Puissance et énergie électriques à la maison

Débutant

Chaque appareil porte sur son étiquette une puissance, en watts (W). La puissance indique à quelle vitesse l'appareil utilise l'énergie : un watt, c'est un joule par seconde. Une lampe LED consomme environ 10 W, un téléviseur environ 100 W et une bouilloire environ 2000 W, soit 2 kilowatts (kW).

Étape 1 : énergie = puissance × durée. Plus un appareil fonctionne longtemps, plus il utilise d'énergie. Les fournisseurs comptent cette énergie en kilowattheures (kWh) : un kWh, c'est ce qu'utilise un appareil de 1 kW en une heure, une bouilloire de 2 kW en une demi-heure, ou une lampe LED de 10 W en 100 heures.

Étape 2 : la facture. Le compteur additionne les kWh, et l'on paie l'énergie, pas la puissance : le nombre de kWh multiplié par le prix d'un kWh. Un radiateur de 2 kW allumé 3 heures utilise $2\times 3=6\mathrm{kWh}$ ; à 0,20 € le kWh, cela coûte 1,20 €.

Étape 3 : courant et sécurité. Chaque appareil allumé appelle plus de courant dans les mêmes fils d'alimentation, et les fils chauffent quand le courant passe. Avec trop d'appareils puissants sur un même circuit, les fils pourraient surchauffer : un fusible (un fil fin qui fond) ou un disjoncteur (un interrupteur qui saute) coupe le courant avant.

Dans l'animation, une lampe, une bouilloire et un radiateur s'allument l'un après l'autre. À chaque fois, la barre rouge du courant monte et le disque du compteur tourne plus vite : la lampe le fait à peine bouger, la bouilloire l'emballe. Quand le radiateur s'ajoute à la bouilloire, la barre dépasse la ligne limite et le disjoncteur saute.

Étape 4 : le rendement. Une vieille ampoule à filament transforme l'essentiel de son énergie en chaleur ; une LED donne la même lumière avec environ six fois moins de puissance.

Testez-vous : qu'est-ce qui utilise le plus d'énergie, une lampe de 100 W allumée 10 heures ou une bouilloire de 2000 W allumée 15 minutes ? (Réponse : la lampe, 1 kWh contre 0,5 kWh.)

Intermédiaire

La puissance, énergie par seconde

La puissance est le rythme auquel l'énergie est transférée, $P=E/t$, en watts : $1\mathrm{W}=1J/s$. Une bouilloire de 2000 W prélève 2000 joules au secteur chaque seconde, une lampe LED de 10 W seulement 10.

La tension $V$ aux bornes d'un appareil est l'énergie que chaque coulomb de charge cède en le traversant, $1\mathrm{V}=1J/C$, et l'intensité $I$ est la charge qui passe chaque seconde, $1\mathrm{A}=1C/s$. Leur produit s'exprime en joules par seconde :
$P=VI$

La loi d'Ohm, $V=IR$ (voir Circuits en courant continu et loi d'Ohm), donne deux autres formes :
$P=R{I}^2=\frac{V^2}{R}$

Sur le secteur, la tension est fixée : d'après $V^2/R$, une résistance plus petite absorbe plus de puissance. L'élément de la bouilloire n'a que $230^2/2000\approx 26\Omega$, le filament chaud d'une lampe de 100 W en a 529 Ω. À courant fixé, $R{I}^2$ montre que la plus grande résistance chauffe davantage, et c'est pourquoi les câbles d'alimentation sont épais.

Appareils en dérivation sur le secteur

Chaque prise est branchée entre les deux mêmes fils, la phase et le neutre : les appareils d'une maison sont donc en dérivation. Chacun reçoit toute la tension du secteur (230 V en Europe, 120 V en Amérique du Nord), quels que soient les autres appareils allumés, et les courants des branches s'ajoutent dans le câble d'alimentation :
$I=\frac{P_1+P_2+\dots }{V}$

Un circuit protégé à $I_{\max }$ ne peut donc fournir plus de $V{I}_{\max }$ : 2300 W pour 10 A sous 230 V, 3680 W pour 16 A. C'est pourquoi une cuisine comporte plusieurs circuits.

Énergie, kilowattheure et rendement

L'énergie utilisée par un appareil est sa puissance multipliée par sa durée de fonctionnement :
$E=Pt$
Avec $P$ en watts et $t$ en secondes, on l'obtient en joules ; les fournisseurs comptent avec une unité plus grande, le kilowattheure, l'énergie de 1 kW pendant une heure :
$1\mathrm{kWh}=3,6\mathrm{MJ}$
puisque $1000\mathrm{W}\cdot 3600\mathrm{s}=3,6\times 10^6\mathrm{J}$. Le compteur additionne les kilowattheures, et l'on paie cette énergie, non la puissance : une bouilloire de 2000 W utilisée 6 minutes et une LED de 10 W laissée allumée 20 heures consomment toutes deux 0,2 kWh.

Le rendement compare la puissance utile à la puissance absorbée :
$\eta =\frac{P_{\mathrm{utile}}}{P_{\mathrm{absorb}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}}$
Une bouilloire transmet 80 à 90 % de son énergie à l'eau, une lampe à filament seulement 5 % environ sous forme de lumière visible, et c'est pourquoi une LED n'a besoin que d'un sixième environ de la puissance pour la même lumière.

Exemple résolu : le circuit de l'animation

Le circuit de 230 V de l'animation est protégé par un disjoncteur de 10 A. La lampe de 100 W appelle $100/230=0,43\mathrm{A}$ et la bouilloire de 2000 W $2000/230=8,70\mathrm{A}$, donc ensemble
$I=\frac{100+2000}{230}=9,13\mathrm{A}$
juste sous la limite, avec $2300-2100=200\mathrm{W}$ de marge. Le radiateur de 2000 W fait alors monter l'intensité à
$I=\frac{100+2000+2000}{230}=17,83\mathrm{A}$
soit presque le double de la valeur nominale.

Ce sont les valeurs affichées pour $I$, tandis que l'affichage de $P$ passe de 100 à 2100 puis à 4100 W et que la flèche rouge $I$ sur le fil d'alimentation s'allonge ; les étiquettes des branches indiquent 0,43, 8,70 et 8,70 A. La colonne rouge de la barre de courant reste juste sous la ligne des 10 A avec la bouilloire et la dépasse largement avec le radiateur. 1,2 s plus tard, le disjoncteur saute : $P$ et $I$ tombent à zéro, et $E$ cesse de grimper.

Comme 1 s représente 1 minute, la lampe a fonctionné 5,5 minutes à ce moment-là, la bouilloire 3,5 et le radiateur 1,2 ; en wattheures,
$E=\frac{100\cdot 5,5+2000\cdot 3,5+2000\cdot 1,2}{60}\mathrm{Wh}=165,8\mathrm{Wh}$
soit les 0,166 kWh affichés pour $E$ (166 Wh dans la fenêtre du compteur). À 0,25 € le kWh, cela coûte environ 4 centimes.

Exemple résolu : un radiateur sur un enrouleur de rallonge

Un radiateur soufflant de 1500 W fonctionne sur un enrouleur de rallonge de 25 m dont les conducteurs en cuivre ont une section de 1,0 mm². Ses $1500/230=6,52\mathrm{A}$ font l'aller et le retour dans 50 m de cuivre, de résistivité $1,7\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$. Avec $R=\rho L/A$ (voir Courant électrique et résistance),
$R_c=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 50}{1,0\times 10^{-6}}=0,85\Omega$
$P_c=R_c{I}^2=6,52^2\cdot 0,85\approx 36\mathrm{W}$

Répartis le long du câble déroulé, 36 W sont sans danger ; sur le tambour, la même chaleur, comparable à celle d'un petit fer à souder, reste emprisonnée et peut faire surchauffer l'isolant, d'où la puissance admissible plus faible d'un enrouleur resté enroulé. L'enrouleur fait aussi chuter la tension de $R_{c}I\approx 5,5\mathrm{V}$ : d'après $P=V^2/R$, 2,4 % de tension en moins coûtent environ 5 % de la puissance, qui tombe à 1430 W environ.

À pleine puissance, chauffer 4 heures par soir pendant 30 jours consomme $E=1,5\cdot 4\cdot 30=180\mathrm{kWh}$, soit 45 € à 0,25 € le kWh ; avec l'enrouleur, le compteur affiche environ 176 kWh, dont 4 sont dégagés sous forme de chaleur dans la rallonge.

Fusibles, disjoncteurs et barre de courant

Un câble est prévu pour le courant maximal pour lequel son échauffement par effet Joule, $R{I}^2$, ne met pas l'isolant en danger (environ 70 °C pour le PVC). Un fusible (un fil fin qui fond) ou un disjoncteur (un interrupteur que l'on peut réarmer) placé sur le fil de phase coupe le courant au-delà de cette valeur : il protège le câble, non l'appareil.

L'échauffement croît comme le carré du courant : une surcharge modérée n'est donc dangereuse que si elle dure, alors qu'un court-circuit l'est aussitôt. La lame bimétallique d'un disjoncteur, chauffée comme le câble, déclenche au bout de quelques secondes à quelques minutes ; son électroaimant déclenche en une dizaine de millisecondes quand un court-circuit fait circuler des centaines d'ampères.

Dans l'animation, la barre rouge représente le courant qui traverse le disjoncteur, et la ligne sa valeur nominale de 10 A : en dessous, l'installation pourrait fonctionner indéfiniment. Les 17,8 A avec le radiateur allumé constituent une surcharge ; le disjoncteur attend donc 1,2 s, qui représente 1,2 minute, avant de s'ouvrir.

Erreurs fréquentes

• Un appareil ne consomme pas de courant : les 8,70 A qui entrent dans la bouilloire par le fil de phase ressortent par le neutre. Ce qui est consommé, c'est de l'énergie, 2000 joules par seconde.
• Un kilowattheure, ce ne sont pas des « kilowatts par heure » mais une puissance multipliée par une durée, une énergie de 3,6 MJ : un radiateur de 3 kW utilise 1 kWh en 20 minutes.
• Allumer davantage d'appareils en dérivation n'augmente pas la résistance totale, cela la diminue : 529 Ω pour la lampe seule, 25,2 Ω avec la bouilloire, 12,9 Ω avec les trois appareils, et c'est pourquoi le courant augmente.
• Plus de résistance ne signifie pas toujours plus de chaleur : à tension fixée, $P=V^2/R$ donne 2000 W à l'élément de 26 Ω de la bouilloire et 100 W au filament de 529 Ω. Avec $R{I}^2$, la plus grande résistance ne chauffe davantage qu'à courants égaux, comme en série.
• Un fusible de plus gros calibre n'est pas plus sûr : un câble de 10 A protégé par un fusible de 30 A pourrait être parcouru par trois fois son courant nominal, en chauffant $3^2=9$ fois plus vite, sans que le fusible fonde.

Où on le rencontre

Chaque facture d'électricité est cette leçon. Un réfrigérateur dont la puissance moyenne est de 40 W consomme environ 350 kWh par an, et un appareil en veille à 1 W en prend encore 8,76 kWh ; la batterie de 60 kWh d'une voiture électrique demande environ 8 heures sur une borne domestique de 7,4 kW ; une centrale de 1 GW équivaut à un demi-million de bouilloires qui chauffent en même temps.

Le champ magnétique qui entoure tout courant, et qui ouvre un disjoncteur, est l'objet de Champs magnétiques des aimants et des courants. Moteurs, générateurs et transformateurs explique pourquoi les lignes électriques fonctionnent sous des centaines de kilovolts pour réduire les pertes $R{I}^2$, et Semi-conducteurs, diodes et LED pourquoi une LED l'emporte sur un filament.

Avancé

La puissance, travail fourni aux charges en mouvement

Chaque appareil porte une puissance nominale en watts, et toute la leçon repose sur une seule formule pour la calculer, $P=VI$. Cette section l'établit à partir du travail que le champ électrique fournit à la charge qui traverse un composant, ce qui montre pourquoi elle vaut pour tous les types d'appareils.

Légende

$I$	Courant qui entre par l'extrémité de potentiel le plus élevé.	$\mathrm{A}$
$dq$	Charge qui traverse une section du conducteur pendant une courte durée $dt$ : $dq=Idt$.	$\mathrm{C}$
$\vec{E}$	Champ électrique dans le conducteur, dans le sens du courant ; sa valeur est $V/L$.	$V/m$
$L$	Longueur du conducteur.	$\mathrm{m}$
$V_a$	Potentiel à l'extrémité où le courant entre.	$\mathrm{V}$
$V_b$	Potentiel à l'extrémité où le courant sort.	$\mathrm{V}$
$V$	Chute de potentiel le long du conducteur, $V=V_a-V_b$.	$\mathrm{V}$

La figure 1 montre le composant le plus simple, un conducteur uniforme de longueur $L$. Le courant $I$ entre par l'extrémité gauche, où le potentiel vaut $V_a$, et ressort par l'extrémité droite, où il vaut $V_b$. Sous le conducteur, à la même échelle horizontale, le potentiel est tracé comme une hauteur. Regardez la droite inclinée : le potentiel diminue régulièrement de $V_a$ à $V_b$, et la chute totale est $V=V_a-V_b$. Le champ électrique $\vec{E}$ à l'intérieur est dirigé selon cette pente, dans le sens du courant, et comme la chute est régulière, sa valeur est la même partout : $E=V/L$.

Regardez maintenant la tranche ombrée $dq$. C'est la charge qui traverse une section du conducteur pendant une courte durée $dt$. Le courant est une charge par unité de temps, donc $dq=Idt$. Pendant ce temps, une charge $dq$ entre à gauche et une charge égale sort à droite, car la charge ne s'accumule pas à l'intérieur. L'effet global est le même que si la tranche $dq$ avait été transportée sur toute la longueur, du potentiel $V_a$ au potentiel $V_b$.

Une différence de potentiel est un travail par unité de charge : lorsqu'une charge $q$ traverse une chute $V$, le champ effectue sur elle le travail $qV$. Ainsi, pendant la durée $dt$, le champ effectue le travail $dW=Vdq=VIdt$, et la puissance, qui est le travail par unité de temps, vaut
$P=\frac{dW}{dt}=V\frac{dq}{dt}=VI$

Seuls les potentiels des deux extrémités sont intervenus dans ce raisonnement. Dans un composant qui n'est pas un simple fil, le potentiel peut diminuer de façon inégale, voire augmenter par endroits, mais le travail fourni à une charge transportée d'une borne à l'autre ne dépend toujours que des valeurs aux extrémités. Le raisonnement ne s'intéresse pas non plus à ce que devient l'énergie : un moteur la transforme en travail mécanique, une batterie en charge en énergie chimique, une LED en partie en lumière.

Le signe demande une convention. Prenez pour $V$ le potentiel là où le courant entre moins le potentiel là où il sort. Alors $P=VI>0$ signifie que le composant absorbe de l'énergie du circuit. Une source fait sortir le courant par sa borne positive : le courant y entre donc au potentiel le plus bas, $V$ est négatif et $P<0$, ce qui signifie que la source fournit de l'énergie au circuit.

Dans une résistance, tout le travail devient chaleur. Le courant est le même aux deux extrémités : les charges en sortent aussi vite qu'elles y entrent et ne gagnent donc aucune énergie cinétique au total. L'énergie que le champ leur cède est transmise, lors des collisions, aux atomes vibrants du métal.

On peut retrouver le même résultat point par point à l'intérieur du métal. Soit $n$ porteurs de charge par unité de volume, chacun de charge $q$ et de vitesse de dérive $\vec{v}$. Le champ pousse chacun avec la force $q\vec{E}$ ; il effectue donc sur lui du travail au rythme $q\vec{E}\cdot \vec{v}$. Par unité de volume, cela donne $nq\vec{v}\cdot \vec{E}$, et $nq\vec{v}$ est la densité de courant $\vec{j}$, le courant par unité d'aire de section. La puissance libérée par unité de volume est donc $\vec{j}\cdot \vec{E}$. La loi d'Ohm sous sa forme locale, $\vec{j}=\sigma \vec{E}$, où $\sigma$ est la conductivité du matériau, la ramène à $j^2/\sigma$. Un fil de longueur $L$ et de section $A$ a la densité de courant $j=I/A$, le volume $AL$ et la résistance $R=L/(\sigma A)$, donc
$P=\frac{j^2}{\sigma }AL=\frac{L}{\sigma A}{I}^2=R{I}^2$

Avec $V=RI$, on obtient aussi $P=V^2/R$, la forme commode lorsque la tension est fixée, comme à une prise.

Où l'énergie circule réellement

La bouilloire prélève 2000 W à la prise. On imagine naturellement cette énergie voyageant à l'intérieur du cuivre du câble, portée par les électrons. Ce n'est pas le cas, et voir par où elle passe vraiment rend concrète l'idée de champ. Les électrons sont beaucoup trop lents pour la transporter. Le cuivre contient environ $n=8,5\times 10^{28}$ électrons libres par mètre cube, chacun de charge $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ ; les 8,70 A de la bouilloire dans un fil de 1,5 mm² n'exigent donc qu'une vitesse de dérive $v=I/(neA)\approx 0,43mm/s$. En courant alternatif, qui s'inverse 100 fois par seconde, ils ne font que de petits va-et-vient d'environ 2 µm. Pourtant l'élément commence à chauffer dès que l'interrupteur se ferme. L'énergie voyage dans les champs électrique et magnétique qui entourent les fils.

Légende

$I$	Courant selon l'axe ; sur la vue de bout, il vient vers vous (le point).	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Champ électrique selon l'axe, de valeur $V/L$ dans le métal et juste à l'extérieur.	$V/m$
$L$	Longueur du cylindre.	$\mathrm{m}$
$a$	Rayon du cylindre.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Champ magnétique du courant, qui entoure le cylindre ; à la surface, sa valeur est $I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flux d'énergie du champ, puissance par unité d'aire : il pointe de l'extérieur vers l'intérieur de la résistance.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figure 2 modélise l'élément de la bouilloire par une simple résistance cylindrique de rayon $a$ et de longueur $L$, vue de côté à gauche et par le bout à droite. Trois champs sont dessinés. Le premier est le champ électrique $\vec{E}$, qui court le long de l'axe, dans le sens du courant $I$ qu'il entraîne. Sa valeur à l'intérieur est $V/L$. La composante d'un champ électrique parallèle à une surface est la même des deux côtés de celle-ci : juste à l'extérieur du métal, il y a donc aussi un champ $V/L$ le long de l'axe.

Le deuxième est le champ magnétique $\vec{B}$ du courant, qui entoure le cylindre en cercles. Sur la vue de bout, le courant vient vers vous (le point), et $\vec{B}$ tourne dans le sens trigonométrique : pointez le pouce de la main droite dans le sens du courant, et vos doigts s'enroulent dans le sens de $\vec{B}$. Sa valeur à la surface découle du théorème d'Ampère, $B\cdot 2\pi a=I/({\epsilon }_0{c}^2)$, donc $B=I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$. (Ici ${\epsilon }_0{c}^2=1/{\mu }_0$ : c'est donc la formule familière $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$.)

Le troisième est le flux d'énergie $\vec{S}$, la puissance qui traverse une unité d'aire, en watts par mètre carré. Partout où un champ électrique et un champ magnétique sont présents ensemble, l'énergie circule au rythme donné par le vecteur de Poynting, du nom de John Henry Poynting :
$\vec{S}={\epsilon }_0{c}^2\vec{E}\times \vec{B}$

Sa direction se déduit de la figure. $\vec{E}$ est dirigé selon l'axe et $\vec{B}$ tourne autour de lui : les deux sont donc perpendiculaires, et leur produit vectoriel, perpendiculaire aux deux, est dirigé selon un rayon. La règle de la main droite tranche entre l'intérieur et l'extérieur. En haut de la vue de bout, $\vec{E}$ pointe vers vous et $\vec{B}$ pointe vers la gauche, et le produit vectoriel de « vers vous » par « vers la gauche » pointe vers le bas, c'est-à-dire vers l'intérieur du cylindre. Il en va de même tout autour : en chaque point de la surface latérale, $\vec{S}$ pointe donc vers l'intérieur de la résistance, comme le montrent les flèches $\vec{S}$ sur les deux vues. Sur les faces planes des extrémités, un $\vec{S}$ radial est parallèle à la face : aucune énergie n'y entre.

Comme $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires, la valeur de $\vec{S}$ est simplement le produit des valeurs :
$S={\epsilon }_0{c}^2\cdot \frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
Elle est la même en tout point de la surface latérale, dont l'aire vaut $2\pi aL$ ; la puissance totale qui entre est donc $S\cdot 2\pi aL=VI$ : exactement le rythme auquel la résistance transforme l'énergie en chaleur.

Ainsi l'énergie entre dans la résistance depuis l'espace qui l'entoure, par sa surface. Le long du câble d'alimentation, le champ électrique traverse l'intervalle entre le fil de phase et le fil neutre, et le champ magnétique entoure chaque fil ; là, $\vec{S}$ est dirigé surtout parallèlement aux fils, à travers l'isolant et l'air qui les séparent, de la prise vers la bouilloire. Seule une petite partie dirigée vers l'intérieur pénètre dans le cuivre : c'est la perte $R{I}^2$ propre au câble. Quand le courant s'inverse, $\vec{E}$ et $\vec{B}$ s'inversent tous les deux et leur produit vectoriel garde sa direction : l'énergie circule donc toujours vers l'appareil. Les fils guident l'énergie plutôt qu'ils ne la transportent, et sa conservation est locale : l'énergie contenue dans une région ne varie que de ce qui traverse sa surface.

Courant alternatif : valeurs efficaces

Le secteur est alternatif : la tension et le courant varient en permanence. Cette section explique ce que signifient alors les 230 V et les 2000 W d'une étiquette.

La tension est sinusoïdale, $v=V_0\sin \omega t$, d'amplitude $V_0$, avec $\omega =2\pi \cdot 50{\mathrm{s}}^{-1}$ en Europe. Dans une résistance, le courant $i=v/R$ suit exactement la tension, $i=I_0\sin \omega t$ avec $I_0=V_0/R$ : les deux sont en phase. La puissance instantanée est $p=vi$ et, avec ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$,
$p(t)=V_0{I}_0{\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(1-\cos 2\omega t)$

Lisez cette expression terme à terme. La puissance n'est jamais négative : elle pulse à deux fois la fréquence du secteur, 100 Hz, entre 0 et $V_0{I}_0$. Le terme en cosinus a une moyenne nulle sur chaque période, donc la puissance moyenne est $P=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0$.

Un courant continu $I$ chaufferait la même résistance au rythme $R{I}^2$. Il équivaut au courant alternatif quand $I^2$ égale la moyenne de $i^2$, soit $\frac{1}{2}{I}_0^2$, puisque la moyenne de ${\sin }^2$ vaut un demi. Cette valeur constante, racine carrée de la moyenne du carré, est le courant efficace, $I_{\mathrm{eff}}=I_0/\sqrt{2}$ ; de même, la tension efficace est $V_{\mathrm{eff}}=V_0/\sqrt{2}$. Alors $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0=V_{\mathrm{eff}}{I}_{\mathrm{eff}}$, et toutes les formules du courant continu, $P=VI=R{I}^2=V^2/R$, donnent la puissance moyenne si l'on y met les valeurs efficaces. C'est pourquoi les valeurs nominales sont des valeurs efficaces : un courant efficace chauffe une résistance exactement comme un courant continu de même valeur.

Pour la bouilloire, les 230 V de l'étiquette sont une valeur efficace ; la tension culmine donc à $230\sqrt{2}\approx 325\mathrm{V}$. Son courant efficace de 8,70 A culmine à $8,70\sqrt{2}\approx 12,3\mathrm{A}$, et sa puissance varie entre 0 et $V_0{I}_0=4000\mathrm{W}$, avec une moyenne de 2000 W.

Déphasage et facteur de puissance

Dans une bouilloire, le courant monte et descend en même temps que la tension. Dans les appareils à bobines ou à condensateurs, comme les moteurs et les transformateurs, le courant est décalé dans le temps par rapport à la tension, et $V_{\mathrm{eff}}{I}_{\mathrm{eff}}$ surestime alors la puissance réellement absorbée. La figure 3 montre comment trouver la puissance active.

Légende

$V_0$	Amplitude de la tension ; sa flèche est la direction de référence.	$\mathrm{V}$
$I_0$	Amplitude du courant.	$\mathrm{A}$
$\phi$	Angle de déphasage dont le courant est en retard sur la tension.	$\mathrm{rad}$
$I_0\cos \phi$	Partie du courant en phase avec la tension : la seule qui fournit de la puissance en moyenne.	$\mathrm{A}$
$I_0\sin \phi$	Partie du courant en retard d'un quart de période sur la tension : sa puissance a une moyenne nulle.	$\mathrm{A}$

Écrivons le courant sous la forme $i=I_0\sin (\omega t-\phi )$, où $\phi$ est l'angle de déphasage. Une bobine met le courant en retard sur la tension ($\phi >0$, comme sur la figure) ; un condensateur le met en avance ($\phi <0$) ; le résultat ci-dessous vaut dans les deux cas. La figure 3 représente chaque grandeur par une flèche dont la longueur est l'amplitude et dont la direction donne la phase. La flèche de tension $V_0$ sert de référence, tracée à l'horizontale. La flèche de courant $I_0$ est écartée d'elle de l'angle $\phi$, dans le sens horaire, parce que le courant est en retard. Les deux longueurs sont dans des unités différentes, volts et ampères : seul l'angle entre les flèches a un sens.

Décomposons maintenant la flèche de courant en deux parties, comme le fait la figure : sa partie selon la tension, $I_0\cos \phi$, et sa partie perpendiculaire à celle-ci, $I_0\sin \phi$. En formules, c'est l'identité du sinus d'une différence :
$I_0\sin (\omega t-\phi )=I_0\cos \phi \sin \omega t-I_0\sin \phi \cos \omega t$

La première partie monte et descend exactement avec la tension. Elle se comporte comme le courant dans une résistance : d'après la section précédente, elle fournit donc la puissance moyenne $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\cos \phi$. La seconde partie varie comme $-\cos \omega t$, c'est-à-dire un quart de période en retard sur la tension. Son produit avec $v=V_0\sin \omega t$ vaut $-V_0{I}_0\sin \phi \sin \omega t\cos \omega t=-\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\sin \phi \sin 2\omega t$. Il est positif la moitié du temps et négatif l'autre moitié, donc sa moyenne est nulle. Cette partie ne fait que déplacer l'énergie dans un sens puis dans l'autre : pendant un quart de période, l'appareil emmagasine de l'énergie dans le champ magnétique de sa bobine (ou le champ électrique de son condensateur), et pendant le quart suivant, il la rend au réseau.

En additionnant les deux produits et en utilisant $\cos \phi \cos 2\omega t+\sin \phi \sin 2\omega t=\cos (2\omega t-\phi )$, on obtient
$p(t)=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi ))$
Pendant une partie de chaque période, cette puissance est négative : l'appareil rend de l'énergie emmagasinée. Sa moyenne est la partie constante :
$P=V_{\mathrm{eff}}{I}_{\mathrm{eff}}\cos \phi$

Le facteur $\cos \phi$ s'appelle le facteur de puissance, et le produit $V_{\mathrm{eff}}{I}_{\mathrm{eff}}$, mesuré en volts-ampères (V·A), la puissance apparente. Un moteur qui appelle 5,0 A sous 230 V avec $\cos \phi =0,8$ a une puissance apparente de 1150 V·A mais n'absorbe que 920 W. Un appareil dont le facteur de puissance vaut 1 n'aurait besoin que de 4,0 A pour les mêmes 920 W ; pourtant le câble et le disjoncteur voient passer les 5,0 A complets du moteur et chauffent en conséquence selon $R{I}^2$. C'est pourquoi les fournisseurs font payer aux industriels un mauvais facteur de puissance, et pourquoi les usines ajoutent des condensateurs pour compenser le retard de leurs moteurs.

Le graphe de l'énergie est une intégrale

La facture compte l'énergie, non la puissance. Quand la puissance varie dans le temps, l'énergie est l'aire sous le graphe de la puissance en fonction du temps, son intégrale par rapport au temps, et la puissance est la pente de l'énergie :
$E=\int Pdt$

Dans l'animation au niveau Avancé, $P(t)$ est un escalier. La lampe le porte à 100 W à 0,5 s, la bouilloire à 2100 W à 2,5 s et le radiateur à 4100 W à 4,8 s. La ligne pointillée marque $V{I}_{\max }=230\cdot 10=2300\mathrm{W}$, le maximum que le circuit peut fournir au courant nominal du disjoncteur, $I_{\max }=10\mathrm{A}$. La marche du radiateur franchit cette ligne, le disjoncteur déclenche à 6,0 s et la puissance retombe à zéro.

$E(t)$ est l'aire cumulée sous l'escalier, 1 s d'animation représentant 1 minute. Chaque marche ajoute sa hauteur multipliée par sa largeur : $100\mathrm{W}\cdot 2\min =200\mathrm{W}\min \approx 3,3\mathrm{Wh}$ jusqu'à 2,5 s, puis $2100\mathrm{W}\cdot 2,3\min =80,5\mathrm{Wh}$, ce qui donne 83,8 Wh à 4,8 s, puis $4100\mathrm{W}\cdot 1,2\min =82\mathrm{Wh}$, ce qui donne 165,8 Wh au déclenchement. Ensuite le graphe reste horizontal. Les 1,2 minute de surcharge ajoutent donc plus d'énergie que les 2,3 minutes qui les précèdent. Chaque segment rectiligne de $E(t)$ monte avec une pente égale à la puissance à cet instant, et chaque coin marque une marche de $P(t)$ ; une puissance variant de façon continue ferait courber le graphe.

Un compteur calcule cette intégrale. Le compteur à induction, plus ancien, fait tourner un disque d'aluminium avec un couple proportionnel à la moyenne de $vi$, c'est-à-dire à $P$, contre un frein magnétique dont la résistance est proportionnelle à la vitesse du disque. Les deux s'équilibrent quand la vitesse est proportionnelle à $P$ : le nombre de tours compte donc $E$. Un compteur électronique échantillonne $v$ et $i$ des milliers de fois par seconde, multiplie chaque paire et additionne les produits. Les deux utilisent le produit instantané $vi$ ; le facteur de puissance est donc pris en compte automatiquement : ils comptent la puissance active, et non $V_{\mathrm{eff}}{I}_{\mathrm{eff}}$.

Pointes à l'allumage et courants déformés

Jusqu'ici, tous les appareils étaient des résistances fixes. Les appareils réels ne le sont pas, et deux effets courants rendent le courant plus grand que ne le suggère $P/V$, ce qui compte pour les fusibles et les câbles.

La résistance d'un filament de tungstène est multipliée par dix ou plus quand il passe de la température ambiante à environ 2700 K. Une lampe de 100 W a $R=V^2/P=230^2/100=529\Omega$ à chaud, mais seulement environ 50 Ω à froid. À l'allumage, elle appelle donc $230/50\approx 4,6\mathrm{A}$, soit plus de 1 kW, pendant une fraction de seconde, jusqu'à ce que le filament chauffe. Cette contrainte brutale explique pourquoi ces ampoules grillent d'ordinaire au moment où on les allume.

Beaucoup de chargeurs de téléphone ne tirent du courant que par brèves impulsions près des crêtes de la tension : leur courant n'est donc pas du tout sinusoïdal. L'échauffement varie comme $i^2$, qui pèse très fort sur les impulsions hautes et étroites ; leur $I_{\mathrm{eff}}$ dépasse donc $P/V_{\mathrm{eff}}$ même sans aucun déphasage.

Échauffement du câble et disjoncteur

Un disjoncteur protège le câble, dont l'isolant se détériore s'il chauffe trop. La règle qui fixe quand il doit déclencher découle donc de la manière dont un câble s'échauffe.

Modélisons le câble comme un corps de capacité thermique $C$ dont la température dépasse de $\Delta T$ celle de son environnement. Le courant le chauffe au rythme $R{I}^2$, et il perd de la chaleur vers l'environnement au rythme $k\Delta T$, proportionnel à l'écart de température, où $k$ est un coefficient de pertes thermiques en watts par kelvin. La variation de la chaleur emmagasinée, $Cd\Delta T/dt$, est la différence :
$C\frac{d\Delta T}{dt}=R{I}^2-k\Delta T$

Au début, $\Delta T$ est petit, la perte est négligeable et la température monte au rythme $R{I}^2/C$. À mesure qu'elle monte, la perte rattrape le gain, jusqu'à ce que gain et perte s'équilibrent à l'élévation finale $\Delta T=R{I}^2/k$. La solution tend vers cette valeur comme $1-e^{-t/\tau }$, avec la constante de temps $\tau =C/k$, et l'atteint pratiquement au bout de quelques constantes de temps, typiquement quelques minutes pour le câblage d'une maison.

L'élévation finale croît comme $I^2$. Les câbles sont dimensionnés pour que leur courant nominal les maintienne en dessous de la limite de sécurité de leur isolant. La surcharge de l'animation, $17,83/10=1,78$ fois le courant nominal, donne une élévation $1,78^2\approx 3,2$ fois plus grande, bien au-delà de cette limite.

La lame bimétallique du disjoncteur est chauffée par le même courant et possède sa propre capacité thermique et ses propres pertes : c'est un petit modèle du câble. Elle se courbe et fait déclencher le disjoncteur quand sa propre température atteint une valeur fixée. Plus la surcharge est grande, plus sa température finale serait élevée et plus tôt, sur sa montée, elle franchit le seuil de déclenchement : son délai diminue donc fortement quand la surcharge augmente. Dans un court-circuit, le courant peut atteindre 300 A, ce qui chauffe $(300/10{)}^2=900$ fois plus vite que 10 A. C'est trop rapide pour attendre qu'une lame chauffe : une bobine magnétique, attirée par le courant lui-même, ouvre les contacts en une dizaine de millisecondes, soit une demi-période du secteur.

Problème résolu : la surcharge d'un câble réel

L'animation suppose les 230 V complets à chaque prise, comme si le câble n'avait pas de résistance. Supposons plutôt que le câble du circuit fasse 15 m à l'aller et 15 m au retour, en cuivre de 1,5 mm². Les trois appareils étant allumés, quel courant circule, quelle puissance le câble absorbe-t-il et de combien pourrait-il s'échauffer pendant les 1,2 minute qui précèdent le déclenchement ?

Légende

$V$	Tension de la source (valeur efficace).	$\mathrm{V}$
$I$	Courant, le même tout autour de la boucle.	$\mathrm{A}$
$R_w$	Résistance de tout le câble, aller et retour, dessinée en un seul fil.	$\Omega$
$R_L$	Résistance équivalente des trois appareils.	$\Omega$
$P_w$	Puissance dégagée sous forme de chaleur dans le câble.	$\mathrm{W}$
$P_L$	Puissance absorbée par les appareils.	$\mathrm{W}$

La figure 4 représente la situation par un circuit en série. La source $V$ fait circuler un même courant $I$ dans la boucle : à travers le câble, dont les deux conducteurs ont ensemble la résistance $R_w$ (dessinée en un seul fil), et à travers les trois appareils, qui agissent ensemble comme une seule résistance $R_L$. Comme le même $I$ les traverse, la chaleur qu'ils dégagent, $P_w=R_w{I}^2$ et $P_L=R_L{I}^2$, est dans le rapport de leurs résistances. Traitez chaque appareil comme une résistance fixe égale à sa valeur sous les 230 V nominaux, ce qui est un bon modèle pour des éléments chauffants.

Calculons d'abord les deux résistances. Le cuivre a la résistivité $\rho =1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, et le câble a une longueur totale de 30 m et une section $A=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, donc $R_w=\rho L/A=1,7\times 10^{-8}\cdot 30/(1,5\times 10^{-6})=0,34\Omega$. Les appareils absorbent ensemble 4100 W sous 230 V, donc $R_L=V^2/P=230^2/4100=12,90\Omega$.

Les deux sont en série : leurs résistances s'ajoutent, et le courant et l'échauffement du câble valent
$I=\frac{V}{R_L+R_w}=\frac{230}{12,90+0,34}=17,37\mathrm{A}$
$P_w=R_w{I}^2=17,37^2\cdot 0,34\approx 103\mathrm{W}$

Le câble prélève une partie de la tension, $17,37\cdot 0,34\approx 5,9\mathrm{V}$ ; les prises reçoivent donc $230-5,9=224,1\mathrm{V}$ et les appareils $P_L=R_L{I}^2\approx 3890\mathrm{W}$, et non 4100 W. Les 103 W du câble, soit 3,4 W par mètre, valent trois fois les 34 W qu'il dégage au courant nominal de 10 A, puisque $(17,37/10{)}^2=3,0$.

Voyons maintenant l'échauffement. Pendant les 72 s qui précèdent le déclenchement, le câble dégage $103\cdot 72\approx 7,4\mathrm{kJ}$. Son cuivre a pour volume $30\cdot 1,5\times 10^{-6}=4,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^3$ ; à 8960 kg/m³, cela fait une masse de 0,40 kg et, à 385 J/(kg·K), une capacité thermique de 155 J/K. Si aucune chaleur ne s'échappait, le cuivre s'échaufferait de
$\Delta T=\frac{7400}{155}\approx 48\mathrm{K}$

En réalité, l'isolant et le mur absorbent une partie de la chaleur : l'élévation est donc plus faible. En sens inverse, la résistance du cuivre augmente d'environ 0,4 % par kelvin, donc jusqu'à environ 19 % pour une élévation de 48 K, ce qui accroît un peu l'échauffement. C'est l'ordre de grandeur qui compte : des dizaines de kelvins en environ une minute, et cela monte encore ; une surcharge de cette importance doit donc être coupée en quelques minutes.

Limites de validité

Tout ce qui précède repose sur des simplifications. Cette section dit dans quels cas elles tiennent.

La théorie des circuits traite les fils comme des liaisons idéales où le même courant passe sur toute leur longueur à chaque instant. Cela exige qu'une variation à une extrémité atteigne l'autre extrémité vite par rapport à une période. À travers une maison, une telle variation met environ un dixième de microseconde, contre une période de 20 ms à 50 Hz ; autrement dit, le circuit doit être très petit devant la longueur d'onde $c/f$, qui vaut 6000 km à 50 Hz. Aux fréquences radio, avec des longueurs d'onde de l'ordre du mètre, les fils rayonnent et c'est l'image du champ qui prend entièrement le relais.

À 50 Hz, le courant remplit aussi le conducteur de manière uniforme. Un courant alternatif est repoussé vers la surface d'un conducteur, dans une couche appelée épaisseur de peau ; dans le cuivre à 50 Hz, cette épaisseur est de 9,2 mm, plus que le rayon de 0,7 mm d'un fil de 1,5 mm². À 1 MHz, elle tombe à 65 µm, et la résistance du fil augmente.

L'alimentation n'est pas idéale non plus : le secteur européen peut s'écarter de 10 % de 230 V, et d'après $P=V^2/R$ une bouilloire sous 207 V ne donne que $2000\cdot 0,9^2=1620\mathrm{W}$. La loi d'Ohm tombe en défaut pour les filaments, dont la résistance dépend de la température, ainsi que pour les LED et l'électronique. Même la résistance du cuivre augmente d'environ 0,4 % par kelvin, et seuls des câbles supraconducteurs, refroidis à l'azote liquide à 77 K, transportent le courant continu sans aucune perte résistive.

Ce qui vient ensuite

Le champ magnétique qui entoure tout courant est développé dans Champs magnétiques des aimants et des courants, et Induction électromagnétique montre comment la tension à 50 Hz est produite. Moteurs, générateurs et transformateurs explique pourquoi l'énergie traverse les pays sous 400 kV : à puissance égale, une tension mille fois plus grande signifie un courant mille fois plus faible et donc des pertes $R{I}^2$ un million de fois moindres.

Le vecteur de Poynting réapparaît dans Ondes électromagnétiques, où il décrit les quelque 1 kW/m² de la lumière du Soleil. Rayonnement du corps noir et quanta explique pourquoi un filament à 2700 K rayonne surtout dans l'infrarouge, Semi-conducteurs, diodes et LED pourquoi une LED fait bien mieux, et Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques pourquoi une pompe à chaleur fournit trois ou quatre fois plus de chaleur par kilowattheure qu'un radiateur.