Mouvement rectiligne

Débutant

La cinématique est la partie de la physique qui décrit le mouvement sans chercher ce qui le provoque. Pour décrire le mouvement d'un objet en ligne droite, trois notions suffisent.

La position indique où se trouve l'objet par rapport à un point de départ, en mètres. La vitesse indique à quel rythme la position change et dans quel sens, en mètres par seconde. Au quotidien, la vitesse dit seulement à quelle allure on va, sans préciser de sens ; en physique, la vitesse indique aussi le sens du mouvement. L'accélération indique à quel rythme la vitesse change, en mètres par seconde au carré (m/s²).

Si une cycliste parcourt 100 mètres en 20 secondes, sa vitesse moyenne vaut $100÷20=5m/s$. Si une voiture passe de l'arrêt à 20 m/s en 4 secondes, elle gagne 5 m/s chaque seconde : son accélération est de 5 m/s².

Une erreur fréquente consiste à croire qu'un objet rapide accélère forcément. Une voiture qui roule à 30 m/s constants sur l'autoroute a une accélération nulle, car sa vitesse ne change pas. Une cycliste qui freine, elle, a bien une accélération : ralentir, c'est aussi faire varier sa vitesse, et son accélération est dirigée vers l'arrière.

Dans l'animation, la voiture gagne 6 m/s chaque seconde, et les points gris montrent sa position après chaque seconde. Les écarts grandissent : c'est à cela que ressemble une accélération.

Regardez les écarts dorés : 3 m, 9 m, 15 m, 21 m. Ils croissent comme les nombres impairs 1, 3, 5, 7 (multipliés par 3 m). Galilée a découvert cette règle au début du XVIIe siècle en chronométrant des billes roulant sur un plan incliné : c'est la signature d'une accélération constante à partir du repos.

Intermédiaire

Ce que l'on mesure, et à partir d'où

Pour décrire un mouvement, il faut d'abord un référentiel : une origine, un sens positif le long de la droite et une horloge. La position $x$ est alors un nombre de mètres muni d'un signe : $x=30\mathrm{m}$ désigne un point situé à 30 mètres du côté positif de l'origine, $x=-5\mathrm{m}$ un point à 5 mètres de l'autre côté. Un autre référentiel donnerait d'autres nombres pour le même mouvement.

La variation de position est le déplacement, $\Delta x=x-x_0$, où $x_0$ est la position de départ. Il a un signe et ne dépend que de l'endroit où l'objet est parti et de celui où il est arrivé. La distance parcourue est la longueur du trajet complet ; elle n'est jamais négative. Faites 10 m en avant puis 10 m en arrière : vous avez parcouru 20 m, mais votre déplacement est nul.

Vitesse et accélération : des taux de variation

La vitesse mesure à quel rythme la position change. Sur un intervalle de temps $\Delta t$, la vitesse moyenne vaut
$v_{\mathrm{moy}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Son signe indique le sens du mouvement. La valeur de la vitesse, c'est la vitesse sans son signe. La vitesse moyenne au sens courant, distance parcourue divisée par la durée, n'est égale à la valeur de $v_{\mathrm{moy}}$ sans son signe que si l'objet ne fait jamais demi-tour. La vitesse à un instant donné, celle qu'affiche le compteur, est la vitesse moyenne sur un intervalle très court.

L'accélération mesure à quel rythme la vitesse change : $a=\Delta v/\Delta t$, en mètres par seconde par seconde (m/s²). Une accélération de 6 m/s² ajoute 6 m/s à la vitesse chaque seconde. Quand $v$ et $a$ ont le même signe, le mouvement est accéléré ; quand leurs signes sont opposés, il est ralenti. Quand $a=0$, le mouvement est uniforme : $x=x_0+vt$, des distances égales en des durées égales.

Les équations à accélération constante

Si $a$ est constante, la vitesse varie de la même quantité chaque seconde ; sa moyenne sur un intervalle se situe donc exactement à mi-chemin entre la valeur de départ et la valeur finale, $\frac{1}{2}(v_0+v)$. Multipliée par la durée, cette moyenne donne le déplacement. Ces deux faits conduisent à quatre équations :

• $v=v_0+at$
• $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v^2=v_0^2+2a\Delta x$
• $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Chaque équation relie quatre des cinq grandeurs $\Delta x$, $v_0$, $v$, $a$ et $t$ : trois valeurs connues suffisent donc pour trouver les deux autres. Choisissez l'équation qui ne contient pas la grandeur que vous ne connaissez pas et dont vous n'avez pas besoin : si le temps n'intervient pas, prenez la troisième ; si l'accélération est inconnue, la quatrième.

Exemple résolu : la voiture de l'animation

La voiture part du repos à l'origine, donc $v_0=0$ et $x_0=0$, avec une accélération $a=6m/{\mathrm{s}}^2$. Au bout de $t=4\mathrm{s}$ :
$v=v_0+at=0+6\cdot 4=24m/s$
$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4^2=48\mathrm{m}$

Ce sont les valeurs finales affichées pour $v$ et $x$. La troisième équation les vérifie sans passer par le temps : $v^2=2\cdot 6\cdot 48=576{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, donc $v=24m/s$. À 1, 2 et 3 s, la voiture se trouve à 3 m, 12 m et 27 m : les écarts entre les points gris valent donc 3, 9, 15 et 21 m, chacun 6 m plus long que le précédent. La vitesse moyenne vaut $48/4=12m/s$, la moitié de la vitesse finale, comme le prévoit la quatrième équation pour un départ du repos.

Pendant ce temps, la flèche bleue $v$ s'allonge du même pas chaque seconde, tandis que la flèche verte $a$ garde sa longueur : une accélération constante signifie des gains de vitesse égaux en des durées égales, et non des distances égales.

Exemple résolu : la distance d'arrêt

Une conductrice roule à 14 m/s (environ 50 km/h) quand un ballon surgit sur la chaussée. Il lui faut environ 1,0 s pour réagir, puis elle freine avec une décélération constante de 7 m/s². Quelle distance la voiture parcourt-elle avant de s'arrêter ?

Pendant le temps de réaction, la voiture parcourt $14\cdot 1,0=14\mathrm{m}$ à vitesse constante. Pendant le freinage, $v_0=14m/s$, $v=0$ et $a=-7m/{\mathrm{s}}^2$, négative car dirigée contre le mouvement. Le temps n'est pas demandé : on utilise donc la troisième équation.
$\Delta x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{0-14^2}{2\cdot (-7)}=14\mathrm{m}$

La voiture s'arrête 28 m après l'apparition du ballon. À 28 m/s (environ 100 km/h), la distance parcourue pendant la réaction double et passe à 28 m, mais la distance de freinage devient $28^2/(2\cdot 7)=56\mathrm{m}$, soit quatre fois plus : 84 m en tout. La distance de freinage croît comme le carré de la vitesse ; c'est pourquoi les limitations de vitesse sont si basses près des écoles.

Lire les graphiques position–temps et vitesse–temps

Sur un graphique position–temps, la pente est la vitesse : une droite correspond à un mouvement uniforme, une droite horizontale à l'immobilité, une pente descendante à un mouvement dans le sens négatif, et une courbe de plus en plus raide à un mouvement accéléré.

Sur un graphique vitesse–temps, la pente est l'accélération et l'aire sous la courbe est le déplacement (une aire située sous l'axe des temps compte négativement). Pour la voiture, $v$ croît en ligne droite de 0 à 24 m/s en 4 s : la pente vaut $24/4=6m/{\mathrm{s}}^2$ et le triangle sous la droite a pour aire $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 24=48\mathrm{m}$. Si $v_0$ n'est pas nulle, l'aire est un trapèze, $\frac{1}{2}(v_0+v)t$ : c'est la quatrième équation.

Erreurs fréquentes

• La valeur de la vitesse n'est pas la vitesse algébrique : deux voitures qui roulent à 20 m/s en sens opposés vont aussi vite l'une que l'autre, mais leurs vitesses valent $+20$ et $-20m/s$.
• Vitesse nulle ne veut pas dire accélération nulle. Une balle lancée verticalement vers le haut à 15 m/s s'arrête au bout de $15/9,81\approx 1,5\mathrm{s}$, à environ 11,5 m de hauteur, puis retombe ; au sommet, son accélération vaut toujours $-g$.
• Une accélération négative ne signifie pas toujours un ralentissement : une voiture qui prend de la vitesse dans le sens négatif a $v<0$ et $a<0$. Comparez les signes de $v$ et de $a$.
• Les quatre équations exigent une accélération $a$ constante : découpez en étapes un mouvement qui change, par exemple une phase à vitesse constante suivie d'un freinage.
• Convertissez d'abord les km/h en m/s (divisez par 3,6), et n'oubliez ni le ½ ni le carré dans $\frac{1}{2}a{t}^2$ : sans eux, les 48 m de la voiture deviennent 96 m ou 12 m.

Où on le rencontre

Distances d'arrêt, sprinteur qui parcourt 100 m à 10 m/s de moyenne, ascenseurs et trains réglés pour accélérer d'environ 1 m/s² afin de ménager les passagers : tout cela relève de la cinématique rectiligne. C'est aussi le vocabulaire de toute la mécanique. La chute libre, c'est cette leçon avec $a=-g$ ; le mouvement d'un projectile, ce sont deux mouvements rectilignes à la fois ; et la deuxième loi de Newton fournit l'accélération que ces équations transforment en trajectoire.

Avancé

De la moyenne à l'instant

Les lois du mouvement parlent d'instants, et pourtant toute vitesse mesurée couvre un intervalle de temps. Cette section montre comment obtenir la vitesse à un seul instant : on prend la moyenne sur un court intervalle, puis on regarde vers quelle valeur elle se stabilise quand l'intervalle rétrécit.

Légende

$x$	Position de la voiture sur sa trajectoire ; la courbe est $x(t)$.	$\mathrm{m}$
$t$	L'instant auquel on cherche la vitesse.	$\mathrm{s}$
$t+h$	Un instant un peu plus tardif, une durée $h$ après $t$.	$\mathrm{s}$
$h$	Durée de l'intervalle de $t$ à $t+h$.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Variation de position de $t$ à $t+h$ : la montée de la corde.	$\mathrm{m}$
$\bar{v}$	Vitesse moyenne sur l'intervalle : la pente de la corde, $\Delta x/h$.	$m/s$
$v$	Vitesse à l'instant $t$ : la pente de la tangente, dont les cordes s'approchent quand $h\to 0$.	$m/s$

La figure 1 représente la position de la voiture de l'animation, $x(t)=3t^2$, avec $x$ en mètres et $t$ en secondes. Choisissez un instant $t$ et un instant un peu plus tardif $t+h$, où $h$ est une courte durée. Le segment de droite qui joint les deux points de la courbe s'appelle une corde. Le long de cette corde, la position augmente de $\Delta x$ pendant que le temps avance de $h$ ; sa pente $\Delta x/h$ est donc la vitesse moyenne $\bar{v}$ sur l'intervalle. En développant $(t+h{)}^2=t^2+2th+h^2$, on obtient
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{h}=\frac{3(t+h{)}^2-3t^2}{h}=\frac{6th+3h^2}{h}=6t+3h$

Regardez maintenant la corde en pointillés : son extrémité éloignée a glissé le long de la courbe vers le point d'abscisse $t$. Quand $h$ diminue, la corde pivote et vient se poser sur la droite marquée $v$, la tangente, qui effleure la courbe en $t$. Dans la formule, le terme $3h$ tend vers zéro, si bien que la pente de la corde tend vers $6t$, la pente de la tangente. À $t=2\mathrm{s}$, la voiture roule donc à exactement 12 m/s, alors que tout intervalle de durée finie commençant à cet instant donne un peu plus, $12+3h$.

Cette limite du rapport est la dérivée de $x$ par rapport à $t$, et elle définit la vitesse instantanée. La même opération appliquée à la vitesse définit l'accélération :
$v={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt},a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

Il en découle deux conséquences. D'abord, aucun instantané isolé ne peut montrer une vitesse, car une vitesse compare des positions à des instants voisins. C'est la réponse au paradoxe de la flèche de Zénon, où la flèche semble immobile à chaque instant de son vol : à chaque instant, elle a une position, et sa vitesse tient à la façon dont cette position change autour de cet instant. Ensuite, position, vitesse et accélération forment une chaîne de dérivées, $x\to v\to a$. La notation pointée de Newton écrit ces deux étapes de façon compacte, $\dot{x}$ et $\ddot{x}$.

En remontant : l'accélération constante

Descendre la chaîne, c'est dériver ; la remonter, c'est intégrer. Si l'on connaît l'accélération, une intégration donne la vitesse et une seconde donne la position. Cette section traite le cas le plus courant, une accélération $a$ constante, et lit chaque étape sur un graphe.

Légende

$v_0$	Vitesse au départ.	$m/s$
$v$	Vitesse au bout de la durée $t$ : $v=v_0+at$.	$m/s$
$\bar{v}$	Vitesse moyenne $\frac{1}{2}(v_0+v)$ : le niveau en pointillés, à mi-chemin entre $v_0$ et $v$.	$m/s$
$at$	Vitesse gagnée pendant $t$ : l'accélération constante $a$ multipliée par la durée.	$m/s$
$t$	Temps écoulé depuis le départ.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Déplacement pendant $t$ : l'aire colorée sous la droite.	$\mathrm{m}$

La figure 2 représente la vitesse en fonction du temps. La vitesse part de $v_0$. Comme l'accélération est constante, la vitesse augmente de la même quantité chaque seconde : le graphe est une droite de pente $a$. Au bout d'une durée $t$, elle a augmenté de $at$ (le trait vertical à droite) et atteint $v=v_0+at$. Sous forme d'intégrale, en notant $t^{\prime }$ la variable d'intégration pour la distinguer de la borne supérieure $t$ :
$v(t)=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }=v_0+at$

Sur une durée très courte, la vitesse est presque constante, et le déplacement vaut la vitesse multipliée par cette durée : une fine bande d'aire sous le graphe. En additionnant les bandes, on trouve que le déplacement $\Delta x=x-x_0$ sur toute la durée $t$ est l'aire colorée sous la droite. Découpez-la en un rectangle de hauteur $v_0$ et de largeur $t$, d'aire $v_{0}t$, et un triangle de base $t$ et de hauteur $at$, d'aire $\frac{1}{2}a{t}^2$ :
$x(t)=x_0+{\int }_0^{t}v(t^{\prime })d{t}^{\prime }=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

La même aire peut aussi se compter d'un seul tenant. Le niveau en pointillés $\bar{v}$ se trouve à mi-chemin entre $v_0$ et $v$. Comme le graphe est une droite, il croise ce niveau exactement au milieu de l'intervalle, en $t/2$. Sur la moitié gauche, la droite passe sous ce niveau et laisse un creux triangulaire ; sur la moitié droite, elle passe au-dessus et ajoute un triangle. Ce sont les deux triangles plus foncés, et ils sont égaux : chacun a pour base $t/2$ et pour hauteur $at/2$. Coupez le triangle de droite, placez-le dans le creux de gauche, et l'aire sous la droite devient un rectangle de hauteur $\bar{v}$ et de largeur $t$ :
$\Delta x=\bar{v}t=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Chaque intégration a fait apparaître une constante : $v_0$ la première fois, $x_0$ la seconde. Elles ne sont pas décoratives. L'accélération fixe la forme du mouvement ; la position et la vitesse de départ désignent lequel des mouvements de cette forme se produit réellement. Voilà pourquoi la deuxième loi de Newton, qui fournit l'accélération, a toujours besoin d'exactement deux informations de départ.

Une autre relation se passe du temps, ce qui aide quand le temps n'est ni donné ni demandé. Elle vient de la dérivation des fonctions composées : puisque $dx/dt=v$,
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},\text{donc}adx=vdv$
Avec $a$ constante, intégrez le membre de gauche de $x_0$ à $x$ et celui de droite de $v_0$ à $v$. On obtient $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$, c'est-à-dire
$v^2=v_0^2+2a\Delta x$

Multipliez les deux membres de $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$ par la masse $m$ : il vient $ma\Delta x=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Comme $ma$ est la force, cela signifie que la force multipliée par le déplacement est égale à la variation d'énergie cinétique : c'est le théorème de l'énergie cinétique, déjà caché dans la cinématique.

Des quatre équations à accélération constante, $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$ est la plus ancienne. Des savants du Merton College d'Oxford l'ont énoncée vers 1335 sous le nom de théorème de la vitesse moyenne, et Nicole Oresme l'a bientôt démontrée en comparant des aires, à peu près comme le fait la figure 2, quelque deux siècles et demi avant que Galilée ne la mette à l'épreuve avec des billes roulant sur un plan incliné. La règle des nombres impairs de Galilée en découle aussi. À partir du repos, la distance parcourue pendant la $n$-ième seconde vaut $x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}a[n^2-(n-1{)}^2]=\frac{1}{2}a(2n-1)$ : les distances parcourues pendant les secondes successives croissent donc comme 1, 3, 5, 7. Pour la voiture, avec $a=6m/{\mathrm{s}}^2$, elles valent 3, 9, 15 et 21 m.

Pentes et aires

Les graphes de la position, de la vitesse et de l'accélération sont le moyen le plus rapide de lire un mouvement, et chaque règle de lecture est un énoncé sur des dérivées (les pentes) ou sur des intégrales (les aires). La figure 3 montre toutes ces règles sur un même exemple.

Légende

$x$	Position ; son graphe (en haut) est une parabole.	$\mathrm{m}$
$v$	Vitesse : la droite du graphe du milieu, et la pente de la tangente à $x(t)$ en $t_1$.	$m/s$
$a$	Accélération : constante ici, donc son graphe (en bas) est une droite horizontale.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$t$	Temps, l'axe horizontal commun aux trois graphes.	$\mathrm{s}$
$t_1$	L'instant où la tangente est tracée et où les aires s'arrêtent.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Variation de position de 0 à $t_1$ : la montée de $x(t)$, égale à l'aire sous $v(t)$.	$\mathrm{m}$
$\Delta v$	Variation de vitesse de 0 à $t_1$ : la montée de $v(t)$, égale à l'aire sous $a(t)$.	$m/s$

La figure 3 empile les trois graphes de la voiture de l'animation sur un même axe des temps : $x(t)=3t^2$ en haut, $v(t)=6t$ au milieu et l'accélération constante $a=6m/{\mathrm{s}}^2$ en bas. Lisez-la d'abord de haut en bas, par les pentes. À l'instant $t_1=4\mathrm{s}$, la tangente à la parabole $x(t)$ a une pente égale à la vitesse à cet instant, $v=6\cdot 4=24m/s$ : elle monte de 24 m par seconde. Le graphe du milieu, $v(t)$, est une droite parce que sa pente, l'accélération, est la même à chaque instant.

La courbure de $x(t)$ indique le signe de l'accélération, car $a$ est le taux de variation de la pente $v$. Un graphe dont la concavité est tournée vers le haut a une pente croissante, donc $a>0$ ; si la concavité est tournée vers le bas, $a<0$ ; sur un tronçon rectiligne, $a=0$.

Lisez-la maintenant de bas en haut, par les aires. L'aire sous $v(t)$ de 0 à $t_1$ est un triangle, $\frac{1}{2}\cdot 4\mathrm{s}\cdot 24m/s=48\mathrm{m}$, et elle est égale à la montée $\Delta x$ de $x(t)$ sur la même durée : en effet, $x(4)=3\cdot 16=48\mathrm{m}$. L'aire sous $a(t)$ est un rectangle, $6m/{\mathrm{s}}^2\cdot 4\mathrm{s}=24m/s$, et elle est égale à la montée $\Delta v$ de $v(t)$. Sur la figure, chaque aire porte la même étiquette que la montée qu'elle produit.

Deux mises en garde. D'abord, l'aire sous $v(t)$ compte négativement là où $v<0$ : elle donne donc le déplacement, et non la distance parcourue, qui vaut $\int |v|dt$. Ensuite, les graphes de $v$ et de $a$ ne disent rien de l'endroit où le mouvement a commencé : décaler $x(t)$ vers le haut ou vers le bas les laisse inchangés, si bien que la position initiale $x_0$ doit toujours être donnée à part.

Quand l'accélération n'est pas constante

Les accélérations réelles varient : la poussée d'un moteur faiblit, l'air résiste davantage à grande vitesse, un ressort tire d'autant plus fort qu'il est étiré. La méthode dépend de la grandeur dont l'accélération est fonction, et trois cas couvrent la plupart des problèmes.

• Accélération donnée en fonction du temps, $a(t)$ : on intègre deux fois, d'abord $v=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }$, puis $x=x_0+{\int }_0^{t}vd{t}^{\prime }$. Le problème résolu plus bas est de ce type.
• Accélération qui dépend de la vitesse, $a(v)$, comme avec un frottement fluide : puisque $a=dv/dt$, on sépare les variables, $dt=dv/a(v)$, et l'on intègre. Pour le frottement linéaire $a=-kv$, où $k$ est une constante, on obtient $v=v_0{e}^{-kt}$ et $x=x_0+(v_0/k)(1-e^{-kt})$. Le corps ne s'arrête jamais tout à fait, et pourtant il ne parcourt qu'une distance finie, $v_0/k$. Si la voiture de l'animation, lancée à 24 m/s, n'était freinée que par un tel frottement avec $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, elle parcourrait au plus $24/0,5=48\mathrm{m}$. Pour un corps qui tombe en subissant une traînée quadratique, $a=g-b{v}^2$ avec l'axe orienté vers le bas, l'accélération s'éteint à mesure que $v$ approche de la vitesse limite $\sqrt{g/b}$, pour laquelle $a=0$.
• Accélération qui dépend de la position, $a(x)$, comme avec un ressort : on intègre la relation $adx=vdv$ obtenue plus haut. Pour $a=-{\omega }^{2}x$, elle donne $v^2=v_0^2-{\omega }^2(x^2-x_0^2)$. Multipliée par $\frac{1}{2}m$, c'est la conservation de l'énergie d'un oscillateur, trouvée avant même d'avoir introduit l'énergie.

Avancer pas à pas par le calcul

La plupart des accélérations rencontrées en pratique conduisent à des équations qu'aucune formule ne résout. On construit alors le mouvement par petits pas de temps, chacun utilisant l'accélération connue à son début. La figure 4 montre le schéma le plus simple de ce type, la méthode d'Euler, sur un cas dont on connaît la réponse exacte, afin que l'on voie son erreur.

Légende

$v$	Vitesse de la voiture en roue libre ; la courbe bleue est le $v(t)$ exact, la ligne brisée les pas numériques.	$m/s$
$t$	Temps.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Durée d'un pas de temps.	$\mathrm{s}$
$a$	Accélération $a=-kv$ calculée au début d'un pas et conservée pendant tout le pas : la pente du pas (négative, puisque $v$ diminue).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a\Delta t$	Variation de vitesse en un pas : négative ici, c'est une diminution.	$m/s$

La figure 4 suit la voiture en roue libre freinée par un frottement fluide, $a=-kv$, avec les valeurs de l'exemple précédent : $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$ et $v_0=24m/s$. La courbe bleue est la solution exacte $v(t)=v_0{e}^{-kt}$. La ligne brisée noire est l'estimation numérique, avec un pas volontairement grossier, $\Delta t=1\mathrm{s}$, pour que l'erreur soit bien visible.

Chaque pas suit la même règle. Au début du pas, calculez l'accélération à partir de la vitesse actuelle, $a=-kv$. Supposez qu'elle garde cette valeur pendant tout le pas : la vitesse varie alors de $a\Delta t$, et l'on remplace $v$ par $v+a\Delta t$. Faites avancer la position de la même façon, en remplaçant $x$ par $x+v\Delta t$, puis recommencez à partir des nouvelles valeurs. Le pas mis en évidence montre un passage : sa pente est l'accélération $a$ trouvée à son début, si bien que, sur la durée $\Delta t$, la vitesse baisse de $a\Delta t$, et pas davantage.

Ici, chaque pas multiplie la vitesse par $1-k\Delta t=0,5$. Après 1, 2, 3 et 4 s, les pas donnent 12 ; 6 ; 3 et 1,5 m/s, contre des valeurs exactes de 14,6 ; 8,8 ; 5,4 et 3,2 m/s. Les pas passent sous la courbe parce que la décélération réelle faiblit à mesure que $v$ diminue au cours d'un pas, alors que le pas numérique garde la valeur plus forte qu'il avait au départ. L'erreur est proportionnelle à $\Delta t$ : une fois le pas assez petit, le diviser par deux divise à peu près l'erreur par deux, si bien que les pas convergent vers le mouvement exact quand $\Delta t\to 0$. Les orbites, les prévisions météorologiques et la physique des jeux vidéo sont calculées avec des versions perfectionnées de cette idée.

Problème résolu : une poussée qui faiblit

Voici une accélération qui varie dans le temps, traitée en intégrant deux fois. Supposons que la poussée de la voiture faiblisse régulièrement, $a(t)=a_0(1-t/\tau )$, avec $a_0=6m/{\mathrm{s}}^2$ et $\tau =8\mathrm{s}$, à partir du repos en $x=0$. L'accélération décroît linéairement de $a_0$ jusqu'à zéro en $t=\tau$. Quelle est la vitesse de la voiture, et quelle distance a-t-elle parcourue, quand la poussée s'éteint ?

Intégrons une première fois, avec $v_0=0$ :
$v(t)={\int }_0^t{a}_0\left(1-\frac{t^{\prime }}{\tau }\right)d{t}^{\prime }=a_0\left(t-\frac{t^2}{2\tau }\right)$
donc $v(\tau )=a_0(\tau -\tau /2)=a_0\tau /2=24m/s$, la même vitesse finale que dans l'animation. Intégrons encore, avec $x_0=0$ :
$x(t)=a_0\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6\tau }\right),x(\tau )=\frac{a_0{\tau }^2}{3}=\frac{6\cdot 64}{3}=128\mathrm{m}$

Comparez avec la voiture de l'animation, qui atteignait 24 m/s au bout de 4 s et de 48 m : celle-ci a besoin de 8 s et de 128 m. Sa courbe $v(t)$ est désormais une parabole qui s'aplatit en $t=\tau$, là où $a=0$, et l'aire sous cette courbe vaut les deux tiers du rectangle de 8 s sur 24 m/s, $\frac{2}{3}\cdot 192=128\mathrm{m}$.

Un raccourci tentant échoue. L'accélération moyenne vaut $24/8=3m/{\mathrm{s}}^2$, mais la traiter comme constante donne $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8^2=96\mathrm{m}$, soit 32 m de moins que la réalité. Cette voiture acquiert l'essentiel de sa vitesse au début, si bien qu'elle roule vite plus longtemps : sa vitesse moyenne vaut $128/8=16m/s$, et non les 12 m/s d'une montée en vitesse régulière. On ne sauve pas les formules à accélération constante en y mettant une accélération moyenne.

Limites de validité

Tout ce qui précède repose sur trois idéalisations, et chacune est mise en défaut quelque part. Premièrement, le corps est traité comme un point doté d'une seule position. Pour une voiture ou une planète, cela revient à suivre son centre de masse ; la rotation propre et les déformations demandent leur propre description.

Deuxièmement, on suppose $x(t)$ assez régulière pour être dérivée deux fois. Un choc qui semble inverser une vitesse d'un coup est en réalité une très grande accélération pendant un temps très court. À l'échelle des atomes, l'idée même d'une trajectoire nette $x(t)$ s'effondre, car la mécanique quantique n'autorise pas une particule à avoir à la fois une position précise et une vitesse précise.

Troisièmement, la cinématique galiléenne suppose que tous les observateurs partagent la même horloge. Les vitesses s'additionnent alors simplement : dans un référentiel en translation à vitesse constante $u$, la vitesse d'un corps vaut $v^{\prime }=v-u$, tandis que son accélération est la même dans tous ces référentiels. C'est pourquoi les lois de Newton valent dans tous les référentiels galiléens.

La relativité restreinte montre que cette horloge commune est une approximation, valable pour des vitesses très inférieures à celle de la lumière, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$. Pour la voiture à 24 m/s, les corrections sont de l'ordre de $v^2/c^2\approx 6\times 10^{-15}$, bien en deçà de toute mesure. Les satellites GPS, à environ 3,9 km/s, sont une autre affaire : cet effet à lui seul fait retarder leurs horloges de quelque 7 microsecondes par jour, et sans correction leurs positions calculées dériveraient de plusieurs kilomètres en une journée. (La gravitation, par la relativité générale, ajoute un effet plus grand dans le sens opposé.)

Ce qui vient ensuite

La cinématique décrit le mouvement ; la dynamique l'explique. La deuxième loi de Newton fournit l'accélération, $a=F/m$, et la cinématique transforme cette accélération en trajectoire : c'est tout le programme de la mécanique classique. Les cas rencontrés ici reviennent sans cesse. La chute libre est une accélération constante de valeur $g$, dirigée vers le bas. Le mouvement d'un projectile se compose de deux mouvements rectilignes indépendants, l'un uniforme, l'autre uniformément accéléré. Dans un mouvement circulaire, la valeur de la vitesse peut rester constante pendant que la vitesse change de direction, ce qui exige une accélération $v^2/r$ dirigée vers le centre. L'oscillateur harmonique, c'est $a=-{\omega }^{2}x$ ; les frottements fournissent une loi $a(v)$ ; et $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ revient sous la forme du théorème de l'énergie cinétique. Les vitesses relatives et les référentiels en mouvement viennent ensuite, dans Vecteurs et mouvement relatif.