el calor de una llama, o los choques con electrones rápidos en el gas luminoso de un letrero de neón.

Paso 3. Un electrón excitado pronto vuelve a bajar. La energía que pierde sale como un paquete de luz, un fotón. En la animación, el electrón del tercer anillo baja al segundo y sale volando un fotón rojo. Más tarde llega un fotón rojo idéntico, el electrón lo absorbe y vuelve a subir; una luz de color ligeramente distinto pasaría de largo.

Paso 4. Los huecos entre peldaños son fijos, así que cada bajada da siempre el mismo color. El hidrógeno brilla en unas pocas líneas nítidas, no en un arcoíris, y cada elemento tiene sus propios peldaños, de modo que sus líneas son una huella dactilar. Descompón la luz de una estrella con un prisma y podrás leer de qué está hecha.

Los anillos son solo una imagen: el electrón es en realidad una nube difusa, no un planeta diminuto, pero los niveles de energía fijos son reales.

Compruébalo: un electrón está en el peldaño 4. ¿Qué bajada única da el fotón de mayor energía? (Directamente al peldaño 1.)

Intermedio

Ideas clave

La regla de Bohr $m v r = n ℏ$ solo permite órbitas $r_{n} = n^{2} a_{0}$ ( $a_{0} \approx 0, 0529 nm$ ) con energías $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ .
Un salto del nivel $i$ a un nivel inferior $f$ emite un fotón: $h f = E_{i} - E_{f}$ , así que $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ con $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ .
Ejemplo: $3 \to 2$ libera 1,89 eV, $λ \approx 656 nm$ (Hα, roja); solo un fotón de 1,89 eV puede devolver el electrón de 2 a 3.
El fotón se lleva la diferencia entre dos niveles, no el valor de uno de ellos; 13,6 eV liberan el electrón desde $n = 1$ .

Átomos, luz y electronvoltio

La dispersión de partículas alfa mostró en 1911 que un átomo es sobre todo espacio vacío: un núcleo de apenas entre $1 0^{- 15}$ y $1 0^{- 14} m$ de diámetro contiene toda la carga positiva y casi toda la masa, mientras que los electrones ocupan una región de unos $1 0^{- 10} m$ de diámetro. En el hidrógeno, con un protón y un electrón, hay dos hechos que explicar: sus átomos son estables, y el hidrógeno caliente brilla solo en unas pocas longitudes de onda nítidas, como una línea roja a 656 nm, y absorbe la luz en esas mismas longitudes de onda.

Las energías atómicas se miden en electronvoltios, $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ , la energía que gana un electrón al atravesar una diferencia de potencial de un voltio. El cero corresponde a un electrón en reposo y lejos del protón, de modo que un electrón ligado tiene energía negativa. La energía y la longitud de onda de un fotón se relacionan mediante $E = h c / λ$ , con $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ .

Las tres reglas de Bohr

Un sistema solar en miniatura no puede funcionar: un electrón en órbita acelera, así que debería radiar, caer en espiral hacia el núcleo en unos $1 0^{- 11} s$ y emitir una mancha de colores en lugar de líneas nítidas. En 1913 Niels Bohr mantuvo la órbita, pero añadió reglas que la física clásica no contiene.

La primera regla es clásica: el electrón gira alrededor del protón, sujeto por la fuerza de Coulomb. La segunda selecciona las órbitas: el momento angular $m v r$ debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck reducida $ℏ = h /2 π \approx 1, 055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ,
$m v r = n ℏ$
donde $n = 1, 2, 3, \dots$ es el número cuántico principal.

La tercera regla es la más audaz: en una órbita permitida el átomo está en un estado estacionario y el electrón no radia en absoluto. La luz se emite o se absorbe solo en un salto entre órbitas permitidas, como un único fotón que lleva la diferencia de energía.

Radios, energías y fotones

Con el equilibrio de fuerzas, la regla del momento angular fija el radio y la energía de cada órbita, y un salto desde un nivel $i$ hasta un nivel inferior $f$ da un único fotón:

$r_{n} = n^{2} a_{0}$
$E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$
$h f = E_{i} - E_{f}$
$λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}$

Aquí $a_{0} \approx 0, 0529 nm$ es el radio de Bohr. Los radios crecen como $n^{2}$ , en la proporción 1 : 4 : 9 : 16, mientras que la rapidez disminuye como $v_{n} = v_{1} / n$ , con $v_{1} \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ . El subíndice $f$ indica el nivel final; $f$ sola es la frecuencia del fotón.

Las energías son negativas porque el electrón está ligado: liberarlo desde el estado fundamental cuesta 13,6 eV, la energía de ionización del hidrógeno. Los niveles $- 13, 6$ ; $- 3, 40$ ; $- 1, 51$ y $- 0, 85 eV$ se apiñan y tienden a cero cuando $n \to \infty$ . El equilibrio de fuerzas $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ hace además que la energía cinética $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ sea la mitad del valor absoluto de la energía potencial $U = - k e^{2} / r$ , de modo que $E = K + U = - K$ .

Ejemplo resuelto: la línea roja de la animación

El electrón baja de $n = 3$ a $n = 2$ :
$E_{3} = - \frac{13 , 6}{9} = - 1, 51 eV, E_{2} = - \frac{13 , 6}{4} = - 3, 40 eV$
$h f = E_{3} - E_{2} = - 1, 51 - (- 3, 40) = 1, 89 eV$
$λ = \frac{h c}{E _{3} - E _{2}} = \frac{1240 eV \cdot nm}{1 , 89 eV} \approx 656 nm$
Es luz roja, la línea Hα, de frecuencia $f = 1, 89 eV / (4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ .

Son los números de la animación. La lectura de $n$ pasa de 3 a 2 y la de $E$ de $- 1, 51$ a $- 3, 40 eV$ justo cuando sale el fotón rojo con la etiqueta $h f$ , y la línea de texto situada debajo muestra $h f = 1, 89 eV$ y $λ = 656 nm$ . Cuando llega un fotón idéntico, el electrón lo absorbe y las lecturas vuelven a 3 y a $- 1, 51 eV$ .

El anillo se encoge de $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ a $r_{2} = 4 a_{0} = 0, 212 nm$ , y la rapidez del electrón se multiplica por 3/2. Su energía cinética aumenta 1,89 eV mientras que su energía potencial disminuye el doble, 3,78 eV; la pérdida neta es el fotón. Una vuelta dura un tiempo proporcional a $n^{3}$ : en pantalla 3,0 s en $n = 3$ frente a 0,9 s en $n = 2$ , y en la realidad $1, 2 \times 1 0^{- 15} s$ en $n = 2$ .

Ejemplo resuelto: encender una lámpara de hidrógeno

En un tubo de descarga, electrones rápidos chocan contra átomos de hidrógeno en su estado fundamental. Una colisión puede transmitir cualquier parte de la energía del electrón, pero el átomo solo acepta diferencias de energía exactas. ¿Cuál es la energía mínima que hace que el tubo brille en rojo, y qué líneas aparecen entonces?

La línea roja parte de $n = 3$ , así que primero hay que llevar el átomo hasta ese nivel:
$E_{3} - E_{1} = - 1, 51 - (- 13, 6) = 12, 09 eV$
Un electrón de 11 eV solo puede elevar el átomo hasta $n = 2$ (10,2 eV), y el átomo vuelve enseguida al estado fundamental, emitiendo ultravioleta a $1240/10, 2 \approx 122 nm$ : nada visible.

Desde $n = 3$ hay dos caminos hacia abajo: directo a $n = 1$ (12,09 eV, 103 nm), o $3 \to 2$ (1,89 eV, 656 nm) seguido de $2 \to 1$ (10,20 eV, 122 nm). Ambos caminos liberan $1, 89 + 10, 20 = 12, 09 eV$ , y de las tres líneas solo la roja es visible. Los electrones más rápidos llegan a niveles más altos: un átomo elevado al nivel $n$ puede emitir $n (n - 1) /2$ líneas distintas, seis desde $n = 4$ , entre ellas la azul verdosa de 486 nm.

Cómo leer un diagrama de niveles de energía

Un diagrama de niveles de energía dibuja cada nivel como una línea horizontal a su energía, desde $n = 1$ hasta el límite de ionización $E = 0$ ; la vista experta de la animación muestra uno a escala. Una flecha hacia abajo es una emisión y una hacia arriba, una absorción, y la longitud de la flecha es la energía del fotón: cuanto más larga es la flecha, más corta es la longitud de onda. Los anillos del átomo muestran la tendencia contraria: las órbitas se separan mientras los niveles se apiñan.

Los saltos que terminan en un mismo nivel forman una serie: Lyman (hasta $n = 1$ , ultravioleta, de 122 a 91 nm), Balmer (hasta $n = 2$ , líneas visibles a 656, 486, 434 y 410 nm, que convergen en 365 nm) y Paschen (hasta $n = 3$ , infrarrojo). Una sola regla, hallada a partir de medidas antes de que Bohr la explicara, las cubre todas:
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})$
con $R_{H} \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ . Para Hα, $R_{H} (1/4 - 1/9) = 1, 52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ , que vuelve a dar 656 nm.

Errores frecuentes

El fotón se lleva la diferencia entre dos niveles: $3 \to 2$ da 1,89 eV, no 1,51 ni 3,40 eV, ni su suma, 4,91 eV.
La energía varía como $1/ n^{2}$ , no como $1/ n$ : el nivel $n = 2$ está en $- 3, 40 eV$ , no en $- 6, 8 eV$ .
El radio crece como $n^{2}$ : la órbita $n = 3$ es 9 veces más ancha que la $n = 1$ , no 3 veces; 27 es la razón entre sus periodos.
Una órbita más alta es más lenta y, sin embargo, tiene más energía: en $n = 3$ la energía cinética es 1,89 eV menor que en $n = 2$ , pero la energía potencial es 3,78 eV mayor.
Un fotón no puede absorberse a medias: uno de 2,00 eV pasa de largo ante un átomo en $n = 2$ , porque ningún nivel está 2,00 eV más arriba. Solo por encima de 3,40 eV, cuando el electrón queda libre, puede ir un sobrante a su energía cinética; un electrón que choca, en cambio, puede ceder solo una parte de su energía.

Dónde aparece

Cada elemento tiene sus propios niveles, así que sus líneas son una huella dactilar. El gas más frío de las capas externas del Sol absorbe sus propias longitudes de onda: la Hα del hidrógeno es la línea oscura que Fraunhofer llamó C, a 656 nm, y el helio se descubrió en la luz solar en 1868, antes de que nadie lo encontrara en la Tierra. Las nebulosas brillan en rojo por la Hα, las lámparas de sodio lucen amarillas a 589 nm y los láseres funcionan mediante saltos entre niveles.

La regla del fotón viene de Efecto fotoeléctrico; en Dualidad onda-corpúsculo se explica por qué solo se permiten algunas órbitas, y en Ecuación de Schrödinger y efecto túnel las órbitas se sustituyen por ondas, conservando estas energías. En Semiconductores, diodos y LED los niveles de muchos átomos se funden en bandas, y Radiactividad y semivida pasa al núcleo, cuyos niveles están miles o millones de veces más separados.

Avanzado

Ideas clave

Clásicamente ningún átomo es estable: las cargas no tienen equilibrio estático estable, y un electrón en órbita radia y cae en espiral.
Minimizar $ℏ^{2} / (2 m a^{2}) - k e^{2} / a$ da $a_{0} = ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 0, 053 nm$ y $E = - 13, 6 eV$ : la incertidumbre fija el tamaño de los átomos.
$E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ tanto en Bohr como en Schrödinger; la mecánica cuántica añade $n^{2}$ estados por nivel y $L = 0$ en el fundamental.
Las líneas de Lyman (hacia $n = 1$ ) son ultravioletas; las de Balmer (hacia $n = 2$ ) incluyen Hα 656 nm; todas siguen $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ .
Bohr falla con átomos de varios electrones, intensidades y estructura fina; las órbitas se vuelven nubes, y llenarlas construye la tabla periódica.

Por qué no puede existir un átomo clásico

Antes de las ideas cuánticas, los físicos intentaron construir el átomo de hidrógeno con piezas que entendían: un electrón ligero de carga $- e$ y masa $m$ , un protón pesado de carga $+ e$ , y la atracción de Coulomb entre ambos, de valor $k e^{2} / r^{2}$ a la distancia $r$ , con $k = 1/ (4 π ε_{0})$ . Esta sección muestra que la física clásica no puede formar un átomo estable con estas piezas, por tres razones distintas. Cada fallo señala algo que la nueva física tiene que aportar.

Primero, las cargas no pueden estar quietas. Donde no hay carga, el potencial electrostático $ϕ$ cumple la ecuación de Laplace $\nabla^{2} ϕ = 0$ . Una función que la cumple no tiene mínimo ni máximo en esa región: donde se curva hacia arriba en una dirección, se curva hacia abajo en otra. Así, un electrón en reposo entre cargas fijas nunca está en el fondo de un pozo de potencial, y siempre hay una dirección por la que puede escaparse. Este es el teorema de Earnshaw, y significa que el electrón tiene que moverse.

Segundo, un electrón en movimiento no puede mantener su órbita. El movimiento circular es un movimiento acelerado, y una carga acelerada radia. Con aceleración centrípeta $v^{2} / r$ , el electrón pierde energía con una potencia (fórmula de Larmor)
$P = \frac{2}{3} \frac{k e ^{2} ( v ^{2} / r ) ^{2}}{c ^{3}}$
donde $c$ es la velocidad de la luz. Con el tamaño observado del átomo, 0,053 nm, la aceleración $v^{2} / r$ es de unos $9 \times 1 0^{22} m/ s^{2}$ . Perdiendo energía a ese ritmo, el electrón caería en espiral hasta el protón en unos $1, 6 \times 1 0^{- 11} s$ . En su caída, su frecuencia orbital aumentaría sin parar, de modo que el átomo emitiría un barrido de luz de frecuencia creciente, un chirrido, en lugar de las líneas espectrales nítidas que se observan.

Tercero, la física clásica ni siquiera puede decir qué tamaño debería tener un átomo. Un tamaño tiene que ser una longitud construida con las constantes del problema. Con $k e^{2}$ (en J m) y $m$ (en kg) no se puede formar ninguna longitud. Si se incorpora $c$ aparece una, $k e^{2} / (m c^{2}) \approx 2, 8 \times 1 0^{- 15} m$ , pero es unas 19 000 veces menor que un átomo. Hace falta una constante nueva, y la constante de Planck reducida $ℏ = h / (2 π)$ la aporta.

La incertidumbre fija el tamaño del átomo

Una sola regla cuántica, el principio de incertidumbre, ya explica por qué un átomo tiene un tamaño definido y más o menos cuál es. La idea es una competición entre dos energías, y la figura 1 la muestra.

Supón que el electrón se mantiene a una distancia menor que $a$ del protón; $a$ está en el eje horizontal de la figura 1. El principio de incertidumbre dice que una partícula confinada en una región de tamaño $a$ tiene una dispersión de la cantidad de movimiento de al menos unos $ℏ/ a$ . Por tanto, su cantidad de movimiento no puede ser nula, y su energía cinética $K$ es al menos de unos $(ℏ/ a)^{2} / (2 m) = ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ . Es la curva azul: crece como $1/ a^{2}$ cuando $a$ disminuye.

La energía potencial de la atracción, $U$ , es de unos $- k e^{2} / a$ : la curva roja. También crece en valor absoluto cuando $a$ disminuye, pero solo como $1/ a$ , más despacio que $K$ .

Sigue ahora la curva morada, el total $K + U$ , de derecha a izquierda. Con $a$ grande los dos términos son pequeños y el total está cerca de cero. Al disminuir $a$ gana primero la atracción, y el total baja. Con $a$ pequeño, el aumento de $K$ como $1/ a^{2}$ supera la bajada de $U$ como $1/ a$ , y el total sube con fuerza. Entre ambas zonas hay un punto más bajo, en $a = a_{0}$ , donde el total vale $E (a_{0})$ . El electrón se instala ahí: ese punto más bajo es el estado fundamental.

Para localizarlo, escribimos el total
$E (a) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} - \frac{k e ^{2}}{a}$
En el punto más bajo la pendiente es cero:
$\frac{d E}{d a} = - \frac{ℏ ^{2}}{m a ^{3}} + \frac{k e ^{2}}{a ^{2}} = 0$
Multiplicando por $a^{3}$ y resolviendo se obtiene el tamaño; al sustituirlo en $E (a)$ se obtiene la energía:
$a_{0} = \frac{ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} \approx 0, 0529 nm, E (a_{0}) = - \frac{k e ^{2}}{2 a _{0}} \approx - 13, 6 eV$
En $a_{0}$ el término cinético $ℏ^{2} / (2 m a_{0}^{2})$ es igual a $k e^{2} / (2 a_{0})$ , la mitad del término potencial, y por eso el total es $- k e^{2} / (2 a_{0})$ .

Un argumento que usa $ℏ/ a$ solo como orden de magnitud no puede ser exacto, y acertar a la vez con el tamaño real y con la energía de ligadura real se debe en parte a la suerte. Sin embargo, la idea física es sólida. Un átomo tiene el tamaño que tiene porque comprimir el electrón en menos espacio costaría más energía cinética de la que devolvería la atracción adicional. Ese mismo equilibrio hace que los sólidos y los líquidos se resistan a la compresión: acercar los átomos confinaría más estrechamente a sus electrones.

Las órbitas de Bohr y sus energías

En 1913 Niels Bohr llegó a los mismos números por otro camino: conservó las órbitas circulares clásicas, pero permitió solo algunas. Esta sección deduce sus radios, velocidades y energías, que reproducen el espectro del hidrógeno. La figura 2 muestra una órbita permitida con la fuerza y la velocidad del electrón.

La figura 2 muestra la órbita $n = 3$ . El electrón, de carga $- e$ , gira alrededor del núcleo, de carga $+ e$ , con radio $r_{n}$ , y su velocidad $v$ es tangente a la circunferencia. La única fuerza que actúa sobre él es la atracción de Coulomb $F$ , dirigida a lo largo del radio hacia el núcleo. Una fuerza dirigida hacia el centro es justo lo que exige el movimiento circular, así que $F$ sola aporta la fuerza centrípeta. La línea ondulada y $λ$ aparecen más abajo.

Bohr añadió una regla: el momento angular $m v r$ solo puede ser un múltiplo entero de $ℏ$ . Las dos condiciones son
$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}, m v r = n ℏ, n = 1, 2, 3, \dots$
La primera es la segunda ley de Newton: la masa por la aceleración centrípeta es igual a la fuerza de Coulomb. Al multiplicarla por $r$ resulta $m v^{2} r = k e^{2}$ . Dividiendo este resultado entre la segunda condición queda la rapidez, y la segunda condición, $r = n ℏ/ (m v)$ , da entonces el radio:
$v_{n} = \frac{k e ^{2}}{n ℏ} = \frac{α c}{n}, r_{n} = \frac{n ^{2} ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} = n^{2} a_{0}$
Aquí $α = k e^{2} / (ℏ c) \approx 1/137$ es un número puro, la constante de estructura fina. Los radios crecen como $n^{2}$ , y el menor, $r_{1}$ , es exactamente el $a_{0}$ que salió del argumento de incertidumbre. En $n = 1$ el electrón se mueve a $c /137 \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ : deprisa, pero muy por debajo de la velocidad de la luz.

La regla del momento angular de Bohr parecía arbitraria hasta que de Broglie le dio un significado en 1924, y ese significado es la línea ondulada de la figura 2. Un electrón de cantidad de movimiento $m v$ se comporta como una onda de longitud de onda $λ = h / (m v)$ . Al sustituir $m v = h / λ$ en $m v r = n ℏ = nh / (2 π)$ , $h$ se cancela y queda
$2 π r = nλ$
La circunferencia contiene un número entero de longitudes de onda. Solo entonces la onda enlaza suavemente consigo misma después de una vuelta, como una onda estacionaria en un lazo cerrado. En la figura 2, $n = 3$ : la línea ondulada tiene exactamente tres crestas alrededor del círculo, y el arco marcado con $λ$ abarca una longitud de onda. En números, $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ , así que la circunferencia mide $2 π \cdot 0, 476 nm \approx 2, 99 nm$ , y la longitud de onda del electrón en esta órbita es de unos 1,00 nm: tres longitudes de onda la llenan exactamente.

Pasemos a la energía. El equilibrio de fuerzas, escrito como $m v^{2} = k e^{2} / r$ , da la energía cinética $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k e^{2} / r$ . La energía potencial es $U = - k e^{2} / r$ , así que $K = - \frac{1}{2} U$ ; es el teorema del virial para un potencial $1/ r$ . El total es, pues, $E = K + U = - \frac{1}{2} k e^{2} / r$ , y al poner $r_{n}$ resulta
$E_{n} = - \frac{m ( k e ^{2} ) ^{2}}{2 ℏ ^{2} n ^{2}} = - \frac{α ^{2} m c ^{2}}{2 n ^{2}} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$
La energía es negativa porque el electrón está ligado: hay que aportar $13, 6 eV / n^{2}$ para liberarlo del nivel $n$ . La forma central la compara con la energía en reposo del electrón, $m c^{2} = 511 keV$ : la energía de ligadura es solo una fracción $α^{2} /2 \approx 2, 7 \times 1 0^{- 5}$ de ella. Por eso la mecánica no relativista funciona tan bien aquí.

Cuando el electrón salta de un nivel $n_{i}$ a un nivel inferior $n_{f}$ , emite un fotón que se lleva la diferencia de energía, $h c / λ = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}$ . Con $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ esto queda
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}}), R_{H} = \frac{13 , 6 eV}{h c} \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$
Es la fórmula de Rydberg. Balmer (1885) y Rydberg la habían encontrado ajustando líneas medidas, con $R_{H}$ como un número leído de los datos. Bohr calculó $R_{H}$ a partir de $m$ , $e$ , $h$ y $c$ , y el resultado coincidió con el valor medido dentro de la precisión de esas constantes. Ese acuerdo hizo imposible descartar sus reglas.

Cómo leer el diagrama de niveles y la franja del espectro

Las energías $E_{n}$ se entienden mejor como una escalera de niveles, en la que cada línea espectral es un salto entre dos peldaños. La figura 3 dibuja esa escalera a escala y muestra qué saltos forman cada serie de líneas; la vista experta de la animación usa la misma disposición.

En la figura 3 la energía $E$ aumenta hacia arriba y cada línea horizontal es un nivel, rotulado con $n$ . La línea de trazos de arriba es $E = 0$ , el límite de ionización: un electrón con más energía que esa es libre. Medido desde el estado fundamental, el nivel $n$ está más arriba en $E_{n} + 13, 6 eV = 13, 6 eV (1 - 1/ n^{2})$ , una fracción $1 - 1/ n^{2}$ del camino hasta el límite: 0, 3/4, 8/9 y 15/16 para $n = 1$ a 4. Así, tres cuartas partes de la energía de ligadura ya se han perdido en $n = 2$ , y los niveles altos se apiñan justo por debajo de $E = 0$ .

Cada flecha vertical es un fotón emitido en un salto hacia abajo, rotulada con los dos niveles que une, como $3 \to 2$ . Como los niveles están a escala, la longitud de una flecha es la energía del fotón, $E_{i} - E_{f}$ , donde $E_{i}$ y $E_{f}$ son las energías de los niveles inicial y final. Los saltos que terminan en $n = 1$ forman la serie de Lyman (morado): $2, 3, 4 \to 1$ dan 10,2; 12,09 y 12,75 eV, es decir, 122, 103 y 97 nm, todos en el ultravioleta. Los saltos que terminan en $n = 2$ forman la serie de Balmer: $3 \to 2$ da 1,89 eV (rojo, 656 nm) y $4 \to 2$ da 2,55 eV (azul verdoso, 486 nm).

Compara las flechas: toda flecha de Lyman es mucho más larga que cualquiera de Balmer. Incluso la mayor energía de Balmer, una caída desde el límite de ionización hasta $n = 2$ , es de solo 3,40 eV, muy por debajo de la menor energía de Lyman, 10,2 eV, así que las dos series nunca se solapan.

En el diagrama de la animación, un marcador azul sigue al electrón de $n = 3$ a $n = 2$ y de vuelta. La franja del espectro situada encima cubre el intervalo visible, de 380 a 700 nm, y muestra las líneas de Balmer en 410, 434, 486 y 656 nm. Se agrupan hacia el extremo violeta porque, al subir el nivel de partida, $1/ λ$ se acerca al límite de la serie $R_{H} /4$ , en 365 nm, justo fuera de la franja. La línea roja, llamada Hα (el salto $3 \to 2$ ), se enciende en el instante en que el átomo la emite.

Lo que la mecánica cuántica conserva y cambia

El modelo de Bohr acierta con las energías, pero su imagen de un electrón sobre una pista circular nítida es errónea. La mecánica cuántica conserva las energías y sustituye la pista por una nube de probabilidad. La figura 4 muestra esa nube para el estado fundamental, ordenada según la distancia al núcleo.

La curva $P$ de la figura 4 es la probabilidad por unidad de distancia de encontrar el electrón del estado fundamental a la distancia $r$ del núcleo: la probabilidad de encontrarlo entre $r$ y $r + d r$ es $P d r$ . Destacan tres rasgos. $P$ es cero en $r = 0$ , porque una capa delgada de radio $r$ tiene un volumen que tiende a cero cuando $r \to 0$ . Tiene su máximo exactamente en $a_{0}$ , el radio que dio Bohr. Y decae hacia la derecha sin llegar nunca a cero, de modo que la nube no tiene borde.

La distancia media, $\overset{r}{ˉ} = 1, 5 a_{0}$ , queda a la derecha del máximo, porque la cola de la derecha es larga mientras que la subida de la izquierda es corta. El radio de Bohr sobrevive, pero solo como la distancia más probable, no como una trayectoria.

La ecuación de Schrödinger para el potencial de Coulomb (1926) da exactamente las energías $E_{n}$ de Bohr. Lo que cambia es la descripción de los estados. El electrón es una onda estacionaria tridimensional, y el nivel $n$ contiene $n^{2}$ estados distintos con la misma energía. Se etiquetan con el número cuántico de momento angular orbital $l = 0, 1, \dots, n - 1$ , y cada $l$ tiene $2 l + 1$ orientaciones; sumándolas, $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ . El estado fundamental tiene $l = 0$ : ningún momento angular orbital, donde Bohr le daba $ℏ$ .

El espín del electrón tiene dos orientaciones posibles, lo que duplica la cuenta hasta $2 n^{2}$ : 2, 8 y 18 estados para $n = 1$ , 2 y 3. Junto con el principio de exclusión, que admite como máximo un electrón en cada estado, estas cifras dan forma a la tabla periódica. En los átomos con muchos electrones, los estados con distinto $l$ ya no comparten una misma energía; una vez que se separan, los periodos de la tabla tienen 2, 8, 8, 18, 18, 32 y 32 elementos.

Los mismos resultados valen para cualquier ion de un solo electrón y carga nuclear $Z e$ . Si en las fórmulas anteriores se sustituye $k e^{2}$ por $Z k e^{2}$ , resultan $E_{n} = - 13, 6 eV Z^{2} / n^{2}$ y $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ . Para el $He^{+}$ , con $Z = 2$ , el estado fundamental está en $- 54, 4 eV$ .

Una corrección más: el núcleo no es infinitamente pesado. El electrón y el núcleo giran ambos alrededor de su centro de masas común, y las fórmulas siguen valiendo si se sustituye la masa del electrón $m$ por la masa reducida $μ = m M / (m + M)$ , donde $M$ es la masa del núcleo. En el hidrógeno esto reduce las energías de ligadura en un 0,054 %; en el deuterio, cuyo núcleo es el doble de pesado, en solo un 0,027 %. Por eso las líneas del deuterio llevan algo más de energía, y su línea Hα es 0,18 nm más corta que la del hidrógeno: el pequeño desplazamiento que permitió descubrir el deuterio a comienzos de los años treinta.

Problema resuelto: de la línea roja a las ondas de radio

Bohr exigió que sus reglas cuánticas coincidieran con la física clásica allí donde los efectos cuánticos se vuelven pequeños: es el principio de correspondencia. Clásicamente, una carga en órbita radia a su frecuencia orbital $f_{orb} = v / (2 π r)$ , el número de vueltas por segundo. Este problema compara esa frecuencia con la del fotón, primero en la parte baja de la escalera y luego muy arriba.

Paso 1, la frecuencia orbital del nivel $n$ . Con $v_{n} = α c / n$ y $r_{n} = n^{2} a_{0}$ ,
$f_{orb} = \frac{v _{n}}{2 π r _{n}} = \frac{α c}{2 π a _{0} n ^{3}} = \frac{6 , 58 \times 1 0 ^{15} Hz}{n ^{3}}$

Paso 2, la línea roja. El electrón da $2, 44 \times 1 0^{14}$ vueltas por segundo en $n = 3$ y $8, 22 \times 1 0^{14}$ en $n = 2$ . El fotón Hα del salto $3 \to 2$ tiene $f = c / λ = 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ : queda entre las dos frecuencias orbitales y no es igual a ninguna. En la parte baja de la escalera, un salto cuántico no tiene equivalente clásico.

Paso 3, un salto muy arriba, de $n = 110$ a $n = 109$ . La energía del fotón es
$h f = 13, 6 eV (\frac{1}{10 9 ^{2}} - \frac{1}{11 0 ^{2}}) = 2, 07 \times 1 0^{- 5} eV$
Dividiendo entre $h = 4, 14 \times 1 0^{- 15} eV s$ resulta $f = 5, 01 \times 1 0^{9} Hz$ , y $λ = c / f \approx 6, 0 cm$ : una onda de radio. Las frecuencias orbitales son ahora 5,08 GHz en $n = 109$ y 4,94 GHz en $n = 110$ , ambas a menos del 1,5 % de la frecuencia del fotón.

Paso 4, por qué se funden. Para un paso $Δ n = 1$ con $n$ grande, la diferencia de energía es casi la pendiente de $E_{n}$ respecto de $n$ :
$h f \approx \frac{d E _{n}}{d n} = \frac{2 \cdot 13 , 6 eV}{n ^{3}} = \frac{27 , 2 eV}{n ^{3}}$
Y $h f_{orb} = ℏ α c / (a_{0} n^{3})$ es exactamente lo mismo, porque $ℏ/ a_{0} = α m c$ , de modo que $ℏ α c / a_{0} = α^{2} m c^{2} = 27, 2 eV$ . Con $n$ grande las frecuencias cuántica y clásica se funden, como exige el principio de correspondencia. Los saltos con $Δ n = 2$ o 3 dan igualmente $2 f_{orb}$ y $3 f_{orb}$ , los armónicos que radia una órbita elíptica clásica.

Estos átomos gigantes existen. La órbita $n = 110$ tiene un radio de $11 0^{2} a_{0} \approx 0, 64 μ m$ , el tamaño de una bacteria pequeña, así que el átomo solo sobrevive en un gas muy tenue, donde las colisiones son raras. En las nubes ionizadas que rodean a las estrellas jóvenes y calientes, los protones recapturan electrones, que luego bajan en cascada por la escalera peldaño a peldaño. Los radiotelescopios observan la línea de 5,01 GHz que resulta, llamada H109α, en nubes que también brillan en rojo en Hα.

Límites de validez

El modelo de Bohr es solo una primera aproximación incluso para el hidrógeno, y falla para los átomos con más de un electrón. Saber dónde termina indica cuándo hace falta la teoría completa.

En el hidrógeno, la relatividad y el espín del electrón desplazan los niveles en cantidades relativas del orden de $α^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 5}$ ; es lo esperable, pues el electrón se mueve a $v = α c$ y las correcciones relativistas crecen como $(v / c)^{2}$ . Esta estructura fina separa el nivel $n = 2$ en $4, 5 \times 1 0^{- 5} eV$ y convierte Hα en componentes separados unos 0,016 nm. Más pequeños aún son el desplazamiento de Lamb ( $4, 4 \times 1 0^{- 6} eV$ , debido a la electrodinámica cuántica) y el desdoblamiento hiperfino del estado fundamental ( $5, 9 \times 1 0^{- 6} eV$ , debido a la interacción magnética entre los espines del electrón y del protón), cuya línea de 21 cm permite cartografiar el hidrógeno de toda la Galaxia.

En los iones pesados de un solo electrón, la rapidez del electrón, $Z α c$ en la órbita más baja, se acerca a $c$ y domina la relatividad. En el $U^{91 +}$ , $Z α \approx 0, 67$ , y el estado fundamental está ligado con unos 132 keV, frente a los $13, 6 eV \cdot 9 2^{2} \approx 115 keV$ de Bohr.

Con dos o más electrones el modelo falla por completo, como advierte la nota de la animación, porque cada electrón repele además a los demás. Para el helio, ignorar esa repulsión da $2 \cdot (- 54, 4) = - 108, 8 eV$ para la energía total, mientras que el total medido es $- 79, 0 eV$ .

Las reglas de Bohr tampoco dicen nada sobre el brillo de una línea ni sobre cuánto vive un nivel antes de emitir (el estado 2p del hidrógeno, con $n = 2$ y $l = 1$ , decae en 1,6 ns). Y las órbitas no pueden ser trayectorias reales: colocar el electrón sobre una circunferencia de radio $a_{0}$ equivale a conocer su posición con una incertidumbre de unos $a_{0}$ , lo que deja su cantidad de movimiento indeterminada en unos $ℏ/ a_{0} = m v_{1}$ , toda su cantidad de movimiento. Un efecto que el modelo puede ignorar sin riesgo es el retroceso: un átomo que emite Hα retrocede a solo 0,60 m/s, lo que le quita al fotón apenas $2 \times 1 0^{- 9} eV$ .

Lo que viene después

El átomo de Bohr es un punto de encuentro de varias lecciones. Su regla del fotón lleva a los átomos los cuantos de luz de Efecto fotoeléctrico y de Radiación de cuerpo negro y cuantos; su equilibrio de fuerzas es la Ley de Coulomb dentro de Movimiento circular; y su momento angular cuantizado trae a la escala atómica El momento angular y su conservación. En Dualidad onda-corpúsculo las órbitas permitidas aparecen como ondas electrónicas estacionarias, y en Ecuación de Schrödinger y efecto túnel las órbitas se sustituyen por funciones de onda que conservan $E_{n}$ .

En Semiconductores, diodos y LED los niveles de los átomos de un cristal se funden en bandas, y el color de un LED lo fija una banda prohibida, igual que el color de Hα lo fija $E_{3} - E_{2}$ . En Radiactividad y semivida el protagonista es el núcleo, cuyos niveles están miles o millones de veces más separados. En Partículas y fuerzas: el modelo estándar, $α \approx 1/137$ reaparece como la intensidad de la propia interacción electromagnética.

Fórmulas clave

Cuantización del momento angular de Bohr

m v r = n ℏ

De todas las órbitas circulares que permite la mecánica clásica, Bohr conservó solo aquellas cuyo momento angular $L = m v r$ es un múltiplo entero de $ℏ$ . Esta única regla selecciona los radios y las energías del hidrógeno. Leída junto con la longitud de onda del electrón, $λ = h / (m v)$ , dice que $2 π r = nλ$ : en la órbita cabe un número entero de longitudes de onda.

Símbolos
$m$	masa del electrón	$kg$
$v$	rapidez orbital del electrón	$m/s$
$r$	radio de la órbita	$m$
$n$	número cuántico principal, $1, 2, 3, \dots$
$ℏ$	constante de Planck reducida, $h /2 π$	$J \cdot s$

Cuándo es válida: Un postulado del modelo de 1913, acertado en sus consecuencias para las energías del hidrógeno. La mecánica cuántica lo sustituye: el momento angular orbital es $l (l + 1) ℏ$ con $l \leq n - 1$ , de modo que el estado fundamental no tiene ninguno.

Ejemplo: En $n = 3$ , con $r = 0, 476 nm$ y $v \approx 7, 3 \times 1 0^{5} m/s$ : $m v r = 3ℏ \approx 3, 16 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ .

Radio de la órbita n-ésima de Bohr

r_{n} = n^{2} a_{0}

Si se combina la fuerza de Coulomb como fuerza centrípeta, $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ , con $m v r = n ℏ$ , resulta $r = n^{2} ℏ^{2} / (mk e^{2})$ . Los radios crecen, pues, como el cuadrado de $n$ , en la proporción 1 : 4 : 9 : 16, a partir del radio de Bohr $a_{0}$ .

Símbolos
$r_{n}$	radio de la órbita $n$	$m$
$n$	número cuántico principal
$a_{0}$	radio de Bohr, de unos $0, 0529 nm$	$m$

Cuándo es válida: El hidrógeno en el modelo de Bohr; para un ion de un electrón con carga $Z e$ , $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ . En mecánica cuántica, $n^{2} a_{0}$ es solo la distancia más probable de los estados con $l = n - 1$ , no una órbita nítida.

Ejemplo: El electrón de la animación baja de $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ a $r_{2} = 4 a_{0} = 0, 212 nm$ .

Niveles de energía del hidrógeno

E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}

La energía en la órbita $n$ es la suma de la energía cinética y la potencial; la cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, de modo que $E_{n} = - K$ . Es negativa porque el cero es un electrón libre en reposo, y 13,6 eV es la energía necesaria para ionizar el átomo desde $n = 1$ . Los niveles se apiñan hacia cero a medida que $n$ crece.

Símbolos
$E_{n}$	energía del nivel $n$	$eV$
$n$	número cuántico principal

Cuándo es válida: El hidrógeno y, con un factor $Z^{2}$ , los iones de un electrón; la ecuación de Schrödinger da los mismos valores. La estructura fina los desplaza en unas partes por cada $1 0^{5}$ , y los átomos con varios electrones requieren otros métodos.

Ejemplo: $E_{2} = - 13, 6/4 = - 3, 40 eV$ y $E_{3} = - 13, 6/9 = - 1, 51 eV$ , los dos valores de la lectura de la animación.

Energía del fotón en un salto cuántico

h f = E_{i} - E_{f}

Es la conservación de la energía en un salto: cuando el electrón cae del nivel $i$ a un nivel inferior $f$ , el átomo pierde $E_{i} - E_{f}$ y un único fotón de energía $h f$ se la lleva. Leída al revés, es la condición de absorción: un fotón solo se absorbe si $h f$ coincide exactamente con un intervalo entre niveles. El fotón se lleva la diferencia entre dos niveles, nunca el valor de uno; en electronvoltios usa $h = 4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ .

Símbolos
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$f$	frecuencia del fotón	$Hz$
$E_{i}$	energía del nivel inicial (superior)	$J$
$E_{f}$	energía del nivel final (inferior)	$J$

Cuándo es válida: Vale para todo átomo, molécula y núcleo, salvo una parte minúscula que se lleva el retroceso del átomo ( $2 \times 1 0^{- 9} eV$ para la Hα). El modelo de Bohr solo proporciona los propios niveles de los átomos de un electrón.

Ejemplo: $3 \to 2$ : $h f = - 1, 51 - (- 3, 40) = 1, 89 eV$ , luego $f = 1, 89 eV / (4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ .

Longitud de onda de la luz emitida

λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}

La luz de frecuencia $f$ tiene longitud de onda $λ = c / f$ , así que la regla del fotón pasa a ser $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ . Un intervalo de energía grande significa una longitud de onda corta: los saltos hasta $n = 1$ liberan al menos 10,2 eV y son ultravioletas, mientras que los saltos menores hasta $n = 2$ dan luz visible. Con las energías en electronvoltios, $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ da $λ$ directamente en nanómetros.

Símbolos
$λ$	longitud de onda del fotón	$m$
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$c$	velocidad de la luz	$m/s$
$E_{i}$	energía del nivel inicial (superior)	$J$
$E_{f}$	energía del nivel final (inferior)	$J$

Cuándo es válida: Da la longitud de onda en el vacío; en el aire es un 0,03 % menor (Hα: 656,5 nm en el vacío, 656,3 nm en el aire).

Ejemplo: Hα: $λ = 1240 eV \cdot nm /1, 89 eV \approx 656 nm$ ; Lyman α: $1240/10, 2 \approx 122 nm$ .

Fórmula de Rydberg para las líneas del hidrógeno

\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})

Al dividir la diferencia de niveles entre $h c$ se obtiene directamente el inverso de la longitud de onda, con $R_{H} = 13, 6 eV / (h c) \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ . Hallada a partir de líneas medidas antes de que existiera el modelo de Bohr, la fórmula clasifica cada línea del hidrógeno en una serie según su nivel final $n_{f}$ ; si se hace $n_{i} \to \infty$ se obtiene el límite de la serie, $1/ λ = R_{H} / n_{f}^{2}$ .

Símbolos
$λ$	longitud de onda de la línea	$m$
$R_{H}$	constante de Rydberg del hidrógeno	$m^{- 1}$
$n_{f}$	número cuántico del nivel final (inferior)
$n_{i}$	número cuántico del nivel inicial (superior)

Cuándo es válida: El hidrógeno, con $n_{i} > n_{f}$ en la emisión (en la absorción el átomo sube de $n_{f}$ a $n_{i}$ ). Para iones de un electrón se multiplica por $Z^{2}$ ; la masa reducida hace la constante algo mayor para el deuterio, lo que acorta sus líneas en un 0,03 % aproximadamente.

Ejemplo: Hα: $1/ λ = R_{H} (1/4 - 1/9) = 1, 52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ , luego $λ \approx 656 nm$ ; el límite de Balmer es $4/ R_{H} \approx 365 nm$ .

Glosario

Átomo nuclear: La imagen que estableció la dispersión de partículas alfa en 1911: toda la carga positiva y casi toda la masa se concentran en un núcleo de solo entre $1 0^{- 15}$ y $1 0^{- 14} m$ de diámetro, con los electrones repartidos por una región de unos $1 0^{- 10} m$ de diámetro. Clásicamente, un átomo así debería colapsar.
Modelo de Bohr: El modelo del hidrógeno de Niels Bohr (1913): órbitas circulares sujetas por la fuerza de Coulomb, momento angular restringido a $m v r = n ℏ$ , y luz emitida o absorbida solo en saltos entre órbitas. Da correctamente los niveles de energía del hidrógeno, pero falla para los átomos con más de un electrón.
Estado estacionario: Un estado del átomo con una energía bien definida que no cambia con el tiempo y en el que el átomo no radia. Las órbitas permitidas de Bohr fueron el primer ejemplo; en mecánica cuántica se convierten en ondas estacionarias.
Nivel de energía: Una de las energías permitidas de un sistema ligado, $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ en el hidrógeno. Los niveles son negativos porque hay que aportar energía para liberar el electrón, y se apiñan hacia cero a medida que $n$ crece.
Estados fundamental y excitado: El estado fundamental es el nivel más bajo ( $n = 1$ , $- 13, 6 eV$ ), en el que un átomo puede permanecer indefinidamente. Cualquier nivel más alto es un estado excitado, al que se llega absorbiendo un fotón o mediante una colisión, y que decae emitiendo fotones, normalmente en unos $1 0^{- 8} s$ .
Energía de ionización: La energía mínima que arranca el electrón de un átomo en su estado fundamental: 13,6 eV para el hidrógeno, igual a $- E_{1}$ . Toda energía por encima de esta se va con el electrón liberado en forma de energía cinética.
Salto cuántico: Una transición entre dos niveles. Al bajar, el átomo emite un fotón con $h f = E_{i} - E_{f}$ ; al subir, absorbe un fotón de exactamente esa energía o toma la energía de una colisión. La teoría de Bohr no describe ningún camino entre las dos órbitas.
Espectro de emisión: Las longitudes de onda que emite un gas caliente o excitado eléctricamente: en los átomos, líneas brillantes y nítidas en lugar de un arcoíris continuo, una por cada salto posible. Las líneas visibles del hidrógeno están en 656, 486, 434 y 410 nm.
Líneas de absorción: Líneas oscuras en un espectro continuo, allí donde el gas más frío situado delante de la fuente ha absorbido exactamente las longitudes de onda de sus propias transiciones. En la luz solar, la Hα del hidrógeno aparece como una línea oscura a 656 nm.
Serie espectral: Todas las líneas que terminan en un mismo nivel inferior: Lyman ( $n_{f} = 1$ , ultravioleta), Balmer ( $n_{f} = 2$ , visible) y Paschen ( $n_{f} = 3$ , infrarrojo). Dentro de una serie las líneas se apiñan hacia un límite de la serie, 365 nm en el caso de Balmer.
Ion hidrogenoide: Cualquier ion con un solo electrón, como el $He^{+}$ o el $Li^{2 +}$ . Las fórmulas de Bohr valen con la carga nuclear $Z e$ : $E_{n} = - 13, 6 eV Z^{2} / n^{2}$ y $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ .
Principio de correspondencia: La exigencia de que los resultados cuánticos se fundan con los clásicos cuando los números cuánticos son grandes. En el hidrógeno, la frecuencia del fotón de un salto $n \to n - 1$ se acerca a la frecuencia orbital clásica del electrón a medida que $n$ crece.

Magnitudes
$n$	Número cuántico principal		El número entero $1, 2, 3, \dots$ que etiqueta las órbitas permitidas y los niveles de energía; $n = 1$ es el estado fundamental.
$ℏ$	Constante de Planck reducida	$J \cdot s$	$h /2 π \approx 1, 055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ : el cuanto de momento angular en la regla de Bohr $m v r = n ℏ$ .
$a_{0}$	Radio de Bohr	$m$	El radio de la órbita del estado fundamental, $ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 5, 29 \times 1 0^{- 11} m = 0, 0529 nm$ : la escala natural de longitud de los átomos.
$r_{n}$	Radio de la órbita	$m$	El radio de la $n$ -ésima órbita de Bohr, $n^{2} a_{0}$ ; en mecánica cuántica sobrevive solo como distancia más probable, no como trayectoria.
$v$	Rapidez orbital	$m/s$	La rapidez del electrón, de masa $m = 9, 109 \times 1 0^{- 31} kg$ , en la órbita $n$ , $v_{n} = α c / n$ : unos $2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ en $n = 1$ y menor en las órbitas más altas.
$E_{n}$	Energía del nivel n	$eV$	Energía cinética más potencial del electrón en el nivel $n$ , medida desde un electrón libre en reposo, y por tanto negativa en un estado ligado; $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ .
$h$	Constante de Planck	$J \cdot s$	$6, 626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s = 4, 136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ : relaciona la energía de un fotón con su frecuencia, $E = h f$ .
$f$	Frecuencia del fotón	$Hz$	El número de oscilaciones por segundo de la luz emitida o absorbida; $4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ para la Hα.
$λ$	Longitud de onda	$m$	La longitud de onda del fotón, $c / f$ , donde $c = 2, 998 \times 1 0^{8} m/s$ es la velocidad de la luz; en las líneas atómicas suele darse en nanómetros: 656 nm para la Hα, 122 nm para la Lyman α.
$R_{H}$	Constante de Rydberg del hidrógeno	$m^{- 1}$	La constante de $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ , de unos $1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ ; es igual a $13, 6 eV / (h c)$ .

Prueba

Principiante En el modelo de Bohr, ¿qué ocurre cuando un electrón baja a un nivel de energía inferior?
1. Emite un fotón que se lleva la diferencia de energía
2. Absorbe un fotón
3. Cae al núcleo
4. Pierde parte de su carga
Ver respuesta
Respuesta: A. Emite un fotón que se lleva la diferencia de energía
La energía que pierde el electrón sale del átomo como un fotón cuya energía es igual a la diferencia entre los dos niveles.
Principiante ¿Por qué el hidrógeno caliente brilla solo con ciertos colores nítidos?
1. El tubo de vidrio filtra los demás colores
2. Su electrón solo puede tener ciertas energías, así que solo son posibles ciertos saltos
3. Los átomos de hidrógeno son demasiado pequeños para producir otros colores
4. Los gases calientes siempre brillan en rojo
Ver respuesta
Respuesta: B. Su electrón solo puede tener ciertas energías, así que solo son posibles ciertos saltos
Unos niveles de energía fijos solo permiten diferencias de energía fijas, y cada diferencia corresponde a una energía de fotón, es decir, a un color.
Principiante En el modelo de Bohr, ¿en qué anillo se mueve más rápido el electrón?
1. En el anillo más exterior
2. Igual de rápido en todos los anillos
3. Solo mientras salta entre anillos
4. En un anillo interior, cerca del núcleo
Ver respuesta
Respuesta: D. En un anillo interior, cerca del núcleo
En el modelo de Bohr la rapidez es inversamente proporcional a n, así que el electrón va más rápido en el anillo interior, algo parecido a los planetas cercanos al Sol. Un salto no es un viaje rápido por un camino: el electrón de Bohr simplemente aparece en el nuevo anillo (la animación ralentiza el salto para que se pueda ver).
Intermedio ¿Cuál es la energía del nivel n = 2 del hidrógeno?
1. −6,8 eV
2. −3,4 eV
3. −13,6 eV
4. +3,4 eV
Ver respuesta
Respuesta: B. −3,4 eV
Eₙ = −13,6 eV / n² = −13,6/4 = −3,4 eV. Dividir entre n en lugar de n² da −6,8 eV, y los niveles ligados son negativos.
Intermedio El electrón de un átomo de hidrógeno baja de n = 3 a n = 2. ¿Qué energía tiene el fotón emitido?
1. 1,89 eV
2. 3,40 eV
3. 1,51 eV
4. 4,91 eV
Ver respuesta
Respuesta: A. 1,89 eV
h·f = E₃ − E₂ = −1,51 eV − (−3,40 eV) = 1,89 eV, la línea roja Hα de 656 nm. 3,40 eV y 1,51 eV son los valores absolutos de los propios niveles; 4,91 eV los suma.
Intermedio ¿Cómo es el radio de la órbita n = 3 comparado con el de la órbita n = 1?
1. 3 veces mayor
2. 27 veces mayor
3. 9 veces mayor
4. Igual
Ver respuesta
Respuesta: C. 9 veces mayor
rₙ = n²·a₀, así que r₃/r₁ = 3² = 9. El factor 27 = 3³ corresponde al periodo orbital, no al radio.
Avanzado ¿Qué serie de líneas del hidrógeno se encuentra por completo en el ultravioleta?
1. Balmer (termina en n = 2)
2. Lyman (termina en n = 1)
3. Paschen (termina en n = 3)
4. Ninguna
Ver respuesta
Respuesta: B. Lyman (termina en n = 1)
Todo fotón de Lyman lleva al menos E₂ − E₁ = 10,2 eV, es decir, λ ≤ 121,6 nm. La serie de Balmer tiene líneas visibles; la de Paschen está en el infrarrojo.
Avanzado ¿Cuál de estos es un fallo real del modelo de Bohr?
1. Predice un espectro continuo para el hidrógeno
2. Da una energía de ionización errónea para el hidrógeno
3. No sabe tratar átomos con dos o más electrones, como el helio
4. No explica la serie de Balmer
Ver respuesta
Respuesta: C. No sabe tratar átomos con dos o más electrones, como el helio
El modelo de Bohr reproduce los niveles del hidrógeno, su energía de ionización y las líneas de Balmer, pero falla en cuanto los electrones interactúan entre sí, como en el helio.

$E$	Energía del átomo, medida desde el límite de ionización $E = 0$ (línea de trazos).	$J$
$n$	Número del nivel: $n = 1$ es el estado fundamental.
$\to$	Un salto entre dos niveles, como $3 \to 2$ : el electrón baja del primero al segundo y sale un fotón.

$a$	Tamaño de la región que retiene al electrón: a qué distancia del protón se le mantiene.	$m$
$E$	Energía del electrón.	$J$
$K$	Energía cinética que el confinamiento impone al electrón, al menos unos $ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ .	$J$
$U$	Energía potencial de la atracción, de unos $- k e^{2} / a$ .	$J$
$K + U$	Energía total $E (a)$ del electrón: cinética más potencial.	$J$
$a_{0}$	Tamaño para el que la energía total es la más baja: el radio de Bohr, de unos $0, 053 nm$ .	$m$
$E (a_{0})$	Valor más bajo de la energía total, $- k e^{2} / (2 a_{0}) \approx - 13, 6 eV$ .	$J$

$e$	Valor de la carga elemental: el núcleo tiene $+ e$ y el electrón $- e$ .	$C$
$F$	Fuerza de Coulomb sobre el electrón, dirigida hacia el núcleo.	$N$
$v$	Velocidad del electrón, a lo largo de la circunferencia.	$m/s$
$r_{n}$	Radio de la órbita: distancia del núcleo al electrón.	$m$
$λ$	Longitud de onda de la onda del electrón; una longitud de onda es el arco que va de una cresta a la siguiente.	$m$
$n$	Número de la órbita; en ella caben $n$ longitudes de onda, aquí $n = 3$ .

$r$	Distancia al núcleo.	$m$
$P$	Densidad de probabilidad: probabilidad por unidad de distancia de encontrar el electrón a la distancia $r$ , $P = 4 r^{2} e^{- 2 r / a_{0}} / a_{0}^{3}$ .	$m^{- 1}$
$a_{0}$	Radio de Bohr: la distancia en la que $P$ es máxima.	$m$
$\overset{r}{ˉ}$	Distancia media del electrón al núcleo, $1, 5 a_{0}$ .	$m$