Movimiento rectilíneo

Principiante

La cinemática es la parte de la física que describe el movimiento sin preguntarse qué lo causa. Para describir cómo se mueve algo en línea recta necesitamos tres ideas.

La posición indica dónde está el objeto respecto a un punto de partida, en metros. La velocidad indica con qué rapidez cambia la posición y en qué sentido, en metros por segundo. La rapidez solo dice lo deprisa que se mueve algo, sin indicar hacia dónde; la velocidad es la rapidez más el sentido del movimiento. La aceleración indica con qué rapidez cambia la velocidad, en metros por segundo al cuadrado (m/s²).

Si una ciclista recorre 100 metros en 20 segundos, su rapidez media es $100÷20=5m/s$. Si un coche pasa de estar parado a 20 m/s en 4 segundos, gana 5 m/s cada segundo, así que su aceleración es de 5 m/s².

Un error frecuente es pensar que un objeto rápido tiene que estar acelerando. Un coche que circula por la autopista a 30 m/s constantes tiene aceleración cero, porque su velocidad no cambia. Una ciclista que frena sí tiene aceleración: frenar también es cambiar de velocidad, y su aceleración apunta hacia atrás.

En la animación, el coche gana 6 m/s cada segundo, y los puntos grises marcan dónde está después de cada segundo. Las separaciones crecen: así se ve la aceleración.

Fíjate en los tramos dorados: 3 m, 9 m, 15 m, 21 m. Crecen como los números impares 1, 3, 5, 7 (multiplicados por 3 m). Galileo descubrió esta regla a principios del siglo XVII cronometrando bolas que rodaban por una rampa, y es la huella de una aceleración constante partiendo del reposo.

Intermedio

Qué medimos y desde dónde

Para describir un movimiento necesitamos primero un sistema de referencia: un origen, un sentido positivo a lo largo de la recta y un reloj. La posición $x$ es entonces un número de metros con signo: $x=30\mathrm{m}$ es un punto a 30 metros del origen por el lado positivo, y $x=-5\mathrm{m}$, uno a 5 metros por el otro lado. Otro sistema de referencia daría otros números para el mismo movimiento.

El cambio de posición es el desplazamiento, $\Delta x=x-x_0$, donde $x_0$ es la posición inicial. Tiene signo y solo depende de dónde empezó y dónde terminó el objeto. La distancia recorrida es la longitud de todo el camino, y nunca es negativa. Si caminas 10 m hacia delante y 10 m hacia atrás, has recorrido 20 m, pero tu desplazamiento es cero.

Velocidad y aceleración son ritmos de cambio

La velocidad mide lo deprisa que cambia la posición. En un intervalo de tiempo $\Delta t$, la velocidad media es
$v_{\mathrm{media}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Su signo indica el sentido del movimiento. La rapidez es el valor de la velocidad sin su signo. La rapidez media, es decir, la distancia recorrida dividida entre el tiempo, solo coincide con el valor de $v_{\mathrm{media}}$ sin signo si el objeto nunca da la vuelta. La velocidad en un instante, la que marca el velocímetro, es la velocidad media en un intervalo muy corto.

La aceleración mide lo deprisa que cambia la velocidad: $a=\Delta v/\Delta t$, en metros por segundo cada segundo (m/s²). Una aceleración de 6 m/s² suma 6 m/s a la velocidad cada segundo. Si $v$ y $a$ tienen el mismo signo, el objeto acelera; si sus signos son opuestos, frena. Cuando $a=0$ el movimiento es uniforme: $x=x_0+vt$, distancias iguales en tiempos iguales.

Las ecuaciones con aceleración constante

Si $a$ es constante, la velocidad cambia lo mismo cada segundo, así que su valor medio en cualquier intervalo está justo a medio camino entre el valor inicial y el final, $\frac{1}{2}(v_0+v)$. Multiplicando esa media por el tiempo se obtiene el desplazamiento. De estos dos hechos salen cuatro ecuaciones:

• $v=v_0+at$
• $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v^2=v_0^2+2a\Delta x$
• $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Cada ecuación relaciona cuatro de las cinco magnitudes $\Delta x$, $v_0$, $v$, $a$ y $t$, así que con tres valores conocidos se hallan los otros dos. Elige la ecuación que no contenga la magnitud que ni conoces ni necesitas: si el tiempo no interviene, usa la tercera; si no conoces la aceleración, la cuarta.

Ejemplo resuelto: el coche de la animación

El coche parte del reposo en el origen, así que $v_0=0$ y $x_0=0$, con una aceleración $a=6m/{\mathrm{s}}^2$. Tras $t=4\mathrm{s}$:
$v=v_0+at=0+6\cdot 4=24m/s$
$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4^2=48\mathrm{m}$

Son los valores finales que muestran las lecturas de $v$ y $x$. La tercera ecuación los comprueba sin usar el tiempo: $v^2=2\cdot 6\cdot 48=576{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, luego $v=24m/s$. Al cabo de 1, 2 y 3 s el coche está en 3 m, 12 m y 27 m, así que las separaciones entre los puntos grises miden 3, 9, 15 y 21 m, cada una 6 m más larga que la anterior. La velocidad media es $48/4=12m/s$, la mitad de la final, tal como predice la cuarta ecuación para una salida desde el reposo.

Mientras tanto, la flecha azul $v$ crece lo mismo cada segundo y la flecha verde $a$ mantiene su longitud: aceleración constante significa ganancias de velocidad iguales en tiempos iguales, no distancias iguales.

Ejemplo resuelto: distancia de detención

Una conductora circula a 14 m/s (unos 50 km/h) cuando ve un balón entrar rodando en la calzada. Tarda alrededor de 1,0 s en reaccionar y luego frena a un ritmo constante de 7 m/s². ¿Qué distancia recorre el coche antes de detenerse?

Durante el tiempo de reacción, el coche recorre $14\cdot 1,0=14\mathrm{m}$ a velocidad constante. Durante la frenada, $v_0=14m/s$, $v=0$ y $a=-7m/{\mathrm{s}}^2$, negativa porque apunta en contra del movimiento. No se pregunta el tiempo, así que usamos la tercera ecuación:
$\Delta x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{0-14^2}{2\cdot (-7)}=14\mathrm{m}$

El coche se detiene 28 m después de que aparezca el balón. A 28 m/s (unos 100 km/h), la distancia de reacción se duplica hasta 28 m, pero la de frenado pasa a $28^2/(2\cdot 7)=56\mathrm{m}$, cuatro veces más: 84 m en total. La distancia de frenado crece con el cuadrado de la velocidad; por eso los límites de velocidad junto a los colegios son tan bajos.

Cómo leer las gráficas posición–tiempo y velocidad–tiempo

En una gráfica posición–tiempo, la pendiente es la velocidad: una recta indica movimiento uniforme; una recta horizontal, reposo; una pendiente descendente, movimiento en sentido negativo; y una curva cada vez más empinada, un objeto que acelera.

En una gráfica velocidad–tiempo, la pendiente es la aceleración y el área bajo la línea es el desplazamiento (el área por debajo del eje del tiempo cuenta como negativa). Para el coche, $v$ sube en línea recta de 0 a 24 m/s en 4 s: la pendiente es $24/4=6m/{\mathrm{s}}^2$ y el triángulo bajo la recta tiene un área de $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 24=48\mathrm{m}$. Cuando $v_0$ no es cero, el área es un trapecio, $\frac{1}{2}(v_0+v)t$, que es justo la cuarta ecuación.

Errores frecuentes

• Rapidez no es velocidad: dos coches a 20 m/s en sentidos opuestos tienen la misma rapidez, pero sus velocidades son $+20$ y $-20m/s$.
• Velocidad cero no es aceleración cero. Una pelota lanzada hacia arriba a 15 m/s se detiene tras $15/9,81\approx 1,5\mathrm{s}$, a unos 11,5 m de altura, y vuelve a caer; en lo más alto, su aceleración sigue siendo $-g$.
• Aceleración negativa no siempre significa frenar: un coche que gana rapidez en sentido negativo tiene $v<0$ y $a<0$. Compara los signos de $v$ y $a$.
• Las cuatro ecuaciones exigen una $a$ constante: divide en etapas un movimiento que cambia, como circular a velocidad constante y después frenar.
• Pasa primero los km/h a m/s (divide entre 3,6) y no olvides el ½ ni el cuadrado de $\frac{1}{2}a{t}^2$: sin ellos, los 48 m del coche se convierten en 96 m o en 12 m.

Dónde aparece

Las distancias de detención, un velocista que recorre 100 m a una media de 10 m/s, los ascensores y trenes que aceleran a cerca de 1 m/s² para que los pasajeros viajen cómodos: todo esto es cinemática en línea recta. Además, es el vocabulario de toda la mecánica. La caída libre es esta lección con $a=-g$; el tiro parabólico, dos movimientos rectilíneos a la vez; y la segunda ley de Newton aporta la aceleración que estas ecuaciones convierten en trayectoria.

Avanzado

De la media al instante

Las leyes del movimiento hablan de instantes, pero cualquier velocidad medida abarca un intervalo de tiempo. Esta sección muestra cómo obtener la velocidad en un único instante: se toma la media sobre un intervalo corto y luego se observa a qué valor se acerca cuando el intervalo se encoge.

Leyenda

$x$	Posición del coche a lo largo de su trayectoria; la curva es $x(t)$.	$\mathrm{m}$
$t$	El instante en el que se busca la velocidad.	$\mathrm{s}$
$t+h$	Un instante algo posterior, un tiempo $h$ después de $t$.	$\mathrm{s}$
$h$	Duración del intervalo de $t$ a $t+h$.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Cambio de posición de $t$ a $t+h$: la subida de la cuerda.	$\mathrm{m}$
$\bar{v}$	Velocidad media en el intervalo: la pendiente de la cuerda, $\Delta x/h$.	$m/s$
$v$	Velocidad en el instante $t$: la pendiente de la tangente, a la que se acercan las cuerdas cuando $h\to 0$.	$m/s$

La figura 1 representa la posición del coche de la animación, $x(t)=3t^2$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Elige un instante $t$ y otro algo posterior, $t+h$, donde $h$ es un tiempo corto. El segmento recto que une los dos puntos de la curva se llama cuerda. A lo largo de ella, la posición sube $\Delta x$ mientras el tiempo avanza $h$, así que su pendiente $\Delta x/h$ es la velocidad media $\bar{v}$ en el intervalo. Desarrollando $(t+h{)}^2=t^2+2th+h^2$ se obtiene
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{h}=\frac{3(t+h{)}^2-3t^2}{h}=\frac{6th+3h^2}{h}=6t+3h$

Fíjate ahora en la cuerda discontinua: su extremo lejano se ha deslizado por la curva hacia el punto correspondiente a $t$. Al encoger $h$, la cuerda gira y acaba sobre la recta marcada $v$, la tangente, que solo roza la curva en $t$. En la fórmula, el término $3h$ tiende a cero, de modo que la pendiente de la cuerda tiende a $6t$, la pendiente de la tangente. Por tanto, en $t=2\mathrm{s}$ el coche va exactamente a 12 m/s, aunque cualquier intervalo finito que empiece en ese instante da algo más, $12+3h$.

Este límite del cociente es la derivada de $x$ respecto de $t$, y define la velocidad instantánea. El mismo paso aplicado a la velocidad define la aceleración:
$v={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt},a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

De aquí se siguen dos consecuencias. La primera: ninguna instantánea aislada puede mostrar una velocidad, porque una velocidad compara posiciones en instantes vecinos. Eso responde a la paradoja de la flecha de Zenón, en la que la flecha parece inmóvil en cada instante de su vuelo: en cada instante tiene una posición, y su velocidad está en cómo cambia esa posición en los instantes cercanos. La segunda: posición, velocidad y aceleración forman una cadena de derivadas, $x\to v\to a$. La notación de puntos de Newton escribe los dos pasos de forma compacta, $\dot{x}$ y $\ddot{x}$.

De vuelta integrando: aceleración constante

Bajar por la cadena es derivar; volver a subir es integrar. Conocida la aceleración, una integración da la velocidad y una segunda da la posición. Esta sección lo hace para el caso más común, una aceleración $a$ constante, y lee cada paso en una gráfica.

Leyenda

$v_0$	Velocidad al principio.	$m/s$
$v$	Velocidad al cabo del tiempo $t$: $v=v_0+at$.	$m/s$
$\bar{v}$	Velocidad media $\frac{1}{2}(v_0+v)$: el nivel discontinuo a medio camino entre $v_0$ y $v$.	$m/s$
$at$	Velocidad ganada durante $t$: la aceleración constante $a$ por el tiempo.	$m/s$
$t$	Tiempo transcurrido desde el principio.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Desplazamiento durante $t$: el área sombreada bajo la recta.	$\mathrm{m}$

La figura 2 representa la velocidad frente al tiempo. La velocidad parte de $v_0$. Como la aceleración es constante, la velocidad aumenta lo mismo cada segundo, así que la gráfica es una recta de pendiente $a$. Al cabo de un tiempo $t$ ha subido $at$ (el segmento vertical de la derecha), hasta $v=v_0+at$. Como integral, escribiendo la variable de integración como $t^{\prime }$ para distinguirla del límite superior $t$:
$v(t)=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }=v_0+at$

En un tiempo muy corto la velocidad es casi constante, así que el desplazamiento es la velocidad por ese tiempo: una franja delgada de área bajo la gráfica. Sumando las franjas, el desplazamiento $\Delta x=x-x_0$ en todo el tiempo $t$ es el área sombreada bajo la recta. Divídela en un rectángulo de altura $v_0$ y anchura $t$, de área $v_{0}t$, y un triángulo de base $t$ y altura $at$, de área $\frac{1}{2}a{t}^2$:
$x(t)=x_0+{\int }_0^{t}v(t^{\prime })d{t}^{\prime }=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

La misma área puede contarse también de una sola vez. El nivel discontinuo $\bar{v}$ está a medio camino entre $v_0$ y $v$. Como la gráfica es una recta, cruza ese nivel justo en la mitad del intervalo, en $t/2$. En la mitad izquierda la recta va por debajo del nivel y deja un hueco triangular; en la mitad derecha va por encima y añade un triángulo. Son los dos triángulos más oscuros, y son iguales: cada uno tiene base $t/2$ y altura $at/2$. Recorta el triángulo de la derecha, colócalo en el hueco de la izquierda, y el área bajo la recta se convierte en un rectángulo de altura $\bar{v}$ y anchura $t$:
$\Delta x=\bar{v}t=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Cada integración introdujo una constante: $v_0$ la primera vez, $x_0$ la segunda. No son un adorno. La aceleración fija la forma del movimiento; la posición y la velocidad de partida eligen cuál de los movimientos con esa forma ocurre de verdad. Por eso la segunda ley de Newton, que aporta la aceleración, necesita siempre exactamente dos datos de partida.

Otra relación prescinde del tiempo, lo que ayuda cuando el tiempo ni se da ni se pregunta. Sale de la regla de la cadena: como $dx/dt=v$,
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},\text{luego}adx=vdv$
Con $a$ constante, integra el lado izquierdo de $x_0$ a $x$ y el derecho de $v_0$ a $v$. Se obtiene $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$, es decir,
$v^2=v_0^2+2a\Delta x$

Multiplica los dos miembros de $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$ por la masa $m$ y queda $ma\Delta x=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Como $ma$ es la fuerza, esto dice que la fuerza por el desplazamiento es igual a la variación de energía cinética: es el teorema del trabajo y la energía, ya escondido en la cinemática.

De las cuatro ecuaciones de aceleración constante, $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$ es la más antigua. Los eruditos del Merton College de Oxford la enunciaron hacia 1335 como teorema de la velocidad media, y Nicolás Oresme la demostró poco después comparando áreas, de forma muy parecida a la figura 2, unos dos siglos y medio antes de que Galileo la pusiera a prueba con bolas que rodaban por un plano inclinado. De ella se deduce también la regla de los números impares de Galileo. Desde el reposo, la distancia recorrida durante el segundo $n$-ésimo es $x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}a[n^2-(n-1{)}^2]=\frac{1}{2}a(2n-1)$, así que las distancias de los segundos sucesivos crecen como 1, 3, 5, 7. Para el coche, con $a=6m/{\mathrm{s}}^2$, son 3, 9, 15 y 21 m.

Pendientes y áreas

Las gráficas de posición, velocidad y aceleración son la manera más rápida de leer un movimiento, y cada regla para leerlas es un enunciado sobre derivadas (pendientes) o sobre integrales (áreas). La figura 3 muestra todas esas reglas en un mismo ejemplo.

Leyenda

$x$	Posición; su gráfica (arriba) es una parábola.	$\mathrm{m}$
$v$	Velocidad: la recta de la gráfica central y la pendiente de la tangente a $x(t)$ en $t_1$.	$m/s$
$a$	Aceleración: aquí constante, así que su gráfica (abajo) es una recta horizontal.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$t$	Tiempo, el eje horizontal común a las tres gráficas.	$\mathrm{s}$
$t_1$	El instante en el que se traza la tangente y terminan las áreas.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Cambio de posición de 0 a $t_1$: la subida de $x(t)$, igual al área bajo $v(t)$.	$\mathrm{m}$
$\Delta v$	Cambio de velocidad de 0 a $t_1$: la subida de $v(t)$, igual al área bajo $a(t)$.	$m/s$

La figura 3 apila las tres gráficas del coche de la animación sobre un mismo eje de tiempos: $x(t)=3t^2$ arriba, $v(t)=6t$ en medio y la aceleración constante $a=6m/{\mathrm{s}}^2$ abajo. Léela primero de arriba abajo, por pendientes. En el instante $t_1=4\mathrm{s}$, la tangente a la parábola $x(t)$ tiene una pendiente igual a la velocidad en ese instante, $v=6\cdot 4=24m/s$: sube 24 m por cada segundo. La gráfica central, $v(t)$, es una recta porque su pendiente, la aceleración, es la misma en cada instante.

La curvatura de $x(t)$ muestra el signo de la aceleración, porque $a$ es el ritmo al que cambia la pendiente $v$. Una gráfica que se curva hacia arriba tiene una pendiente creciente, así que $a>0$; una que se curva hacia abajo tiene $a<0$; en un tramo recto, $a=0$.

Ahora léela de abajo arriba, por áreas. El área bajo $v(t)$ de 0 a $t_1$ es un triángulo, $\frac{1}{2}\cdot 4\mathrm{s}\cdot 24m/s=48\mathrm{m}$, y es igual a la subida $\Delta x$ de $x(t)$ en el mismo tiempo: en efecto, $x(4)=3\cdot 16=48\mathrm{m}$. El área bajo $a(t)$ es un rectángulo, $6m/{\mathrm{s}}^2\cdot 4\mathrm{s}=24m/s$, y es igual a la subida $\Delta v$ de $v(t)$. En la figura, cada área lleva la misma etiqueta que la subida que produce.

Dos advertencias. La primera: el área bajo $v(t)$ cuenta como negativa donde $v<0$, así que da el desplazamiento, no la distancia recorrida; la distancia es $\int |v|dt$. La segunda: las gráficas de $v$ y $a$ no dicen nada de dónde empezó el movimiento, ya que desplazar $x(t)$ hacia arriba o hacia abajo no las cambia, de modo que la posición inicial $x_0$ debe darse siempre aparte.

Cuando la aceleración no es constante

Las aceleraciones reales cambian: el empuje de un motor se debilita, el aire se resiste más a mayor velocidad, un muelle tira con más fuerza cuanto más se estira. El método depende de qué magnitud determina la aceleración, y tres casos cubren la mayoría de los problemas.

• Aceleración dada en función del tiempo, $a(t)$: se integra dos veces, primero $v=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }$ y luego $x=x_0+{\int }_0^{t}vd{t}^{\prime }$. El problema resuelto más abajo es de este tipo.
• Aceleración que depende de la velocidad, $a(v)$, como con el arrastre: como $a=dv/dt$, se separan variables, $dt=dv/a(v)$, y se integra. Para el arrastre lineal $a=-kv$, con $k$ constante, se obtiene $v=v_0{e}^{-kt}$ y $x=x_0+(v_0/k)(1-e^{-kt})$. El cuerpo nunca llega a pararse del todo, pero solo recorre una distancia finita, $v_0/k$. Si el coche de la animación, a 24 m/s, solo lo frenara un arrastre así con $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, avanzaría como mucho $24/0,5=48\mathrm{m}$. Para un cuerpo que cae con arrastre cuadrático, $a=g-b{v}^2$ con sentido positivo hacia abajo, la aceleración se extingue a medida que $v$ se acerca a la velocidad terminal $\sqrt{g/b}$, en la que $a=0$.
• Aceleración que depende de la posición, $a(x)$, como en un muelle: se integra la relación $adx=vdv$ obtenida más arriba. Para $a=-{\omega }^{2}x$ resulta $v^2=v_0^2-{\omega }^2(x^2-x_0^2)$. Multiplicada por $\frac{1}{2}m$, es la conservación de la energía de un oscilador, hallada antes incluso de haber presentado la energía.

Avanzar paso a paso numéricamente

La mayoría de las aceleraciones que aparecen en la práctica llevan a ecuaciones que ninguna fórmula resuelve. El movimiento se construye entonces en pequeños pasos de tiempo, cada uno con la aceleración conocida al principio del paso. La figura 4 muestra el esquema más sencillo de este tipo, el método de Euler, en un caso cuya respuesta exacta se conoce, para que se vea su error.

Leyenda

$v$	Velocidad del coche que avanza por inercia; la curva azul es la $v(t)$ exacta, la línea quebrada los pasos numéricos.	$m/s$
$t$	Tiempo.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Duración de un paso de tiempo.	$\mathrm{s}$
$a$	Aceleración $a=-kv$ calculada al principio de un paso y mantenida durante todo el paso: la pendiente del paso (negativa, porque $v$ disminuye).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a\Delta t$	Cambio de velocidad en un paso: aquí negativo, una disminución.	$m/s$

La figura 4 sigue al coche que avanza por inercia frenado por el arrastre, $a=-kv$, con los números del ejemplo anterior: $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$ y $v_0=24m/s$. La curva azul es la solución exacta $v(t)=v_0{e}^{-kt}$. La línea quebrada negra es la estimación numérica, con un paso deliberadamente grande, $\Delta t=1\mathrm{s}$, para que el error se vea bien.

Cada paso sigue la misma regla. Al principio del paso, calcula la aceleración a partir de la velocidad actual, $a=-kv$. Supón que conserva ese valor durante todo el paso, de modo que la velocidad cambia en $a\Delta t$: sustituye $v$ por $v+a\Delta t$. Avanza la posición del mismo modo, sustituyendo $x$ por $x+v\Delta t$, y repite con los nuevos valores. El paso resaltado muestra una pasada: su pendiente es la $a$ calculada al principio, así que en el tiempo $\Delta t$ la velocidad baja $a\Delta t$, y nada más.

Aquí cada paso multiplica la velocidad por $1-k\Delta t=0,5$. Tras 1, 2, 3 y 4 s, los pasos dan 12; 6; 3 y 1,5 m/s, frente a los valores exactos de 14,6; 8,8; 5,4 y 3,2 m/s. Los pasos quedan por debajo de la curva porque la deceleración real se debilita a medida que $v$ baja durante un paso, mientras que el paso numérico conserva el valor más fuerte con el que empezó. El error es proporcional a $\Delta t$: una vez que el paso es pequeño, reducirlo a la mitad reduce el error aproximadamente a la mitad, así que los pasos convergen al movimiento exacto cuando $\Delta t\to 0$. Las órbitas, las predicciones meteorológicas y la física de los videojuegos se calculan con versiones refinadas de esta idea.

Problema resuelto: un empuje que se apaga

Aquí tienes una aceleración que cambia con el tiempo, tratada integrando dos veces. Supón que el empuje del coche se debilita de manera uniforme, $a(t)=a_0(1-t/\tau )$, con $a_0=6m/{\mathrm{s}}^2$ y $\tau =8\mathrm{s}$, partiendo del reposo en $x=0$. La aceleración baja en línea recta desde $a_0$ hasta cero en $t=\tau$. ¿A qué velocidad va el coche, y cuánto ha recorrido, cuando el empuje se agota?

Integramos una vez, con $v_0=0$:
$v(t)={\int }_0^t{a}_0\left(1-\frac{t^{\prime }}{\tau }\right)d{t}^{\prime }=a_0\left(t-\frac{t^2}{2\tau }\right)$
así que $v(\tau )=a_0(\tau -\tau /2)=a_0\tau /2=24m/s$, la misma velocidad final que en la animación. Integramos otra vez, con $x_0=0$:
$x(t)=a_0\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6\tau }\right),x(\tau )=\frac{a_0{\tau }^2}{3}=\frac{6\cdot 64}{3}=128\mathrm{m}$

Compáralo con el coche de la animación, que llegaba a 24 m/s en 4 s y 48 m: este necesita 8 s y 128 m. Su $v(t)$ es ahora una parábola que se aplana en $t=\tau$, donde $a=0$, y el área bajo ella es dos tercios del rectángulo de 8 s por 24 m/s, $\frac{2}{3}\cdot 192=128\mathrm{m}$.

Un atajo tentador falla. La aceleración media es $24/8=3m/{\mathrm{s}}^2$, pero tratarla como constante da $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8^2=96\mathrm{m}$, 32 m menos de lo que recorre en realidad. Este coche gana la mayor parte de su velocidad al principio, así que pasa más tiempo yendo deprisa: su velocidad media es $128/8=16m/s$, no los 12 m/s de un aumento uniforme. Las fórmulas de aceleración constante no se salvan metiendo en ellas una aceleración media.

Límites de validez

Todo lo anterior descansa en tres idealizaciones, y cada una falla en algún sitio. La primera: el cuerpo se trata como un punto con una sola posición. Para un coche o un planeta, eso significa seguir su centro de masas; la rotación y la deformación necesitan su propia descripción.

La segunda: se supone que $x(t)$ es lo bastante suave como para derivarse dos veces. Un choque que parece invertir una velocidad de golpe es en realidad una aceleración enorme durante un tiempo muy breve. A escala atómica, la idea misma de una trayectoria nítida $x(t)$ deja de valer, porque la mecánica cuántica no permite que una partícula tenga a la vez una posición precisa y una velocidad precisa.

La tercera: la cinemática de Galileo supone que todos los observadores comparten un mismo reloj. Las velocidades se suman entonces sin más: en un sistema de referencia que se mueve con velocidad constante $u$, la velocidad de un cuerpo es $v^{\prime }=v-u$, mientras que su aceleración es la misma en todos esos sistemas. Por eso las leyes de Newton valen en todos los sistemas inerciales.

La relatividad especial muestra que ese reloj compartido es una aproximación, válida para velocidades muy inferiores a la de la luz, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$. Para el coche a 24 m/s, las correcciones son del orden de $v^2/c^2\approx 6\times 10^{-15}$, muy por debajo de lo medible. Los satélites GPS, a unos 3,9 km/s, son otra historia: este efecto, por sí solo, hace que sus relojes se retrasen unos 7 microsegundos al día, y sin una corrección sus posiciones calculadas se desviarían varios kilómetros en un solo día. (La gravedad, a través de la relatividad general, añade un efecto mayor en sentido contrario.)

Lo que viene después

La cinemática describe el movimiento; la dinámica lo explica. La segunda ley de Newton aporta la aceleración, $a=F/m$, y la cinemática convierte esa aceleración en una trayectoria: ese es todo el programa de la mecánica clásica. Los casos vistos aquí reaparecen una y otra vez. La caída libre es una aceleración constante de módulo $g$, dirigida hacia abajo. El tiro parabólico se compone de dos movimientos rectilíneos independientes, uno uniforme y otro uniformemente acelerado. En el movimiento circular, la rapidez puede mantenerse constante mientras la velocidad cambia de dirección, lo que exige una aceleración $v^2/r$ hacia el centro. El movimiento armónico simple es $a=-{\omega }^{2}x$, el arrastre aporta una $a(v)$, y $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ reaparece como teorema del trabajo y la energía. Las velocidades relativas y los sistemas de referencia en movimiento llegan a continuación, en Vectores y movimiento relativo.