Potencia y energía eléctricas en casa

Principiante

Cada aparato lleva en su etiqueta una potencia, en vatios (W). La potencia indica a qué ritmo usa energía el aparato: un vatio es un julio cada segundo. Una lámpara LED usa unos 10 W, un televisor unos 100 W y un hervidor unos 2000 W, es decir, 2 kilovatios (kW).

Paso 1: energía = potencia × tiempo. Cuanto más tiempo funciona algo, más energía usa. Las compañías eléctricas cuentan esa energía en kilovatios-hora (kWh): un kWh es lo que usa un aparato de 1 kW en una hora, un hervidor de 2 kW en media hora o una lámpara LED de 10 W en 100 horas.

Paso 2: la factura. El contador suma los kWh, y se paga la energía, no la potencia: el número de kWh por el precio de un kWh. Una estufa de 2 kW encendida 3 horas usa $2\times 3=6\mathrm{kWh}$; a 0,20 € el kWh, cuesta 1,20 €.

Paso 3: corriente y seguridad. Cada aparato que enciendes hace pasar más corriente por los mismos cables de alimentación, y los cables se calientan cuando pasa corriente. Con demasiados aparatos potentes en un mismo circuito, los cables podrían sobrecalentarse; por eso un fusible (un hilo fino que se funde) o un interruptor automático (que salta con un clic) corta antes la corriente.

En la animación, una lámpara, un hervidor y una estufa se encienden uno tras otro. Con cada uno, la barra roja de corriente sube y el disco del contador gira más deprisa: la lámpara apenas lo mueve, el hervidor lo dispara. Cuando la estufa se suma al hervidor, la barra supera la línea límite y el automático salta.

Paso 4: la eficiencia. Una bombilla de filamento antigua convierte casi toda su energía en calor; una LED da la misma luz con aproximadamente la sexta parte de la potencia.

Ponte a prueba: ¿qué usa más energía, una lámpara de 100 W encendida 10 horas o un hervidor de 2000 W encendido 15 minutos? (Respuesta: la lámpara, 1 kWh frente a 0,5 kWh.)

Intermedio

Potencia: energía por segundo

La potencia es el ritmo al que se transfiere energía, $P=E/t$, y se mide en vatios: $1\mathrm{W}=1J/s$. Un hervidor de 2000 W toma de la red 2000 julios cada segundo; una lámpara LED de 10 W, solo 10.

La tensión $V$ entre los bornes de un aparato es la energía que cede cada culombio de carga al atravesarlo, $1\mathrm{V}=1J/C$, y la intensidad $I$ es la carga que pasa cada segundo, $1\mathrm{A}=1C/s$. Su producto son julios por segundo:
$P=VI$

La ley de Ohm, $V=IR$, que se estudia en la lección Circuitos de corriente continua y ley de Ohm, da otras dos formas:
$P=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$

En la red la tensión está fijada, así que, según $V^2/R$, una resistencia menor toma más potencia: el elemento del hervidor tiene solo $230^2/2000\approx 26\Omega$, y el filamento de una lámpara de 100 W en caliente, 529 Ω. Con una corriente fija, $I^{2}R$ dice que calienta más la resistencia mayor, y por eso los cables de alimentación son gruesos.

Aparatos en paralelo en la red

Cada enchufe está conectado entre los mismos dos hilos, fase y neutro, así que los aparatos de una casa están en paralelo. Cada uno recibe toda la tensión de la red (230 V en Europa, 120 V en Norteamérica), estén encendidos o no los demás, y las intensidades de las ramas se suman en el cable de alimentación:
$I=\frac{P_1+P_2+\dots }{V}$

Un circuito protegido a $I_{\max }$ puede entregar, por tanto, como máximo $V{I}_{\max }$: 2300 W con 10 A a 230 V, 3680 W con 16 A. Por eso una cocina tiene varios circuitos.

Energía, kilovatio-hora y eficiencia

La energía que usa un aparato es su potencia multiplicada por el tiempo que funciona:
$E=Pt$
Con $P$ en vatios y $t$ en segundos sale en julios; las compañías eléctricas cuentan con una unidad mayor, el kilovatio-hora, la energía de 1 kW durante una hora:
$1\mathrm{kWh}=3,6\mathrm{MJ}$
ya que $1000\mathrm{W}\cdot 3600\mathrm{s}=3,6\times 10^6\mathrm{J}$. El contador suma kilovatios-hora, y lo que pagas es esta energía, no la potencia: un hervidor de 2000 W usado 6 minutos y una lámpara LED de 10 W que se deja encendida 20 horas consumen los dos 0,2 kWh.

La eficiencia, o rendimiento, compara la salida útil con la entrada:
$\eta =\frac{P_{\acute{\mathrm{u}}\mathrm{til}}}{P_{\mathrm{absorbida}}}$
Un hervidor pasa al agua del 80 al 90 % de su energía; una lámpara de filamento, solo un 5 % en forma de luz visible, y por eso una lámpara LED necesita cerca de la sexta parte de la potencia para dar la misma luz.

Ejemplo resuelto: el circuito de la animación

El circuito de 230 V de la animación está protegido por un interruptor automático de 10 A. La lámpara de 100 W consume $100/230=0,43\mathrm{A}$ y el hervidor de 2000 W, $2000/230=8,70\mathrm{A}$, de modo que juntos
$I=\frac{100+2000}{230}=9,13\mathrm{A}$
justo por debajo del límite, con $2300-2100=200\mathrm{W}$ de margen. La estufa de 2000 W eleva entonces la corriente a
$I=\frac{100+2000+2000}{230}=17,83\mathrm{A}$
casi el doble de la intensidad nominal.

Son los valores que marca la lectura de $I$, mientras que la lectura de $P$ pasa de 100 a 2100 y a 4100 W y la flecha roja $I$ del cable de alimentación se alarga; las etiquetas de las ramas muestran 0,43, 8,70 y 8,70 A. La columna roja de la barra de corriente se queda justo por debajo de la línea de 10 A con el hervidor y la rebasa de golpe con la estufa. 1,2 s después salta el interruptor automático: $P$ e $I$ caen a cero y $E$ deja de subir.

Si 1 s representa 1 minuto, para entonces la lámpara ha funcionado 5,5 minutos, el hervidor 3,5 y la estufa 1,2, así que, en vatios-hora,
$E=\frac{100\cdot 5,5+2000\cdot 3,5+2000\cdot 1,2}{60}\mathrm{Wh}=165,8\mathrm{Wh}$
los 0,166 kWh de la lectura de $E$ (166 Wh en la ventana del contador). A 0,25 € el kWh, esto cuesta unos 4 céntimos.

Ejemplo resuelto: un calefactor en un alargador de carrete

Un calefactor de 1500 W funciona conectado a un alargador de carrete de 25 m con conductores de cobre de 1,0 mm². Sus $1500/230=6,52\mathrm{A}$ van y vuelven por 50 m de cobre de resistividad $1,7\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$. Con $R=\rho L/A$, de la lección Corriente eléctrica y resistencia,
$R_c=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 50}{1,0\times 10^{-6}}=0,85\Omega$
$P_c=I^2{R}_c=6,52^2\cdot 0,85\approx 36\mathrm{W}$

Repartidos a lo largo del cable desenrollado, 36 W son inofensivos; con el cable arrollado en el tambor, ese mismo calor, parecido al de un soldador pequeño, queda atrapado y puede sobrecalentar el aislante, de ahí la menor intensidad nominal permitida con el alargador arrollado. Además, el alargador provoca una caída de tensión de $I{R}_c\approx 5,5\mathrm{V}$: según $P=V^2/R$, un 2,4 % menos de tensión cuesta cerca de un 5 % de la potencia, y quedan unos 1430 W.

A su potencia nominal, 4 horas cada tarde durante 30 días consumen $E=1,5\cdot 4\cdot 30=180\mathrm{kWh}$, que son 45 € a 0,25 € el kWh; con el alargador, el contador marca unos 176 kWh, de los que 4 se disipan como calor en el propio carrete.

Fusibles, automáticos y la barra de corriente

Un cable está dimensionado para la mayor corriente con la que su calentamiento por efecto Joule, $I^{2}R$, no daña el aislante: unos 70 °C en el PVC. Un fusible (un hilo fino que se funde) o un interruptor automático (un interruptor que puede rearmarse), colocado en el hilo de fase, interrumpe la corriente cuando supera ese valor: protege el cable, no el aparato.

El calentamiento crece con el cuadrado de la corriente, así que una sobrecarga moderada solo es peligrosa si dura, y un cortocircuito lo es al instante. La lámina bimetálica de un automático, que se calienta igual que el cable, salta al cabo de segundos o minutos; su electroimán actúa en unos 10 ms cuando un cortocircuito provoca corrientes de cientos de amperios.

En la animación, la barra roja es la corriente que atraviesa el automático y la línea es su límite de 10 A: por debajo de ella, la instalación podría aguantar indefinidamente. Los 17,8 A con la estufa encendida son una sobrecarga, y por eso el automático espera 1,2 s, que representan 1,2 minutos, antes de abrirse.

Errores frecuentes

• Los aparatos no gastan corriente: los 8,70 A que entran en el hervidor por el hilo de fase salen por el neutro. Lo que se gasta es energía, 2000 julios por segundo.
• El kilovatio-hora no son «kilovatios por hora», sino una potencia multiplicada por un tiempo, una energía de 3,6 MJ: una estufa de 3 kW gasta 1 kWh en 20 minutos.
• Encender más aparatos en paralelo no aumenta la resistencia total, sino que la reduce: 529 Ω con la lámpara sola, 25,2 Ω con el hervidor y 12,9 Ω con los tres, y por eso la corriente crece.
• Más resistencia no siempre significa más calor: con la tensión fija, $P=V^2/R$ da 2000 W al elemento de 26 Ω del hervidor y 100 W al filamento de 529 Ω. $I^{2}R$ favorece a la resistencia mayor solo con corrientes iguales, como en serie.
• Un fusible más grande no es más seguro: un cable de 10 A con un fusible de 30 A podría llevar el triple de su corriente nominal, calentándose $3^2=9$ veces más deprisa, sin que el fusible se funda.

Dónde aparece

Cada factura de la luz es esta lección. Un frigorífico que consume una media de 40 W gasta unos 350 kWh al año, y un aparato en espera con 1 W sigue tomando 8,76 kWh; la batería de 60 kWh de un coche eléctrico necesita unas 8 horas en un cargador doméstico de 7,4 kW; una central de 1 GW equivale a medio millón de hervidores hirviendo a la vez.

El campo magnético que rodea a toda corriente, el que abre un automático, es el tema de la lección Campos magnéticos de imanes y corrientes. La lección Motores, generadores y transformadores explica por qué las líneas eléctricas trabajan a cientos de kilovoltios para reducir las pérdidas $I^{2}R$; y la lección Semiconductores, diodos y LED, por qué un LED supera a un filamento.

Avanzado

La potencia como trabajo sobre la carga en movimiento

Todo aparato lleva una potencia nominal en vatios, y toda la lección descansa en una fórmula para ella, $P=VI$. Esta sección la deduce a partir del trabajo que el campo eléctrico realiza sobre la carga que atraviesa un componente, lo que muestra por qué vale para cualquier tipo de aparato.

Leyenda

$I$	Corriente que entra por el extremo de mayor potencial.	$\mathrm{A}$
$dq$	Carga que cruza una sección del conductor en un tiempo corto $dt$: $dq=Idt$.	$\mathrm{C}$
$\vec{E}$	Campo eléctrico dentro del conductor, en el sentido de la corriente; su valor es $V/L$.	$V/m$
$L$	Longitud del conductor.	$\mathrm{m}$
$V_a$	Potencial en el extremo por donde entra la corriente.	$\mathrm{V}$
$V_b$	Potencial en el extremo por donde sale la corriente.	$\mathrm{V}$
$V$	Caída de potencial a lo largo del conductor, $V=V_a-V_b$.	$\mathrm{V}$

La figura 1 muestra el componente más sencillo, un conductor uniforme de longitud $L$. La corriente $I$ entra por el extremo izquierdo, donde el potencial es $V_a$, y sale por el derecho, donde es $V_b$. Debajo del conductor, con la misma escala horizontal, el potencial se dibuja como una altura. Fíjate en la recta inclinada: el potencial cae de forma uniforme de $V_a$ a $V_b$, y la caída total es $V=V_a-V_b$. El campo eléctrico $\vec{E}$ dentro del conductor apunta cuesta abajo por esa pendiente, en el sentido de la corriente, y como la caída es uniforme, su valor es el mismo en todas partes: $E=V/L$.

Fíjate ahora en la rebanada sombreada $dq$. Es la carga que cruza una sección del conductor en un tiempo corto $dt$. La corriente es carga por unidad de tiempo, así que $dq=Idt$. En ese tiempo entra una carga $dq$ por la izquierda y sale otra igual por la derecha, porque la carga no se acumula dentro. El efecto neto es el mismo que si la rebanada $dq$ se hubiera llevado de un extremo a otro, desde el potencial $V_a$ hasta el potencial $V_b$.

Una diferencia de potencial es trabajo por unidad de carga: cuando una carga $q$ atraviesa una caída $V$, el campo realiza sobre ella el trabajo $qV$. Así, en el tiempo $dt$ el campo realiza el trabajo $dW=Vdq=VIdt$, y la potencia, que es trabajo por unidad de tiempo, es
$P=\frac{dW}{dt}=V\frac{dq}{dt}=VI$

En este razonamiento solo han intervenido los potenciales de los dos extremos. Dentro de un componente que no sea un hilo recto el potencial puede caer de forma desigual, o incluso subir en algunos puntos, pero el trabajo realizado sobre una carga que se lleva de un borne al otro sigue dependiendo solo de los valores en los extremos. Tampoco importa en qué se convierta la energía: un motor la transforma en trabajo mecánico, una batería que se carga, en energía química, un LED, en parte, en luz.

El signo necesita un convenio. Toma como $V$ el potencial por donde entra la corriente menos el potencial por donde sale. Entonces $P=VI>0$ significa que el componente absorbe energía del circuito. Una fuente empuja la corriente hacia fuera por su borne positivo, así que la corriente entra en ella al potencial más bajo, $V$ es negativo y $P<0$: la fuente entrega energía al circuito.

En una resistencia todo el trabajo se convierte en calor. La corriente es la misma en los dos extremos, de modo que las cargas salen tan deprisa como entran y no ganan energía cinética en conjunto. La energía que les da el campo la ceden, en los choques, a los átomos vibrantes del metal.

Se puede obtener el mismo resultado punto por punto dentro del metal. Sean $n$ portadores de carga por unidad de volumen, cada uno con carga $q$ y velocidad de deriva $\vec{v}$. El campo empuja a cada uno con la fuerza $q\vec{E}$, así que realiza sobre él trabajo a un ritmo $q\vec{E}\cdot \vec{v}$. Por unidad de volumen eso es $nq\vec{v}\cdot \vec{E}$, y $nq\vec{v}$ es la densidad de corriente $\vec{j}$, la corriente por unidad de área de la sección. La potencia liberada por unidad de volumen es, por tanto, $\vec{j}\cdot \vec{E}$. La ley de Ohm en su forma local, $\vec{j}=\sigma \vec{E}$, donde $\sigma$ es la conductividad del material, la convierte en $j^2/\sigma$. Un hilo de longitud $L$ y sección $A$ tiene densidad de corriente $j=I/A$, volumen $AL$ y resistencia $R=L/(\sigma A)$, de modo que
$P=\frac{j^2}{\sigma }AL=I^2\frac{L}{\sigma A}=I^{2}R$

Con $V=IR$ esto da también $P=V^2/R$, la forma cómoda cuando la tensión está fijada, como en un enchufe.

Por dónde fluye realmente la energía

El hervidor toma 2000 W del enchufe. Resulta natural imaginar que esa energía viaja por el interior del cobre del cable, arrastrada por los electrones. No es así, y ver por dónde viaja de verdad vuelve concreta la idea de campo. Los electrones son demasiado lentos para transportarla. El cobre tiene unos $n=8,5\times 10^{28}$ electrones libres por metro cúbico, cada uno con carga $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{C}$, así que los 8,70 A del hervidor en un hilo de 1,5 mm² requieren una velocidad de deriva de solo $v=I/(neA)\approx 0,43mm/s$. Con corriente alterna, que se invierte 100 veces por segundo, se limitan a ir y venir unos 2 µm. Y sin embargo el elemento empieza a calentarse en cuanto se cierra el interruptor. La energía viaja por los campos eléctrico y magnético que rodean a los hilos.

Leyenda

$I$	Corriente a lo largo del eje; en la vista de extremo viene hacia ti (el punto).	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Campo eléctrico a lo largo del eje, de valor $V/L$ dentro del metal y justo fuera de él.	$V/m$
$L$	Longitud del cilindro.	$\mathrm{m}$
$a$	Radio del cilindro.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético de la corriente, que rodea al cilindro; en la superficie su valor es $I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flujo de energía del campo, potencia por unidad de área: apunta desde fuera hacia dentro de la resistencia.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figura 2 modela el elemento del hervidor como una simple resistencia cilíndrica de radio $a$ y longitud $L$, vista de lado a la izquierda y de frente por el extremo a la derecha. Se dibujan tres campos. El primero es el campo eléctrico $\vec{E}$, que va a lo largo del eje, en el sentido de la corriente $I$ que impulsa. Su valor dentro es $V/L$. La parte de un campo eléctrico que es paralela a una superficie es la misma a ambos lados de ella, de modo que justo fuera del metal también hay un campo $V/L$ a lo largo del eje.

El segundo es el campo magnético $\vec{B}$ de la corriente, que rodea al cilindro en círculos. En la vista del extremo la corriente viene hacia ti (el punto), y $\vec{B}$ gira en sentido antihorario: apunta con el pulgar derecho en el sentido de la corriente y tus dedos se curvan en el sentido de $\vec{B}$. Su valor en la superficie sale de la ley de Ampère, $B\cdot 2\pi a=I/({\epsilon }_0{c}^2)$, así que $B=I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$. (Aquí ${\epsilon }_0{c}^2=1/{\mu }_0$, de modo que es la conocida $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$.)

El tercero es el flujo de energía $\vec{S}$, la potencia que cruza una unidad de área, en vatios por metro cuadrado. Allí donde hay a la vez un campo eléctrico y uno magnético, la energía fluye al ritmo que da el vector de Poynting, llamado así por John Henry Poynting:
$\vec{S}={\epsilon }_0{c}^2\vec{E}\times \vec{B}$

Su dirección se deduce de la figura. $\vec{E}$ apunta a lo largo del eje y $\vec{B}$ gira alrededor de él, así que son perpendiculares, y su producto vectorial, perpendicular a ambos, queda a lo largo de un radio. La regla de la mano derecha decide entre hacia dentro y hacia fuera. En la parte superior de la vista del extremo, $\vec{E}$ apunta hacia ti y $\vec{B}$ hacia la izquierda, y el producto vectorial de «hacia ti» por «hacia la izquierda» apunta hacia abajo, hacia el interior del cilindro. Lo mismo ocurre en todo el contorno, así que en cada punto del lateral $\vec{S}$ apunta al interior de la resistencia, como muestran las flechas $\vec{S}$ en las dos vistas. En las bases planas, un $\vec{S}$ radial va a lo largo de la base, así que por ahí no entra energía.

Como $\vec{E}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares, el valor de $\vec{S}$ es simplemente el producto de los valores:
$S={\epsilon }_0{c}^2\cdot \frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
Es el mismo en todos los puntos del lateral, cuya área es $2\pi aL$, así que la potencia total que entra es $S\cdot 2\pi aL=VI$: exactamente el ritmo al que la resistencia convierte la energía en calor.

Así pues, la energía entra en la resistencia desde el espacio que la rodea, a través de su superficie. A lo largo del cable de alimentación, el campo eléctrico cruza el hueco entre el hilo de fase y el neutro, y el campo magnético rodea a cada hilo; allí $\vec{S}$ va sobre todo paralelo a los hilos, por el aislante y el aire que hay entre ellos, del enchufe hacia el hervidor. Solo una pequeña parte dirigida hacia dentro entra en el cobre, y es la pérdida $I^{2}R$ del propio cable. Cuando la corriente se invierte, $\vec{E}$ y $\vec{B}$ se invierten a la vez y su producto vectorial conserva su sentido, de modo que la energía fluye siempre hacia el aparato. Los hilos guían la energía en lugar de transportarla, y su conservación es local: la energía de una región solo cambia por lo que cruza su superficie.

Corriente alterna: valores eficaces

La red es de corriente alterna: la tensión y la corriente cambian en todo momento. Esta sección explica qué significan entonces los 230 V y los 2000 W de una etiqueta.

La tensión es sinusoidal, $v=V_0\sin \omega t$, con amplitud $V_0$ y $\omega =2\pi \cdot 50{\mathrm{s}}^{-1}$ en Europa. En una resistencia la corriente $i=v/R$ sigue exactamente a la tensión, $i=I_0\sin \omega t$ con $I_0=V_0/R$; las dos están en fase. La potencia instantánea es $p=vi$ y, con ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$,
$p(t)=V_0{I}_0{\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(1-\cos 2\omega t)$

Lee esto término a término. La potencia nunca es negativa: late al doble de la frecuencia de la red, 100 Hz, entre 0 y $V_0{I}_0$. El término del coseno tiene media nula en cada ciclo, así que la potencia media es $P=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0$.

Una corriente continua $I$ calentaría la misma resistencia al ritmo $I^{2}R$. Equivale a la alterna cuando $I^2$ es igual a la media de $i^2$, que es $\frac{1}{2}{I}_0^2$, porque ${\sin }^2$ tiene media un medio. Ese valor constante, la raíz cuadrada de la media del cuadrado, es la corriente eficaz, $I_{\mathrm{ef}}=I_0/\sqrt{2}$; análogamente, la tensión eficaz es $V_{\mathrm{ef}}=V_0/\sqrt{2}$. Entonces $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0=V_{\mathrm{ef}}{I}_{\mathrm{ef}}$, y todas las fórmulas de corriente continua, $P=VI=I^{2}R=V^2/R$, valen para la potencia media si se usan valores eficaces. Por eso los valores nominales se dan como eficaces: una corriente eficaz calienta una resistencia exactamente igual que una corriente continua del mismo valor.

En el hervidor, los 230 V de la etiqueta son eficaces, así que la tensión alcanza un pico de $230\sqrt{2}\approx 325\mathrm{V}$. Su corriente eficaz de 8,70 A llega a un pico de $8,70\sqrt{2}\approx 12,3\mathrm{A}$, y su potencia oscila entre 0 y $V_0{I}_0=4000\mathrm{W}$, con una media de 2000 W.

Fase y factor de potencia

En un hervidor la corriente sube y baja a la vez que la tensión. En aparatos con bobinas o condensadores, como los motores y los transformadores, la corriente está desplazada en el tiempo respecto a la tensión, y entonces $V_{\mathrm{ef}}{I}_{\mathrm{ef}}$ exagera la potencia que realmente se toma. La figura 3 muestra cómo hallar la potencia activa.

Leyenda

$V_0$	Amplitud de la tensión; su flecha es la dirección de referencia.	$\mathrm{V}$
$I_0$	Amplitud de la corriente.	$\mathrm{A}$
$\phi$	Ángulo de fase en que la corriente se retrasa respecto a la tensión.	$\mathrm{rad}$
$I_0\cos \phi$	Parte de la corriente en fase con la tensión: la única que entrega potencia en promedio.	$\mathrm{A}$
$I_0\sin \phi$	Parte de la corriente un cuarto de ciclo por detrás de la tensión: su potencia tiene media cero.	$\mathrm{A}$

Escribe la corriente como $i=I_0\sin (\omega t-\phi )$, donde $\phi$ es el ángulo de fase. Una bobina hace que la corriente vaya retrasada respecto a la tensión ($\phi >0$, como en el dibujo); un condensador la adelanta ($\phi <0$); el resultado de más abajo vale en ambos casos. La figura 3 dibuja cada magnitud como una flecha cuya longitud es su amplitud y cuya dirección da su fase. La flecha de tensión $V_0$ es la referencia, dibujada en horizontal. La flecha de corriente $I_0$ está girada respecto a ella el ángulo $\phi$, en sentido horario, porque la corriente va retrasada. Las dos longitudes están en unidades distintas, voltios y amperios, así que solo el ángulo entre las flechas tiene significado.

Descompón ahora la flecha de corriente en dos partes, como hace la figura: su parte a lo largo de la tensión, $I_0\cos \phi$, y su parte perpendicular a ella, $I_0\sin \phi$. En fórmulas, es la identidad del seno de una diferencia:
$I_0\sin (\omega t-\phi )=I_0\cos \phi \sin \omega t-I_0\sin \phi \cos \omega t$

La primera parte sube y baja exactamente con la tensión. Se comporta como la corriente en una resistencia, así que, por la sección anterior, entrega la potencia media $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\cos \phi$. La segunda parte va como $-\cos \omega t$, es decir, un cuarto de ciclo por detrás de la tensión. Su producto con $v=V_0\sin \omega t$ es $-V_0{I}_0\sin \phi \sin \omega t\cos \omega t=-\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\sin \phi \sin 2\omega t$. Es positivo la mitad del tiempo y negativo la otra mitad, así que su media es cero. Solo mueve energía de un lado a otro: durante un cuarto de ciclo el aparato almacena energía en el campo magnético de su bobina (o en el campo eléctrico de su condensador), y durante el siguiente cuarto se la devuelve a la red.

Sumando los dos productos y usando $\cos \phi \cos 2\omega t+\sin \phi \sin 2\omega t=\cos (2\omega t-\phi )$, se obtiene
$p(t)=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi ))$
En una parte de cada ciclo esto es negativo, mientras el aparato devuelve la energía almacenada. Su media es la parte constante:
$P=V_{\mathrm{ef}}{I}_{\mathrm{ef}}\cos \phi$

El factor $\cos \phi$ se llama factor de potencia, y el producto $V_{\mathrm{ef}}{I}_{\mathrm{ef}}$, medido en voltioamperios (V·A), potencia aparente. Un motor que consume 5,0 A a 230 V con $\cos \phi =0,8$ tiene una potencia aparente de 1150 V·A, pero toma solo 920 W. Un aparato con factor de potencia 1 necesitaría solo 4,0 A para los mismos 920 W, y sin embargo el cable y el automático siguen soportando los 5,0 A completos del motor y se calientan en consecuencia según $I^{2}R$. Por eso las compañías eléctricas penalizan a los usuarios industriales por un mal factor de potencia, y por eso las fábricas añaden condensadores para compensar el retraso de sus motores.

La gráfica de energía es una integral

La factura cuenta energía, no potencia. Cuando la potencia cambia con el tiempo, la energía es el área bajo la gráfica de la potencia frente al tiempo, su integral en el tiempo, y la potencia es la pendiente de la energía:
$E=\int Pdt$

En la animación del nivel Avanzado, $P(t)$ es una escalera. La lámpara la sube a 100 W a los 0,5 s, el hervidor a 2100 W a los 2,5 s y la estufa a 4100 W a los 4,8 s. La línea discontinua marca $V{I}_{\max }=230\cdot 10=2300\mathrm{W}$, lo máximo que el circuito puede entregar con la intensidad nominal del automático, $I_{\max }=10\mathrm{A}$. El escalón de la estufa cruza esta línea, el automático salta a los 6,0 s y la potencia cae a cero.

$E(t)$ es el área acumulada bajo la escalera, y 1 s de animación representa 1 minuto. Cada escalón añade su altura por su anchura: $100\mathrm{W}\cdot 2\min =200\mathrm{W}\min \approx 3,3\mathrm{Wh}$ hasta los 2,5 s, luego $2100\mathrm{W}\cdot 2,3\min =80,5\mathrm{Wh}$, con lo que se llega a 83,8 Wh a los 4,8 s, y después $4100\mathrm{W}\cdot 1,2\min =82\mathrm{Wh}$, con lo que se llega a 165,8 Wh al saltar el automático. A partir de ahí la gráfica queda plana. Así, los 1,2 minutos de sobrecarga añaden más energía que los 2,3 minutos anteriores. Cada tramo recto de $E(t)$ sube con una pendiente igual a la potencia en ese momento, y cada esquina marca un escalón de $P(t)$; una potencia que variara suavemente curvaría la gráfica.

Un contador calcula esta integral. El contador de inducción, más antiguo, hace girar un disco de aluminio con un par proporcional a la media de $vi$, es decir, a $P$, frente a un freno magnético cuyo rozamiento es proporcional a la velocidad del disco. Los dos se equilibran cuando la velocidad es proporcional a $P$, de modo que el número de vueltas cuenta $E$. Un contador electrónico muestrea $v$ e $i$ miles de veces por segundo, multiplica cada pareja y suma los productos. Ambos trabajan con el producto instantáneo $vi$, así que el factor de potencia queda incluido automáticamente: cuentan la potencia activa, no $V_{\mathrm{ef}}{I}_{\mathrm{ef}}$.

Picos al encender y corrientes deformadas

Hasta ahora todo aparato ha sido una resistencia fija. Los aparatos reales no lo son, y dos efectos habituales hacen que la corriente sea mayor de lo que sugiere $P/V$, lo que importa para fusibles y cables.

La resistencia de un filamento de wolframio se multiplica por diez o más al pasar de la temperatura ambiente a unos 2700 K. Una lámpara de 100 W tiene $R=V^2/P=230^2/100=529\Omega$ en caliente, pero solo unos 50 Ω en frío. Al encenderla consume, por tanto, $230/50\approx 4,6\mathrm{A}$, más de 1 kW, durante una fracción de segundo, hasta que el filamento se calienta. Ese golpe repentino es la razón de que estas bombillas suelan fundirse justo al encenderlas.

Muchos cargadores de móvil toman corriente solo en pulsos breves cerca de los picos de la tensión, así que su corriente no es en absoluto una sinusoide. El calentamiento va como $i^2$, que da mucho peso a los pulsos altos y estrechos; su $I_{\mathrm{ef}}$ supera, por tanto, a $P/V_{\mathrm{ef}}$ incluso sin ningún desfase.

Calentamiento del cable e interruptor automático

Un interruptor automático protege el cable, cuyo aislante se daña si se calienta demasiado. Por eso la regla de cuándo debe saltar se deduce de cómo se calienta un cable.

Modela el cable como un cuerpo de capacidad calorífica $C$ cuya temperatura está $\Delta T$ por encima de la de su entorno. La corriente lo calienta al ritmo $I^{2}R$, y él pierde calor hacia el entorno a un ritmo $k\Delta T$, proporcional a lo más caliente que está, donde $k$ es un coeficiente de pérdida de calor en vatios por kelvin. La velocidad de cambio del calor almacenado, $Cd\Delta T/dt$, es la diferencia:
$C\frac{d\Delta T}{dt}=I^{2}R-k\Delta T$

Al principio $\Delta T$ es pequeño, la pérdida es despreciable y la temperatura sube al ritmo $I^{2}R/C$. A medida que sube, la pérdida la alcanza, hasta que ganancia y pérdida se equilibran en el aumento final $\Delta T=I^{2}R/k$. La solución se acerca a este valor como $1-e^{-t/\tau }$, con la constante de tiempo $\tau =C/k$, y prácticamente lo alcanza al cabo de unas pocas constantes de tiempo, normalmente minutos en el cableado de una casa.

El aumento final crece como $I^2$. Los cables se dimensionan de modo que su intensidad nominal los mantenga por debajo del límite seguro de su aislante. La sobrecarga de la animación, $17,83/10=1,78$ veces la intensidad nominal, da $1,78^2\approx 3,2$ veces el aumento de temperatura, muy por encima de ese límite.

La lámina bimetálica del automático la calienta la misma corriente y tiene su propia capacidad calorífica y su propia pérdida de calor, así que es un pequeño modelo del cable: se curva y hace saltar el automático cuando su propia temperatura alcanza un valor fijado. Cuanto mayor es la sobrecarga, más alta sería su temperatura final y antes, en su subida, pasa por el punto de disparo, de modo que su retardo se acorta bruscamente al crecer la sobrecarga. En un cortocircuito la corriente puede llegar a 300 A, que calienta $(300/10{)}^2=900$ veces más deprisa que 10 A. Es demasiado rápido para esperar a que una lámina se caliente, así que una bobina magnética, atraída por la propia corriente, abre los contactos en unos 10 ms, medio ciclo de la red.

Problema resuelto: la sobrecarga en un cable real

La animación supone la tensión completa de 230 V en cada enchufe, como si el cable no tuviera resistencia. Supón en cambio que el cable del circuito recorre 15 m de ida y 15 m de vuelta, en cobre de 1,5 mm². Con los tres aparatos encendidos, ¿qué corriente circula, qué potencia toma el cable y cuánto podría calentarse en los 1,2 minutos anteriores al disparo?

Leyenda

$V$	Tensión de la fuente (eficaz).	$\mathrm{V}$
$I$	Corriente, la misma en todo el lazo.	$\mathrm{A}$
$R_w$	Resistencia de todo el cable, los dos conductores, dibujada en un solo hilo.	$\Omega$
$R_L$	Resistencia combinada de los tres aparatos.	$\Omega$
$P_w$	Potencia liberada como calor en el cable.	$\mathrm{W}$
$P_L$	Potencia que toman los aparatos.	$\mathrm{W}$

La figura 4 dibuja la situación como un circuito en serie. La fuente $V$ impulsa una única corriente $I$ por el lazo: a través del cable, cuyos dos conductores tienen juntos la resistencia $R_w$ (dibujada en un solo hilo), y a través de los tres aparatos, que actúan juntos como una sola resistencia $R_L$. Como por ambos pasa la misma $I$, el calor que liberan, $P_w=I^2{R}_w$ y $P_L=I^2{R}_L$, está en la proporción de sus resistencias. Trata cada aparato como una resistencia fija igual a su valor a los 230 V nominales, que es un buen modelo para los elementos calefactores.

Primero las dos resistencias. El cobre tiene resistividad $\rho =1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, y el cable tiene una longitud total de 30 m y una sección $A=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, así que $R_w=\rho L/A=1,7\times 10^{-8}\cdot 30/(1,5\times 10^{-6})=0,34\Omega$. Los aparatos toman juntos 4100 W a 230 V, de modo que $R_L=V^2/P=230^2/4100=12,90\Omega$.

Las dos están en serie, así que sus resistencias se suman, y la corriente y el calentamiento del cable son
$I=\frac{V}{R_L+R_w}=\frac{230}{12,90+0,34}=17,37\mathrm{A}$
$P_w=I^2{R}_w=17,37^2\cdot 0,34\approx 103\mathrm{W}$

El cable se lleva parte de la tensión, $17,37\cdot 0,34\approx 5,9\mathrm{V}$, así que los enchufes reciben $230-5,9=224,1\mathrm{V}$ y los aparatos $P_L=I^2{R}_L\approx 3890\mathrm{W}$, no 4100 W. Los 103 W del cable, 3,4 W por metro, son tres veces los 34 W que libera con los 10 A nominales, ya que $(17,37/10{)}^2=3,0$.

Veamos ahora el calentamiento. En los 72 s anteriores al disparo el cable libera $103\cdot 72\approx 7,4\mathrm{kJ}$. Su cobre tiene un volumen de $30\cdot 1,5\times 10^{-6}=4,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^3$; a 8960 kg/m³ eso es una masa de 0,40 kg y, a 385 J/(kg·K), una capacidad calorífica de 155 J/K. Si no se escapara nada de calor, el cobre se calentaría
$\Delta T=\frac{7400}{155}\approx 48\mathrm{K}$

En la realidad el aislante y la pared absorben parte del calor, así que el aumento es menor. En sentido contrario, la resistencia del cobre crece cerca de un 0,4 % por kelvin, es decir, hasta un 19 % aproximadamente en un aumento de 48 K, lo que eleva un poco el calentamiento. Lo importante es el orden de magnitud: decenas de kelvin en cerca de un minuto, y todavía subiendo, así que una sobrecarga de este tamaño debe cortarse en pocos minutos.

Límites de validez

Todo lo anterior descansa en simplificaciones. Esta sección dice dónde valen.

La teoría de circuitos trata los hilos como enlaces ideales que llevan la misma corriente a lo largo de toda su longitud en cada instante. Eso exige que un cambio en un extremo llegue al otro rápido en comparación con un ciclo. A lo largo de una casa, un cambio así tarda cerca de una décima de microsegundo, frente a un periodo de 20 ms a 50 Hz; dicho de otro modo, el circuito debe ser mucho menor que la longitud de onda $c/f$, que a 50 Hz es de 6000 km. A frecuencias de radio, con longitudes de onda de metros, los hilos radian y la imagen del campo lo domina todo.

A 50 Hz la corriente también ocupa el conductor de manera uniforme. Una corriente alterna es empujada hacia la superficie del conductor, dentro de una capa llamada profundidad pelicular, y en el cobre a 50 Hz esa profundidad es de 9,2 mm, más que el radio de 0,7 mm de un hilo de 1,5 mm². A 1 MHz se reduce a 65 µm, y la resistencia del hilo aumenta.

Tampoco la fuente es ideal: la red europea puede desviarse un 10 % de 230 V, y según $P=V^2/R$ un hervidor a 207 V da solo $2000\cdot 0,9^2=1620\mathrm{W}$. La ley de Ohm falla para los filamentos, cuya resistencia depende de su temperatura, y para los LED y la electrónica. Incluso la resistencia del cobre sube cerca de un 0,4 % por kelvin, y solo los cables superconductores, enfriados con nitrógeno líquido a 77 K, llevan corriente continua sin ninguna pérdida resistiva.

Lo que viene después

El campo magnético que rodea a toda corriente se desarrolla en la lección Campos magnéticos de imanes y corrientes, e Inducción electromagnética muestra cómo se genera la tensión de 50 Hz. La lección Motores, generadores y transformadores explica por qué la energía cruza países a 400 kV: para la misma potencia, mil veces más tensión significa la milésima parte de la corriente y la millonésima parte de la pérdida $I^{2}R$.

El vector de Poynting vuelve en Ondas electromagnéticas, donde transporta el flujo de unos 1 kW/m² de la luz del Sol. La lección Radiación de cuerpo negro y cuantos explica por qué un filamento a 2700 K radia sobre todo infrarrojo; Semiconductores, diodos y LED, por qué un LED lo hace mucho mejor; y Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas, por qué una bomba de calor da tres o cuatro veces más calor por kilovatio-hora que una estufa eléctrica.