Dynamique de rotation et moment de force

Débutant

Poussez une porte tout près de ses gonds : elle bouge à peine ; poussez aussi fort à la poignée : elle s'ouvre. Faire tourner obéit à des règles très proches des lois de Newton pour le mouvement en ligne droite.

Étape 1. L'effet de rotation d'une force s'appelle le moment de la force. Il dépend de la force et de la distance au pivot : la même force appliquée deux fois plus loin fait tourner deux fois plus. C'est pourquoi les clés ont un long manche. Une poussée dirigée droit vers les gonds ne fait pas du tout tourner la porte.

Étape 2. Une poussée constante fait aller un chariot de plus en plus vite ; de même, un moment constant fait tourner une roue de plus en plus vite. Dans l'animation, une masse pend au bout d'une ficelle enroulée autour du moyeu d'une lourde roue. En tombant, la ficelle continue de faire tourner la roue, et la barre bleue montre la rotation qui augmente régulièrement.

Étape 3. La masse résiste aux changements de mouvement, et pour la rotation, ce qui compte, c'est où elle se trouve. Une masse loin de l'axe rend la roue bien plus difficile à lancer, et à arrêter. D'où la chute si lente de la masse dans l'animation.

Étape 4. Quand la masse touche le sol, la ficelle se détend et l'effet de rotation cesse. La roue ne s'arrête pas : elle continue de tourner à vitesse constante, comme un objet en mouvement continue d'avancer si aucune force n'agit. Dans une vraie machine, le frottement de l'axe finit par l'arrêter.

À vous : deux enfants poussent un tourniquet aussi fort l'un que l'autre, l'un au bord, l'autre à mi-chemin du centre. Lequel le fait le plus tourner ? (Celui du bord : la même poussée agit deux fois plus loin du pivot.)

Intermédiaire

Décrire une rotation

Pour repérer un solide indéformable qui tourne autour d'un axe fixe, un seul nombre suffit : l'angle $\theta$ dont il a tourné, mesuré en radians (un tour complet vaut $2\pi \approx 6,28\mathrm{rad}$). La vitesse angulaire $\omega$ est le taux de variation de cet angle, en rad/s, et l'accélération angulaire $\alpha$ celui de $\omega$, en rad/s². Dans l'animation, la roue tourne dans le sens horaire, celui de la flèche verte courbe ; prenez ce sens comme positif.

Tous les points du solide ont les mêmes $\omega$ et $\alpha$, mais un point situé à la distance $r$ de l'axe se déplace à la vitesse $v=\omega r$, avec une accélération tangentielle $a=\alpha r$. Une masse suspendue à une ficelle qui se déroule du moyeu sans glisser descend donc exactement à la vitesse du bord du moyeu.

Le moment d'une force : force fois bras de levier

Poussez une porte par sa poignée, à 0,80 m des gonds, avec une force de 20 N perpendiculaire à la porte : l'effet de rotation, ou moment de la force, vaut $\tau =0,80\cdot 20=16\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. La même poussée à 0,10 m des gonds ne donne que $2\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. En général, pour une force $F$ appliquée à la distance $r$ de l'axe,
$\tau =rF\sin \theta$
où $\theta$ est l'angle entre la force et le rayon qui va de l'axe au point d'application (et non l'angle dont le corps a tourné).

On peut le comprendre de deux façons : seule la partie de la force perpendiculaire au rayon, $F\sin \theta$, fait tourner le corps, ou bien la force entière agit avec un bras de levier $d=r\sin \theta$, la distance de l'axe à sa ligne d'action, mesurée perpendiculairement. Poussez la poignée sous un angle de 30° avec la porte et $\tau =16\cdot \sin 30^{\circ }=8\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ; poussez droit vers les gonds et rien ne tourne.

Le moment se mesure en newtons-mètres, jamais en joules : ce n'est pas une énergie. Des moments qui font tourner en sens opposés ont des signes opposés.

Deuxième loi de Newton pour la rotation

Un moment résultant provoque une accélération angulaire, comme une force résultante provoque une accélération :
$\tau =I\alpha$

Le moment d'inertie $I$, en kg·m², joue le rôle de la masse. Un petit morceau de masse $m$ situé à la distance $s$ de l'axe a une accélération tangentielle $\alpha s$, qui exige une force $ms\alpha$ et donc un moment $m{s}^2\alpha$. En additionnant les morceaux, on obtient $\tau =(\sum m{s}^2)\alpha$, d'où $I=\sum m{s}^2$. Chaque kilogramme compte avec le carré de sa distance : deux fois plus loin, quatre fois plus de résistance.

Un anneau mince de masse $M$ et de rayon $R$ a toute sa masse à la périphérie, donc $I=M{R}^2$ ; une sphère pleine a $\frac{2}{5}M{R}^2$. La roue de l'animation est un disque homogène :
$I=\frac{1}{2}M{R}^2\text{(disque homogeˋne)}$
Avec $M=10\mathrm{kg}$ et $R=0,40\mathrm{m}$, on trouve $I=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,40^2=0,80\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, soit la moitié de la valeur d'un anneau mince de même masse et de même taille.

Avec un moment résultant constant, $\alpha$ est constante et les équations du mouvement rectiligne se transposent, avec $\theta$, $\omega$ et $\alpha$ à la place de $x$, $v$ et $a$ :

• $\omega ={\omega }_0+\alpha t$
• $\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$
• ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \Delta \theta$

En additionnant $\frac{1}{2}m{v}^2$ sur tous les morceaux, avec $v=\omega s$, on obtient l'énergie emmagasinée dans la rotation, l'énergie cinétique de rotation
$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Exemple résolu : la roue de l'animation

Une ficelle enroulée autour du moyeu, de rayon $r=0,12\mathrm{m}$, porte une masse $m=1\mathrm{kg}$. La tension $F$ est inconnue : on écrit donc une équation pour la masse (le sens vers le bas étant positif), une pour la roue et une pour la ficelle, qui ne glisse pas :
$mg-F=ma,Fr=I\alpha ,a=\alpha r$
En remplaçant $F=I\alpha /r$ et $a=\alpha r$ dans la première équation, on obtient
$\alpha =\frac{mgr}{I+m{r}^2}=\frac{1\cdot 9,81\cdot 0,12}{0,80+1\cdot 0,12^2}=\frac{1,177}{0,814}\approx 1,45rad/{\mathrm{s}}^2$

La masse n'accélère donc qu'à $a=\alpha r\approx 0,173m/{\mathrm{s}}^2$, la tension vaut $F=m(g-a)\approx 9,64\mathrm{N}$, un peu moins que les 9,81 N du poids de la masse, et le moment est $\tau =rF\approx 1,16\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. C'est la valeur constante de l'affichage rouge de $\tau$ ; la flèche rouge $F$ au bord du moyeu et le trait rouge $r$ montrent d'où elle vient.

La masse descend de $h=0,88\mathrm{m}$ en $t=\sqrt{2h/a}=\sqrt{2\cdot 0,88/0,173}\approx 3,19\mathrm{s}$. Pendant ce temps, l'affichage bleu de $\omega$ augmente de 1,45 rad/s chaque seconde, jusqu'à $\omega =\alpha t\approx 4,60rad/s$, et la roue tourne de $0,88/0,12\approx 7,33\mathrm{rad}$, un peu plus d'un tour. Ensuite la ficelle se détend : la flèche $F$ disparaît, l'affichage de $\tau$ tombe à zéro, $\alpha =0$ et $\omega$ reste à 4,60 rad/s, comme le rappelle l'étiquette verte.

Exemple résolu : le freinage d'un volant d'inertie

Le volant d'inertie d'un vélo d'appartement, un disque homogène de 8,0 kg et de rayon 0,20 m, tourne à 30 rad/s (environ 287 tr/min) quand le cycliste cesse de pédaler, et un patin en feutre frotte sur sa jante avec une force de frottement de 4,0 N. Combien de temps met-il à s'arrêter, et combien de tours fait-il ?

Le frottement s'exerce le long de la jante : son bras de levier est donc le rayon entier :
$I=\frac{1}{2}\cdot 8,0\cdot 0,20^2=0,16\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,\tau =0,20\cdot 4,0=0,80\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
Alors $\alpha =-0,80/0,16=-5,0rad/{\mathrm{s}}^2$, négative car le moment s'oppose à la rotation. La roue s'arrête au bout de $30/5,0=6,0\mathrm{s}$, et ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \Delta \theta$ donne $\Delta \theta =30^2/(2\cdot 5,0)=90\mathrm{rad}$, soit environ 14,3 tours.

Un bilan d'énergie le confirme : la roue part avec $K=\frac{1}{2}\cdot 0,16\cdot 30^2=72\mathrm{J}$, et le frottement effectue un travail résistant $\tau \Delta \theta =0,80\cdot 90=72\mathrm{J}$, qui échauffe le patin et la jante. Un anneau de même masse et de même rayon emmagasinerait 144 J et mettrait 12 s à s'arrêter.

Le bilan des forces sur la roue

Trois forces s'exercent sur la roue : son poids $Mg=98,1\mathrm{N}$ au centre, la tension de 9,64 N au bord du moyeu et la poussée de l'axe, qui doit valoir $98,1+9,64\approx 107,7\mathrm{N}$ vers le haut puisque le centre reste immobile. La force résultante est nulle, mais le moment résultant ne l'est pas : le poids et la force de l'axe passent par l'axe de rotation et n'ont pas de bras de levier, de sorte que seule la tension fait tourner la roue.

L'inverse existe aussi. Tirez vers le haut avec 10 N d'un côté du volant d'une voiture et vers le bas avec 10 N de l'autre, chaque force à 0,18 m du centre : les forces se compensent, mais les moments s'additionnent et valent $2\cdot 10\cdot 0,18=3,6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Une telle paire de forces s'appelle un couple de forces.

Un seul $\omega$ ne veut pas dire une seule vitesse : à l'arrivée au sol, la jante de la roue se déplace à $\omega R\approx 1,84m/s$, la masse à seulement $\omega r\approx 0,55m/s$.

Erreurs fréquentes

• Prendre le rayon de la roue pour le bras de levier. La ficelle tire sur le moyeu : le bras de levier est $r=0,12\mathrm{m}$ ; avec $R=0,40\mathrm{m}$, on trouverait 3,85 N·m, plus de trois fois le vrai moment.
• Croire que la tension est égale au poids $mg$. La masse n'accélérerait alors pas ; la tension vaut 9,64 N, et les 0,17 N manquants valent exactement $ma$.
• Penser que seule la masse compte. Si l'on reporte à la jante les 10 kg de la roue, $I$ double et passe à $1,60\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, et l'accélération angulaire tombe de 1,45 à environ 0,73 rad/s².
• Utiliser des tours par minute ou des degrés dans $v=\omega r$ ou $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$. Ces formules exigent des radians : 4,60 rad/s font 44 tours par minute, et mettre 44 dans $K$ donne environ 770 J au lieu de 8,5 J.

Où on le rencontre

Les clés, les poignées de porte et les pédales de vélo offrent un long bras de levier. Les moteurs thermiques et électriques se caractérisent par le moment disponible sur leur arbre (le couple moteur), de quelques centaines de newtons-mètres pour un moteur de voiture, et les engrenages échangent vitesse angulaire contre moment. Les volants d'inertie des moteurs et les tours de potier concentrent leur masse dans une jante lourde pour lisser un entraînement irrégulier.

Cette leçon s'appuie sur la leçon Mouvement circulaire. Annulez le moment résultant et vous arrivez à la leçon Équilibre statique et leviers ; suivez $L=I\omega$ et vous arrivez à la leçon Le moment cinétique et sa conservation. La leçon Machines simples : leviers, poulies et engrenages met ces moments au travail.

Avancé

Le moment défini par le travail

Une force peut pousser fort sur une roue sans la faire tourner, si elle est dirigée droit vers l'axe. Pour décrire la rotation, il faut une grandeur qui tienne compte non seulement de l'intensité de la force, mais aussi de l'endroit où elle s'applique et de sa direction. Le moyen le plus net de la trouver est de se demander quel travail la force effectue quand le corps tourne. Dans toute la suite, les nombres sont ceux de l'animation : un disque homogène de masse 10 kg et de rayon 0,40 m tourne sur un axe fixe sans frottement, entraîné par une ficelle enroulée autour d'un moyeu léger de rayon 0,12 m, au bout de laquelle pend une masse de 1 kg qui descend de 0,88 m.

Légende

$O$	L'axe fixe, vu en bout : il sort de la page.
$r$	Distance de l'axe au point d'application de la force.	$\mathrm{m}$
$d\theta$	Petit angle dont tourne le corps.	$\mathrm{rad}$
$d\vec{l}$	Pas du point : le long de la tangente, perpendiculaire au rayon, de longueur $dl=rd\theta$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Force appliquée au point.	$\mathrm{N}$
$F_{\perp }$	Partie de $\vec{F}$ le long du pas, perpendiculaire au rayon : la seule qui travaille.	$\mathrm{N}$
$F_{\parallel }$	Partie de $\vec{F}$ le long du rayon, perpendiculaire au pas : elle ne travaille pas.	$\mathrm{N}$

La figure 1 montre un corps qui ne peut tourner qu'autour d'un axe fixe, vu en bout en $O$ et sortant de la page vers vous. Sa position est alors donnée par un seul nombre, l'angle $\theta$ dont il a tourné. Une force $\vec{F}$ s'applique en un point situé à la distance $r$ de l'axe. Faites tourner le corps d'un petit angle $d\theta$. Le point avance sur son cercle d'un petit pas $d\vec{l}$. Comme la rotation est petite, ce pas est porté par la tangente, perpendiculaire au rayon $r$, et sa longueur est un petit arc du cercle : $dl=rd\theta$, avec $d\theta$ en radians.

Regardez maintenant les deux flèches tracées bout à bout depuis le point. Elles décomposent $\vec{F}$ en une partie $F_{\parallel }$ le long du rayon et une partie $F_{\perp }$ le long du pas. Le travail d'une force est sa composante selon le déplacement multipliée par ce déplacement. $F_{\parallel }$ est perpendiculaire au pas, elle ne travaille donc pas ; $F_{\perp }$ est portée par le pas et effectue tout le travail :
$dW=\vec{F}\cdot d\vec{l}=F_{\perp }rd\theta$

Le facteur devant $d\theta$ est la grandeur cherchée. Définissez le moment de la force par rapport à l'axe par
$\tau =r{F}_{\perp }$
Le travail effectué au cours d'une petite rotation vaut alors $dW=\tau d\theta$ : moment fois angle donne un travail, comme force fois distance. Le même produit se lit d'une autre façon. Si $\phi$ est l'angle entre le rayon et la force, alors $F_{\perp }=F\sin \phi$, et $r\sin \phi$ est le bras de levier, la distance de l'axe à la droite d'action de la force. Le moment est donc aussi la force entière multipliée par son bras de levier. Une force dirigée droit vers l'axe a $F_{\perp }=0$ et pas de bras de levier, donc pas de moment : c'est la roue qui refusait de tourner.

Les coordonnées donnent le même résultat sous la forme d'une formule commode. Placez l'axe le long de $z$, en passant par l'origine. Quand le corps tourne de $d\theta$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, un point de coordonnées $(x,y)$ se déplace de $dx=-yd\theta$ et $dy=xd\theta$. C'est le pas $d\vec{l}$ de la figure 1 écrit en composantes : il est perpendiculaire au rayon et a pour longueur $rd\theta$. Une force $(F_x,F_y)$ appliquée en ce point effectue le travail
$dW=F_{x}dx+F_{y}dy=(x{F}_y-y{F}_x)d\theta$
donc $\tau =x{F}_y-y{F}_x$. C'est la composante selon $z$ du produit vectoriel $\vec{r}\times \vec{F}$, positive quand la force tend à faire tourner le corps dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, vu du côté des $z$ positifs. Comme $r$, $x$ et $y$ sont tous mesurés depuis l'axe, la valeur d'un moment dépend de l'axe choisi : précisez toujours par rapport à quel axe vous prenez un moment.

En divisant $dW=\tau d\theta$ par la durée $dt$ de la rotation, on obtient la puissance fournie à un corps qui tourne. Avec la vitesse angulaire $\omega =d\theta /dt$,
$P=\tau \omega$
la jumelle, pour la rotation, de $P=Fv$.

Les nombres de l'animation le confirment. Juste avant que la masse touche le sol, la ficelle tire avec une tension $T\approx 9,64\mathrm{N}$. Sur le moyeu, avec un bras de levier de 0,12 m, cela donne un moment $\tau =9,64\cdot 0,12\approx 1,16\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, et la roue tourne à 4,60 rad/s : la ficelle fournit donc à la roue $\tau \omega \approx 1,16\cdot 4,60\approx 5,3\mathrm{W}$. À son autre extrémité, la ficelle tire vers le haut sur la masse, qui descend à 0,553 m/s ; elle lui prend donc de l'énergie à la puissance $Tv\approx 9,64\cdot 0,553\approx 5,3\mathrm{W}$. Les deux puissances sont égales : une ficelle légère ne stocke pas d'énergie, elle ne fait que la transmettre.

La deuxième loi de Newton pour un corps qui tourne

Le moment dit avec quelle force on fait tourner un corps. Il nous faut encore la loi qui dit avec quelle rapidité il réagit, la forme de $F=ma$ pour la rotation. On l'obtient en appliquant la deuxième loi de Newton à chaque élément du corps et en additionnant les résultats.

Légende

$O$	L'axe passant par le centre, vu en bout.
$R$	Rayon du disque.	$\mathrm{m}$
$s$	Distance de l'anneau doré à l'axe.	$\mathrm{m}$
$ds$	Largeur de l'anneau.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Longueur de l'anneau coupé et redressé : sa circonférence $2\pi s$.	$\mathrm{m}$
$dm$	Masse de l'anneau : son aire $2\pi sds$ fois la masse par unité d'aire $M/(\pi R^2)$.	$\mathrm{kg}$
${\omega }^{2}s$	Accélération centripète de chaque élément de l'anneau, dirigée vers l'axe.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\alpha s$	Accélération tangentielle de chaque élément de l'anneau, le long du cercle.	$m/{\mathrm{s}}^2$

La figure 2 montre ces éléments. Regroupez toute la matière située à la même distance $s$ de l'axe : dans un disque, c'est un anneau mince comme l'anneau doré, de largeur $ds$ et de masse $dm$. Chaque élément de l'anneau décrit un cercle de rayon $s$, avec la vitesse angulaire $\omega$ et l'accélération angulaire $\alpha =d\omega /dt$ du corps entier. Son accélération a donc deux parties, toutes deux tracées en haut de l'anneau : une partie centripète ${\omega }^{2}s$, dirigée vers l'axe $O$, qui maintient l'élément sur son cercle, et une partie tangentielle $\alpha s$, le long du cercle, qui le fait aller plus vite.

D'après la deuxième loi de Newton, la force résultante sur l'anneau a les deux mêmes parties : sa masse multipliée par chacune des accélérations. La force centripète est dirigée vers l'axe, elle n'a donc ni bras de levier ni moment. Seule la force tangentielle $\alpha sdm$ a un moment, avec le bras de levier $s$ :
$d\tau =s\cdot (\alpha sdm)=s^2\alpha dm$

Additionnez maintenant ces moments sur le corps entier. La force résultante sur chaque élément se compose de forces extérieures et de forces intérieures exercées par les autres éléments. Les forces intérieures s'éliminent deux à deux : deux éléments agissent l'un sur l'autre par des forces égales et opposées, portées par la droite qui les joint ; les deux forces ont donc le même bras de levier et font tourner en sens opposés. Seuls les moments extérieurs subsistent, et comme tous les éléments ont le même $\alpha$, celui-ci sort de la somme :
${\tau }_{\mathrm{ext}}=\left(\int s^{2}dm\right)\alpha =I\alpha$
L'intégrale $I=\int s^{2}dm$ est le moment d'inertie. Elle joue le rôle que joue la masse dans $F=ma$, mais elle dépend de l'endroit où se trouve la masse, et pas seulement de sa quantité : chaque élément compte avec le carré de sa distance à l'axe.

Pour le disque homogène de la figure 2, de rayon $R$ et de masse $M$, l'intégrale est une somme sur les anneaux. Coupez l'anneau doré et redressez-le, comme sur le dessin sous le disque : il devient une bande de longueur $\ell =2\pi s$ et de largeur $ds$, d'aire $2\pi sds$. La masse du disque est répartie uniformément sur son aire $\pi R^2$ ; la masse par unité d'aire vaut donc $M/(\pi R^2)$ et la masse de l'anneau est
$dm=\frac{M}{\pi R^2}\cdot 2\pi sds=\frac{2M}{R^2}sds$
En additionnant les anneaux du centre jusqu'au bord,
$I={\int }_0^R{s}^2\frac{2M}{R^2}sds=\frac{2M}{R^2}\cdot \frac{R^4}{4}=\frac{1}{2}M{R}^2$
C'est la moitié de la valeur $M{R}^2$ d'un cerceau mince de même masse et de même rayon, parce qu'une grande partie de la masse du disque se trouve près de l'axe. Pour le disque de l'animation, $I=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,40^2=0,80\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$.

Le moment d'inertie dépend aussi de l'axe choisi. Pour un axe parallèle à un axe passant par le centre de masse $G$, à une distance $d$ de celui-ci, le théorème de Huygens (ou théorème des axes parallèles) donne
$I=I_{\mathrm{G}}+M{d}^2$
Pour le voir, écrivez le carré de la distance de chaque élément au nouvel axe comme le carré de sa distance à l'ancien, plus $d^2$, plus un terme croisé. Additionné sur le corps, le terme croisé est proportionnel à la position moyenne, pondérée par les masses et mesurée depuis le centre de masse, et cette moyenne est nulle par la définition même du centre de masse. Suspendu par un axe placé sur sa jante, le disque de l'animation a $d=0,40\mathrm{m}$ et $I=0,80+10\cdot 0,40^2=2,40\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, trois fois sa valeur par rapport au centre.

Le moment cinétique et le dictionnaire de la rotation

Dans le mouvement rectiligne, la loi de Newton prend sa forme la plus générale avec $F=dp/dt$. La rotation obéit à la même forme dès qu'on définit le moment cinétique, et avec elle tous les résultats de la dynamique à une dimension se transposent.

Chaque élément de l'anneau de la figure 2 se déplace à la vitesse $\omega s$ ; sa quantité de mouvement vaut donc $\omega sdm$, le long du cercle. Son moment cinétique par rapport à l'axe est cette quantité de mouvement multipliée par son bras de levier $s$, soit $s\cdot (\omega s)dm$. La somme sur le corps donne le moment cinétique total, $L=I\omega$. Pour un solide indéformable, $I$ ne varie pas, donc $I\alpha =d(I\omega )/dt$, et la loi de la rotation prend la forme
$L=I\omega ,\tau =\frac{dL}{dt}$
jumelle de $F=dp/dt$ : le moment est le taux de variation du moment cinétique.

L'énergie cinétique se construit de la même façon. Un élément qui se déplace à $\omega s$ porte $\frac{1}{2}(\omega s{)}^{2}dm$, et la somme donne
$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$
Le travail du moment, $\int \tau d\theta$, est égal à la variation de $K$, exactement comme $\int Fdx$ est égal à la variation de $\frac{1}{2}m{v}^2$.

Le dictionnaire entre mouvement rectiligne et mouvement de rotation est maintenant complet : $x\leftrightarrow \theta$, $v\leftrightarrow \omega$, $a\leftrightarrow \alpha$, $m\leftrightarrow I$, $F\leftrightarrow \tau$, $p\leftrightarrow L$, $\frac{1}{2}m{v}^2\leftrightarrow \frac{1}{2}I{\omega }^2$ et $Fv\leftrightarrow \tau \omega$. Le panneau expert de l'animation en affiche quatre. Tout résultat de la dynamique à une dimension se transpose, les équations à accélération constante comprises.

Une entrée n'a pas de jumelle exacte. La masse d'un corps est fixe, mais son moment d'inertie change dès que le corps change de forme, parce que $I$ dépend de l'endroit où se trouve la masse. Alors $\tau =dL/dt$ reste vraie, tandis que $\tau =I\alpha$ est en défaut. C'est ainsi qu'une patineuse tourne plus vite en rentrant les bras, bien qu'aucun moment ne s'exerce sur elle : $L=I\omega$ reste le même, $I$ diminue, donc $\omega$ augmente.

Lire le graphe de la vitesse angulaire

Un graphe de la vitesse angulaire en fonction du temps montre d'un coup d'œil tout le mouvement de la roue. Il se lit exactement comme un graphe de la vitesse en fonction du temps : la pente est l'accélération angulaire et l'aire sous la courbe est l'angle parcouru.

Légende

$t$	Temps écoulé depuis le lâcher de la masse.	$\mathrm{s}$
$\omega$	Vitesse angulaire de la roue, $d\theta /dt$.	$rad/s$
$t_1$	Instant où la masse touche le sol.	$\mathrm{s}$
${\omega }_1$	Vitesse angulaire à l'arrivée au sol, la plus grande valeur atteinte.	$rad/s$
$\Delta t$	Un intervalle de temps : la base du triangle de pente.	$\mathrm{s}$
$\alpha \Delta t$	Augmentation de $\omega$ pendant $\Delta t$ : la pente $\alpha$ fois $\Delta t$.	$rad/s$
$\tau$	Moment de la ficelle sur la roue : constant tant que la ficelle tire, nul après l'arrivée au sol.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$\theta$	Angle parcouru entre le lâcher et l'arrivée au sol : l'aire ombrée sous la droite.	$\mathrm{rad}$

La figure 3 est le graphe que trace la vue experte de l'animation : $\omega$ en fonction du temps $t$ écoulé depuis le lâcher de la masse. Tant que la ficelle tire, son moment $\tau$ est constant ; d'après $\tau =I\alpha$, l'accélération angulaire est donc constante elle aussi, et le graphe est une droite. Regardez le petit triangle de pente : pendant une durée quelconque $\Delta t$, $\omega$ augmente de $\alpha \Delta t$, donc la pente de la droite vaut
$\alpha =\tau /I=1,16/0,80\approx 1,45rad/{\mathrm{s}}^2$

Regardez maintenant le triangle ombré. Chaque petit intervalle $dt$ ajoute $\omega dt$ à l'angle parcouru : l'aire sous la droite est donc l'angle $\theta$. La masse touche le sol à $t_1=3,19\mathrm{s}$, quand la roue a atteint ${\omega }_1=4,60rad/s$, donc
$\theta =\frac{1}{2}\cdot 3,19\mathrm{s}\cdot 4,60rad/s\approx 7,3\mathrm{rad}$
La ficelle fournit une vérification indépendante. Elle se déroule du moyeu sans glisser : 0,88 m de ficelle déroulés d'un moyeu de rayon 0,12 m correspondent à $\theta =0,88/0,12\approx 7,33\mathrm{rad}$, le même angle. L'affichage de $L$ dans l'animation n'est autre que $I$ fois ce graphe : il augmente de 1,16 kg·m²/s chaque seconde, parce que la pente de $L(t)$ est le moment.

À $t_1$, la masse touche le sol, la ficelle cesse de tirer et $\tau =0$, comme l'indique la partie plate du graphe. Alors $dL/dt=0$ : la droite devient horizontale et $L$ reste à $0,80\cdot 4,60\approx 3,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$, puisqu'aucun frottement ne ralentit la roue. L'aire sous le graphe continue de croître, désormais de 4,60 rad chaque seconde. Au coin, la pente passe brusquement de 1,45 rad/s² à zéro, mais $\omega$ lui-même ne saute pas : un saut de $\omega$ ferait varier $L$ d'une quantité finie en un temps nul, ce qui exigerait un moment infini.

Énergie et masse effective

La conservation de l'énergie vérifie tout le calcul de façon indépendante. Elle donne aussi une image utile de la roue : une masse supplémentaire que la masse qui tombe doit entraîner avec elle.

Après une chute de $h=0,88\mathrm{m}$, la masse $m=1\mathrm{kg}$ a libéré $mgh\approx 8,63\mathrm{J}$. La roue en détient $\frac{1}{2}I{\omega }^2\approx 8,48\mathrm{J}$ et la masse $\frac{1}{2}m{v}^2\approx 0,15\mathrm{J}$ : 98 % de l'énergie est passée dans la rotation. Comme la ficelle ne glisse pas, la masse se déplace à la vitesse du bord du moyeu, $v=\omega r$, où $r=0,12\mathrm{m}$ est le rayon du moyeu. En écrivant $\omega =v/r$, le bilan d'énergie devient
$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}\left(m+\frac{I}{r^2}\right)v^2$

Vue de la ficelle, la roue se comporte donc comme une masse supplémentaire $I/r^2=0,80/0,12^2\approx 55,6\mathrm{kg}$ que la masse doit entraîner. En dérivant le bilan par rapport au temps (la dérivée de $h$ est $v$, celle de $v$ est $a$), on obtient $mgv=(m+I/r^2)va$, donc
$a=\frac{mg}{m+I/r^2}$
La masse de 1 kg doit accélérer 56,6 kg de masse effective : c'est pourquoi elle descend si lentement, à 0,17 m/s² seulement.

Le rayon du moyeu est un choix de conception. Réduisez-le de moitié, à 0,06 m, et $I/r^2$ quadruple, jusqu'à 222 kg : la masse accélère alors environ quatre fois plus lentement. L'accélération angulaire de la roue, $\alpha =a/r$, baisse moins, car avec un moyeu plus petit la roue tourne d'un angle plus grand pour chaque mètre de ficelle, mais elle est tout de même divisée par deux, à environ 0,73 rad/s². En général,
$\alpha =\frac{mgr}{I+m{r}^2}$
qui croît avec $r$ tant que $m{r}^2<I$, c'est-à-dire jusqu'à $r=\sqrt{I/m}\approx 0,89\mathrm{m}$. C'est au-delà du rayon de la roue elle-même, 0,40 m : pour cette roue, un moyeu plus large la lance donc toujours plus vite, car le bras de levier plus long l'emporte sur la part croissante de l'inertie due à la masse suspendue, $m{r}^2$.

Problème résolu : la roue comme un yo-yo

Jusqu'ici, l'axe était fixe. Un yo-yo montre les mêmes lois à l'œuvre quand l'axe lui-même se déplace. Attachez l'extrémité libre de la ficelle au plafond et laissez tomber la roue, qui se déroule de son moyeu comme un grand yo-yo, avec $M=10\mathrm{kg}$, $I=0,80\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ et un rayon de moyeu $r=0,12\mathrm{m}$. Quelle est son accélération, avec quelle force la ficelle tire-t-elle, et comment l'énergie se partage-t-elle après une chute de 0,88 m ?

Légende

$Mg$	Poids de la roue, appliqué en son centre.	$\mathrm{N}$
$T$	Traction de la ficelle, vers le haut, au bord du moyeu.	$\mathrm{N}$
$r$	Rayon du moyeu : le bras de levier de $T$ par rapport au centre.	$\mathrm{m}$
$a$	Accélération du centre, vers le bas.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\alpha$	Accélération angulaire de la roue, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre parce que la ficelle tire vers le haut à droite du centre.	$rad/{\mathrm{s}}^2$

La figure 4 montre les deux forces qui s'exercent sur la roue, dessinées à l'échelle. Son poids $Mg$ s'applique au centre. La traction $T$ de la ficelle s'exerce vers le haut au bord droit du moyeu, à la distance $r$ du centre, et sa flèche est un peu plus courte que celle de $Mg$. Leur différence, $Mg-T$, accélère le centre vers le bas avec $a$, la flèche rectiligne tracée à gauche. Par rapport au centre, le poids n'a pas de bras de levier : seule $T$ fait tourner la roue. Comme elle tire vers le haut à droite du centre, elle fait tourner la roue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, avec l'accélération angulaire $\alpha$ représentée par la flèche courbe.

Peut-on encore utiliser $\tau =I\alpha$ quand l'axe tombe ? Oui, pour un axe qui passe par le centre de masse et garde sa direction. Dans un référentiel qui tombe avec le centre, la roue tourne simplement autour d'un axe fixe, et la seule force supplémentaire dans ce référentiel, la force d'inertie $-M\vec{a}$, s'applique au centre de masse, où elle n'a pas de bras de levier.

Les deux mouvements sont liés. La ficelle est fixée au plafond, donc le point du moyeu où elle le quitte est momentanément immobile. La roue tourne autour de ce point ; le centre, situé à la distance $r$, descend donc de $r$ pour chaque radian parcouru : $a=\alpha r$.

La translation, la rotation autour du centre et cette condition de roulement donnent trois équations pour $a$, $T$ et $\alpha$ :
$Mg-T=Ma,Tr=I\alpha ,a=\alpha r$
Remplacez $\alpha$ par $a/r$ dans la deuxième équation pour obtenir $T=Ia/r^2$, puis reportez dans la première :
$a=\frac{g}{1+I/(M{r}^2)}=\frac{9,81}{1+5,56}\approx 1,50m/{\mathrm{s}}^2,T=M(g-a)\approx 83,1\mathrm{N}$
et $\alpha =a/r\approx 12,5rad/{\mathrm{s}}^2$. On retrouve le résultat de la masse effective : la rotation ajoute $I/r^2\approx 55,6\mathrm{kg}$ aux 10 kg sur lesquels agit la pesanteur. Après la chute de 0,88 m, $v=\sqrt{2ah}\approx 1,62m/s$ et $\omega =v/r\approx 13,5rad/s$, presque trois fois les 4,60 rad/s atteints dans l'animation, parce que c'est maintenant le poids entier de la roue qui l'entraîne, et non une masse de 1 kg.

L'énergie libérée $Mgh\approx 86,3\mathrm{J}$ se partage en $\frac{1}{2}M{v}^2\approx 13,2\mathrm{J}$ de translation et $\frac{1}{2}I{\omega }^2\approx 73,2\mathrm{J}$ de rotation. Leur rapport est fixé à $I/(M{r}^2)\approx 5,56$, quelle que soit la hauteur, parce que $\omega =v/r$ à chaque instant. La ficelle tire avec 83,1 N, et non avec les 98,1 N du poids entier : un dynamomètre qui retient la ficelle indique donc moins que le poids du yo-yo pendant sa chute. Et en bas, la ficelle entièrement déroulée, la roue tourne encore : elle s'enroule donc de nouveau en remontant le long de la ficelle. Voilà comment un yo-yo revient.

Limites de validité

Le modèle suppose une roue indéformable, une ficelle légère qui ne s'étire ni ne glisse, et un axe sans frottement. Le frottement compte davantage pour la roue lancée que pendant sa mise en rotation. Un moment de frottement de 0,02 N·m dans le palier représente moins de 2 % des 1,16 N·m de la ficelle : il ferait baisser $\alpha$ de moins de 2 %. Mais une fois la masse au sol, c'est le seul moment, et il arrêterait la roue lancée au bout de $I\omega /\tau =0,80\cdot 4,60/0,02\approx 184\mathrm{s}$, environ trois minutes.

L'hypothèse d'indéformabilité tombe à grande vitesse. La contrainte dans une jante mince qui tourne vaut environ $\rho v^2$, où $\rho$ est la masse volumique et $v$ la vitesse de la jante : la jante éclate donc quand $\rho v^2$ atteint la résistance du matériau. Une jante en acier (masse volumique 7800 kg/m³, résistance voisine de $10^9\mathrm{Pa}$) éclate vers 360 m/s. La jante de l'animation se déplace à $4,60\cdot 0,40\approx 1,84m/s$.

La loi scalaire $\tau =I\alpha$ exige un axe fixe, ou un axe passant par le centre de masse et gardant sa direction. En trois dimensions, le moment est un vecteur, $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$, et $\vec{L}$ est relié à $\vec{\omega }$ non par un seul nombre mais par le tenseur d'inertie, un ensemble de neuf nombres qui prend la place de $I$. Lancée autour d'un axe de symétrie, une roue a un $\vec{L}$ parallèle à $\vec{\omega }$. Une roue mal équilibrée a un $\vec{L}$ incliné par rapport à l'axe : quand la roue tourne, $\vec{L}$ balaie un cône, et les paliers doivent fournir un moment $d\vec{L}/dt$ même à vitesse constante. C'est pourquoi on équilibre les roues de voiture, et c'est là que commencent les gyroscopes et la précession.

Les corrections relativistes, de l'ordre de $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-17}$ pour la jante, ne jouent aucun rôle. En mécanique quantique, le moment cinétique varie par pas de l'ordre de $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Les $3,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ de la roue représentent environ $3,5\times 10^{34}$ de ces pas : sa rotation paraît donc parfaitement continue, alors que la rotation d'une molécule se fait par niveaux discrets, visibles dans les spectres micro-ondes.

Ce qui vient ensuite

Annulez à la fois le moment résultant et la force résultante et vous arrivez à la leçon Équilibre statique et leviers. Laissez le moment d'inertie varier, ou l'axe s'incliner, et vous arrivez à la leçon Le moment cinétique et sa conservation, avec les patineuses, la loi des aires de Kepler et le gyroscope en précession. Un corps suspendu à un pivot subit de la part de la pesanteur un moment de rappel et oscille comme un pendule pesant, avec une période de $2\pi \sqrt{I/(Mgd)}$ pour de petites oscillations, où $d$ est la distance du pivot au centre de masse. Le disque suspendu par sa jante, avec $I=2,40\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ et $d=0,40\mathrm{m}$, oscille avec une période d'environ 1,55 s ; la leçon Oscillations harmoniques développe ce point. Le moment qu'exerce un champ magnétique sur une boucle de courant fait tourner tous les moteurs électriques, sujet de la leçon Moteurs, générateurs et transformateurs, et l'expression de la puissance $P=\tau \omega$ relie cette leçon à Travail, énergie et puissance.